矩阵论简明教程习题答案.pdf

习 题 一 1 设为的任一特征值 则因 为AO 的特征值 故 即 0或2 2 A B C D时 分别存在可逆矩阵P和Q 使得 PAP B QCQ D 令 T 则 T是可逆矩阵 且 TT 3 设是对应于特征值的特征向量 则 A 用左乘得 即 故 是A的特征值 i 1 2 n 4 1 可以 2 不可以 3 5 1 A的特征值是0 1 2 故 b a 0 从而 b a 又 将 1 2 代入上式求得 A 0 2 P 6 A有特征值 2 2 1 2所对应的方程组 2I A x 0 有解向量 p p 1所对应的方程组 I A x 0 有解向量 p 令 P ppp 则 P 于是有 A PP 7 1 D I A有2阶子式 4 4不是D 的因子 所以D D 1 A的初等因子为 1 A的 Jordan标准形为 J 设A的相似变换矩阵为P p p p 则由AP PJ得 解出 P 2 因为 故 A J 设变换矩阵为 P 则 P 3 A的不变因子是 A J 因为A可对角化 可分别求出特征值 1 2所对应的三个线性无关的特 征向量 当 1时 解方程组 求得两个线性无关的特征向量 当 2时 解方程组 得 P 4 因 故 A J 设变换矩阵为P 则 是线性方程组 的解向量 此方程仴的一般解形为 p 取 为求滿足方程 的解向量 再取 根据 由此可得 s t 从而向量 的坐标应満足方程 取 最后得 P 8 设 f A的最小多项式为 作带余除法得 f 于是 f A 9 A的最小多项式为 设 f 则 f 于是 f A 由此求出 f A 10 1 I A 标准形 A的最小多项式为 2 3 11 将方程组写成矩阵形式 A 则有 J PAP 其中 P 令 x Py 将原方程组改写成 则 解此方程组得 y Ce CTe y Ce y Ce 于是 x Py 12 1 A是实对称矩阵 A有特征值 10 2 2 当 10时 对应的齐次线性方程组 10I A x 0的系数矩阵 由此求出特征向量p 1 2 2 单位化后得 e 当 1时 对应的齐次线性方程组 I A x 0的系数矩阵 由此求出特征向量 p 2 1 0 p 2 0 1 单位化后得 e e 令 U 则 UAU 2 A是Hermit矩阵 同理可求出相似变换矩阵 U UAU 13 若A是Hermit正定矩阵 则由定理1 24可知存在n阶酉矩阵U 使得 UAU 0 I 1 2 n 于是 A UU UUUU 令 B UU 则 A B 反之 当 A B且B是Hermit正定矩阵时 则因Hermit 正定矩阵的乘积仍 为Hermit正定矩阵 故A是Hermit 正定的 14 1 2 因A是Hermit矩阵 则存在酉矩阵U 使得 UAU diag 令x Uy 其中 y e 则 x0 于是 xAx y UAU y 0 k 1 2 n 2 3 A Udiag U Udiag diag U 令 P diag U 则 A PP 3 1 任取x0 有 xAx xPPx 0 习 题 二 1 7 max 4 2 当 x0时 有 0 当 x 0时 显然有 0 对任意C 有 为证明三角不等式成立 先证明Minkowski不等式 设 1 p 则对任意实数 x y k 1 2 n 有 证 当 p 1时 此不等式显然成立 下设 p 1 则有 对上式右边的每一个加式分别使用H lder不等式 并由 p 1 q p 得 再用 除上式两边 即得 Minkowski 不等式 现设任意 y C 则有 3 1 函数的非负性与齐次性是显然的 我们只证三角不等式 利用最 大函数的等价定义 max A B max max max max 2 只证三角不等式 k k k k k k k k k k 4 列和范数 最大列模和 行和范数 最大行模和 9 5 非负性 A O时SAS O 于是 0 A O时 显然 0 齐次性 设C 则 三角不等式 相容性 6 因为I O 所以 0 从而利用矩阵范数的相容性得 即 1 7 设 A A C x C 且 A 则 nA A nA 8 非负性与齐次性是显然的 我们先证三角不等式和相容性成立 A a B b C C c C且 A B C 则 max m n max m n max m n A B max m n A max m n B max m l max m n max m n Minkowski不等式 max m n nAC max m n max n l AC 下证与相应的向量范数的相容性 设 x C d 则有 nA max m n A H lder不等式 A max m n A nAD max m n AD 9 只证范数的相容性公理及与向量2 范数的相容性 设 A a C B b C x C且 A B 则 Minkowski不等式 nab H lder不等式 A 10 利用定理2 12得 11 A cond A cond A 12 设x是对应于的特征向量 则A 又设 是C上与矩阵范数相容的向量范 数 那么 因 0 故由上式可得 习 题 三 1 当 1时 根据定理3 3 A为收敛矩阵 2 令S S 则 反例 设 A 则因 发散 故 发散 但 O 3 设 A 则 行和范数 0 9 1 根据定理3 7 I A 4 我们用用两种方法求矩阵函数e 相似对角化法 当 ia时 解方程组 ia A x 0 得解向量 p i 1 当 ia时 解方程组 ia A x 0 得解向量 p i 1 令 P 则P 于是 e PP 利用待定系数法 设e a q r 且 r b b 则由 b cosa b sina 于是 e bI bA cosa sina 后一求法显然比前一种方法更简便 以后我们多用待定系数法 设 f cos 或 sin 则有 与 由此可得 与 故 sinia A sinA 与 cosia I cosA 5 对A求得 P P PAP 根据p69方法二 e Pdiag e e e P sinA Pdiag sin 1 sin1 sin2 P 6 D D D 1 A J 现设 r t b b b 则有 b 1 b 2e te 2 b te e 1 于是 e r A t bI bA bA I 2e te 2 te e 1 同理 由 b 1 b tsint 2cost 2 b 1 tsint cost 将其代入 cosAt bI bA bA 求出 cosAt 7 设 f A S 则 f A 并且由于 S 所以 f A f A 8 1 对A求得 P P P J 则有 e PP sinAt PP cosAt PP 2 对A求出 P P J 则有 e PP sinAt PP cosAt PP 9 1 sinA cosA e I 2 sin A 2I sinAcos 2I cosAsin 2I sinA I 2I 2I cosA 2I 2I 2I sinA 1 2 2 I cosA 2 2 2 I sinAcos2 cosAsin2 3 的证明同上 4 因为 A 2iI 2iI A 所以根据定理3 10可得 e ee e I 2I 2iI 2iI e 1 2 2 i 2 2 2 I e cos2 isin2 I e 此题还可用下列方法证明 e ee ePP ePIP e 用同样的方法可证 e ee 10 A A 根据第7题的结果得 e e e 于是有 e e ee e e I 11 因A是Herm iA iA iA 于是有 e e ee e I 12 根据定理3 13 A e 利用定理3 14得 A A eI 13 A t detA t 1 0 det A t 1 A t A t 14 15 取 m 2 A t 则 A t A t 2A t A t 困为 所以当 A t A t A t A t 时 有 m A t 16 1 设 B X 则 BX 于是有 tr BX i 1 2 n j 1 2 m 由于 BX与 的迹相同 所以 2 设A f tr 则有 AX f 17 设A 则 F x 且 18 在上式中令t 0 则有 A 19 A x 0 A的最小多项式为 记f 并设 f g 则 于是 x t x 0 20 A f t x 0 det I A 根据 可得 于是 x t 习 题 四 1 Doolite分解的说明 以3阶矩阵为例 第1框 第2框 第3框 计算方法如下 先i框 后i 1框 先r后l 第1框中行元素为A的第1行元素 第2框中的为A中的对应元素减去第 框中同行的与同列的之积 第3框中的为A中的对应元素先减去第1框中同行的与同列的之积 再减 去第2框中同行的与同列的之积 第2框中的为A中的对应元素先减去第1框中同行的与同列的之 积 再除以 计算如下 1 3 0 2 3 0 2 2 6 A 2 Crout分解的说明 以3阶矩阵为例 第1框 第2框 第3框 先i框 后i 1框 每框中先l后r 第1框中的列元素为A的第1列的对应 元素 第2框中的为A中对应元素减去第1框中同行的与同列的之积 第2框中的为A中的对应元素减去第1框中同行的与同列的之积 再除 以 第3框中的为A中的对应元素先减去第1框中同行的与同列的之积 再减 去第2框中同行的与同列的之积 计算如下 1 3 0 2 3 0 2 6 6 A 2 先看下三角矩阵的一种写法 0 对本题中的矩阵A 求得Crout分解为 A 利用下三角矩阵的写法对上面的分解变形可得 A 3 对A的第1列向量 构造Householder矩阵使得 u 对的第1列向量 类似构造Householder矩阵 令 则有 R 并且 QR 4 对A的第1列向量 构造Givens矩阵 对的第1列向量 构造 令 则有 于是 1 设A 对向量组施行正交化 令 于是 写成矩阵行式 最后得 A QR 2 令 则 再令 最后令 A QR 7 0 1 u 1 1 H H 则有 HAH H是Householder矩阵 同理 对 取 c 0 s 1