（光学专业论文）金属表面结构对表面等离子体干涉光刻法分辨率的影响.pdf

摘要 摘要 光刻技术是当前半导体元器件加工业应用最为广泛的一项技术随着大规模集成电路 和微结构光子学元器件的迅速发展，对光刻技术的精度和分辨率要求越来越高，但是由于 光学衍射极限的存在，传统光刻技术的分辨率存在无法突破的极限。为了突破这一极限， 许多新型的光刻技术涌现出来，例如远紫外激光光刻法、电子束刻蚀法等等。但是这类光 刻技术成本过高，无法应用到成规模的工业生产中。 表面等离子体激元具有近场局域增强和纳米聚焦的突出特性，这为高分辨率的光刻技 术开辟了一条新的途径。基于表面等离子体激元的光刻技术已成为一个热点研究方向表 面等离子体干涉光刻法利用波长4 3 6 纳米的紫外光已经将光刻的分辨率提高到了5 0 纳米。 根据这一光刻技术的原理，在金属光栅的狭缝两侧加入对称分布的沟槽结构，可以进 一步提高光刻分辨率。同时，还可通过对沟槽结构几何参数的改变，达到对光刻胶中光场 进行精细调节的目的。 本文利用时域有限差分方法对沟槽结构光刻法的刻录过程进行了数值模拟，并分析了 沟槽结构的几何参数与光刻胶中的电场分布之间的关系。通过调节这些几何参数可以做到 对电场分布进行精细调节，这为进一步提高光刻分辨率提供了一条新途径。 关键词：表面等离子体激元，纳米光刻蚀技术，时域有限差分方法( f d t d ) ，金属杜德 ( d r u d e ) 模型。 a b s t r a c t a b s t r a c t p h o t o l i t h o g r a p h y h a sb e e nak e y t e c h n i q u e i ns e m i c o n d u c t o rn a n o f a c t u r ea n d m i c r o f a b r i c a t i o nf o rs e v e r a ld e c a d e s w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs u p e rl a r g es c a l ei n t e g r a t i o n ( s l s i ) a n di n t e g r a t e do p t i c s , h i g hr e s o l u t i o np h o t o l i t h o g r a p h yh a sb e c o m em o r ea n dm 债b i m p o r t a n t h o w e v 盯t h et r a d i t i o n a lp h o t o l i t h o g r a p h yi sl i m i t e db yt h ei l l u m i n a t i n gw a v e l e n g t h d u et ot h eo p t i c a ld i f f r a c t i o nl i m i t m a n yn a n o s c a l el i t h o g r a p h yt e c h n i q u e sl i k et h ee l e c t r o n b e a ml i t h o g r a p h ya n dd e e pu l t r a v i o l e to j r ) l i t h o g r a p h yh a v eb e e na p p l i e dt oa c h i e v eh i g h r e s o l u t i o n ，b u tt h e s et e c h n i q u e sr e q u i r eq u i t ee x p e n s i v ee q u i p m e n ta n dc a n n o tm e e tt h ei n d u s t r i a l m s s sf a b r i c a t i o nn e c d s t h er e c e n td i s c o v e r yo fe x t r a o r d i n a r yt r a n s m i s s i o nt h r o u g hp e r f o m t e d m e t a lf i l m ss h o w st h a tt h es u r f a c ep l a s m o n s ( s p s ) o nt h em e t a ls u r f a c ec a ng r e a t l ye n h a n c et h e l i g h tt r a n s m i s s i o na n dr e d i s t r i b u t et h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l di nm o m c t e rs c a l e t h e s eg i v e1 1 8a n o v e lm e t h o do fp h o t o l i t h o g r a p h yb e y o n dt h ed i f f r a c t i o nl i m i t t h ep h o t o l i t h o g r a p h yb a s e do n t h e f a c ep l a s m o u si sr e s e a r c h e df o rs e v e r a ly e a r s s u b - 5 0n ml i n e sh a v eb e e np a t t e r n e da lt h e w a v e l e n g t ho f4 3 6n n lb yu s i n gs u r f a c ep l a s m o n sr e s o n a n ti n t e r f e r e n c en a n o l i t h o g r a p h y t e c h n i q u e i nt h i st e c h n i q u e ，t h er e s o l u t i o ng r e a t l yd e p e n d so nt h ep e r i o d i c i t ya n dt h i c k n e s so f t h em e t a l l i cm a s k t h er e s o l u t i o nc o u l db ef u r t h e re n h a n c c db ya d d i n gt w os y m m e t r i c a lg r o o v e s i nag r a t i n gc e l lo ni t so u t p u ts i d e t h u st h eo p t i c a lf i e l dc a nb es u b t l ym o d u l a t e d ，t h ef o r m a t t e d p a t t e mi se x p e c t e dt ob ea 由u s t e dm o r eu n i f o r m t h e r e f o r e ，t h eh i g hr e s o l u t i o nc o u l db e a c h i e v e d i nt h i s p a p e r , t h ee l e c t r i c f i e l dd i s t r i b u t i o no ft h em i c r o - s t r u c t u r e d m e t a lg r a t i n gi s i n v e s t i g a t e db yu s i n gt h ef i n i t e - d i f f c r e n e nt i m e d o m a i nm e t h o d t h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o w t h a tt h ee l e c t r i c f i e l dd i s t r i b u t i o ni s s t r o n g l yd e p e n d e n to nt h es t r u c t u r e sp e r i o d i c i t y ，t h e g r o o v e sd e p t ha n dt h ed i s t a n c eb e t w e e ng r o o v ea n ds l i t a d j u s t i n gt h ep a r a m e t e r so f t h eg r a t i n g c a nm o d i f yt h et r a n s m i t t e df i e l dd i s t r i b u t i o n ，w h i c hp r o v i d e sav a l i dw a yf o rh i g hr e s o l u t i o n p h o t o l i t h o g r a p h y k e y w o r d s ：s u r f a c ep l a s m o np o l a r i t o n s ，n a n o l i t h o g r a p h y ，f i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i n m e t h o d ( f d t d ) ，d r u d em o d e l 首都师范大学学位论文原刨性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取 得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名。上孵 嗍予岛伽 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文 并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利 目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据 库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规 定。 学位论文作者签名： 吼e 月伊 第一章绪论 第一章绪论 表面等离激元( s u r f a c ep l a s m o np o l a r i t o n s ) 是局域在金属表面的一种由表面等离子 体( s u r f a c ep l a s m o n ) 与光子( p h o t o n ) 相互耦合形成的混和激发态【1 】o 通过对金属结构的调 整可以控制表面等离子体激元的性质及其与光子的相互耦合。表面等离子体激元在亚波长 光学、光刻蚀、光存储、显微技术和生物光子学等领域具有广阔的应用前景。表面等离子 体亚波长光学作为近场光学的一个新兴的分支，正在蓬勃发展。 1 1 表面等离子体概述 表面等离予体激元是局域在金属表面的一种自由电子和光子相互作用形成的混和激 发态。在这种相互作用中，自由电子在与其共振频率相同的光照射下，发生集体振荡，这 种表面电荷的振荡又反作用于光波电磁场，在这种相互作用中就形成了性质独特的表面等 离子激元( s p p s ) 【2 1 。 s p p s 存在于金属的表面，是一种表面电磁波，遵循麦克斯韦电磁波理论。麦克斯韦电 磁波理论表明，表面电磁波能够沿金属表面或者在金属膜上传播，即电场强度在金属与介 质的交界面上具有最大值，随着垂至于金属表面的距离增大，场强呈指数衰减，具有表面 波的特性，图1 1 描述了金属表面附近的s p p s 的传播，其场方程可表示为【l l ： 置，( 工，z ) = e oe x p i ( 置，x 一也l = h i ， ( 1 1 1 ) 图1 1 在金属表面传播的s p p s 由场方程可以看出其电场强度沿垂直金属表面方向指数衰减。所以表面局域性是s p p s 的一 个突出特性。 同时，无限大光滑金属表面上，表面等离子体有如下色散关系3 】： 第一章绪论 碲= ( 争2 蔫， c， ( 1 - i 一2 ) 其中国为入射光频率，白为与金属相邻的介质介电常数，为金属介电常数。图1 2 给出 士 失b 图i 2 金属膜界面上s p p s 色散关系 了金属薄膜界面上的s p p s 色散关系曲线，由图可看出，表面等离子体的波矢要大于光子波 矢，所以在光滑金属表面上表面等离子体无法与光子直接耦合。 1 2 表面等离子体的激发 想要实现对表面等离子体的控制和应用，首先需要将其有效的激发。由上节提到的半 无限厚金属表面等离子体色散关系可以看出，s p p s 的动量总是大于具有相同频率的空间传 播光的动量，也就是说，s p p s 的波矢t 。总是大于传播光的波矢七，这实际上是外界电磁场 与金属表面电荷相互作用的结果，这种相互作用是s p p s 具有表面局域性或非传播电磁场 特性的基本原因要有效的激发s p p s ，必须保证激发光和s p p s 的波矢匹配。实现途径有 两个，其一是减小s p p s 的波矢k ：其二是对光波矢进行补偿，使其能够与s p p s 波矢匹配。 成功实现光波矢补偿的方法主要有两种：衰减全反射补偿和衍射补偿h , - s 3 。 全反射补偿是利用与金属相邻的介质的介电常数占实现对激发光的波矢补偿。其结构 如图1 3 所示： 第一章绪论 圈1 3 全反射补偿法激发表面等离子体；( 1 ) o t t o 模查( b ) k r e t s c l n n a n n - r a e t h e r 模型 激发光以大于全反射角度入射，由于介质的存在，激发光波矢平行于界面的分量t 变为： t = 竺i s i n 0 ， ( 卜2 一1 ) 这样，激发光的波矢变大，波矢匹配条件变为： 2 詈摆。詈石嘲以 m z 圳 沿金属界面的光子波矢分量在特定的入射角度和特定的波长满足上述波矢匹配条件时，即 可有效的激发s p p s ，这种激发表现为在反射光强度上出现极小值。 图1 3 ( a ) 所示为o t t o 模型，在这种结构中，金属( z 2 ) 和棱镜( 岛) 之间存在一个介质 层( ) ，表面等离子体的激发发生在金属与介质的交界面上：图1 3 ( b ) 所示为 k r e t s c h m a n n r a e t h e r 模型，这种结构中，金属( q ) 直接镀在棱镜( 岛) 的表面上，表面 等离子体的激发发生在金属与棱镜的交界面上。由于金属薄层的厚度相对介质层的厚度有 控制更精确、加工更方便等优点，因此全反射激发表面等离子体大多采用 k r e t s c h m a n n - r a e t h e r 模型。 衍射补偿法是利用衍射效应来实现光子的波矢补偿。具体方法是在金属上写入衍射光 栅等周期性结构，利用衍射效应提供波矢补偿。入射光以口角入射到金属表面时，由于周 期结构的存在，光子波矢平行金属表面分量变为： t = n 脚薏咖薏吩， c 心 当入射光为p 偏振时，万= l ；当入射光为s 偏振时，占= 0 。其中为波矢平行分量方向 第。章绪论 的单位矢量，虬、甜，分别为x 、y 方向单位矢量，见、d ，分别是x 、y 方向结构的周期， p 、q 为整数。周期结构中波矢匹配方程为【1 川： = 詈撬7 c o 咖脚瓦2 7 1 惝薏吩 - 2t ， 当波矢匹配条件满足时，表面等离子体便被有效的激发，表现为在反射光强度中出现极小 值。衍射补偿激发表面等离子体的过程是可逆的，当s p p s 被有效激发并在金属表面传播 时，其波矢会减小相应的k ，使得s p p s 转换为辐射表面等离子体，从而辐射出光。 上述方法都是通过引入特殊结构实现波矢补偿，从而有效的在金属表面激发s p p s 。需 要指出的是，表面等离子体的激发并非是一种特殊的谐振效应，对于表面粗糙的金属，并 不需要引入任何特殊结构，粗糙表面的衍射效应就能够提供波矢补偿从而激发表面等离子 体。 1 3 表面等离子体的研究热点和应用 l 、亚波长金属周期结构的超透射现象 表面等离子体共振有两个十分突出的特点，其一是巨大的局部场增强效应。1 9 9 8 年， e b b e s e n 等在n a t u r e 上发表了一篇亚波长金属小孔阵列结构的超透射现象的文章f 6 】，这篇里 程碑性质的文章标志着亚波长光学的兴起。类似的研究大量的涌现出来p - 1 4 1 。实验结果表 明：小孔阵列结构可使特定波长的透射光强度远大于经典衍射理论的结果，而且也高于按 照小孔所占金属表面的面积比的计算结果，也就是说，照射在小孔之间的光耦合到了金属 薄膜的另一面。对这一现象的一般解释大致为：入射光照射到金属薄膜表面时将在其上产 生倏逝场，倏逝场的一部分通过隧道效应经小孔耦合到金属的另一表面并被散射而形成传 播场，s p p s 的近场增强效应对倏逝场的衰减进行了有效的补偿，从而大幅提高了能量的传 输效率。根据上节表面等离子体激发理论，对于一定的结构，只有满足特定波长条件的入 射光才能有效的激发s p p s ，因此s p p s 的近场增强效应具有波长选择性。 亚波长金属光栅和单缝结构也有和孔阵列结构类似的超透射现象【1 5 - 2 0 1 。但是表面等离 子体耦合理论并非这类现象的物理实质。对这类现象成功的解释是类f a b r y p e r o t 腔共振 效应f 2 l - 2 4 。金属狭缝的两个表面相当于两个有一定反射率的反射镜子，这样便构成了一个 类f a b r y - p e r o t 腔【2 5 1 ，入射光在两个镜面上发生多次反射，形成多个平行透射光和多个平 行反射光，透过腔体同一外侧面的多个透射光束由于满足相干条件便产生干涉。根据多光 4 第一章绪论 束干涉原理，类f a b r y p e r o t 腔的输出光强应为 2 i 骠l o l 一胄2 2 ，( 1 3 1 ) 扣洳卵 式中r 是反射率，艿是相邻光束间的位相差，厶是入射光强，n 是腔内介质折射率，0 是腔体 内光线与腔面法线的夹角，d 是腔体的深度。只有在特定的缝宽、厚度和频率的情况下才 能发生超强共振透射。 2 、纳米集成光子元器件 表面等离子体的另一个突出特性是可将电磁场能量聚集在很小的空间内鲫。因而s p p s 被誉为最有希望的纳米集成光子元器件的信息载体1 2 6 - 2 9 。通过改变金属结构可以直接控制 s p p s 的传播，利用s p p s 具有向相速度( 群速度) 较低的区域汇聚的特点，可以得到纳米聚 焦光斑，可用于新型光源、通信光纤的加工。 常规光波导的截面直径若小于波长量级，光在其中是不能有效传播的。s p p s 可以局限 在垂直于金属表面纳米厚度的空间范围内传播，因此，以s p p s 作为信息载体的各种纳米波 导结构 3 0 - 3 2 1 的设计、模拟、制备和性能研究，已成为一个非常引入注目的研究方向。目前， 多数与s p p s 相关的波导的研究都是以在可见光波段具有最小吸收损耗的金属银为载体材 料的。 光子晶体的研究一直是光子学的热点问题，光子晶体元器件可以用来控制光与物质的 相互作用金属表面波长量级的周期性结构可以用来改变s p p s 的传播性质，当结构周期小 于s p p s 模的有效波长的一半时，将产生s p p s 行波和s p p s 禁带，利用金属纳米颗粒的表面等 离子体激元也能产生这种光子带隙现象。因此，金属结构也可以用来制作类似光子晶体元 器件p ”5 】这种金属光子晶体结构也成为表面等离子体激元研究中的一个热点方向。 3 、纳米光刻蚀 光刻技术是工业上用来制作集成电路的优先应用技术，传统光刻技术的分辨率主要靠 减小曝光波长或增大透镜的数值孔径来改掣蚓，成本高、技术复杂，而且由于光学衍射极 限的存在，这种刻写方法无法刻出超衍射极限的精细结构。采用近场光学的方法可以突破 衍射极限，刻写出精细结构。两种利用表面等离子体激元原理的光刻法：表面等离子体干 涉纳米光刻技术 3 7 - 3 9 和银薄膜完美透镜效应光刻法f 4 2 j ：2 0 0 4 年被分别提出。前者是采用 金属光栅激发s p p s ，s p p s 相互干涉形成精细光场光栅进行光刻蚀；后者则是利用特定波长 第一章绪论 下，金属银薄膜的完美透镜效应1 4 3 朋】进行光刻蚀。二者均可有效的突破光学衍射极限，从 而达到刻写精细结构的要求。 从当前的发展趋势看来，随着各种纳米技术的迅猛发展，各种元器件的小型化程度将 会越来越高，以表面等离子体激元为基础的纳米光学研究也将越来越深入，这一学科将有 着美好的前景。 1 4 课题意义及论文主要内容 表面等离子体亚波长光学这一新兴学科目前已日趋成熟。随着社会的发展和科技的进 步，各类元器件日益向着微细化、大规模集成化的趋势发展，这就需要新的理论和更高精 度的加工技术的支持。表面等离子体逐渐展示了它在其中不可替代的作用和地位，s p p s 是 纳米尺度金属微结构下的物理现象，通过表面等离子体激元，人们不断发现现实世界中金 属材料的一些奇特性质，为发展新型集成光子学元器件、通讯系统、新型光学传感器、测 量技术、高精度纳米光刻蚀技术和纳米加工技术提供了可能。目前，表面等离子体亚波长 光学已经成为光学和光子学中迅速发展的热点方向之一。 本文根据表面等离子体干涉光刻蚀技术的原理，在金属光栅表面加入沟槽结构，用时 域有限差分法( f d t d ) 对刻录光的传播过程以及光刻胶中的电磁场分布进行了数值模拟， 并分析了金属表面结构参数与光刻分辨率之间的关系。主要内容如下： 第一章概述了表面等离子体激元的基本特性、激发方法以及当前对表面等离子体的 研究和应用情况。 第二章介绍了时域有限差分法的发展和基本原理。 第三章对表征金属光学性质的光学参数进行了推导。 第四章采用2 d - f d t d 法对表面分布沟槽结构的金属光栅进行表面等离子体干涉光刻 进行了数值模拟，并简要分析了金属结构参数与光刻分辨率之间的关系。 第五章论文内容总结和展望。 6 第：章时域有限差分方法的摹本原理 第二章时域有限差分方法的基本原理 时域有限差分法( f i n i t e - d i f f e r e n c e t i m e d o m a i nm e t h o d ，f d t d ) 【4 孓4 刀由y e e 于1 9 6 6 年首次提出( 4 蚋，随着人们对这一算法的深入研究和不断完善，f d t d 已被广泛应用到电磁 场理论的各个领域中。 2 1 时域有限差分方法概述 2 1 1 时域有限差分方法的历史回顾 随着科技的进步和社会的发展，对电磁波的研究已经深入到各个领域，其应用十分广 泛，例如无线电波传播、光纤通信、雷达技术、微波技术、电磁成像等等。电磁波在实际 环境中的传播过程是十分复杂的，例如各种复杂目标的散射，复杂结构天线的辐射，在波 导和微带结构中的传播，实际情况中复杂环境对电磁波传播的影响等等。具体实际的研究 电磁波的特性有着十分重要的意义实验研究和理论分析是相辅相成的重要手段。在分析 和计算中，需要结合实际情况的电磁参数去求解麦克斯韦方程的边值问题，通常只有一些 经典问题具有解析解，应当说，解析解具有重要的指导意义，但是，由于实际环境的复杂 性，往往需要通过数值解得到具体环境下的电磁波特性，就是说，数值解更具有实际意义。 随着计算机技术的不断发展，大量求解麦克斯韦方程的有意义的数值方法已经提出，例如 矩量法( m o m ) 、有限元法( f e m ) 、边界元法( r e m ) 以及时域有限差分法( f d ) ) 等 等。随着电磁波理论的广泛应用，各种方法的研究也更加深入。 时域有限差分法( f i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i n ，f 啪) 是k s y e e 于1 9 6 6 年首次 提出的一种电磁场数值计算新方法这是求解麦克斯韦微分方程的直接时域方法，对电磁 场e 、h 分量在空间和时间上采取交替抽样的离散方式，每一个e ( 或h ) 场分量周围有 四个h ( 或e ) 分量环绕，应用这种离散方式将含有时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为 一组差分方程，并在时间轴上逐步推进的求解空间电磁场。y e e 提出的这种抽样方式后来 被称为y e e 元胞。在计算中将空问某一样本点的电场( 或磁场) 与周围格点的磁场( 或电 场) 直接相关联，并且将介质参数赋值给空间每一个元胞，因此这一方法可以处理复杂形 状目标和非均匀介质物体的电磁散射、辐射问题。同时，f d t d 的随时间推进可以方便的 给出电磁场的时间演化过程，便于分析和设计。 7 第：章时域有限差分方法的基奉原理 f d t d 方法经过三十多年的发展已经成为一种成熟的数值方法，其主要发展历程如下： 1 9 6 6 年y e e 首先提出麦克斯韦方程的差分形式； 1 9 6 9 年t a y l o r 提出用简单的差值吸收边界来吸收外行波； 1 9 7 5 年t a f l o v e 等首先讨论了时谐场的近一远场外推和数值稳定性条件； 1 9 8 1 年m u r 提出了效率很高的二阶吸收边界条件： 1 9 8 7 年k a s h e r 和y e e 提出了亚网格技术； 1 9 9 1 1 9 9 2 年l u e b b e r s 等给出了近一远场外推的具体方法； 1 9 9 2 年s u i 等将f d t d 方法应用到数字集成和微波电路领域中； 1 9 9 4 1 9 9 6 年b e r e n g e r 提出了完全匹配层( p m l ) 。这是一种全新的吸收边界条件 2 1 2 时域有限差分方法的基本点和计算区划分 f d t d 方法的基础是y e e 元胞：e h 场分量取样节点在空间和时间上采取交替捧布， 每一个e ( 或h ) 场分量周围有四个h ( 或e ) 场分量环绕，应用这种离散方式将含时麦 克斯韦旋度方程转化为差分方程，在时间轴上逐步推进的求解空间电磁场。由电磁问题的 初始值以及边界条件可以逐步推进的求得以后各时刻空间电磁场分布。 f d t d 的计算区域划分为总场区和散射场区( 如图) 在f d t d 计算区域引入总场边界， 图2 1f d t d 计算区域的划分 即连接边界，在连接边界依据惠更斯原理设置入射波。在计算区域最外边引入截断边界， 即吸收边界，此处设置吸收边界条件，这样就可以利用有限区域模拟开域电磁辐射问题。 目前应用比较广泛的吸收边界条件主要有m u r 吸收边界和完全匹配层( p m l ) 吸收边界。 利用输出边界处的近场区数据，根据等效原理可以实现远场外推计算，从而得到计算区域 以辨的散射或辐射场。另外，对于辐射阏题，激励源直接加在天线上，整个计算区域为辐 射场区，不再区分总场区和散射场区。 0 第二章时域有限差分方法的基奉原理 2 1 3 时域有限差分方法的优点 作为电磁场理论的一种数值计算方法，f d t d 有着独特的优点： 直接时域计算。时域有限差分法直接把含时间变量的麦克斯韦旋度方程在y c e 氏网格 空间中转换为差分方程。 计算程序的通用性。由于麦克斯韦方程是时域有限差分法计算任何问题的数学模型， 因而它的基本差分方程对广泛的问题是不变的。 节省计算机的存储空间和c p u 时间。如果用n 表示问题的离散点数，而时域有限差 分方程具有“显式”格式，按照“蛙跃”方式随时间步推进，在模拟区域内模拟电磁波传 播及与结构的相互作用过程，因此所需存储空间和计算时间均只与n 成正比。而且，从时 域有限差分方程可以看到，计算模拟区域内的电磁场量时，电( 磁) 场计算只涉及前半个时 间步环绕自身的磁( 电) 场和自身前一个时间步的场值，因此这种算法特别适合于并行计算， 这正好与当今计算机的发展趋势相吻合。 对复杂结构有很强的模拟功能。各种复杂的边界条件能自动地得到满足，由于时域有 限差分法己能使用多种形式的网格，这为解决非均匀介质和结构复杂的电磁场问题提供了 极大的方便，只要给出所模拟结构的参数和边界条件，利用此方法就能模拟该复杂结构。 2 2 麦克斯韦方程的f d t d 形式 2 2 1 三维直角坐标系中的f d t d 方程 直接应用麦克斯韦方程组是在时域空间求解电磁问题的便捷途径。对于任意介质，麦 克斯韦旋度方程有如下微分形式： v x h ：f 丝+ e r e ( 2 2 1 ) 甜 v 她叫等一日 ( 2 - 2 - 2 ) 方程中s 和分别为介质的介电常数和磁导率，盯和吒分别为介质的电导率和磁阻率，对 于一般介质，吒= o 。麦克斯韦旋度方程描述了电场e 和磁场h 之间的关系，在三维直角 坐标系中，可分解为六个分量式： 警一警= 学帆， 协z 第二章时域有限差分方法的基本原理 警一警= s 鲁蚂，夏产一石尹。s 夏。+ 盯， 警一警= 占睾o t + 呜戚却 鲁一警= 一盟o t 一以，却瑟7 鲁一誓= 叫鲁一够，以谢 讲 。 ( 2 2 - 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 - 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) 警一熹= 叩警一吒皿( 2 - z 渤 现在将式( 2 - 2 - 3 ) ( 2 - 2 8 ) 进行f d t d 差分离散。令厂似弘z ，t ) 表示e 或h 在直角坐 标系中的某一分量，在时间和空间域中可离散为 ，o ，y ，：，f ) = f ( i a x , j a y ，k a z ，n a t ) = f ”( f j , k ) 在f d t d 离散中电场和磁场各分量节点的空间排布如下图所示，这就是著名的y c e 元胞。 每个磁场分量由四个电场分量环绕，同样，每个电场分量由四个磁场分量环绕。这种电磁 场分量的空间分布适合麦克斯韦方程的差分求解。电场和磁场在时间顺序上交替抽样，抽 图2 2 f d t d 离散中的y 醅元臆 样时问间隔彼此相差半个时问步，构成显式差分方程，从而可以在时问上迭代求解。由给 定的初始值，f d t d 法可以逐步推进的求出各时刻空间电磁场的分布。式( 2 2 3 ) 1 0 第：章时域有限差分方法的基奉原理 ( 2 2 8 ) 可化为下列差分离散式： e n + l ( “j 1 。栌c a ( 咖霹( “丢，肼) 删州! 哇! ：趋二! 竺迁趋， + c 8 ( 脚) 【兰_ 互一， 一! 竺：墨! ：兰二! 竺：趋! 二兰， 缈 髟n + ! u - - + 三1 朋= c a ( m ) e ( _ ，+ 三，i ) 删坍1 矿阶h z 马z 一矿+ k z 芝z 。+ c 日( 埘) 一， 一! 哇：! ：迎二! ：哇：! 二趋 e y o ，i + 尹1 = c a ( 坍) 霹( f ，i + 争 佩州q n + 1 1 2 l 一i i ，j ”7 1 一n ，- 1 1 2 t 一j 1 ，一+ 7 1 + ( ? b ( 册) 叫l 圭圭， a x 一竺：竺：三：! ：芝二! 竺二圭：! ：芝， 缈 。 式中 兰盟一型 “( 埘) 2 巫a t 酒2 ，c b ( 棚) 2 巫酒1 ， 群“2 ( 岍吾，j + 1 = c p ( 咖掣，2 ( - ，+ i 1 ，_ i + 争 ( 2 - 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) ( 2 - 2 1 1 ) - c q ( 埘h 竺竺! ：! ：! ：芝二竺! ! ：! ：! ：芝， 。2 丢。：) 埘) 卜台上， q 之j 2 髟( f ，+ 三，川) 一髟( f ，_ ，+ 三，舫， 一五1 第二章时域有限差分方法的基奉原理 秽”( 1 2 ，肌+ 尹1 = c e ( 砂n 7 ”( ，+ j i ，m + 争 j刚+如)一剐+如t)-cq(m ) 1 互- l ， 一竺堂竺：兰二堡竺乞 ，2 ( f + 丢，- ，+ j 1 ，耻c p ( m ) h ： - a ，2 ( f + 圭+ i 1 ，t ) 一删。、髟( 川小扣一髟( 坍丢，” 咧m ) 卜五_ l ， 式中 ( 肼) a - 卅( 埘) c p ( 肼) 2 巫a t 互互2 巫，c q ( 所) = f2 l 丛型生f 塑 f 2 ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) 公式中的m 代表观察点( x ，y ，z ) 处的一组整数或半整数。式( 2 2 9 ) ( 2 - 2 1 4 ) 是电场和磁场的时间推进计算公式，是f d t d 方法中一组基本公式。由以上基本差分方程 计算电磁场的时域推进方法如图所示： 图2 3f d t d 交叉半步推进计算方法 2 2 2 二维直角坐标系中的f d t d 方程 对于二维情况，由于所有物理量均与z 轴无关，因此a 出= 0 ，电场和磁场的直角坐 第二章时域有限差分方法的基奉原理 标分量可分为独立的两组：& 、e y 、h z 一组，称为t e 波；h x 、h y 、e z 一组，成为t m 波。 于是麦克斯韦旋度方程变为： t e 波 t m 波 誓一筝0 3 , = 叫警一只靠讲 ( 2 2 1 5 ) ( 2 - 2 1 6 ) ( 2 - 2 1 7 ) ( 2 - 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) 盟一塑：占丝+ 应( 2 - 2 - 2 0 ) 反加国 4