线性代数试卷.doc

自考资料 线性代数复习资料 1 n 阶行列式的值为 C 0000 0000 0000 0000 1 2 1 n n a a a a A a1a2 an B a1a2 an C 1 n 1 a1a2 an D 1 na1a2 an 2 设行列式 则 k 的取值为 A 121 2100 31k A 1 B 2 C 0 D 1 3 设 A B 均为 n 阶矩阵 且 A 可逆 则下列结论正确的是 A A 若 AB 0 则 B 可逆 B 若 AB 0 则 B 0 C 若 AB 0 则 B 不可逆 D 若 AB BA 则 B E 4 设 A 为 n 阶实矩阵 对于线性方程组 I AX 0 和线性方程组 II ATAX 0 必 有 B A I 的解是 II 的解 II 的解也是 I 的解 B I 的解是 II 的解 但 II 的解不是 I 的解 C II 的解是 I 的解 但 I 的解不是 II 的解 D I 的解不是 II 的解 II 的解也不是 I 的解 5 设 2 是 3 阶方阵 A 的一个特征值 则 A2必有一个特征值为 A A 8 B 4 C 6 D 2 6 n 阶方阵 A B 相似的充分必要条件是 A A 存在可逆矩阵 P 使 P 1AP B B 存在可逆矩阵 P 使 PTAP B C 存在两个可逆矩阵 P 和 Q 使 PAQ B D A 可以经过有限次初等变换变成 B 7 对任意 n 阶方阵 A B 总有 D A B BABA 1 11 ABA B C D 22 2 2BABABA BAAB 自考资料 8 矩阵 A 的秩为 C 1010 0124 0001 A 1 B 2 C 3 D 4 9 n 阶方阵 A 可对角化的充分必要条件是 D A A 有 n 个不同的特征值 B A 为实对称矩阵 C A 有 n 个不同的特征向量 D A 有 n 个线性无关的特征向量 10 设 A 是 n 阶实对称矩阵 则 A 为正定的充要条件 A B A 的特征值全大于 00A C 存在 n 阶矩阵 C 使得D 负惯性指数为 0 T ACC 11 齐次线性方程组有非零解的充要条件为 D0Ax A 系数矩阵的任意两个列向量线性无关 A B 系数矩阵的任意两个列向量线性相关A C 系数矩阵中必有一个列向量可由其余列向量线性表出A D 系数矩阵中任意列向量可由其余列向量线性表出A 12 设 A B C 为均为 n 阶可逆矩阵 且 ABC E 则下列结论成立的是 D A ACB E B BAC E C CBA E D CAB E 13 初等方阵 A A 都可逆 B 行列式的值都为 1 C 之和是初等方阵 D 之积是初等方阵 14 设为 3 阶方阵 且 则 A1 A 1 2AA 27 12 6 32 15 向量组的秩为 的充要条件为 C 12 r r A 向量组中不含零向量 自考资料 B 向量组中没有两个向量成比例 C 向量组线性无关 D 向量组中有一个向量不能由其余向量线性表示 16 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 1 2 则矩阵 A2 E 的特征值为 A A 1 1 2 B 2 2 3 C 1 1 2 D 1 1 12 17 设 3 阶矩阵有特征值 其对应的特征向量分别为 令A1 1 3 321 XXX 则 D 321 XXXP APP 1 A diag 1 1 3 B 1 3 1diag C D 3 1 1diag 1 1 3diag 18 设是的解 是的解 则 B 12 x x0Ax 12 y yAxb A 是的解 B 是的解 11 xy 0Ax 12 xx 0Ax C 是的解 D 是的解 12 yy Axb 12 yy Axb 19 矩阵A的属于不同特征值的特征向量 C A 两两正交 B 其和仍是 A 的特征向量 C 线性无关 D 线性相关 20 设 n 阶方阵 A 且 A 0 则 A 1 D A A B A C D A A 1 A 1 11 AA A 1 21 方程组 只有零解 则 D 03 02 21 21 kxx xx A k 6 B k 6 C k 6 D k 6 22 设矩阵 A 与 C 分别为 m n 和 s t 阵若使 ABC 有意义 B 应为 B A m t 阵 B n s 阵 C m s 阵 D n t 阵 23 设 A 为 n 阶方阵 方阵行列式 k 为一个常数 则 B Aa T kA 自考资料 A k B C D aak n a k a k n 24 设 2 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A 则 A 43 01 A A 4 B 16 C 2 D 8 25 已知向量组 A 中线性无关 那么 C 4321 432 A 线性无关B 线性相关 432 1 432 1 C 线性无关D 可用 线性表出 32 1 432 26 设 A B 均为 3 阶矩阵 r A 3 r B 2 则 r AB B A 1 B 2 C 3 D 6 27 矩阵是 C 2 1 101 101 010 A 实对称矩阵 B 反实对称矩阵 C 正定矩阵 D 正交矩阵 28 下列矩阵 是初等方阵的是 D A B C D 010 100 101 010 010 101 100 120 001 100 010 301 29 下列向量与 1 1 0 正交的是 A A 1 1 1 B 1 1 0 1 2 C 1 0 1 D 0 1 1 3 3 30 计算行列式 C 3234 0230 0200 1000 A 0B 24 C 24 D 180 31 设 A 则 2A 1 C 43 21 自考资料 A 4 B 4 C D 8 1 8 1 32 设四阶方阵 A 1 2 3 B 1 2 3 1 2 3 都是 4 维向量 行列式 2 1 则 C ABBA A 3 B 6 C 24D 8 33 若 A 为 4 阶方阵 r A 3 是线性方程组 Ax b 的解 则 Ax b 的通解 21 为 D A B 21 k 21 k C D 211 k 211 k 34 设方阵 A 有一个特征值为 2 则 A A AT有一个特征值为 2B A 1有一个特征值为 2 C AT有一个特征值为D A 1有一个特征值为 2 1 2 1 35 设 A 为 3 阶方阵 其特征值分别为 2 l 0 则 A 2E A A 0B 2 C 3D 1 36 设 A B 均为 3 阶矩阵 r A 3 r B 2 则 r AB B A 1B 2 C 3D 6 37 齐次线性方程组 x1 x2 x3 xn 0 的基础解析中解向量的个数 D A 0B 1 C nD n 1 38 设 4 阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 2 l 0 2 则 A 的正惯性指数为 B A 1B 2 C 3D 4 39 设 则 1 1 1 1 A 1 1 1 B BAT 40 设 则 11 12 A 1 A 11 12 41 若为矩阵 且有一个三阶子式不等于 0 则 3 A3 5 A AR 42 设为三阶方阵 则 1 A1 AA 43 若 3 阶矩阵有特征值 1 2 3 则 24 AAE 自考资料 44 已知矩阵满足 A2 A 2E 0 则 A 的特征值为 2 和 1 45 齐次线性方程组 AX 0 的系数矩阵 A 的秩为 r r n 则其任意一个基础 解系中的解向量的个数为 n r 个 46 二次型 f x1 x2 x3 xTAx 经正交变换化为标准形 则 A 的最小的特征 2 2 2 1 5yy 值是 0 47 设矩阵 A 则二次型 110 122 024 AxxT 48 A 是 3 阶方阵 且 是的伴随矩阵 则 4 2A AA A 49 设 3 阶方阵 A 的秩为 3 矩阵 若矩阵 100 001 010 P 101 010 001 Q 则秩 B B 3 PAQB 50 设 5 是矩阵的特征值 则 2 1 120 222 023 A 51 若 n 阶方阵 A 与 B 相似 且 A 2 则 BA 4 52 已知方阵 A 满足 A2 2A 3E 0 则 A 的特征值为 3 和 1 53 二次型的矩阵 A 有三个特征值 1 3 2 该二次型的标准形为 123 f x x x 54 二次型 该二次型的负惯性指数等于 1 222 123123 2f x xxxxx 55 设 A 则 21 32 1 A 23 12 56 三元齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是系数行列式 0 A 57 设 1 2 2 则 的长度 3 58 设 A 为 5 阶方阵 且 r A 3 则线性空间 W x Ax 0 的维数是 3 59 设 A 为 3 阶方阵 特征值分别为 2 1 l 则 5A 250 60 若 A B 为同阶方阵 且 Bx 0 只有零解 若 r A 3 则 r AB 3 自考资料 61 矩阵 A 所对应的二次型 x12 3x22 x32 4x1x2 2x1x3 101 032 121 AXX T 62 已知向量 是单位向量 k 6 7 2 1 3 1 kkk 63 设三三阶矩阵 A 满足 A2 2A O 且 r A 2 则 A 的特征值为 0 2 2 64 设行列式 5 则行列式 10 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 33323131 23222121 13121111 2 2 2 aaaa aaaa aaaa 65 设 A 为 3 阶反实对称矩阵方阵 则 A 0 66 A 为 4 5 矩阵 r A r A b 方程组 Ax b 有 无穷多解 67 设 D 为 n 阶行列式 Aij为元素的代数余子式 ij a ij a 0 n j kjij kiAa 1 68 设 A2 2A E O 则 A 1 A 2E 69 已知向量 1 3 4 1 2 1 0 3 1与 2的内积为 0 70 二次型 f x1 x2 x3 2x1x2 2x2x3所对应的矩阵是 2 1 x 2 2 x 010 111 011 71 设 A B 都是 3 阶矩阵 且 A 2 B 2E 则 A 1B 16 72 3 阶 A 的特征值为 1 1 2 则 B A E 特征值是 2 0 3 73 已知 求 200 012 025 A 1 A 1 A 120 250 002 1 74 设 求A的特征值与其对应的特征向量 400 031 013 A 特征值分别为4 4 2 自考资料 4的特征向量是 1 0 1 0 1 1 2的特征向量是 0 1 1 75 已知 且满足 求矩阵 B 200 130 322 A EABBA 2 B A E 333 041 003 76 计算行列式 a 3 a 1 3 111 111 111 111 a a D a a 12 1111 1234 14916 182764 D D 160 3214 2143 1432 4321 D xn 1 n 1yn xy yx yx yx 000 000 000 000 77 已知向量组 1 T 1 2 0 1 1 T 1 0 1 3 2 T 3 4 1 1 3 T 3 10 0 3 4 2 1 1 2 0 1 3 2 1 2 0 5 4 3 3 2 2 0 1 4 0 4 0 6 7 分别求向量组的一个最大线性无关组 1 的最大线性无关组是 2 3 4 自考资料 2 的最大线性无关组是 1 2 3 78 已知方程组 2 321 321 321 1 xxx xxx xxx 问 1 为何值时方程组有唯一解 2 为何值时方程组无解 3 为何值时方程组有无穷多个解 1 1 2时方程组有唯一解 2 2时方程组无解 3 1时方程组有无穷多个解 79 已知相似于 求和 113 22 002 xA y B2 1 xy x 2 y 0 80 已知 求 11 33 A n A 4n 1A n A 81 已知矩阵 A 为正定矩阵 则满足什么条件 1 1 a a a 0EA A 是 n 阶正定阵 所以 A 的所有特征值全部大于 0 A E 的所有特征值全部大 于 1 A E 的行列式是它所有特征值的乘积 所以 A E 的行列式大于 1 所以 0EA 102 设 n 维列向量满足 证明 是正交矩阵 1 T x x 2 T HExx H TTTT XXEXXEH2 2 所以是正交矩阵 EXXXXXXEXXEHH TTTTT 44 2 2 H 103 设向量组线性无关 证明 也线性无关 123 a a a 112122 a aa aaa 假设也线性相关 则有不全为 0 的使得 112122 a aa aaa 321 kkk 整理后得