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1 轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体弹性 场的等效夹杂法的解答 轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体弹性 场的等效夹杂法的解答 徐前 河海大学工程力学系 南京 210098 E mail xuqian83 摘摘 要 要 本文根据 Eshelby 等效夹杂理论 利用两种情况下所列出的物理方程的等量代换 先求出本征应变 进而导出轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体的位移场和应力 场 并对结果进行量化 关键词 关键词 应力 位移 夹杂 等效夹杂理论 1 引言 引言 材料是科学技术的必要物质基础 任何一项新技术的突破 都要有相应的新材料作前提 保证 而且某些新材料的研制过程本身就是新技术的发展 新材料对于新技术和新兴工业的 发展具有举足轻重的关键作用 所谓复合材料 3 是将两种或两种以上 具有不同性质的材料 用某种工艺方法均匀地合成为一体而形成的一种新的材料 颗粒增强类复合材料是复合材料 的一个重要分支 它是指以金属微粒子或非金属粒子为增强剂的复合材料 颗粒增强类复合 材料的优良性能使得它在各个领域都有广泛的用途 这也就鼓励我们对它的力学性能做深入 的研究 目前 对含有夹杂的各种模型的数值模拟已经相当成熟 但在理论推导方面 还比较欠 缺 也有一些学者做过很多研究 获得了一些有意义的成果 5 7 在这里 我们将采用等效 夹杂理论对轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体的弹性场进行研究 2 等效夹杂理论介绍 等效夹杂理论介绍 设想在一个均匀各向同性的无限大弹性体内有一局部区域 其材料由于某种原因 例 如相变 在无约束的情况下将产生一个永久变形 ij Eshelby 将此应变称为相变应变 Mura 则将其称为本征应变 以涵盖更广泛的一类非弹性应变 由于在区域 的外部实际上有约 束存在 整个弹性体的位移与应变将是 i u与 ij 我们把应变 ij 分解为两部分 ij ij e ij 其中 ij e为弹性应变部分 而本征应变 ij 在区域 的外部取值为零 根据弹性力学中的虎克定律 弹性体的应力为 ij ijkl C kl kl 1 其中 ijkl C klij 2 jlik 与 为拉梅常数 ij 为 Kronecker 记号 将应力表达式代入平衡微分方程中 得 ijkl C jkl ijkl C jkl 2 同时由于弹性体上无外荷载作用 在其外边界上有 2 ijkl C kl j n 0 3 从式 2 3 可以看出 Eshelby 相变问题相当于在弹性体内部作用有分布体力 ijkl C jkl 的问题 Eshelby 证明了当本征应变 ij 为常数时 内的应变 ij 是均匀的 它可以表示为 ij ijkl S kl 4 这里 ijkl S称为 Eshelby 四阶张量 考虑在弹性常数为 ijkl C的基体相 D中 存在一个弹性常数为 1 ijkl C的区域 的情 况 在无异性夹杂 存在时均匀的应力场 由于 的出现将受到干扰 对于 的形状为椭 球体的情况 若假定物体为无限大 由此产生的位移和应力的受扰部分等效于 中本征应 变取适当值的椭球体夹杂产生的位移和内应力 令无异性夹杂 时由均匀的外部应力 0 ij 作用产生的位移为 0 i u 相应的弹性应变为 0 ij 由于 的存在 位移和弹性应变分别变为 0 i u i u 和 0 ij ij 其内部的应力场变为 0 ij ij 其中 ij 与 ij 为由于夹杂的存在而产生的扰动应力与应变 它们满足 1 2 0 ij ij 1 ijkl C 0 kl kl 在 内 5 0 ij ij ijkl C 0 kl kl 在 外 6 以及 0 ij ijkl C 0 kl 7 Eshelby 证明了在这种情况下夹杂内部的应力场与应变场是均匀的 上述非均匀弹性体的弹 性场可以用 Eshelby 相变问题来替代 设有一个均匀的弹性常数为 ijkl C的无限大弹性体 它 在远场受均匀应力 0 ij 的作用 同时在区域 内给定一均匀的本征应变 ij 在这一弹性体 内它的应力场为 1 2 0 ij ij ijkl C 0 kl klkl 在 内 8 0 ij ij ijkl C 0 kl kl 在 外 9 其中 ij 与 ij 为由于本征应变 kl 而引起的扰动应力与应变 ij 满足 4 即 3 5 ij ijmn S mn 10 比较 5 与 8 可以看出如果这两个问题等效 则有 1 ijkl C 0 kl kl ijkl C 0 kl klkl 11 联立求解方程 10 与 11 就能够得到等效本征应变 kl 并进而求得夹杂内外的弹性场 3 轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体弹性场的等效夹杂 法的解答 轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体弹性场的等效夹杂 法的解答 3 1 公式推导公式推导 用等效夹杂理论来解含有圆形异性夹杂的无限大平面弹性体受有轴向拉伸外力时的应 3 力场 假设无限大平面弹性体 D 的弹性模量为 E 泊松比为 拉梅常数为 与 圆形 异性夹杂 的半径为 a 弹性模量和泊松比分别为 E1 1 拉梅常数为1 与 1 D 的 左右两个边界上的均布拉力集度为 q 并建立坐标系 如图 1 图 1 含有圆形夹杂的无限大平面弹性体受轴拉荷载 设当弹性体无异性夹杂 时产生的均匀的应力为 0 ij 相应的弹性应变为 0 ij 由于 的 存在 弹性应变变为 0 ij ij 其应力场变为 0 ij ij 其中 ij 与 ij 为由于夹杂的存在而产 生的扰动应力与应变 则在 内部的物理方程 1 2 为 5 将其展开为 xx 0 0001 zzyyxx 2 1 0 xx yy 0 0001 zzyyxx 2 1 0 yy zz 0 0001 zzyyxx 2 1 0 zz xyxy 0 1 xyxy 0 yzyz 0 1 yzyz 0 zxzx 0 1 zxzx 0 12 再设有一个均匀的弹性常数为 ijkl C的无限大弹性体 它在远场受均匀应力 0 ij 的作用 同时在区域 内给定一均匀的本征应变 ij ij 与 ij 为由于本征应变 kl 而引起的扰动应力 与应变 在 内它的应力场 1 2 为 8 xx 0 0 0 0 zzzyyyxxx 2 0 xxx yy 0 0 0 0 zzzyyyxxx 2 0 yyy zz 0 0 0 0 zzzyyyxxx 2 0 zzz xyxy 0 0 xyxyxy yzyz 0 0 yzyzyz zxzx 0 0 zxzxzx 13 因为扰动应变 ij 与本征应变 ij 有式 10 的关系 将其展开 3 5 得 x 1111x S 1122y S 1133z S 1112xy S 1113xz S 1121yx S 1123yz S 1131zx S 1132zy S 4 y 2211x S 2222y S 2233z S 2212xy S 2213xz S 2221yx S 2223yz S 2231zx S 2232zy S z 3311x S 3322y S 3333z S 3312xy S 3313xz S 3321yx S 3323yz S 3331zx S 3332zy S xy 1211x S 1222y S 1233z S 1212xy S 1213xz S 1221yx S 1223yz S 1231zx S 1232zy S xz 1311x S 1322y S 1333z S 1312xy S 1313xz S 1321yx S 1323yz S 1331zx S 1332zy S yz 2311x S 2322y S 2333z S 2312xy S 2313xz S 2321yx S 2323yz S 2331zx S 2332zy S 14 因为 ijkl S具有对称性 所以 xy yx xz zx yz zy 此问题相当于钱币形夹杂的问题 2 1 31312323 SS 1 33223311 SS 1 3333 S 其余的 Eshelby 张量都为零 将以上取值代入 14 得 x y 0 z 1 x 1 y z xy yx 0 xz zx 2 1 xz 2 1 zx xz yz zy 2 1 yz 2 1 zy yz 15 当无异性夹杂存在时 如图 2 所示 此问题的应力表示为 0 x q 0 y 0 0 0 z 0 xy 0 xz 0 yz 0 图 2 均匀无限大弹性体受轴向拉伸 代入物理方程 应变表示为 0 x 2 q 23 2 q 0 y 0 z 23 2 q 0 xy 0 xz 0 yz 0 16 12 与 13 利用等量代换 并将 15 代入 整理得 5 1 2 1 1 x 11 1 y 1 z 1 0 x 0 y 0 z 2 1 2 0 x 11 1 x 1 2 1 1 y 1 z 1 0 x 0 y 0 z 2 1 2 0 y 1 2 11 2 1 11 x 1 2 11 2 1 11 y 2 11 z 1 0 x 0 y 0 z 2 1 2 0 z 0 yxxy 0 zxxz 0 zyyz 17 令 1 2 1 1 A 11 1 B 1 2 11 2 1 11 F 11 2 G 1 0 x 0 y 0 z 2 1 2 0 x M 1 0 x 0 y 0 z 2 1 2 0 y 1 0 x 0 y 0 z 2 1 2 0 z N 18 所以 17 中的前三式变为 A x B y 1 z M B x A y 1 z N F x F y G z N 解上面这个方程组 得下面的关系式 y 2 1 11 FAGBGBA NMFBGBANGN x BA NM y z G F BAG NMF G N2 y 19 令 2 1 11 FAGBGBA NMFBGBANGN H 所以 x BA NM H y H z G F BAG NMF G N2 H 20 将上式代入 15 中得 6 x y xy xz yz 0 z 1 2H BA NM G F BAG NMF G N2 H 21 将上式及 16 的后一式代入 12 得到夹杂 内部的应力为 1 x xx 0 0001 zyx 1 2H BA NM G F BAG NMF G N2 H 2 1 0 x 1 y yy 0 0001 zyx 1 2H BA NM G F BAG NMF G N2 H 2 1 0 y 1 z zz 0 0001 zyx 2 1 0 z 11 2 1 2H BA NM G F BAG NMF G N2 H 1 xy xyxy 0 0 1 yz yzyz 0 0 1 zx zxzx 0 0 22 上式中 A B F G H M N 是关于 1 1 0 x 0 y 0 z 的数 其中 0 x 0 y 0 z 已求出 见 16 3 2 结果的量化结果的量化 下面将结果进行量化 令 1 E 5 55 10 4 Mpa E 2 6 10 4 Mpa 1 0 16 0 22 q 2Mpa 代入上面的结果中 其中 21 1 11 11 1 E 11257 6 Mpa 1 2 1 1 1 E 23922 4 Mpa 21 1 E 8372 4 Mpa 1 2 E 10655 7Mpa 将上面的结果及 q 2Mpa 代入 16 中 得 0 x 76 9 10 6 0 y 0 z 9 16 10 6 再将以上结果代入 18 及 H 2 1 11 FAGBGBA NMFBGBANGN 中 得 A 8 30497Mpa 4 9186 BMPa 2 16670 FMpa 4 59102 GMpa 6 101 29 H 16 2 MMpa 33 0 NMpa 将上面的数值再代入 20 及 21 中 得到 6 107 87 x y 6 101 29 z 6 101 22 z 6 106 5 7 由 22 最终求得夹杂内部的应力为 1 x 4 23Mpa 1 y 26 0 Mpa0 1 z 0 008Mpa0 4 结论 结论 对于含有夹杂的问题的研究 等效夹杂理论是一种非常有效的方法 它使得夹杂问题 的理论推导变得顺畅 这就激励我们可以利用该理论对含有夹杂的更复杂的一些问题作进一 步的研究 参考文献参考文献 1 陈国荣 弹性力学 M 南京 河海大学出版社 2002 2 徐芝纶 弹性力学 M 北京 人民教育出版社 1979 3 杜善义 王彪 复合材料细观力学 M 北京 科学出版社 1998 4 王自强 段祝平 塑性细观力学 M 北京 科学出版社 1995 5 Mura T Micromechanics of Defects in Solids M Martinus Nijboff Boston 1987 6 Muskhelishvili N I Some Basic Problem of the Mathematical Theory of Elasticity M Noordhoff Groningen 1953 7 Lekhnitskii S G Theory of Elasticity of an Anisotropic Body M MIR Moscow 1980 The Stress Field