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基桩缺陷定量的波动信号拟合技术 摘要 建筑物的全部荷载是由其下部结构来承载的。在众多的下部结构形式当中，桩结构由于具有抗震性 能好，成本较低，有利于实现基础结构工程的机械化和丁：业化等优点，成为一种常用的深基础形式，也 是一种颇有发展前景的深基础形式。但由于桩基工程为地下隐蔽t 程，加之地下情况复杂多变，桩基的 施工质量往往不易控制。为了准确得剑桩身质量，避免造成重人损失，基桩检测对桩基j 程来说有极为 重要的意义。 一 基桩检测的反射波法是一种快速、简洁的基桩检测方法。该方法具有很严格的理论基础，其检测结 果具有很强的可信性。但该方法的基础是杆中波的传播理论的解析解，因而该方法难以给基桩缺陷定量。 论文通过研究杆中波传播理论，在测得桩项输入波与反射波信号的前提下，提出了采用有限元技术，建 立求解桩土模型的方法。在此基础上，再结合实测的缺陷桩顶输入与反射波信号建立一种缺陷定量的拟 ，合方法与程序。另外，本文还提出了双速度动测方案，以建立能同时确定波速与桩长的适定方程。 本文在设计拟合算法过程中，通过分析w i l s o n 口法的计算原理，对w i l s o n 口法作出合理的修改， 使之可以计算刚性问题。在拟合过程中，提出了用波速来控制有限单元法计算过程中单元数和一种可以 拟合出桩底士刚度和土模型参数的方法。为了更为精确地得到士模型参数，还构造了一个拟合函数。 本文还通过实验，初步验证了文中方法的可行性。通过波形对比，也验证了w i l n 一口法计算桩的 反射波信号的准确性。 关键词：基桩缺陷，定量，信号拟合，动力学，有限单元法 a 东南人学硕士毕业论文 d e f e c t sf o u n d a t i o np i l eq u a n t i t a t i v ef l u c t u a t i o ns i g n a lf i t t i n g a b s t r a c t a l lt h el o a do fb u i l d i n g si sb o r n eb yi t ss u b s t r u c t u r e t h ep i l es t r u c t u r eh a st h ew e l le a r t h q u a k er e s i s t a n c e p e r f o r m a n c e ，t h el o w e rc o s t ，a d v a n t a g et or e a l i z a t i o nf o u n d a t i o nm e r i ta n ds oo nw h a ti ss t r u c t u r a le n g i n e e r i n g m e c h a n i z a t i o na n di n d u s t r i a l i z a t i o n b e c o m e so n ek i n d o fc o m m o n l yu s e dd e e pf o u n d a t i o nf o r mi n m u l t i t u d i n o u ss u b s t r u c t u r es h a p e a n di ti so n ek i n dq u i t eh a st h ep r o s p e c t sf o rd e v e l o p m e n td e e pf o u n d a t i o n f o r m b u tb e c a u s ep i l ef o u n d a t i o nt h ep r o j e c tf o rt h eu n d e r g r o u n dc o n c e a l e dw o r k , a d d st h eu n d e r g r o u n d s i t u a t i o nc o m p l e xc h a n g e a b l e ，p i l ef o u n d a t i o nt h ec o n s t r u c t i o nq u a l i t yi sn o to f t e ne a s yt oc o n t r 0 1 i no r d e rt o a c c u r a t e l yo b t a i nt h ep i l eb o d yq u a l i t y , a v o i d sc a u s i n gt h eh e a v yl o s s e s ，f o u n d a t i o np i l ee x a m i n a t i o nt op i l e f o u n d a t i o nt h ep r o j e c ts a i dh a st h ee x t r e m e l yv i t a ls i g n i f i c a n c e f o u n d a t i o np i l er e f l e c t i o nd e t e c t i n gm e t h o di so n ek i n df a s t ，t h es u c c i n c tf o u n d a t i o np i l ee x a m i n a t i o n m e t h o d t h i sm e t h o dh a st h ev e r ys t r i c tr a t i o n a l e ，s oi t se x a m i n a t i o nr e s u l th a st h ev e r ys t r o n gc r e d i b i l i t y b u t t h i sm e t h o df o u n d a t i o ni st h ew a v ed i s s e m i n a t i o nt h e o r ya n a l y t i cs o l u t i o ni nt h ep o l e ，t h u st h i sm e t h o dg i v e s f o u n d a t i o np i l et h ef l a wq u o t a 砸t hd i f f i c u l t y t h r o u g hs t u d i e st h ew a v ed i s s e m i n a t i o nt h e o r yi nt h ep o l e ， u n d e rp r e m i s et h a to b t a i n sh e a do fp i l et h ei n p u tw a v ea n dt h er e f l e c t e dw a v es i g n a l ，t h es o l u t i o no fp i l e - e a r t h m o d e lm e t h o di se s t a b l i s h e du s i n gt h ef i n i t ee l e m e n tt e c h n o l o g y i nt h i sf o u n d a t i o n ，r e c o m b i n a t i o nw i t ha c t u a l f l a wh e a do fp i l ei n p u ta n dt h er e f l e c t e dw a v es i g n a l ，o n ek i n do ff l a wq u o t at h ef i t t i n gm e t h o da n dt h e p r o c e d u r ea r ee s t a b l i s h e d i na d d i t i o n ，t w o - s p e e dd y n a m i ct e s t i n gp r o g r a m m ei sb r o u g h tu pt od e t e r m i n e v e l o c i t ya n dl e n g t ho ft h ef i t n e s se q u a t i o n i nt h ep r o c e s s i n go fd e s i g n i n gt h es i g n a la p p r o a c ht od i a g n o s i so fp i l e ，i no r d e rt oc a l c u l a t et h es t i f f n e s s q u e s t i o n ，t h ea u t h o rm o d i f i e st h ew i l s o n - 0t h e o r y , w h i c hb a s e do na n a l y s i so nw i l s o n - 0m e t h o d a n di nt h e p r o c e s s i n go ft h ea p p r o a c h ，aw a yt od e t e r m i n a t et h ea m o u n to fp i l es e g m e n tw h i c hc o u p l e sw i t ht h ew a v e v e l o c i t yw a sc r e a t e d ，a n dam e t h o dw h i c h c a nc o m p u t et h ec o e f f i c i e n to ft h ep l i eb o t t o mc u s h i o na n di n f e c t i o n o fs o f tw e r eb r o u g h tu p ，a n ds of u n c t i o nw h i c hc a ni n c r e a s et h ep r e c i s i o no fi n f e c t i o no fs o i lw a s ae x p e r i m e n tt ov a l i d a t et h et e c h n i q u ei nc o r r e s p o n d e n c e 谢t ht h ep l a s t i cp i l er e f l e c t e ds i g n a lw a sd o n e ， w h a ti n d i c a t e sa c c u r a c yo fc a l c u l a t i o nw i t hw i l s o n - 0m e t h o de l e m e n t a r i l y k e yw o r d s ：p i l ei n s p e c t i o n ，q u a n t i t a t i v e n e s s ，f i t t i n gs i g n a l ，d y n a m i c s ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d b 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 贰f 够ti r 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和 纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办 理。 研究生签名：鞲导师签名滩 1 1 论文背景 第1 章绪论 桩结构是1 ：程建设中重要的基础形式，它在高层建筑、重型厂房、桥梁基础、海上平台、水利设施和核 电站等工程中得剑了广泛的应用。但由于施上条件的限制，缺陷桩的比例比较大，对整体工程质量的影响严 重，因此桩身质量的诊断技术值得引起重视。 传统的桩身质量检验方法主要有取芯法、超声法和射线法等。随着波动理论、振动工程、信号分析技术、 电子技术和计算机技术的不断提高，振动法和波动法动态诊断技术取得了迅速的发展和广泛的应用。 这些动态诊断技术既适用于打入桩，也适用于灌注桩。一般能够诊断桩儿何尺寸、断面质量和建筑材料 质量偏差和波速、机械导纳与动刚度等力学参数的变化，并为承载力估计提供了必要的基础。 目前国内的基桩检测技术一般停留在能定性地检测基桩的好坏及缺陷位置的确定，而不能定量检测 缺陷程度，即基桩是否存在缺陷可以检测出来，但是缺陷大小，是否会影响到基桩的工作性能，进而判 断是否需要修补的这个层次还没有深入的研究。 1 2 基桩检测技术发展过程 1 8 8 3 年s t v e n a n t 首先分析了一个一端同定的有限长的杆在自由端被一刚体撞击的情况，给出了应力波 在杆中传播的解答。这种情况虽然与打桩有区别，但这项分析还是提供了打桩时应力波在桩中传播的基本规 律。1 9 3 1 年i s s a c s 幢1 指出，打桩是波的传播过程，可用一维波动方程来描述。1 9 3 2 年f o x 1 在许多简化条件下， 给出了一个打桩分析的波动方程解答。后来这方面研究一直未有大的进展。直到6 0 年代初，随着大型电子计 算机的出现与发展，用数值方法求解波动方程已成为可能。1 9 6 0 年s m i t h h l 个描述锤一桩一土系统的离散的数 学模型，借助于电子计算机，用差分法求得了相应的解答，并给出了土和系统单元参数的建议值。 沿着这个方向，后来许多学者进步研究和发展了s m i t h 方法。这个方法后来称之为“波动方程”分析。 最初用于预估桩承载力和桩中应力，后来也用于沉桩能力分析上。 至今已经设计了许多“波动方程”分析程序。其中以t e x a s 运输研究所设计的1 1 1 晦1 和g o n e 等完成的 w e a l 最为重要。1 w 程序是在t e x a sa & m 大学的程序基础上改进和发展的。w e a l 程序改进了对柴油打桩 系统的分析，并首先完成了计算的力和速度时程曲线与现场测量结果之间广泛的相关性研究。随后对w e a l 程序进行了改进，先后推出w e a p 8 6 、w e a p 8 7 和c r l w e a p 程序。最新的g r l w e a p 程序功能更齐全， 使用更方便。 从1 9 6 4 年至1 9 7 5 年的1 2 年间，美国c a s e 技术学院( 现为c a s ew e s t e r nr e s e r v e 大学) g o b l e 领导的研究 小组进行了桩基应力波检测测量技术和理论分析的系统的研究，取得丰富的研究成果。在测量技术方面，他 们改进了应变测量技术，设计了可重复使用的应变传感器。采用模拟一数字转换技术，利用微机可以方便地储 存和处理测量数据，完善了力和速度的测量系统。1 9 7 2 年这个研究小组成立了“桩动力公司”( p d i ) ，并开始 生产打桩分析仪( p d a ) 。 在理论研究方面，这个小组的主要贡献是以在桩顶直接测量的力和速度时程曲线作为求解波动方程的边 界条件。这样就避免了不易确定的锤子和垫层性能影响，为桩承载力的精确计算创造了条件。在作了许多假 定之后，他们推导出了波动方程的一个准封闭解。这就是著名c a s e 法。它是利用在桩头附近测得的桩截面上 承受的力和质点速度作为输入数据，通过简单的计算公式，即可获得桩的极限承载力。这个方法简单，具有 现场实时处理功能，获得了广泛的应用。但它在确定桩承载力时还须要经验地给出桩尖处的阻尼系数，且仅 能提供总的承载力，而不能给出摩阻力沿桩身的分布和端阻力。针对这种情况，他们又发展了c a s e 法，r a u s c h e 等于1 9 7 2 年提出了一个桩波动方程分析程序，简称c a p w a p 法。这是桩波动方程分析的一个突破性进展。 这种分析技术也以桩顶力和速度时程曲线作为边界条件。然而它却能给出摩阻力沿桩身的分布和端阻力，以 东南人学硕十：毕业论文 及模拟静载试验的荷载沉降曲线。同时还可提供土层的物理力学参数：阻尼系数、极限静阻力、最人弹性 位移，而不需要人为地确定。从而大大地减少了桩极限承载力确定中的经验成分。该方法最初采用了像s m i t h 法那样的离散的计算模型，使用了动力有限元法中的w f l s o n - 0 线性加速度方法求解波动方程。首先对假没的 土性参数，计算出桩顶的力曲线，并与实测的桩项力曲线进行对比。若两者相差较大，则修改土参数，重新 求解波动方程。这个迭代过程一直进行到计算的和实测的力曲线之差达到所要求的误差为止。这个计算过程 也可以看作力曲线( 或速度曲线) 的拟合过程。因此也可称它为信号拟合法。后来又作下不少改进，特别是 替代了离散模型，改用了连续杆模型，并采用了特征线法求解波动方程。这样显著提高了计算精度。 1 9 6 6 幅1 年美国芝加哥市的两座高层建筑物基础的墩基出了毛病，要求提供一种检验已浇注墩基的可靠方 法。b a k e r 和k h a n 提出了8 种检测墩基缺陷的可能方法。其中提剑3 种不同的地震波及波速测量方法，但认 为地震法经验有限，成果还是不肯定的。s t e i n b a c h 和v e y 对应力波传播法在探测桩及墩基缺陷方面做了比较 系统的研究。他们首先在实验室内进行了铝棒和混凝土棒的模型试验。试验结果显示了这种方法用于探测混 凝土断裂的可能性。随后又进行了现场试验，证实了应力波传播法可以用来探测混凝土桩及墩基中的断裂。 由于这个方法快速、无损、经济，所以发展很快。后来被称为声脉冲反射波法或低应变法。t n o 研制了一系 列桩完整性检测的基桩诊断系统田p d s ) ，并将这项技术推广到了世界各地。 早在1 9 7 9 年r a u s c h e 等m 1 采用c a s e 试验方法来检测桩的完整性。他们引入了一个定量描述桩身中缺陷的 完整性因子。它是桩身缺陷处下部和上部波阻抗之比。用这个指标可以对桩身中缺陷处损坏的严重程度进行 分类。他们还给出了计算这个冈子的一种计算方法。后来，他们将确定桩承载力的。奸w 奸法用于低应变试 验结果的分析，提出了一个桩完整性分析的信号拟合方法，称为p i t w a p 法，这个方法以桩顶测量的力或假 设的力作为输入数据。计算桩顶的速度，并将它与测量值进行比较。这里土阻力的分布是不知道的，须参考 邻近桩的结果。若计算的和测量的速度曲线不一致，则将调整桩的模型，重复上面分析直到达到最佳拟合为 止。在低应变试验中，通常仅测量桩顶加速度( 通过数值积分转变为速度) ，因此力时程曲线是不完全知道的( 在 撞击过程的早期，力与速度成正比) 。同时土阻力分布也不能精确了解，这些都会给计算结果带来较大误差。 r a u s c h e 等采用p i t w a p 信号拟合方法，对桩身中可能出现的不同类型、不同损坏程度的缺陷，以及各 种士阻力分布情况进行了计算模拟，给出了一系列的低应变试验模拟图例。这些图例对于识别各种类型缺陷 的反射波波形和土阻力的影响是有帮助的。 另外一种检测桩完整性的低应变方法是首先在法国【8 l 发展起来的动力响应方法，或称机械阻抗法，这个方 法在我国也获得了广泛的，电用和发展。该方法一般分为两类：稳态机械阻抗法和瞬态机械阻抗法。这种方法 的基本原理是将桩一土结构看作一振动系统。当用较小的力在桩顶进行激励时，由于系统振幅较小，这时可近 似将桩一土系统作为线性系统处理。因此可将线性振动系统的一些概念和分析方法引入桩一土系统的振动分析 中。它的试验结果分析，不像反射波法的时域分析，都是在频域中进行的。首先利用快速f 0 u r i 盱变换m 将激振力和速度响应曲线表示成它们的频率谱。用力的谱除速度谱得到导纳幅频曲线，它的倒数即是机械阻 抗。通过对导纳幅频曲线分析来识别缺陷的存在及可能的类型。这种方法除测量桩顶加速度外还需测量激振 力。在分析中须进行矸t 变换。它比反射波法要复杂些。为了获得可靠的判断，有时可将这两种试验结果进 行对比。 1 3 基桩检测近代主要动测方法概述 近代主要动测方法有基于波动理论的动测法和基于惯性力叠加原理的准静法两类。 1 j 1c a s e 法 利用安装在桩顶以下1 1 1 5 倍直径处的应变传感器和加速度计分别测得锤击之后的戍变e ( f ) 和加 速度口o ) ，前者乘以桩的弹性模量和面积可得测量点处的力，o ) 后者对时间积分可得测点处的速度 ，o ) 。 锤击之后，作用于桩的总十阻力【9 l 为 2 第1 章绪论 r 一 ，( ) + f ( t ：) + z 【v ( ) - v ( t 2 ) ) 】2( 1 1 ) 式中，t 2 = + 2 l v 。；f 1 一选用的计算开始时刻；z 一桩的阻抗；一桩长；k 一应力波波速，对 于一维桩k 一而。 总土阻力为静阻力r 和动阻力吃之和，一般采用阻尼法从总土阻力中消去心，以确定静极限载 荷。该法假定阻尼力集中在桩尖并与桩尖质点的运动速度成正比。阻尼法求得的静极限载为 足t ( 1 - j 。) 【，( f 1 ) + z 、，( f 1 ) 】2 + ( 1 + j 。) 【f o ：) 一z v ( t ：) 1 2( 1 2 ) 式中，以为凯斯阻尼系数，主要与土颗粒大小有关。 在使用该方法时，应着重考虑以下问题：( 1 ) 凯斯阻尼系数的合理选择；( 2 ) 计算机时间的选择，一般 选在第一个速度最人值：( 3 ) 桩侧摩阻力修正，对摩擦灌注桩该项成为重要的考虑内容；( 4 ) 桩侧阻力因卸 载的补偿；( 5 ) 土强度随时间而发生的变化等。 1 3 2c a p w a p c 程序法 c a p w a p c 法是基于连续弹性体杆模型的凯斯波动分析的程序方法。它将前述凯斯法在现场实测 的波形曲线输入到更精密的桩一土波动模型程序中去，通过计算值与实测值的反复比较、迭代和不断修改 桩土参数值使之符合收敛标准，从而求得土阻力值。 1 3 3s t a t n a m i c 法( 准静态测试法) 准静态测试法是基于桩顶受到轴向反冲力作用下的力叠加原理。通过在汽缸中燃烧一种特殊燃料， 从而利用桩项上的压块的反冲作用在桩上产生压力，这种反冲力的作用，构成桩顶的动态载荷。 测试装置包括一个桩项上的压力传感器，用来测量作用力；一个激光传感器，用来测量桩头的沉 降。在压力传感器上放置了一个活塞，汽缸和平台组成一个整体，汽缸和活塞构成燃烧室。方块或圆环形 状的铁块、混凝土块或铅板等反压体所产生的反作用力通过活塞向桩项传递。另外，还有一个沙砾容器 放置在桩顶周闱并被支撑在两边的土地上。反压块和桩项之间灌满沙砾，这些沙砾用于接住冲击后反弹 回来的反压块体，以保护汽缸和桩顶使之不会直接相撞。该法的荷载力和加载时间可通过燃烧室的容量、 活塞和汽缸的形状、燃料的数量和反压体的大小来控制。因此，可比锤击动荷载进行得更平稳而加载时 间也更长。动静法的长效应使桩处于持续的压力下，较长的作用时间对桩的各个部位都提供了一个相拟 的沉降行为，并且较低频段内的力谱不激起桩体本身的各阶弹性体振动及波动现象，就象静测法所看到 的一样。这样可以简化桩一土模型，而不必考虑张力波现象。桩被当作一种刚体，而仅有准静力、惯性力 和土阻力作用其上。 准静态测试法的开发从1 9 8 8 年开始，到目前为止该方法己在加拿大、美国、荷兰、日本、德国、韩 国和以色列等国作过演示，并多次在中国作过介绍。现在的设备可作1 6 m n 以下的检测。3 0 m n 以上的更 大能量的设备正在研制。 1 4 本论文的研究内容 我国每年的用桩量超过3 0 0 万根，如此大的用桩量，如何保证质量，一直备受建设、施工、设计、勘察、 监理各方以及建设行政主管部门的关注。由于桩的施工有高度的隐蔽性，而影响桩基r 程的因素又多，所以 桩的施f 质量具有很多的不确定性冈素，更容易存在质鼍隐患。桩基的r 程质量问题将直接危及主体结构的 正常使j j 与安全。因此，加强基桩施工过程中的质量控制和施： 后的质量检测，对确保整个： 程的质量与安 全有重要意义。 基桩检测是获得没计所需各项参数、控制施上质量、评定桩基一r 程质量的重要手段，对优化基桩设计、 3 东南大学硕士毕业论文 保证上程质量、排除安全隐患、避免不必要的浪费起着重要的作用。2 0 世纪8 0 年代以来，我国的基桩检测 技术特别是基桩动测技术得到了飞速发展。目前已有近干台美国桩动力学公司( p d i ) 的基桩检测产品在全国 各地，各个行业广泛使用。 但是对基桩完整性检测技术，现在还处于不完全发达的状态，有两个问题没有解决：一是桩长的检测； 二是缺陷的定量。与前者有关的方程是一个欠定方程，即波速，桩长和时间三者当中只能知道时间，所以波 速和桩长只能是满足个关系。这样一旦施工方和监理相互串通，那带来的灾难将是难以估计的。对于第二 个问题，现在还没有公开发表理论上解决的办法，也就是包括反射波法，声波透射法在内的所有的基桩完整 性检测的方法只能得到缺陷的形式( 扩颈，缩颈和离析) 和位置，但是对缺陷的定量还是没有什么特别有效 的方法。 本论文在总结现有的基桩检测技术的基础之上，尝试解决以上提出的两个问题。在一个传感器没有办法 解决的波速与桩长的矛盾的情况下，拟采用两个传感器，用波程差的办法解决这个矛盾。在缺陷定量这个问 题中，采用w d s o n 0 方法求解桩一土结构的振动模型，以真实的力输入信号为激励，以实测输出速度信号为 拟合对象进行信号拟合，当拟合的信号符合要求时，此时从对应的有限元模型桩的参数中就能识别出桩实际 缺陷程度。这样就形成了一类以基桩桩顶的输入与反射波信号测试为前提，以本文所建立的波动信号拟合技 术为分析手段的基桩缺陷定量检测技术。 总之，本文研究目标是：1 通过双速度波动信号测量建立能同时确定波速和桩长的适定方程，从而能同 时识别出波速与桩长；2 建立一类波动信号拟合方法与程序，以解决桩基缺陷的定量问题。 4 第2 章杆的纵向振动与波动理论 2 1 无阻尼杆的纵向振动方程与解 2 1 1 无阻尼杆的纵向振动方程 取杆的纵向作为x 轴，各个截面的纵向振动位移表示为“0 ，f ) ，杆的微 元出在自由振动中的受力如图2 1 所示。 设杆的密度为p ，杆长为，横截面积为a ，材料的弹性模量为e 。又 设在任意一截面x 处，纵向应变表示为o ) ，杆的轴力为n ( x ) ，则： o ) 。_ 8 u ( 2 1 ) ) a e e ：彳i o u ( 2 2 ) 而在x + 出处截面的张力为 + 要出；倒_ o u + 可0 2 u 豇) o批xo x 一 由牛顿第二定律得： p 彳出矿8 2 u t a e 缸8 2 u 。d x 整理得无阻尼杆的纵向振动的微分方程为： 8 2 u1a 2 u a x 2 屹2o t 2 f 式中，k ；兰为纵波在杆中传播的速度。 p 2 1 2 无阻尼杆振动方程的解 采用分离变量法，将u ( x ，f ) 表示为 u ( x ，f ) 一x 炒o ) 由参考文献【1 0 】得 f u ( t ) = c l s i nc o t + c 2 c o s o 1 x o ) ；c 3 s i n 竺x + c , c o s 竺工 【 y c 式2 5 中，为杆纵向振动的l 吉l 有频率，由边界条件确定。 5 图2 1 杆的纵向振动 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 东南大学硕i ：毕业论文 2 2 各种边界条件下无阻尼杆的固有频率和振型 2 2 1 两端自由杆 两端自由边界条件给出了一般桩的力学约束模型，当土质刚度和阻尼远低于桩身时，就类似于这种 情况【1 。 此时杆的两端的应力为零，即 坚l 。坚i 。0 一l l l i 出k 出i ，一 将式2 5 代入得 c e 3 詈- 0 咖詈 由式2 7 第二个方程可得 一0 或 s i n 竺z 。0 屹 所以杆的固有频率为 哆一竽后扛m 哆2 ，j l2 u ，j ，厶 相应的振型函数为 置 ) 一c o s 孚州l 2 2 2 2 一端自由，一端固定 其边界条件为 和2 2 1 节同理，可得此边界条件的杆的固有频率为 其振型函数为 q ；_ 2 i - 1 _ 石厚f 坛q 2 _ r 了万。1 n ， 置( x ) = s i n ( t 2 - 1 了刀r x ) f = o ，聃一 6 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 却帅 删警 第2 章杆的纵向振动与波动理论 2 2 3 两端固定杆 边界条件为 x ( o ) = 石( z ) 。0 由此得到杆的同有频率为 q - i x 厚f 。0 , 1 , 2 ， 妒丁石扣 ， 相应的振型函数为 x i o ) 。s i n 【_ l l l x ) i ：0 , 1 , 2 ， 2 2 4 一端自由，一端弹性支撑 其模型如图2 2 所示，设底部弹簧等效刚度为屯，其边界条件为 隐“ 匿k 【1 2 f 竺z t 觚竺f ；型 阶軎良k 4 e b _ _ l 屹以丘 7 ( 2 1 6 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 图2 2 一端自由一 端弹性支撑杆模型 仁1 7 ) ( 2 i s ) 东南人学硕l 二毕业论文 = = 。一 。义 毒毒毒3 o0 万h 3 r e 5 0 4 2 ：t 1 2 断2 幼 3 1 4 ：r 0 5 ：r 1 5 ：r2 5 a 3 。5 ：r 2 3 桩的振动方程及土阻抗的影响 以上讨论了直杆的振动特性，这些特性是在略去桩周士阻抗 的影响时得到的，一般情况下，这些研究的结果能较好的近似描 述桩的导纳特性。实际上处于地下的混凝士桩同时承受着桩周和 桩底土阻抗的影响，当这些参数和桩体的刚度和阻尼参数可比拟 时，则会对桩的导纳特性产生较明显的影响。 2 3 1 振动方程及其解 图2 3 给出了处于土中的实际完整桩模型。桩周土阻抗用连续 分布的线弹簧k 和比例阻尼c 表示。由于桩底的面积远小于桩周面 积，故略去桩底阻尼【1 1 j ，而只考虑桩底土刚度的影响，并作为桩 的下端边界条件用弹簧k 来表示。 类似于无阻尼杆可得桩土结构的振动微分方程为 害+ c 詈+ 妇一舡窘 9 ， 下面就用分离变量的方法来解式2 1 9 。 设 u ( x ，f ) 一u 0 沙o ) 将式2 2 0 代入2 1 9 式： p a t + c t + k t ，堡；咖s f l ；a 2 一曩一昌f - ，j n 譬 暑 嫦髅p a t ) 二鬻a ：a e ) t ：0 i+ c r + ( 七一九2 = 由微分方程基本理论可知 【，o ) ；c , e 从+ c 2 e h 设a j 成，则u ) tc l p h + c 2 p h = c l e 7 舡+ c 2 e 一 由e 。+ ”= e x ( c o s y + j s i n y ) 得： u ) 一c l ( c o s 成z + j s i n 成工) + c 2 ( c o s 成x - - j s i n 成石) 8 图2 3 桩土结构模型 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 第2 章杆的纵向振动与波动理论 令 一( c l + c j ) c o s a x + _ ( g c 2 ) s i n a x c 3 = c l + c 2 ，c 4 = ( c 1 一c 2 ) u o ) 一c 3 c o s a x + c 4 s i n 成x 式2 2 2 第二式对应的特征方程为：p a r 2 + c ，+ 一a 2 a e ) = o 其解为： 伊型-c+_xc孚2-4pa(k-a2ae)一面c 将a = j 成代入得： c 气：一面 c 2 一2 p a _ j i 一鼍4 - j h 其中，芋2 丽c 为阻尼比， 所以： 匕= 层 丁o ) = e 母( c s c o s c ot + c 6s i n c o t ) 即原微分方程的一个解为： 为固有频率。 “o ，f ) 一u o 矿o ) = ( c ，c o s 成x + c 4 s i n 成x ) ( e 一静( c s c o s o ) n t + c 6s i n 鸭f ) ) t e 琦( c 3 c o s f l x + c 4s i n f l x ) ( c 5 c o s t o t + c 6 s i n c o t ) 2 3 2 桩端部受一脉冲激励下的响应 桩的端部受到一个幅值为，的脉冲激励，以下来计算此时考虑土阻抗的桩的响应。 设置一c 3 ，最= c 4 ，岛一c 5 ，反= c 6 u ( x ，f ) - e 母 置c o s ( 成x ) + 最s i n ( 成工) 色c o s ( f ) + 只s i n ( q f ) 9 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 东南人学硕上毕业论文 一雕一a bc o s ( 成x ) + 也s i n ( 成z ) 色c o s ( 鸭f ) + 见s i n ( f ) 初始条件【1 2 】： f u ( x ，0 ) ；0 o u ，o ) 1 6 0 ) ( 2 2 8 ) 【o t a p 即： 卜o ，o ) 一岛 最c o s ( 成z ) + & s i n ( 成z ) 】= 0 1 半一日e b , c o s ( f 1 x ) + b 2 s i n ( f l , , x ) 】_ 地 b , c o s ( & x ) + b es i n ( & x ) i 】；等 边界条件： 甏m 沪。 ( 2 2 9 ) o u 瓤( o , t ) = e _ v b z , , b 3c a ：) s ( q f 只s i n ( f ) 】= 。 o u 忑( 1 , 一t ) + 面k b 比u ，f ) = p 母 一z i p s i n ( 成z ) + b 2 f l , c o s ( f 1 1 ) b 3c o s ( f ) + 日s i n ( f ) + 鲁e 哮 b , c o s ( 成z ) + 嘎s i n ( 成f ) 】【色c o s ( f ) + 0 s i n ( f ) 】一。 由2 2 7 中第一式得：马= 0 由2 2 8 中第一式得：嘎一0 所以式2 2 7 ，2 2 8 ，2 2 9 可以简化为： u ( x ，t ) 一p 一争e 只c o s ( a x ) s i n ( w t ) o u f ( x , o ) = 日且c o s ( 成x ) ；_ 1 6 矿( x ) e 毋且只成s i n ( 成z ) s i n ( f ) = 鲁e 砖且鼠c o s ( 色z ) s i n ( q f ) 式2 3 2 又可以化成 成s i n ( 成z ) = 以k - 笠_ b c o s ( 成，) 即 f l 。t a n ( 艄。鲁 令吃l 尽反 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 第2 章杆的纵向振动波动理论 则式2 3 0 可以写成 u ( x ，t ) = e 曾蛾c o s ( f l n x ) s i n ( t o n t ) 设满足式2 3 3 的解为成，由叠加原理，式2 2 8 中第二式可以写成： 荟o o 见酬纠= 等 式2 3 5 可以看成她的傅氏级数展开，则： a p 只鸭= 瓢等酬成x 诳= 副6 ( x ) c o s ( 成批 由6 ( x ) 具有的筛选性质得： 所以 e 。云知6 。) c o s ( 成x 渺= 云乞c o s ( 。) = 石2 1 石辛或一鬲2 1 俐一盖p 母耋毒c o s c 删俐 2 4 波动基础 2 4 1 波动方程 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 传递波动的物质称为介质。构成这种介质的物质的运动随时间的变化，称为振动；整个介质随空间、 时间的运动变化情况，则称为波动。 正弦波随时间沿x 方向的传播，可视为最简单的例子，它可以表示为距离x 和时间t 的函数 h ，f ) 一a s i n ( k x 一耐)( 2 3 7 ) 其中彳为振幅，k 为波数，为角频率。式2 _ 3 7 又称为波动方程。 2 4 2 波的种类和形式 一、波的种类 波的种类是根据介质质点的振动方向和传播方向的关系来区分的，它分为纵波、横波、表面波等。 1 纵波 弹性介质当受到交替变化的拉应力和压应力作用时，就相应地产生交替变化的伸长和压缩变形，质 点产生疏密相间的纵向振动，振动义作用于相邻的质点而在介质中传播。此时介质质点的振动方向和波 的传播方向相同，这种波成为“纵波”。 任何弹性介质在体积变化时都能产生弹性力，所以纵波可以在任何弹性介质( 固体，液体，气体) 中传播。由于纵波的发生与接收都比较容易，因而在上业探伤和动态诊断中得到广泛的应用。本文所用 1 1 东南人学硕l | 毕业论文 、 的波动方法就是采h j 纵波。 2 横波 同体介质除具有体积弹性外，还具有剪切弹性。同体介质当受剑交变的剪切力作用时，将会相应地 发生交变的剪切变形，介质质点产生具有波峰和波谷的横向振动，振动又作用于相邻的质点而在介质中 传播。此时介质质点的振动方向和波动的传播方向垂直。这种波称为“横波”，又称为切变波。液体和 气体由于没有剪切弹性，所以液体和气体内部只能传播纵波，而不能传播横波和具有横向振动分量的其 他波。 3 表面波( 瑞利波) 固体介质表面受到交替变化的表面张力，使介质表面的质点发生相应的纵向振动和横向振动，结果 使质点做这两种振动的合成振动，即绕平衡位置做椭圆振动，椭圆振动又作用于相邻的质点而在介质表 面传播，这种波称为表面波。质点振动的椭圆，其长轴垂直于波的传播方向，短轴平行于波的传播方向。 二、波的形式 波的形式有时亦称波形，它是根据波阵面的形状来区分的。这里讨论波阵面的几何形状，以便形象 地描绘声源在弹性介质中振动时的传播过程。按波阵面的形状可把波分为平面波、球面波和柱面波。 1 平面波 波阵面为平面的波称为平面波。一个作谐振动的无限大平面在各向同性的弹性介质中传播的波是平 面波，其波阵面与声源平面相平行。另外，从无穷远的点状声源传来的波，其波阵面可视为平面，故也 可视为平面波。 若介质不吸收能量，则平面波质点振动的振幅不变，其波动方程为 y a c o s ( o ( t 一与 屹 ( 2 3 8 ) 2 球面波 设在各向同性的介质中的一点为振动中心，即为振动的发源点，由于介质是弹性的，波就向空间四面八 方传播，又因介质各向同性，所以各个方向传播的速度一样，它的波阵面为球面，这种波称为球面波。在介 质不吸收能量时，球面波的振幅也要逐渐减小，根据通过个波阵面的通量相等原理，可以得到球面波的波动 方程为 y 。兰c o s o 一二)一一c o s u 一一j ， 心 式中，为振动点到振动源的距离。 3 柱面波 波阵面为同轴圆柱面的波称为圆柱波。其振动源是无限长的直柱形。波动方程为 y 。a - - c o s ( t - ， p 、l r rc o s ( t - v - - c ) 2 4 3 声场特征量 ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) 充满声波的空间叫做声场。声压、声强度、声阻抗是描述卢场特征的几个重要物理量，即为声场特 征量。 一、声压 声场中某点在某一瞬时所具有的压强墨与没有声波存在时同一点的静态压强昂之差称为声压尸， 单位为帕斯卡，即p a 。对于平面波场，即波动方程2 3 8 所具有的声压为 1 2 第2 章杆的纵向振动与波动理论 p 一一彳叩匕s i n w ( t 一二) = p 屹v( 2 4 1 ) 其中， ，为质点振动速度。可知，声压的绝对值与波速成正比，也与频率成正比。 二、声强度 在垂直于声波传播方向上单位面积、单位时间内通过的声能量成为声强度( 简称声强) 。单位为聊2 。 纵波在各向同性的i 司体介质当中传播时，声强度公式为 1 j 一二p ，彳2 t 0 2 2 三、声特性阻抗 由式2 a 1 可知，在同一声压p 下，p k 越大，质点振动速度l ，就越小；反之，就越大。所以把以称 为介质的声特性阻抗率，它直接表示介质的声学性质，其单位为p a s m 。 四、声速 声波在介质中向前传播的速度，称为声速。声波有着不同的波形，即纵波、横波、表面波等，对于不同 波形的声波，其传播速度不同。声速还决定于介质的性质( 密度和弹性模量) ，所以它是表征介质声学特性的 个参数。 1 纵波波速 ( 1 ) 无限大固体介质中的声速为 v a2 ( 2 ) 杆中纵波波速为 f e 2 、万 2 横波波速 无限大固体介质中横波波速为 g 。、万 3 表面波波速 0 8 7 + 1 1 2 z 2 i i 一 其中，e 为弹性模量，p 为密度，z 为泊松比，gt 2 5 弹性波在杆内的传播 为剪切模量。 弹性波在介质中传播有反射，透射。根据边界条件的不同，其反射和折