柯西不等式的证明及应用论文.doc

南京师范大学泰州学院毕业论文南 京 师 范 大 学 泰 州 学 院毕 业 论 文（设 计）（ 一三 届）题 目： 柯西不等式的证明及应用 院（系、部）： 数学科学与应用学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 学 号 指导教师： 南京师范大学泰州学院教务处 制摘要：本文对柯西不等式及其推论、变形、推广和积分形式进行了诠释，详细介绍了柯西不等式的几种典型证明方法，如配方法、判别式法、数学归纳法、运用基本不等式和推广不等式、利用二次型和向量内积等方法，并通过列举一系列范例揭示柯西不等式在不等式证明、等式证明、求最值、解析几何、求参数范围、解方程、解函数、几何等方面的应用。说明了柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，在初等数学和高等数学中都有比较广泛的应用，在数学的各个分支都可以见到它的应用。灵活巧妙地运用它，往往可使一些比较困难的问题迎刃而解，甚至收到出奇制胜、事半功倍的效果，充分体现柯西不等式的重要性及较强的应用性。关键词：柯西不等式；证明；应用Abstract: In this paper, Cauchy inequality and its corollary, deformation, diffusion and integral form are explained in detail. Whats more, several typical Cauchy inequality proofs, such as the distribution method, discriminant method, mathematical induction, the use of the basic and promotional inequality, using the second type and vector inner product are introduced. Furthermore, the paper reveals the application of Cauchy inequality in inequalities, equality proof, for the most value, analytic geometry, the scope of demand parameters, solving equations, the solution function and geometry through a series of examples. Cauchy inequality is a very important mathematics inequality. Within its harmonious symmetrical structure, it is widely used in elementary mathematics, higher mathematics and almost every branches of mathematics. When using it flexibly, most of the difficult problems can be solved, or even users can receive a surprise move, a multiplier effect. All these fully reflect the importance of Cauchy inequality and the strong capability of application.Keywords: Cauchy inequality; proof; application 目 录1绪论31.1 研究意义31.2 国内外研究现状31.3 本文解决的主要问题42柯西不等式的诠释52.1 柯西不等式52.2 柯西不等式的推论52.3 柯西不等式的变形62.4 柯西不等式的推广72.5 柯西不等式的积分形式83柯西不等式的证明93.1 配方法93.2 判别式法93.3 数学归纳法103.4 运用基本不等式113.5 运用推广不等式123.6 利用二次型123.7 利用向量内积134柯西不等式的应用144.1 在证明不等式方面的应用144.2 在证明等式方面的应用164.3 在求最值方面的应用184.4 在解析几何方面的应用194.5 在求参数范围问题中的应用224.6 在解方程问题中的应用224.7 在解函数问题中的应用234.8 在几何上的应用23结论26谢辞27参考文献281 绪 论在自然界中存在着大量的不等量关系，不等关系也是最基本的数学关系，不等式在数学研究和数学应用中起着重要的作用。不等式问题覆盖面广、综合性强，是当今各层次数学竞赛的热点和难点之一，而不等式问题的处理更以“多入口，方法巧”见长。经研究发现，很多问题又都能采用柯西不等式加以简单地解决。柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。它在代数、几何等方面的广泛应用是众所周知的，它常常作为重要的基础去架设条件与结论间的桥梁，以证明和推广其它不等式及竞赛题，它也是发现新命题的重要工具，是一个极有魅力的不等式。近年来，在高考试卷和国内外的数学竞赛题中，越来越多地出现与之有关的题目，灵活巧妙地应用柯西不等式，往往可使一些难题迎刃而解，甚至收到出奇制胜、事半功倍的效果。当然，我们在解题中并不一定能看出它的直接应用，需要适当地构造使用它的环境，以挖掘出隐含的联系后达到最终目的。本文拟在介绍柯西不等式及其推论、变形、推广和积分形式，给出了它的几种典型证明方法，并通过一些例题讲述了它在多方面的应用，也涉及到一些重要的竞赛题。1.1 研究意义柯西不等式是一个非常重要的不等式，价值不可估量。将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。这个不等式结构对称和谐，无论是在代数，还是几何中都可以应用，它在解决一些实际问题或推导一些数学结论上非常有用，在初等数学和高等数学中应用都比较广泛。因此，对柯西不等式的探究是有益的。近年来，以柯西不等式为背景的试题已悄然在高考试卷和国内外的数学竞赛题中出现。在解题过程中，灵活巧妙地应用柯西不等式，从不同角度考虑问题，有助于拓宽解题思路，提升解题技巧，并可以使一些比较困难的问题得以比较简捷地解决，从而可以节省解题时间，提高效率，甚至可以收到出奇制胜、事半功倍的效果。1.2 国内外研究现状柯西不等式是一个非常重要的不等式，它结构对称优美，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。因此许多数学教师和资深数学教育家都在研究柯西不等式的证明及应用问题，如2004年洪顺刚在皖西学院学报上发表了柯西不等式的证明及其应用，探讨了柯西不等式多种证明方法，反映了柯西不等式在函数求最值、证明不等式及其在几何上的广泛应用，2009 年邹晶晶、周小玲，针对柯西不等式的重要性及较强的应用性，在数学学习与研究报上发表了柯西不等式的应用。近年来，在国内外的数学竞赛题中，越来越多地出现与柯西不等式有关的题目，有学者也就其作出了研究，如2010年蔡玉书在数学通讯上发表了用柯西不等式证明竞赛中的不等式。但是这些研究还远远没有能够形成一个完整的体系，还需要做一个更深入的研究和讨论。该课题在国内仍备受关注。国外的研究情况由于资源的缺陷，还尚未清楚。1.3 本文解决的主要问题本文先对柯西不等式从定理、推论、变形、推广和积分形式等方面进行了诠释，然后介绍了柯西不等式的几种常用证明方法，如配方法、判别式法、数学归纳法、运用基本不等式和推广不等式、利用二次型和向量内积等方法，最后探讨了柯西不等式在证明不等式、等式，求最值，解析几何，求参数范围，解方程，解函数，几何问题上的应用。也讲述了如何巧用柯西不等式及其推论、变形来解题，特别是一些高考题和国内外数学竞赛题，并介绍了一些解题技巧。2 柯西不等式的诠释柯西是法国数学家，1789年8月21日出生于巴黎，他对数论、代数、数学分析和微分方程等多个数学领域进行了深入地研究，并获得了许多重要的成果，著名的柯西不等式就是其中之一。2.1 柯西不等式定理1 对任意两组实数，有，当且仅当与对应成比例，即时等号成立。这个不等式称为柯西（Cauchy）不等式。说明：的意义如下：在不全为零时，若=0，则对应的=0；在时，可取任意实数1。2.2 柯西不等式的推论柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，具有极强的应用性，深受人们的喜爱。所以，若将此定理作进一步剖析，归纳出它的推论，将会有更多收获。推论1 设是正实数，则，等号成立当且仅当2。证：比照柯西不等式，构造如下两组数：。由柯西不等式，得 ，即 。所以原不等式成立3。 推论2 设是实数，则，等号成立当且仅当2。证：由柯西不等式有，取，有4。2.3 柯西不等式的变形柯西不等式有多种变形，已经成为许多现代数学理论的出发点。下面介绍的是竞赛解题中的常见形式。变形1 对任意的两组实数、，有。等号成立当且仅当。注：这又可以表示为向量形式，即对于任意的向量有，其中，等号成立当且仅当线性相关。这就是所谓的柯西布涅柯夫斯基不等式。变形2 对任意的两组正实数、，有 。当且仅当为常数时，上式等号成立。变形为，用来处理分式不等式常常带来方便。变形3 对任意的两组正实数、，有 。当且仅当为常数时，上式等号成立。变形为，用来处理分式不等式常常带来方便。变形4 对任意的两组正实数、，有 。当且仅当(为常数，)时，上式等号成立。变形为，用来处理分式不等式常常带来方便。变形5 对任意的两组实数，有。当且仅当(为常数，)时，上式等号成立。2.4 柯西不等式的推广定理2 对，有。 证：记。由算数几何平均不等式有 得 5。2.5 柯西不等式的积分形式柯西（Cauchy）不等式的积分形式称为施瓦茨（Schwarz）不等式。定理3 若、在上可积，则 。若、在上连续，其中等号当且仅当存在常数使得时成立（不同时为零）6。证：因为都在上可积，由定积分性质，推得，及在上都可积，由定积分性质： 。因为上式对一切实数都成立，所以必须有 。即施瓦茨（Schwarz）不等式成立7。3 柯西不等式的证明柯西不等式的证明方法有很多种，下面介绍典型的几种。3.1 配方法。由此证明了且得等号成立的条件为：这等价于连比式8。3.2 判别式法当全为零时，命题显然成立。如果不全为零，考察二次函数 。因为，对于任意。所以，的判别式：。从而， 。当且仅当有二重根时，即时等号成立。因此，当且仅当时等号成立3。3.3 数学归纳法当时，显然成立。当时， 。等号当且仅当时成立。 假设当时成立，即。等号当且仅当时成立。 那么，当时， 等号当且仅当且时成立。因为所以所以所以 综上所述，柯西不等式成立9。3.4 运用基本不等式运用基本不等式。记。则柯西不等式等价于，也等价于。，当且仅当，即时等号成立；，当且仅当，即时等号成立；，当且仅当，即时等号成立。 以上个式子相加得。当且仅当时等号成立，即等价命题成立。故柯西不等式成立。3.5 运用推广不等式若为正数，为非负数，实数，则 （当且仅当时等号成立）。在以上推广不等式中取。有 。化简得， 。当为零或几个为零（处于对称位置），不等式显然成立。所以，当且仅当时等号成立4。评注：上述两种证法都灵活运用了已知的不等式。3.6 利用二次型=,即关于、的二次型非负定，因此,此即6。3.7 利用向量内积设是与的夹角，因为所以。于是， 。所以 。当且仅当或时等号成立，即与共线，时等号成立10。以上给出了柯西不等式七种常用的证明方法，还有其它的一些证明方法这里就不逐一介绍了。这充分体现了柯西不等式的重要性和证法的多样性。除此之外，柯西不等式的应用也非常的广泛。下面就柯西不等式的应用进行探讨。 4 柯西不等式的应用柯西不等式作为重要的不等式，价值是不可估量的，它在解决一些实际问题或推导一些数学结论上非常有用。灵活巧妙地运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，亦可使一些复杂繁琐的题目简单化，从而可以拓宽解题思路，节省解题时间，提高效率，尤其是在国际数学竞赛上。在应用柯西不等式时，分析其结构，运用其解题的关键是构造两个数组和或多组数组。构造数组时一要考虑柯西不等式的基本形式和推广，二要考虑所要证明不等式的结构，然后构造数组。下面通过具体的例子介绍柯西不等式在以下问题中的应用。4.1 在证明不等式方面的应用柯西不等式在不等式的证明中有着十分重要的作用，它不仅应用广泛，而且用法灵活，许多不等式利用柯西不等式证明可以化难为易。有些证明不等式的题目表面上看与柯西不等式无关，然而通过对原不等式作适当的变形改造后却可以应用柯西不等式加以解决，当然具体如何变形改造是关键，也是难点，这往往需要经过观察、直觉、猜测、推理等。下面通过一些具体例子加以说明。例1 证明三角不等式：。证：因为，根据柯西不等式，可得，。把上述两个不等式相加，再除以，即可得成立。例2 设为正实数，且满足，证明：。分析：对于这样的不等式一般可以采用配对约分的方法来解决，但是采用配对约分有一定的要求：一般为分子项所涉及的字母次数为二次，而分母涉及字母次数均为一次。而对于上述不等式左边不符合配对约分，虽然1可以看成“”，但分母是高次。可因，故可把不等式变为：，这样左边分子、分母都达到了配对约分的要求。证：因为，所以。于是左边配对约分，运用柯西不等式，得=。所以11。近年来，在国内外的数学竞赛中，越来越多地出现以柯西不等式为背景的试题。在解题过程中，灵活巧妙地应用柯西不等式，往往可使一些难题迎刃而解，甚至收到出奇制胜、事半功倍的效果。下面通过一些具体例子加以说明。例3 （1998年伊朗数学奥林匹克试题）如果，且，证明：。证：注意到，由柯西不等式得。而，所以，不等式得证。例4 （第42届IMO试题）对所有正实数证明：。证：由柯西不等式得。再用柯西不等式得=。所以 只要证。这由均值不等式得到。所以12。由上面的例子可知，柯西不等式在不等式的证明中具有广泛的应用，证明方法也非常灵活，应用时要根据具体问题，分析题中哪些项相当于柯西不等式中的项。有些问题为了应用柯西不等式解决，甚至需要构造项。因此，在利用柯西不等式解决问题时，必须认真分析，巧妙构思，方能促进问题的尽快解决。4.2 在证明等式方面的应用柯西不等式有广泛的应用，特别在解决一些难于下手的等式问题时，可另辟蹊径，出奇制胜。不等式与等式是对立统一的两个概念，柯西不等式既然含有等号，因此可用来解决等式问题，这种用不等式解决等式问题，有助于辩证思维的培养。例5 若且，求证：。证：。当即时等号成立。又，所以。即13。例6 已知为正数，为正整数，且。求证：。证：由条件及柯西不等式有 。又由柯西不等式取等号的条件得。于是， 。故 说明：本题的特殊性在于，对给定的正数，取到了最大值，导致、被唯一确定：。以上几例都应用了柯西不等式来证明，但不同的是有些可以直接应用，有些则需要使用一些方法如拆分常数、改变结构、重新排列等，来构造出符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关问题的目的。同时，与其他定理的应用一样，对柯西不等式也既要正用，又要逆用、变用、连用和巧用。4.3 在求最值方面的应用柯西不等式求最值多用于：多字母式子的最值和含约束条件式子的最值。其解题要点有两步：放缩为常数，此时又回到用柯西不等式证明的关键，即找出适当的两组实数；确保等号可以取到。这主要是验证，若求解中经过多次放缩，那么，还必须保证等号可以同时取到14。例7 设实数满足，求的最大值。分析：因是一次式，配方法和判别式法无能为力，均值不等式似乎也用不上。这时可对照柯西不等式的标准形式，考虑能否将题设解析式适当改造，以充当柯西不等式中的两组数。解：根据柯西不等式，。即 。因为，所以。其中等号当且仅当，且时成立。由以上诸式解得。所以当时，取最大值3。例8 已知都是实数且，求的最大值。解：由柯西不等式知，故 。所以 。即 ，解得：。当时，最大。所以的最大值为。例9 已知且试求的最大值。解：根据柯西不等式的变形公式有。而，所以， 即的最大值为15。 说明：本题是多元函数的最值问题，若用高等数学方法求解，则显得很麻烦。由此可见，柯西不等式是求解多元函数最值的重要工具，值得重视。4.4 在解析几何方面的应用例10 已知点，直线，求点到直线的距离。解：设点为直线上的任意动点，点到直线的距离实质即为点与动点的最短距离。又，那么求点到直线的距离即为在约束条件下求关于的二元函数的最小值。根据柯西不等式得 则 。当且仅当时取等号，也即时取等号。故点到直线的距离为。 说明：点到直线的距离公式是解析几何中的一个重要公式，有很多证明方法，本文所给的方法可能是最简单的一个证法。纵观上述证明，其运用方法的几何背景和解释均将这二维平面形象化，由此可以考虑到三维空间点到面的的距离公式。这大大启发人们的智慧，在维抽象空间中，如何求得子空间外一点到该子空间的距离，即点到空间中任何点距离最小者。例11 已知椭圆与直线相切，求切点的坐标。解： 设切点，则 由柯西不等式得 。当且仅当等号成立，即代入直线方程得。故切点的坐标为。例12 已知椭圆的离心率为，短轴上一个端点到右焦点的距离为。图4-1求椭圆的方程；设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为（如图4-1）,求面积的最大值。 解：设椭圆的半焦距为。依题意 解得 。 故所求椭圆方程为。 设。则直线的方程为 。 由原点到直线的距离为得 即 。则的面积 考虑到都在椭圆上，即则 。当且仅当时，上式等号成立。故面积的最大值为。 说明：此题应用柯西不等式的一个关键是，找出两组数，不仅使，将面积放大为常数，而且能使等号可以取到14。4.5 在求参数范围问题中的应用利用柯西不等式可以求一些参数的范围。解题时要分清主元与参数，利用柯西不等式构造不等式，通过解不等式求出参数的范围。例13 已知对于满足等式的任意实数，对恒有，求实数的范围。解：因为所以要使得对恒有即也即。4.6 在解方程问题中的应用这类问题的特殊性在于用不等式来处理等式。而之所以能这样做，常常是式子的内在结构满足柯西不等式取等号的条件。例14 在实数集内解方程分析：本题是三元二次方程组，依常规看，似乎少了一个方程，但运用柯西不等式可化腐朽为神奇，使问题解决柳暗花明，同时也让我们领悟到数学的奇异美，陶冶我们的情操。解：由柯西不等式得 。又 。则 。即不等式中只有取等号时成立。从而由柯西不等式中等号成立的条件，得它与联立得，。 说明：此题的特殊性在于不定方程有定解，其几何意义是空间中的两个球相切（其球心距恰好等于两半径之和），因此，方程组就只有一个解。4.7 在解函数问题中的应用例15 定义在上的函数，若，且，求证：。证：因为 又 且故 。则 。即 。4.8 在几何上的应用例16 三角形三边对应高为内切圆半径为若试判断三角形的形状。解：设三角形的面积为则。所以 。而 所以 所以 所以 。而由柯西不等式，得。 图4-2 当且仅当时等号成立。故三角形为等边三角形11。例17 为内的一点，分别为到各边所引垂线的垂足，求所有使为最小的点。解：如图4-2，设的三边面积为,及则。由柯西不等式得 即 。也即 。当且仅当（即亦即）时等号成立。因而使为最小点是的内心16。从以上几方面，可以看出柯西不等式的确有着广泛的应用，柯西不等式作为一个基本而又重要的不等式，在数学领域中具有一定的地位。能否熟练的应用就要看我们是否有去用它的意识，而且能否掌握其中的技巧，如果我们具备了就会使复杂问题简化，解题更加方便、快捷，收到事半功倍的效果。结 论柯西不等式结构对称和谐，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。它作为一个基本而又重要的不等式，在数学领域中具有一定的地位。它不仅在高等数学中式一个重要的不等式，而且它对于初等数学的学习也有很大的指导意义。灵活巧妙地运用柯西不等式能高瞻远瞩，方便地解决初等和高等数学的有关问题，从而加深知识的理解与巩固。能否熟练地应用就要看我们是否有去用它的意识，而且能否掌握其中的技巧，