2018版高中数学第四章函数应用章末综合测评学案北师大版.docx

第四章 函数应用自我校对指数函数对数函数幂函数函数的零点与方程的根的关系及应用 1. 函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点 2. 确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数定性判断设g(x)e2x|exa|，x0，ln 3，其中a2.(1)当a1时，函数g(x)是否存在零点，若存在，求出所有零点；若不存在，说明理由；(2)求函数g(x)的最小值【精彩点拨】使用换元法和分类讨论思想求解【规范解答】(1)当a1时，设tex(显然t1,3)，则h(t)t2t1，令h(t)t2t10，解得t或t都不满足t1,3，函数g(x)不存在零点(2)设tex，则h(t)t2|ta|(显然t1,3)当a1时，h(t)t2ta在区间1,3上是增函数，所以h(x)的最小值为h(1)2a.当1a2时，h(t)因为函数h(t)在区间(a,3上是增函数，在区间1，a上也是增函数，又函数h(t)在1,3上为连续函数，所以函数h(t)在1,3上为增函数，所以h(t)的最小值为h(1)a.综上可得，当a1时，g(x)的最小值为2a；当1a2时，g(x)的最小值为a.再练一题 1. 已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_. 【导学号：04100081】【解析】在同一坐标系中作出f(x)及yk的图像(如下图)可知，当0k1时，yk与yf(x)的图像有两个交点，即方程f(x)k有两个不同的实根【答案】(0,1)用二分法求函数的零点或方程的近似解 1. 看清题目的精度，它决定着二分法的结束 2. 根据f(a0)f(b0)0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解，再确定初始区间 3. 初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二分的次数相差较大 4. 取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，an与bn按精度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解求的一个近似值(精度为0.01)【精彩点拨】利用转化与化归思想求解【规范解答】设x，x320，令f(x)x32，则f(x)的零点即为的近似值，下面用二分法求解由f(1)10，f(2)60，可以把初始区间定为1,2，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值1,21.51.37501,1.51.250.046 901.25,1.51.3750.599 601.25,1.3751.312 50.261 001.25,1.312 51.281 250.103 301.25,1.281 251.265 6250.027 301.25,1.265 6251.257 812 50.0101.257 812 5,1.265 625由于1.265 6251.257 812 50.007 812 50.01，故区间1.257 812 5,1.265 625上的任一值皆可看做函数f(x)的零点的近似值，即的一个近似值是1.265 625.再练一题 2. 用二分法求的近似值(精度为0.1)【解】设x，则x25，即x250，令f(x)x25.因为f(2.2)0.160.f(2.4)0.760，所以f(2.2)f(2.4)0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x12.3，则f(2.3)0.29.因为f(2.2)f(2.3)0，x0(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x22.25，f(2.25)0.062 5.因为f(2.2)f(2.25)0，所以x0(2.2,2.25)由于|2.252.2|0.050.1，所以的近似值可取为2.25.函数建模 1. 解函数应用题可归纳为四步：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)还原其中“建模”是最关键的一步建模就是将实际问题数学化，准确建模的前提是了解常见的函数模型 2. 函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题；另一方面是根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)【精彩点拨】【规范解答】(1)由题意知：当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)(x100)2.所以，当x100时，f(x)在区间20,200上取得最大值.又1 200，所以当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时再练一题 3. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值【解】(1)由题设，每年能源消耗费用C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x).而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)在f(x)6x中，令3x5t，则3xt5，g(t)2t10210，0x10，t5,35，由函数的单调性知，g(t)在t(0,20上是减函数，在20,35上是增函数，g(t)在t20时有最小值当3x520，即x5时，f(x)min70.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.函数与方程思想在数学上，解方程是很重要的内容，但是能够将精确解求出来的方程不是很多，对于五次以上的一般代数方程一般的超越方程，以及实际生活和物理研究中的方程，我们只能求它的有理近似解而将解方程的问题转化为函数的零点的问题，利用函数的整体性质来认识局部性质是求方程近似解的一般方法解方程实际是求函数的零点，这样指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程就可转化为函数零点的求解问题试判断方程3xx20的实数解的个数【精彩点拨】像这类含有指数函数、对数函数的方程属于超越方程，无法用公式求出它的解，所以在确定它的解的个数时，只能转化为判断函数图像的交点的个数问题来解决【规范解答】法一设函数f(x)3xx2，用计算器作出x，f(x)的对应值表：x32101234f(x)1251865由表可知，f(1)0.又函数的图像是连续的，函数在(1,0)内有零点f(x)3xx2在(，0)上是增函数，方程在(1,0)内有一个实数根故方程3xx20只有一个实数解法二构造两个函数y3x和yx2，在同一坐标系内画出函数y3x和yx2的图像，如图由图可知两个函数图像只有一个交点，故方程3xx20只有一个实数解再练一题 4. 求方程lg xx240的实根个数【解】列表如下：x0.010.1110ylg x2101x3210123yx245034305描点、连线得图，由图结合单调性可知，函数ylg x与yx24的图像有两个交点，即方程lg xx240的实根个数为2. 1. 已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为()A2B3C4D5【解析】当x2时，g(x)x1，f(x)(x2)2；当0x2时，g(x)3x，f(x)2x；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x50，其根为x或x(舍去)；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x3x，无解；当x0时，方程f(x)g(x)0可化为x2x10，其根为x或x(舍去)所以函数yf(x)g(x)的零点个数为2.【答案】A 2. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为() 【导学号：04100082】A6升 B8升 C10升 D12升【解析】因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 60035 000600(千米)，故每100千米平均耗油量为4868(升)【答案】B 3. (2016天津高考) 已知函数f(x)sin2sin x(0)，xR.若f(x)在区间(，2)内没有零点，则的取值范围是()A. B.C. D.【解析】f(x)sin x(sin xcos x)sin.因为函数f(x)在区间(，2)内没有零点，所以2，即，所以01.当x(，2)时，x，若函数f(x)在区间(，2)内有零点，则k2(kZ)，即k(kZ)当k0时，；当k1时，.所以函数f(x)在区间(，2)内没有零点时，0或.【答案】D 4. 若函数f(x)在定义域x|xR且x0上是偶函数，且在(0，)上是减