2010年高等数学密押2.doc

高等数学密押试题二一、单项选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内不选、错选或多选者，该题不得分1函数的定义域为 【 】ABCD解：，应选D.2 【 】A4B1C0D2解：，应选A.3点是函数的 【 】A连续点B跳跃间断点C可去间断点D第二类间断点解：，点是函数跳跃间断点，应选B.4下列极限存在的有 【 】ABCD解：，其余三个均不存在，应选C.5当时，是比的 【 】A低阶无穷小B高阶无穷小C等价无穷小D同阶但不等价无穷小解：，同阶但不等价无穷小，应选D.6设函数在处连续，则 【 】ABCD解：，；因在处连续，所以，应选C.7.函数由方程确定，则该曲线过点的切线方程为( )A. B. C. D.8设函数在处可导，则的值可以为 【 】AB0C1D 2解：，要使此极限存在，必有，应选D.9设函数，则 【 】ABCD解：，应选A.10设函数由参数方程确定，则 【 】ABCD解：，应选C.11下列函数中，在区间上满足罗尔定理条件的是 【 】ABCD解：从端点函数值相等排除B,从闭区间连续排除C、D,只有A满足条件，应选A.12.设在内有定义，是的一个极大值点，则 【 】A.必是的驻点 B.对一切都有C.必是的极小值点 D.必是的极小值点解：由题知：时，可以得到时，即必是的极小值点.应选C.13曲线的拐点是 【 】ABC，D解：，应选D.14曲线 【 】A只有水平渐近线B既有水平渐近线，又有垂直渐近线C只有垂直渐近线D既无水平渐近线，又无垂直渐近线解：，得有水平渐近线，垂直渐近线，应选B.15.下列等式错误的是 【 】A. B.C. D. 解：根据积分的性质知，A、B、D都是正确的，而，应选C.16若函数的一个原函数为，则 【 】ABCD解：,又因，所以，应选A.17 【 】ABCD解：，应选B.18若为可导函数， ，且满足，则 【 】ABCD 解：等式两边对求导有,即，还有初始条件，代入得,所以，应选C.19.已知连续且，则 【 】A. B.C. D.解：设，则，所以，即有，应选C.20下列广义积分收敛的是 【 】ABCD解：对每个进行计算验证，只有是收敛的，应选D. 21直线与平面的位置关系为 【 】A直线与平面斜交B直线与平面垂直C直线在平面内D直线与平面平行解：由得：与不平行也不垂直，故直线与平面斜交，应选A.22曲面在点处的切平面方程为 【 】ABCD解：，所以点处的切平面法向量为，由此判断应选C.也可以把点坐标代入方程进行验证.23 【 】ABCD解：，应选D.24设函数，则 【 】ABCD解：，应选D.25.设是由所确定的闭区域，则【 】A.2 B. C. D.0解：区域是关于轴对称的，被积函数关于是奇函数，所以，应选D.26设，交换积分次序后，= 【 】 A B.C D.解：，从而，选D。27曲线积分，若是从点到的一条连续曲线段，该积分值为 【 】ABCD解：有此积分与路径无关,取折线，则 .应选B.28通解是(为任意常数)的微分方程为 【 】ABCD解：，应选D.29微分方程的特解形式应设为 【 】ABCD解：中的系数1是二重特征根，是二次多项式，特解形式应设为，应选C.30下列四个级数中，收敛的级数是 【 】ABCD解：级数的一般项的极限不为0；是调和级数去掉前两项；利用比值判别法知中，中是收敛的，应选B.二、填空题（每小题2分，共30分） 31.设，且，则.解：，这是恒等式整理得.32.函数 _.解：。33.曲线上的切线斜率等于的点为_.解：。34.曲线（为参数），则= _.解：。35.函数的单调递减区间为_.解：。36.曲线的凸弧区间为_.37 解：.38 解：函数在区间是奇函数，所以.39方程在空间直角坐标系下的图形为 解:椭圆柱面与平面的交线,是平面上的椭圆曲线.40设方程为常数)所确定的隐函数为，则 解： .41若，则 解：先把代入得，则.42直角坐标系下二重积分（其中为）化为极坐标形式为 解：.43以为解的二阶常系数线性齐次微分方程为 解：以为解说明二阶常系数线性齐次微分方程有二特征根,从而有,所求二阶常系数线性齐次微分方程为.44函数展开为的幂级数为 解：.45设级数收敛，则.解：收敛有，所以.三、计算题（每小题5分，共40分）46求解： .47设，其中在处连续，求解：因在处连续，有，所以 .48求不定积分解：. 49.求定积分. 解：. 也作代换，进行计算.50求三元函数的全微分解：根据微分性质有.51计算，其中由及轴所围成解：积分区域如图所示：把它看作X型区域,则有,所以.52求微分方程满足初始条件的特解解:这是一阶线性非齐次微分方程,它对应的齐次微分方程的通解为,设是原方程解,代入方程有,即有,所以,故原方程的通解为,把初始条件代入得:,故所求的特解为.53求幂级数的收敛半径和收敛区间(考虑区间端点)解：这是不缺项的标准的幂级数，且，收敛半径为；当时，对应的数项级数化为，该级数是交错级数为收敛的；当时，对应的数项级数化为，该级数也是收敛的；故该级数的收敛区间为 四、应用题（每小题7分，共14分）54. 在某池塘内养鱼，该池塘最多能养鱼1000尾.在时刻，鱼数是时间的函数，其变化率与鱼数及之积成正比.已知在池塘内放养鱼100尾，3个月后池塘内有鱼250尾，求放养月后池塘内鱼数 的函数.解：由题意可得，且 这是可分离变量微分方程的初始问题方程可化为，即，两边积分得：即，所以把条件得故放养月后池塘内鱼数 的函数为，即。55.设曲线,及所围成的平面图形为D.（1）求平面图形D的面积；（2）求该平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.解：平面图形如图所示：取为积分变量，且（1）平面图形D的面积为 （2）该平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积为 。五、证明题（6分）56.证明方程在区间内