（应用数学专业论文）弹性圆型域中Ⅲ型裂纹问题的奇异积分方程解法.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文利用分叉或边缘裂纹位错模型的复势函数和奇异积分方程方法 系统地研究了圆域 或含圆孔无限大域中 弹性反平面剪切裂纹问题 首先研究了集中力作用下 圆域中存在任意分叉裂纹的情况 用位 错来模拟分叉裂纹 将集中位错放置在分叉点上 分布位错分别布置在 裂纹各分支上 由无限大域中点位错的基本解出发 进而得到圆域中分 叉裂纹的基本解 根据裂纹边界条件建立了以集中位错强度和连续位错 密度为未知函数的c a u c h y 型奇异积分方程 并且 由位移单值条件得到 一个约束方程 数值计算时 在各个分支采用半开型的数值积分公式 将奇异积分方程组简化为代数方程组来求解 得到了位错密度函数的离 散值 进而得出工程上十分关心的裂纹各分支尖端应力强度因子值 在研究圆域中分叉裂纹的基础上 进一步得出了反平面弹性情况 下 圆域中或含圆孔无限大区域中存在多条边缘裂纹时的解答 定量 分析了裂纹之间的相互影响 相互作用 同时 也对边缘裂纹开口端 的相对位移进行了求解 用m a t l a b 程序编程 很容易实现本文所提出的数值计算方法 得 到的结果比较精确 当把问题退化为无限大域裂纹问题时 用本文方 法计算所得结果与 应力强度因子手册 中通过保角变换得到的解析 解的值是一致的 文中还给出了若干算例 其中的数值结果和图表也 可直接用于工程实际中 本文所作的工作为采用奇异积分方程方法进 一步研究复杂的弹性裂纹问题提供了基础 关键词 断裂力学 分叉裂纹 多边缘裂纹 圆域 含圆孔无限大域 反平面剪切 位错 奇异积分方程 应力强度因子 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r t h eb r a n c hc r a c ko rt h ee d g ec r a c kp r o b l e mo fc i r c u l a r r e g i o no ri n f i n i t er e g i o nc o n t a i n i n gac i r c u l a rh o l ei ne l a s t i c i t ya n t i p l a n e s h e a ra r ei n v e s t i g a t e ds y s t e m a t i c a l l yb yu s i n gc o m p l e xp o t e n t i a l so f d i s l o c a t i o nm o d e la n dt h es i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o na p p r o a c h i ti sf i r s t l ys t u d i e dt h a tt h e r ei sa na r b i t a r yb r a n c hc r a c ki nc i r c u l a r r e g i o nw h e nt h e r ea r ec o n c e n t r a t e df o r c e sa l o n gt h ec i r c u l a rb o u n d a r y a p o i n t d i s l o c a t i o ni s p l a c e d a tt h eb r a n c h p o i n t a n dt h ed i s t r i b u t e d d i s l o c a t i o n sa r ea s s u m e da l o n ga l lt h eb r a n c h e st os i m u l a t et h eb r a n c h c r a c k a c c o r d i n gt ot h ee l e m e n t a r ys o l u t i o nf o rap o i md i s l o c a t i o no f i n f i n i t er e g i o ni na n t i p l a n ee l a s t i c i t y t h ee l e m e n t a r ys o l u t i o nf o rb r a n c h c r a c kp r o b l e mo fc i r c u l a rr e g i o ni na n t i p l a n ee l a s t i c i t yi so b t a i n e d b y m a t c h i n gt h et r a c t i o na l o n gt h ec r a c k s c a u c h ys i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n s a r eg o t t e n w h e r et h ep o i n td i s l o c a t i o n i n t e n s i t ya n dt h e d i s t r i b u t e d d i s l o c a t i o nd e n s i t ys e r v e da st h eb n k n o w nf u n c t i o n ac o n s t r a i n te q u a t i o n c a nb ef o r m u l a t e df o rd i s p l a c e m e n ts i n g l ev a l u ec o n d i t i o n a n dt h e nb y u s i n gas e m i o p e nq u a d r a t u r er u l e t h es i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n sa r e s o l v e d t h er e s u l t so ft h en u m e r i c a ls o l u t i o nd i r e c t l yr e l a t et ot h es t r e s s i n t e n s i t yf a c t o r s s t f a tt h eb r a n c ht i p s w h i c ha r ep a i dm o r ea t t e n t i o nt o b ye n g i n e e r si np r a c t i c e b a s e do nt h eb r a n c hc r a c kp r o b l e m si nc i r c u l a rr e g i o n t h em u k i p l e e d g e c r a c k sp r o b l e mo fc i r c u l a rr e g i o no ri n f i n i t er e g i o nc o n t a i n i n ga c i r c u l a rh o l ei na n t i p l a n ee l a s t i c i t ya r ea l s oc o n s i d e r e d t h ei n t e r a c t i o n sa n d t h er e c i p r o c a le f f e c t sb e t w e e nc r a c k sa r ee x p o s e dq u a n t i f i c a t i o n a l l y a n dt h e s h a d o we f f e c t o f m u l t i p l ee d g e c r a c k sa r eo b s e r v e d m e a n w h i l e t h ec r a c k o p e n i n gd i s p l a c e m e n to fm u l t i p l ee d g e c r a c k sf o ri n f i n i t er e g i o nc o n t a i n i n g ac i r c u l a rh o l ei ss o l v e d i i i 江苏大学硕士学位论文 u s i n gt h em e t h o dp r o p o s e di nt h i sp a p e rm a k e ss i fv a l u e sc a l c u l a t e d m o r ee a s i l ya n dm o r ea c c u r a t e l y w h e nt h ep r o b l e m sa r er e d u c e dt oc r a c k s i ni n f i n i t er e g i o n t h ec a l c u l a t er e s u l t su s i n gt h i sm e t h o da r ef o u n dt ob e v e r ys i m i l a rt ot h o s eb yc o n f o r m a lm a p p i n gi nt h eh a n d b o o ko fs t r e s s i n t e n s i t y f a c t o r s t h e r ea r el o t so fn u m e r i c a le x a m p l e sg i v e n t h e n u m e r i c a lr e s u l t sa n dc h a r t si nt h i sp a p e rc a nb ea p p l i e dd i r e c t l yi n t o p r a c t i c e a l lt h ec o n c l u s i o n si nt h i sp a p e rc a nb ef u r t h e ru s e dt oi n v e s t i g a t e t h ec o m p l e xc r a c kp r o b l e m si na n t i p l a n ee l a s t i c i t y k e yw o r d s f r a c t u r em e c h a n i c s b r a n c hc r a c k m u l t i p l ee d g e c r a c k s c i r c u l a r r e g i o n i n f i n i t er e g i o nc o n t a i n i n g ac i r c u l a r h o l e a n t i p l a n es h e a r d i s l o c a t i o n s i n g u l a ri n t e g r a l e q u a t i o n s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r i v 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 保密口 在年解密后适用本授权书 不保密囱 学位论文作者签名 张蕾 2 d 口舌年 z 月口日 独创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指导下 独 立进行研究工作所取得的成果 除文中已注明引用的内容以外 本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果 对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式标明 本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名 朔锚 日期 2 0 0 1 年 z 月2 z 日 江苏大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1引言 工程结构元件中不可避免地存在各种裂纹 或者是材料本身就有的 或者是在 加工 使用过程中 材料内部的夹杂物 空穴和位错在外力的作用下演变而成的 而传统的强度理论是在假设材料无缺陷 无裂纹的基础上建立起来的 在生产中经 受了长期的考验 但随着现代生产的发展 新工艺 新材料 高强度材料的广泛采 用 结构在高速 高压 高温与低温环境下的使用 以及大型结构日益增多 用传 统强度理论设计的结构发生了很多断裂事故 断裂处的最大工作应力往往并不高 甚至远远低于材料的屈服极限 这就是低应力脆断现象 例如 1 9 3 8 年3 月1 4 日 比利时架设在阿尔伯特运河上的费廉尔德大桥断成三段 坠入河中 1 9 4 7 年至1 9 5 0 年 比利时有1 4 起桥梁构件发生脆性破坏事故 事后分析指出 事故大都是出现 初始裂纹造成的 1 9 5 8 年美国北极星导弹固体燃料发动机壳体在试验发射时发生 爆炸 其材料是用屈服应力为1 3 7 g p a 的高强度钢 传统的强度和韧性指标全部合 格 而爆炸时的工作应力远低于材料的许用应力 调查研究表明 这种低应力脆性 破坏是由于深度为0 1 至l m i n 的裂纹造成的 1 9 6 9 年 月美国f 1 1 l 机在执行 飞机训练 做投弹恢复动作时 左翼脱落招致飞机坠毁 据分析 当时飞机的速度 总重和过载等指标远低于设计载荷 主要是机翼大梁由于热处理不当出现缺陷而引 起低应力脆性破坏 1 9 7 9 年5 月2 5 日一架d c 一1 0 巨型三引擎喷气客机 起飞后 不久就掉了左边一具引擎 随即着火燃烧 然后爆炸坠毁 2 3 7 名乘客和机组人员 全部死亡 事故原因是飞机上连接一具引擎与机翼的螺拴因疲劳而断裂 这些破坏事故既无法用传统的材料力学观点解释 也无法用传统的材料机械性 能指标加以衡量 因为事故发生时的断裂应力远远小于材料的屈服应力 甚至许用 应力 而且过去认为强度很好的结构 如采用高强度材料和断面很厚的结构 反 而易于发生低应力脆断事故 通过调查研究 人们逐渐认识到 正是结构中存在的 裂纹或类裂纹缺陷致使结构强度大大降低 而传统上把材料视为无缺陷均匀连续体 的设计思想是不正确的 因此 分析断裂事故 研究裂纹体强度以及裂纹发生 扩 展的规律 并根据这一规律设计安全的工程结构 制定合理的质量验收标准等 就 江苏大学硕士学位论文 成为十分追切的问题 断裂力学正是在此基础上逐渐发展起来的 断裂力学是研究含裂纹构件强度与 寿命的一门固体力学新分支 它是结陶损伤容限设计的理论基础 断裂力学可分为 线弹性断裂力学与弹塑性断裂力学两大类别 前者适用于裂纹尖端附近小范围屈服 的情况 后者适用于裂纹尖端附近大范围屈服的情况 就目前情况而言 线弹性断 裂力学在结构损伤容限设计中居重要地位 在线弹性断裂力学中 应力强度因子是 最重要的力学参量 它与结构几何形状和外载荷有关 控制裂纹尖端附近的应力场 与位移场 应力强度因子可以用于预测含裂纹结构在单调载葡作用下的剩余强度以 及在重复载荷作用下的剩余寿命 从而为工程结构的安全设计提供可靠的依据 在断裂力学发展过程中 对裂纹问题有过许多不同的研究方法 对于几何形状 及荷载比较特殊的简单问题 可直接用解析的方法进行计算 g r a r w i n 等人曾采 用复变函数的方法对平面裂纹问题进行了系统的分析 但由于工程实际中的问题相当复杂 解析分析十分困难 所以在后来的文献中 很少用纯的解析法来求解 近年来 随着计算机技术的迅猛发展 断裂力学的数值 方法研究有了很大的进展 目前 应用最广泛的是有限单元法和边界元法 由于有限元法 2 1 的数值离散比较规范 通用性较强 因此广受欢迎 也是至今 发展最完善的一种方法 用它求解多处损伤裂纹应力强度因子是最通用有效的 但 是该方法的最大缺点就是工作量太大 尤其是对复杂结构形式和广布损伤情况 当 设计改变或尺寸变化时 就需重新划分网格 重新计算 边界元 3 l 是继有限单元法之后发展起来的一种数值方法 它将边界积分方程方 法应用于断裂力学 将裂纹问题化为一般的边值问题进行处理 到目前为止 边界 元法已在断裂力学中有了相当广泛的应用 近年来 在断裂力学中还发展了一种由边界积分方程演化过来的奇异积分方程 方法 通过分析边界与荷载条件 将问题归结为求解积分方程 然后采用解析与数 值离散相结合的方法来求解问题 目前在断裂力学中应用较广的是超奇异积分方程 方法和主值型奇异积分方程方法 超奇异积分方程由希腊学者n i i o a k i m i d i s 4 首先引入断裂力学 他使用 h r k u t t 的有限部积分法进行数值求解 随后 中国学者陈宜周等人 5 毋曾用超奇 异积分方程方法解决了一系列裂纹问题 江苏大学硕士学位论文 还有一类较流行的奇异积分方程是主值型奇异积分方程 f e r d o g a n 8 曾采用主 值型奇异积分方程方法对多种二维平面裂纹问题进行了系统的研究 主要是使用积 分变换的方法 将问题归结为求解带c a u c h y 核的奇异积分方程 通过求解积分方 程的未知函数来确定应力强度因子 f e r d o g a n 经过多年的研究 为这种类型的奇 异积分方程数值求解建立了系统的理论 陈宜周教授1 9 利用合理的位错分布来模拟裂纹 直接得到以位错密度 或点位 错强度 为未知函数的奇异积分方程 求解方程得到的结果与应力强度因子直接相 关 这种分析方法对分叉裂纹和多边缘裂纹等问题是十分有效的 奇异积分方程的 求解一般是用直接数值解法 即对未知函数离散化 化为代数方程 本文在对圆域 或含圆孔无限大域中 反平面弹性裂纹问题进行研究时就是采用的这种方法 断裂力学研究含缺陷材料和结构的破坏问题 由于它与材料或结构的安全问题 直接相关 因此它虽然起步晚 但实验与理论均发展迅速 并在工程上得到了广泛 的应用 例如断裂力学技术已被应用于估算各种条件下的疲劳裂纹增长率 环境问 题和应力腐蚀问题 以及确定实验中高温和低温的影响 许多国家还制定了断裂控 制新标准及设计规范用于工程实际中 成为提高产品质量 保证产品安全运行以及 防止结构断裂事故的有力工具 1 2 本论文的背景及主要工作 裂纹的存在大大降低了物体的承载能力 它将在较低的载荷水平下从裂纹端开 始出现扩展 最后导致物体断裂 因此 裂纹尖端邻域 裂纹表面的变形情况对断 裂强度的影响是很大的 在研究中 一般是从裂纹表面的变形情况 把裂纹的扩展 分成三种基本类型 张开型或简称i 型 是裂纹表面的相对位移沿着自身平面的法 线方向 滑开型或简称i i 型 是裂纹表面的相对位移在裂纹面内 并且垂直于裂纹 前缘 撕开型或简称i 型 是裂纹表面的相对位移在裂纹面内 并且平行于裂纹前 缘的切线方向f l l 反平面问题即 型裂纹问题是断裂力学中的一个基本问题 在力学中具有特殊 的意义 在有些工程实际中 结构满足平面应变的条件 但是由于载荷不垂直于结 构的轴线 因此就不是平面应变问题 例如 地下隧道 尽管隧道很长 而且断面 的几何形状和载荷沿轴线都不变 从几何角度来看满足平面应变条件 但是地应力 江苏大学硕士学位论文 或载荷的方向通常不会垂直隧道的轴线 因此 就不能作为平面应变问题来处理 这类问题通常称为全平面应变问题 通过弹性理论基本方程不难看出 全平面应变 问题可以看作平面应变问题和反平面问题的叠加 因此 反平面问题具有直接的工 程实际意义 此外 反平面问题可以用来和平面问题进行类比 有助于平面问题的 解决 在断裂力学中 从力学角度看 由于裂纹往往处于复杂的应力状态 存在各 种受力情况 因此 研究反平面断裂力学问题有助于全面地了解带裂纹结构的受力 特性 反平面问题的控制方程比相应的平面问题要简单 但是 相对于平面问题来 讲 反平面问题的研究还没有得到足够的重视 在工程实际中 经常会遇到圆形截面的机器零部件或含圆孔的无限大物体 而 这些工程结构元件在使用过程中 常会由于材质中存在某种缺陷而产生应力集中或 由于介质腐蚀而产生裂纹 因此研究反平面弹性情况下 圆域 或含圆孔无限大域 中分叉或边缘裂纹问题具有重要的应用价值 目前 反平面弹性圆域 或含圆孔无限大域中 分叉裂纹和边缘裂纹问题的研 究还不多见 文献 1 0 1 l 利用f r e d h o l m 积分方程方法分别求解了圆板或含圆孔无 限大板多裂纹问题 以及边界自由或固定的圆域中多裂纹问题 文献 1 2 1 3 1 汞j 用奇 异积分方程方法分别求解了无限大域分叉裂纹问题和半平面边缘裂纹问题 文献 1 4 利用超奇异积分方程方法求解了非均匀材料中裂纹问题 文献 s i n 用保角变 换法求解了压电材料中不等长的周期裂纹问题 文献 1 6 利用积分变换法和傅立叶 级数研究了反平面剪切情况下圆孔周围的应力场 本文研究反平面弹性圆域 或含 圆孔无限大域中分叉裂纹和边缘裂纹问题 采用在裂纹位置处放置分布位错的方法 1 来模拟裂纹 导出了求解圆域 或含圆孔无限大域中分叉或多边缘裂纹问题的 奇异积分方程 首先给出了反平面弹性情况下 无限大域中多裂纹问题的复势函数 通过引入补充项 以消除无限大域中多裂纹问题的解在圆域边界或圆孔周界上的作 用 得到了满足圆周界自由的多边缘裂纹的基本解 再由裂纹边界条件建立以分布 位错密度为未知函数的c a u c h y 型奇异积分方程 数值计算时 利用半开型积分法 则呻1 来求解奇异积分方程 得出位错密度函数的离散值 进而计算裂纹尖端处的 应力强度因子 最后给出了具体数值算例 讨论了裂纹之间的相互作用 当把问题 退化为无限大域裂纹问题时 用本文方法计算所得结果与 应力强度因子手册 中 通过保角变换得到的解析解的值是一致的 其结果表明所采用方法是可行和正确 4 江苏大学硕士学位论文 的 所得图表也可以应用于工程实际 此方法属于一种半解析半数值的方法 由于 充分利用了解析的结果 因而具有比较高的精度 同时又克服了保角变换等解析法 的局限 裂纹位置可以是任意的 归纳起来 本文做的工作主要有以下几点 1 研究了当圆周界上作用集中力时 圆域中的分叉裂纹问题 2 研究了当圆周界上作用集中力时 圆域中的边缘裂纹问题 3 研究了圆周界上集中力作用下和无限远处均布力作用下 无限大域中圆 孔的边缘裂纹问题 4 用m a t l a b i 1 语言编程计算若干数值算例 对某些特殊算例所得结果和用 保角变换方法得到的结果是一致的 验证了本文方法的正确性和精确程度 计算得 到的图表可成为工程设计的依据 江苏大学硕士学位论文 第2 章基本理论和主要公式 本章主要介绍论文中用到的一些基本的力学公式 并介绍论文要研究的问题及 解决方法 另外需要说明的是 本文所有的讨论都限制在线弹性的范围内 且体力 不计 2 1反平面弹性问题的应力 位移及合力 在反平面剪切 问题中 假设工和y 两个方向的位移分量u 和v 始终为零 只 有沿z 方向 纵向 的位移分量w 而且w 只与变量x y 有关 和变量 是无关 的 根据几何方程 可以得到 y 善 詈 q 以 y n5 面 7 f2 面 以 其它的应变分量恒为零 又因为材料是线弹性的 引入广义胡克定律得到 g 比 g 芸 g g 塑a y 2 2 其它应力分量也恒为零 式中 g 是材料的剪切弹性模量 反平面剪切的平衡方程可以写成 监 堡 o 2 3 融 砂 再把式 2 2 代入可得 宴 磐 o 2 4 良 加 可见 w x 满足l a p l a c e 方程 显然是一个调和函数 因而 g w x 也是一个调 和函数 我们知道纵向合力函数f x y 可以写成 m y d y 一 d x 2 5 这里 x o y o 是某一固定点 根据式 2 2 可知 a x o 即e 芸妙一等血 2 6 江苏大学硕士学位论丈 由高等数学的知识可知 设有一区域d 量r 2 p q 为在d 内连续 且具有一阶连 续偏导数的任意二元函数 线积分f 尸出 q 妙在区域d 内与积分路径无关的等 价条件是 a q 罢 这两者还等价于被积表达式p 出 9 吵在区域d 内是某个二元 o x o y 函数的全微分 由式 2 4 可见 a x 力中的积分与路径无关 且由式 2 6 有下 面等式成立 o f 一g 丝 o f g o w 2 7 孤 印砂 魏 式 2 7 满足柯西一黎曼条件m 3 说b f i x y 和g w 五力是互为共轭的调和函数 既然两个二元函数是共轭的 可以设两个解析函数 分别为 伊 z c r w i f 2 8 北 叫 加要 一酊娑 2 9 卯融 戚 卵 根据式 2 2 显然有 西 z o 一i a r 2 1 0 2 2 任意斜面上的应力 o o 打 x 图2 1 斜面上的应力 f i g 2 1 s t r e s so na ni n c l i n e dp l a n e 如图2 1 所示的斜面 设斜面与x 轴正向之间的夹角为口 在斜面上的剪切应 力我们用d k 表示 其中 第一个下标 门 表示斜面的外法线方向 第二个下标 z 表示z 轴方向 由受力平衡条件可得 一 d y 吒d x 吒d s 2 一1 1 7 江苏大学硕士学位论文 因为掣 s i n a 孚 c o s a 所以有 d s d s l 耳 o l 1 i 舻 z 旦i n z z o 旦 i n i o 2 1 4 西 z 当 竺e 2 1 5 兀l z z nj 8 江苏大学硕士学位论文 w 一去 雨 一丝n g 2 1 6 胪寺 蚴 2 一竺 吒 圭 北 而 了h s i n 0 2 1 7 去 函卅纠 一了h c o s 0 2 1 8 显然 应力分量吒的值与该点到位错的距离成反比 在无穷远处有 0 下面来考察在绕集中位错作用点毛一圈后 位移分量w 和合力函数厂的增量 见图 2 2 1 4 和 的围道增量分别用 w i n 和价 表示 根据式 2 8 以及对数函数的性 质可得 w i n c i 2 h o 2 1 9 h i 0 2 2 0 式 2 一1 9 反映了点位错作用处的位移不连续性 即当z 逆时针绕白一周后有一 2 了h 的增量 同时注意到 根据复变函数知识 如果围道中m i x 域并不包含集中位错作 用点 那么根据解析函数盼陛质 w 和协i i i 均为零 综上所述 式 2 1 4 2 1 5 中的两个复势是正确的解答 2 3 2 分布位错 v 分布 i i h s l 毛 一 一 y 图2 3 分布位错 f i g 2 3 d i s t r i b u t e dd i s l o c a t i o n 根据前面的讨论 可以推出沿有向线段z 分布密度函数为j j l b 的位错时的复势 见图2 3 根据式 2 1 4 把在微段出上的分布位错看成强度为h s d s 的点位 错 通过积分得蓟复势为 妒 z 一去r s l i l z z 0 s e 出 2 2 1 9 江苏大学硕士学位论文 其中c 为线段 的长度 口为从x 轴正向逆时针转兰j f 正同所成阴角度 z0 为 明 一个端点 假设无限大域中在实轴区间 o o b 段 上有一条裂纹 在裂纹o b 上定义 两个z 方向上的位移函数w 和w 一 上标 或下标 一 表示在裂纹的 上 或下 表面 记以 w f 一w 1 t 为裂纹上下表面对应点沿纵向 即坐标轴 z 方向 的相对位移间断值 那么掣实际上反映了上下裂纹面位移的间断值沿裂 d f 纹线的变化程度 可以证明掣和分布位错的位错密度函数向 f 之间存在着直接的 d r 关系 采用位错模拟裂纹的方法 设裂纹上下表面作用着密度为矗 f 的连续的分布位 错 见图2 4 则其复势函数为 北 一去肌 l n z t d t 2 2 2 西 if 皇堡0 2 2 3 m t z 当z t o o 时 根据p l e m e l j 公式 见附录i 刚 可知 口 t o 2 去r 等州t o 2 2 4 v b 划一圣 图2 4 单条水平裂纹 f i g 2 4s i n g l eh o r i z o n t a ll i n e a rc r a c k 同理 当z 寸t o 时 又能得到 西一 t o 去f 等川 2 2 5 m f 一 由式 2 9 有 1 0 江苏大学硕士学位论文 g i 堕 西 一面一 2 矗 2 2 6 o t 即 琊 三g 了d f f t 2 2 7 上式反映了上下裂纹面位移间断值沿裂纹线的变化程度与分布位错的密度函数 矗 f 之间的关系 2 3 3 裂纹尖端附近的位移场和奇异应力场 舅 v z 代 b 尹 f l 0 口 图2 5 局部坐标系 f i g 2 5 l o c a lc o o r d i n a t e s 为了便于说明 建立如图2 5 所示的局部坐标系 在裂纹尖端附近可将解析函 数p z 做如下的特征展开 2 5 1 p z c z 厶 2 2 8 由于裂纹尖端z o 可能是9 z 的一个支点 所以九不一定是整数 我们假定对任何 栉都有丸为实数 且凡 以 由于口 z 2 吒一i 吒 所以 中 z 以e z 2 2 9 h m 利用裂纹上下表面应力为零的条件 边界自由的条件 盯 k 0 2 3 0 并将 2 2 9 代入得 c e 一c 0 2 3 1 上述方程中c 若要有非平凡解 九必须满足下面的特征根方程 江苏大学硕士学位论丈 e 4 抽一1 o 或l 昙 2 3 2 由于在裂纹尖端处存储的应变能量为有限值 故得到删 0 m 0 对应刚体 平移 因此 若刚体平移可由位移边界条件加以排除 便有m 1 这对式 2 2 8 和 2 2 9 化为 妒 z e c z2 见i z 2 2 3 3 中 主枣 扣 妻魉i n 争 2 3 4 n l 厶n l 式中见为实数 式 2 3 3 g l 2 3 4 的最后一个等号是根据式 2 3 1 得到的 从 2 3 4 式可以看出 z 趋于零的时候 r m l 的一项使得应力分量吒和 具有一1 1 2 的奇异性 其它项均趋于0 称n l 的那一项为主要项 取 d 1 一据 2 3 5 式中 j 称为h i 型裂纹的应力强度因予 这样的取法是为了方便起见 由此 根 据 2 8 2 一l o 式 裂纹尖端附近的主导位移场和应力场应写为 w 告j 罢 浯 吒 一面k ms i n 鲁 2 3 7 而k mc o s 兰 2 3 8 2 3 4 应力强度因子与位错密度函数的关系 1 虫 2 3 6 式分别求从裂纹上下表面沿负x 轴趋于原点0 时的极限 图2 5 可 以得到 k g 将j 手誓 c z 聊 式中谛 f w 一w w 和w 一 f 分别表示裂纹上下表面对应点在z 方向 r 的纵向位移 江苏大学硕士学位论文 如果坐标原点取在0 有r i a t 由变量代换 牛缶啤 掣警 协4 根据式 2 2 7 式 2 4 0 j 写成 k 一 l i r a x 2 t a t h t 2 4 1 对任意裂纹 假设在第 条u 1 2 裂纹上下表面作用着密度为啊 一 的 连续的分布位错 在第 条裂纹的尖端也建立如图2 5 所示的局部坐标系 那么 就会有 k i n j h 喙勺 扛一s j o s 口 j l 2 朋 2 4 2 式中 为裂纹条数 口 为第 条裂纹的长度 因为口 z 的特征展开首项具有一1 2 阶的奇异性 所以h j s 可以写成这样的形式 q s o s 口 y l 2 朋 2 4 3 式中一 s e s 口 时是有限值 把式 2 4 3 代入式 2 4 2 得到 k 町 一 2 彻 h 加 俨l 2 一朋 2 4 4 从上式可以看出 要求出应力强度因子值 只需求出各分支上分布位错密度函数非 奇异部分在裂纹尖端的值就可以了 也就是说 应力强度因子和分布位错密度函数 的端点值有关 2 4 研究的问题及解决方法 2 4 1 问题的提出 本文研究以下三种情况下裂纹的应力强度因子 1 集中力作用下圆域中分又裂纹的应力强度因子 2 集中力作用下圆域中边缘裂纹的应力强度因子 3 集中力作用下或远处分布力作用下含圆孔无限大域中边缘裂纹的应力强度 因子 后 s l h 江苏大学硕士学位论丈 2 4 2 解决方法 图2 6 叠加原理的应用 f i g 2 6a p p l i c a t i o no f s u p e r p o s i t i o n 以问题l 为例 如图2 6 所示的具有中心穿透分叉裂纹的圆域 边界条件为 在圆周界上作用 个大小为p 1 2 h 的纵向集中剪力 且z p o 裂纹表 l 面自由 根据叠加原理 原来的应力场可以分解成两个 一个是圆域中无裂纹 时由原边界 不包括裂纹 条件产生的应力场 如图2 6 a 另一个是圆周界自由 而在裂纹上下表面作用有大小相等方向相反的分布载荷时的应力场 如图2 6 b 其中 a 与 b 在裂纹位置处的应力大小相等方向相反 又因 a 所示情况下的 裂纹尖端的应力强度因子为零 因此求原问题裂纹尖端的应力强度因子 就转化为 求只在裂纹表面作用纵向剪切力 如图2 6 b 时的裂纹尖端的应力强度因子 对其余两种问题求解情况类似 都可以把求解原问题转换为求解只在裂纹面上 作用力时裂纹尖端的应力强度因子 为了求解图2 6 b l h 日题裂纹尖端的应力强度因子 需要求解图2 6 b 中裂纹位 置处的应力 而图2 6 b 与 a 在裂纹位置处所受应力大小相等方向相反 下面给出 已知力作用下 a 问题的解 2 5 给定力作用下的复势 这里只讨论各种情况下的复势 在有了复势后 用公式 2 1 3 就可以给出各 点的应力情况 2 5 1集中力作用下的情况 首先讨论无限大域中存在一个集中力的情形 如图2 7 所示 当在乃点作用大 小为p 的集中力时 其复势为 1 4 江苏大学硕士学位论文 图2 7 无限大域中的集中力 f i g 2 7 t h ec o n c e n t r a t e df o r c ei na ni n f i n i t er e g i o n t p 一磊i r z 邵 西 z 2 妒 z 一 2 兀 z 一z e 2 4 5 若设z z r e 设r 为极半径 0 为辐角主值 则 d p 伊 姜一 i n i o 函 z 一 r e 1 2 4 6 z 7 2 利用式 2 8 和 2 lo 很容易得到域中任意一点z 的位移和应力分量 w 一寺 如 而卜篆 2 4 7 一扣小雨卜警 2 4 8 去 孤一荆 警 2 4 9 显然 应力分量的值与该点到集中力的距离成反比 在无穷远处有 o 再来考察一下z 绕2 点一圈后 位移分量w 和合力函数 的围道增量 见图2 7 若分别用 w i f i 和坍 表示相应围道增量 根据式 2 8 以及对数函数的性质可得 w i i i c 0 2 5 0 协i n c 一p 2 5 1 式 2 4 5 反映了z z p 是两个解析函数的一个奇点 它和集中力的作用有关a 式 2 5 0 反映了在z z 点的邻域 位移是单值的 是指从围道右侧作用于左侧的 纵向合力 从式 2 5 1 可以看出其围道增量一p 与z 点作用的集中力p 保持平 衡关系 如果围道中的区域并不包含集中力作用点z 那么根据解析函数的性质 江苏大学硕士学位论文 w 和 均为零 综上所述 式 2 4 5 中复势是正确的 无限大域中 当在 q l 2 n 处作用有集中力p q l 2 n 则其对应的复 势 伊 一五1 善np 少h 弦5 2 下面来求圆域中 在圆周界处作用n 个集中剪力时相应的复势 设圆形域中 在z o 1 2 玎 处作用有集中力p o 1 2 z 且 p o 2 5 3 为了得到圆域中复势 可以通过在 2 5 2 式的基础上再加一项的做法来消 除 2 5 2 式在圆周上的作用力 以满足圆周界自由的条件 即 作 z z 诈 z 2 5 4 啷 z z 吒 z 2 5 5 其中 z 癌 z 唾 z 旌 z 下标f p 和f c 分别表示其主要部分和辅助部 分 0 仍由 2 5 2 式表示 由圆周界自由的条件 可得在圆周界上 诉o 一瓦丽 o t r e 2 5 6 把 2 5 4 代入 2 5 6 得 f 作 f 一丽一丽 o t r e 2 5 7 由 2 5 3 2 5 6 并根据镜像原理 可得到 z 石 譬 一去喜n h r 2 一孑 c h r c z s s 则 蚺瓣一挣b 一三r 2 z z i z 阳 s 9 当z r r i 时 上式也成立 由此可得下列各种情况下的复势 1 6 江苏大学硕士学位论文 j 一 4 1 厂 4 p 厂 t p a c o 图2 8 圆域中圆周上作用力 f i g 2 8 t h et r a c t i o na l o n gt h ec i r c l ei nac i r c l a rr e g i o n 对于图2 8 a 所示情况 设z l r 时 p l p z 2 一r 时 p 2 一p 可 得此时的复势为 唾 z 一2 p 兀r 击 2 6 0 对于图2 8 b 所示情况 设五 r i 时 p t p z 2 一r i 时 p 2 一p 可得此时的复势为 c f z 警 南 2 6 对于图2 8 c 所示情况 设z t r 时 p 1 p z 2 一r 时 p 2 一j p z 3 r i 时 p p 乙 一r i 时 p p 可得此时的复势为 唾 z 一了2 p r 可1 丽i 2 6 2 有了上述复势 我们可以由 2 1 3 得到对应的各种情况下 圆域中各点的应 力情况 此时西 z 用唾 z 代替即可 对在无限大域内含有一个圆孔的情况下 上述方程均可用 只需将各式中的定 义域由l i 董r 改为i z i r 2 5 2 远处分布力作用下的情况 在无限大域中 当远处作用纵向载荷叮 g p 时 其复势用 z 表示 为 z q z 一弘 2 6 3 z 噶 z g i p 2 6 4 1 7 江苏大学硕士字位论叉 显然 由 2 1 0 式可知此复势是正确的 为了解含圆孔无限大域中 当远处作用纵向载荷盯 玑 p 时的复势 与 2 5 1 节类似 可以通过在 2 6 3 式的基础上再加一修正补充项的做法来消除 2 6 3 式在圆孔边界上的作用力 以满足圆孔边界自由的条件 设其对应的复势砟还用 2 5 4 2 5 5 表示 z 由 2 6 3 式给出 由圆孔边界自由的条件 诉 一 f 一 f 0 f r e 诅 2 6 5 并结合镜像原理 可得到 础 石 掣 糌 2 6 6 则 唾 访 z 警掣姑只 2 6 7 利用 2 8 和 2 1 0 可得到远处作用分布力时 含圆孔无限大域中任意一点z r e 的和力函数及应力分量 f q r s i n g p r c o s o 等q s i n o 等肿s 1 9 2 6 8 盯 丢 唾 z 丽 g 一 r 2 q c o s 2 8 p s i n 2 0 2 6 9 矿去 厕一啪 p r 2 p c o s 2 0 广 q s i n 2 0 2 7 0 显然 在无穷远处 有盯 吼盯 p 与原边界条件相同 在圆孔周界处 即当 尺 l 弦j f 0 即满足圆孑l 周界自由的条件 可见求得的复势是正确的 有了复势我们 可以由 2 1 3 得到这种情况下含圆孔无限大域中各点的应力情况 l g 江苏大学硕士学位论文 第3 章圆域中的分叉裂纹问题 本章要讨论圆周界上有集中力作用 圆域中存 在一个任意分叉裂纹的问题 建立如图3 1 所示的直 角坐标系 裂纹分叉点设为z z 轴的正向垂直指向 纸外 假设裂纹总共有 条分支 各分支长设为 a 1 2 朋 且它们与x 轴正向所成的角设为 口 l 2 朋 边界条件为 分叉裂纹的表面不受 力 即自由 在圆周界三上作用一个纵向集中剪力 p 产l 2 疗 且满足 3 1圆域中分叉裂纹问题的可解性 图3 1 圆域中分叉裂纹 f i g 3 1 b r a n c hc r a c ki n c i r c u l a rr e g i o n 3 1 从前面分析可知 z 向位移函数w x y 在分叉裂纹和圆周所构成的多连通域内 是调和函数 1 由调和函数的性质以及n e u m a n n 问题有解的必要条件 见附录i 在圆周界c l 和裂纹表面c 上的合力必须满足 z 吒妙一 出 g 嘎 等 o 3 2 圆域中 在圆周界上作用n 个自平衡的纵向集中剪力p e p o 且裂纹 r l 表面自由 显然上述的的反平面分叉裂纹问题是一个n e u m a n n 问题 并满足 n e u m a n n 问题有解的必要条件 因此此问题有解 3 2 位错模型及其复势 下面采用位错模拟裂纹的方法求解本章开始所提出的问题 圆域中 在裂纹分 叉点z 处布置大小为 的集中位错 沿各分支布置位错密度函数为 勺 j l 2 的分布位错 1 9 o l l p 一 江苏大学硕士学位论炙 由2 3 节式 2 1 4 2 2 1 及叠加原理 我们知道无限大域中分叉裂纹问题 的基本解为 妒 g 一等t n z 一乙 击善f 7 匀g n z z v s e i a k c s 剐 吼b 陆一硼h 吾1 酗n 考芝争 其中 为分叉裂纹的分支数 z 为裂纹分叉点 a 为第 条分支的长度 利用对数函数的性质 考察绕分叉裂纹一周后位移的增加量 围道增量 得到 g w 矿一2 f 哆 s 3 5 则根据位移单值条件有 斛芝f 呜 i o 3 6 为了得到圆域中分叉裂纹问题的基本解 可以通过在 3 3 式的基础上再加 上一辅助项的做法来消除其在圆周上的作用力 以满足圆周界自由的条件 即令 p z z 十致 z 3 7 西 z 哝 z 吐0 3 培 其中 q z 砖 z 蛾 z 玩 z 下标p 和c 分别表示其主要部分和辅助部分 z 仍由 3 3 式表示 由圆边界自由的条件 可得在圆边界上有 妒 一面 0 t r e 3 9 把 3 7 代入 3 9 得 f 败 r 一 f 一p r o 扛删8 3 1 0 由 3 6 3 1 0 并根据镜像原理 可得到 圣堇 i 孝i 善 乏二裂 d s 唰 硒 m去善r 7 勺 n r 2 一 1 e l q 乏 z 1 显然纯 z 在圆域内是解析的 同样 江苏走学硕士学位论文 霞 z 硅 z 一二趸岛一去姜f 毒害 器 1 z i r c s z 3 3 奇异积分方程的建立 上节求解了圆域中分叉裂纹的复势 以f 根据裂纹边界条件 建立以点位错强 度和分布位错密度为未知函数的奇异积分方程 根据用点位错强度和分布位错密度函数表示的圆域中分叉裂纹的复势形式 3 4 和 3 1 2 可以得到在裂纹的第k 条 k 1 2 n 分支上 下表面对应 的任意点z o 玩 s k c 唧处的纵向剪切力 设为吒 令 o m p 3 1 3 p 卅 2 3 1 4 其中 是由主要部分啷 z 引起的应力 是由裂纹第k 条分支的主要部分 引