（应用数学专业论文）非游荡算子链回归集上稳定性及半群张量积的研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文在算子超循环性 混沌性的基础上 以微分动力学的思想及 算子 复合算子 半群的基本理论为工具 对算子的非游荡性及半群 的非游荡性作进一步的推广研究 特别地在无穷维可分b a n a c h 空间上 引入链回归集的概念 并运用泛函分析的方法及伪轨这一工具证明了 其上的非游荡算子的存在性 并举例说明在具有无条件基的无穷维可 分的b a n a c h 序列空间上是存在的 接着 在链回归集的基础上 本文结合q 稳定性概念给出了非游 荡算子r 稳定性的这一定义 然后结合公理a 系统证明了非游荡算子在 链回归集上具有r 稳定性 并应用此性质得到了几个有用的结果 最后 本文对半群t t x s t 的非游荡性作出了研究 根据无穷维可 分b a n a c h 空间上非游荡算予以及b a n a c h 空间上的非游荡算子半群的定 义 通过在无穷维可分b a n a c h 空间中引入非游荡标准 n w c 和非游 荡回归标准 r n w c 并证明半群t t x s t 在r f 或s f 至少有一个满 足非游荡回归标准 r n w c 的情况下具有非游荡性 关键词 混沌算子 超循环算子 半群 非游荡算子 半群 拓 扑稳定 伪轨 链回归集 强连续半群 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep a p e rt a k e st h em e t h o do fd i f f e r e n t i a ld y n a m i c sa n db a s i ct h e o r i e s o ft h eo p e r a t o ra st o o l so nt h eb a s i so fh y p e r c y c l i c i t yo fo p e r a t o r c h a o s a n ds e m i g r o u p sa n dd o e sf u r t h e rr e s e a r c ht ot h en o n w a n d e r i n gp r o p e r t yo f t h e o p e r a t o r a n ds e m i g r o u p s e s p e c i a l l y i nt h i s p a p e rw ei n t r o d u c e r e c u r r e n ts e ti ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls e p e r a b l eb a n a c hs p a c ea n ds h o wt h a t t h e r ee x i s t san o n w a n d e r i n go p e r a t o ro nr e c u r r e n ts e tb ym e t h o d so f f u n c t i o n a la n a l y s i sa n dt h et o o lo fp s e u d oo r b i t m o r e o v e r w ep r o v et h a t e v e r yi n f i n i t ed i m e n s i o n a ls e p e r a b l eb a n a c hs p a c ew i t ha nu n c o n d i t i o n a l b a s i ss u p p o r t san o n w a n d e r i n go p e r a t o ro nt h er e c u r r e n ts e t n e x t o nt h eb a s i so fr e c u r r e n ts e t w eg i v et h ed e f i n i t i o no fr s t a b i l i t yo ft h en o n w a n d e r i n go p e r a t o rw i t hqs t a b i l i t y a n dw es h o wt h a t t h en o n w a n d e r i n go p e r a t o ri sr s t a b l eb yu s i n ga x i o ma u s i n gt h i s p r o p e r t y w eg e ts o m eg o o d r e s u l t s i nt h ee n d w ed of u r t h e rr e s e a r c ht ot h en o n w a n d e r i n gs e m i g r o u p s 丁o s f b a s e d o nt h ed e f i n i t i o no ft h e n o n w a n d e r i n go p e r a t o r a n d s e m i g r o u p si ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls e p e r a b l eb a n a c hs p a c e w ei n t r o d u c e t h en o n w a n d e r i n gc r i t e r i o n n w c a n dt h er e c u r r e n tn o n w a n d e r i n g c r i t e r i o n r n w c t h e n i ti s p r o v e dt h a ts e m i g r o u p st t xs t i s n o n w a n d e r i n g i f r t o rs f s a t i s f i e st h er e c u r r e n t n o n w a n d e r i n g c r i t e r i o n r n w c k e y w o r d s c h a o t i c o p e r a t o r s h y p e r c y c l i co p e r a t o r sa n ds e m i g r o u p s n o n w a n d e r i n go p e r a t o r sa n ds e m i g r o u p s t o p o l o g i c a l l y s t a b i l i t y p s e u d oo r b i t r e c u r r e n ts e t s t r o n g l yc o n t i n u o u s s e n n g r o u p s 一 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的 规定 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本人授权江苏大学可以 将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检 索 可以采用影印 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文 保密口 在年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密卤 学位论文作者签名 铌出 加7 年p 月 7 日 指剥雠 叼参蜚 弋年 了日 独创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指 导下 独立进行研究工作所取得的成果 除文中己注明引用的 内容以外 本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写 过的作品成果 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体 均 已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果 由本人承担 学位论文作者签名 僦欢 日期 伽c f 年i 月 7 日 江苏大学硕士学位论文 1 1 研究背景 第一章绪论 算子理论发展到今天 已产生了许多分支 并且各个分支都取得了令人振奋 的成果 例如循环算子理论 超循环算子理论和亚循环算子理论 这些算子理论 的提出和发展始于不变子空i 日j 问题的研究 不变子空间问题是说无穷维b a n a c h 空 间上的每一个有界线性算子是否都有一个非平凡的闭不变子空间 即是否有一个 非零子空间也非整个空间的闭线性流形 且在该算子作用下是不变的 在b a n a c h 空间背景下 这一问题得到了解决 cr e a d pe n f l o 证明了存在一个无穷维b a n a c h 空间上的有界线性算子 使得它不具有非平凡的闭不变子空间 并且cr e a d 在 b a n a c h 空间上还构造了一个没有非平凡闭不变子集的有界线性算子 现在剩下的 问题是 无穷维h i l b e r t 空间上的任一有界线性算子 是否具有非平凡的闭的不变子 空间 不变子空间问题最先引发了算子循环性 超循环性的研究 无穷维b a n a c h 空 间x 的有界线性算子称z 为超循环的 如果存在一向量z x 使得它在r 作用下 的轨道o r b t 力 弘 x n n o 在x 中稠密 如果这轨道的线性扩张在x 中稠密 则称z 是循环的 称z 是亚循环的 如果这轨道的纯量倍数在z 中稠密 即 2 0 r b t 力 灯 x n n o 五 c 在x 中稠密 一个算子丁不具有非平凡的闭不变 子空间 子集 当且仅当所有的非零向量都是循环 超循环 向量 线性算子的超循环性研究可以追溯到1 9 2 9 年 gdb i r k h o f f 1 关于复平面上 整函数f r 6 c h e t 空 间 h c 上平移算子 艺 c h c t f z f z 口 厂 z 日 c z c 的研究 当a 0 时 平 移算子瓦是超循环的 1 9 5 2 年 gi m a c l a n e 2 表明了对于h c 上的微分算子 d 叫巧 w 日 c 算子乙厂 z 备d f 也是超循环的 1 9 6 9 年 s n oo r o l e w i c z 3 构造了b a n a c h 空间上的第一个超循环算子加 即z 2 上的无加权后 移位曰与一个模大于1 的标量 相乘之后是超循环的 1 9 8 2 年 k i t a i 4 在她未发 表的博士论文里给出了一条易于判别算子为超循环的条件 后来 g e t h n e r 和 江苏大学硕士学位论文 s h a p i r o 重新发现了这一条件 并给出了更简单的证明 这就是所谓的超循环准则 即b a n a c h 空间x 上的有界线性算子z 称为满足超循环标准的 如果x 中存在两 个稠密子集x o 和k 及非负整数序列 n k 和映射 k x 使得 f y 0 条件成 立 1 t 一 逐点在k 上 2 s 恤一 逐点在k 上 3 t 一纸 逐点在k 上 其中 是限制在k 上的单位映射 1 9 9 1 年 g o d e f r o y 和s h a p i r o 5 对b i r k h o f f m a c l a n e 的结果进行统一并推广 证明了h c 上所有与平移算子 或 微分算子 可交换的非标量有界线性算子都是超循环的 1 9 9 9 年 kg e r d m a n n 6 对算子序列的泛性及超循环性的研究做了详尽的归纳 展现了算子超循环性的一 系列的结果 f r 6 c h e t 空间e 上的算子序列以k a 称为泛性的 如果存在一向量 x e 使得 r x n n 1 e 众多学者对算子超循环性的不断研究 使得这一理 论得到了不断的完善和丰富 并推动了算子超循环理论的进一步延伸 即当超循 环算子还具有一个稠密的周期点集时 它就是混沌的 一般而言 算子超循环性 可以看成是一种拓扑随机性 而混沌算子中的周期点稠密性则可看成是叠加在超 循环随机性上的一种拓扑有序性 混沌线性算子是算子理论与动力学相结合而产生的一类具有奇特性质的算 子 关于线性算子的这一混沌性理论 g o d e f r o y 乘l s h a p i r o 5 在1 9 9 1 年是做了开创 性的研究 他们对线性算子具有一些有趣的混沌动力学性质的研究 不仅为算子 理论 解析函数及动力学之间建立了有趣的联系 而且也打破了长期以来众多学 者们认为只有非线性系统才是混沌现象产生的源泉这一观念 当然 线性算子具 有混沌行为是要限制于无穷维空间中的 在有限维空间里没有此现象 在超循环 的研究过程中 学者们还发现 大多数超循环算子是混沌的 即具有拓扑传递性 周期点稠密性及对初值的敏感依赖性 所以相当一部分的混沌算子可以直接从超 循环算子的研究中获得 但并非所有的超循环算子都是混沌的 如b e r g m a n 空间上 1 的后移位b 见 5 3 8 j f f 相应于权序数p 时 曰是超循环的 然而 i1 j 它却没有稠密的周期点集 因此它不可能是混沌的 而且 k i tc h a n 及s h a p i r o 发现 b i r k h o f f 最初所研究的超循环平移算子当被限制于一个较小的整函数h i l b e r t 空间 时 也不是混沌的 因此 超循环算子与混沌算子是具有内在的联系 也有本质 上的区别 但是 混沌算子仍然广泛存在于无穷维空间中 不仅f r 6 c h e t 空间上具 江苏大学硕士学位论文 有混沌多项式 就是b a n a c h 空间上也存在混沌多项式 不仅有界线性算子可能是 混沌的 就是无界算子也可能混沌 对于混沌线性算子的获取 除通常借助于比较经典的超循环准则外 以算子 的交换法 即当某个具有混沌行为的算子 能通过某个映射与另一个算子可以形 成交换关系时 则后一个算子也具有混沌性 来研究也行之有效 另外 f m g i m 6 n e z 及a p e r i s 6 j 丕提出了用张量积方法来研究f r 6 c h e t 空间上张量积算子 序列的混沌性和定义在算子理想 算子代数上的乘法算子的混沌性 这是一种研 究算子混沌性的新方法 为实际问题的研究提供了新途径 1 2 研究现状 近年来 随着超循环算子理论的发展 混沌算子理论也逐步得到了丰富 同 时众多学者也在不断的探求新的混沌理论 在微分动力学中 有一个著名的系统 即公理a 系统 这个系统起源于s m a l e 对微分动力系统结构稳定性和q 稳定性的研究 所谓公理a 是指紧致光滑 r i e m a n n 流形m l 的一个微分同胚厂满足如下条件 1 厂的非游荡集o f 具有双 曲结构 2 厂的周期点集在q 厂 中稠密 即p e r f q 厂 这里的双曲结构是 关于一个w h i t n e y 分解及每一点切丛的双曲性质 并且公理a 系统是建立在有限维 紧致r i e m a n n 空间上 由于线性算子的线性性质 其切丛就是它本身 因此 田 卢f 7 1 在研究线性算子超循环性 混沌性的基础上 再结合微分动力系统中公理a 系统理论开创性的引出了定义在无穷维可分b a n a c h 空间上非游荡算子这一新概 念 通过研究 这类算子具有混沌性理论 并广泛存在于无穷维物理空间以及数 学空间 在 8 1 中f r 6 c h e t 空间上的非游荡算子理论得到了检验 并给出了非游荡算 子的遗传超循环分解 在 9 1 0 中将非游荡算子这一概念推广至半群领域 并得到 了算子半群为非游荡的一个充分条件 他们对非游荡算子性质的研究 为线性混 沌算子的研究提出了新途径 移位算子作为算子理沦中最基本的理论工具 为许多理论问题提出了具体的 例证 因此它被越来越重视 同时也被算子理论学家命名为 最好的试验基地 加 权移位算子是一般移位算子的非平凡推广 更是丰富了移位算子的理论和应用 自r o l e w i c z 研究了z 2 上的普通后移位与一个模大于1 的标量相乘具有超循环性 江苏大学硕士学位论文 后 hs a l a s 1 1 特地研究了加权移位算子 并通过对其权序列的刻画而获得了它们 的超循环性 jb 宅s 1 2 1 利用权序列刻画了移位算子的遗传超循环性 kg e r d m a n n 1 3 对加权移位算子的超循环性及混沌性做了更一般的研究 并引出了许 多相当漂亮的结果 而f m g i m 6 n e z 及a p e r i s 1 4 贝j 研究了一类作用在经典的序 列空间一k 6 t h e e c h e l o n 序列空问旯 a 其中a 是一个k 6 t h e 矩阵 上的移位算子 的超循环性和混沌性理论 不同程度的统一了先前关于此方面的工作 如a 中 i v i j n 时 乃 a 可看成z 空间 当 a f 时 乃似 相当于加权序列 空间 当a 玎 j h 时 以似 为复平面上的整函数空间h c 当 f 时 以似 丑似 即为g u l i s a u s h v n i 及m a c c l u e r 1 5 于1 9 9 6 年研究的超循环的快速递减函 数f r 6 c h e t 空间 另外 移位算子也是算子扰动性理论研究不可少的工具 h s a l a s 证明了单边加权后移位经一恒等算子扰动后 可以成为超循环 j b 6 s 1 6 甚至证 明了这样的扰动算子是混沌的 f m g i m 6 n e z 及a p e r i s 1 4 1 研究了 g o d e f r o y s h a p i r o 意义下的广义后移位加上一个恒等算子也是超循环的 并将h s a l a s 的结果推广至0 k 6 t h e 序列空间 同时给出这些算子的混沌刻画 他们也发现紧 算子被恒等算子扰动后不可能是混沌的 关于算子扰动后的超循环性研究与存在 不变子空间的问题也被联系在一起 f l s a a v e d r a 和a m r o d 订g u e z f l 7 1 证明了某 些算子如果是一小范数的紧算子扰动 则在适当的条件下有一个超循环不变子空 间 这个结果引发了一大批从事不变子空间研究的学者的兴趣 在这些现有的基 础上 本文利用移位算子给出了具体的链回归集上非游荡算子的例子 在微分动力系统 1 8 1 9 中 结构稳定性一直是其研究的主要内容 自1 9 3 7 年 有了平面有界域上系统为结构稳定的充要条件后 到2 0 世纪6 0 年代 s m a l e 提 出的两个著名的推测 以及国内外学者为此推测所做的研究 都极大的推动了该 问题的蓬勃发展 并吸引了相关学科分支稳定性的研究 众所周知 单边后移位 映射算子曰不可能是超循环的 但它在恒等算子的扰动下是超循环的 甚至成为 混沌算子 f m a r t i n c e g i m e n e z 和a p e r i s 1 4 得到在g o d e f o r y s h a p i r o 意义下的广义 后移位映射 1 仂f l 上恒等算子是超循环的 而且他们推广了s a l a s 在k o t h ee c h e l o n 空 间上的结果 刻画了它们的混沌 同时他们还得到在f r e c h e t 空间上恒等算子扰动 下的紧算子不可能是混沌的 b r u n k a l l a k a ip e t e r 2 0 在他的博士论文中讨论了超循 江苏大学硕士学位论文 环和亚循环算子的扰动问题 超循环算子的小扰动问题与不变子空间问题有联系 f 1 e o n s a v v e d r a 和a m o n t e s r o d d g u e z 1 5 i 正n 了模小于1 的紧算子扰动下的超循环 算子在合适的条件下有一超循环不变子空间 这个结论引起了很多研究不变子空 间问题的学者的兴趣 其中 伪轨跟踪性质是动力系统中的重要概念之一 它与 系统的稳定性以及混沌都有密切的联系 见 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 为了更方 便的研究微分同胚的结构稳定性 a n o s o v 在f 2 7 1 中首次在有限维紧的度量空间中提 出了伪轨的概念 后来发现 伪轨不仅与微分同胚的结构稳定性有关而且和a n o s o v 微分同胚的遍历定理及公理a 微分同胚的无环条件也有着密切的联系 见 2 1 2 3 因此 伪轨和伪轨跟踪性质引起了众多学者的关注 见 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 在这些现有的研究基础上 本文探讨了链回归集上的非游 荡算子及其稳定性的问题 超循环半群及混沌半群的研究也是微分动力学的一项重要内容 并已有好几 十年的发展且受到广泛的关注 g o d e f r o yg j h s h a p i r o 以及k i t a ic 分别对离散超 循环半群做出了研究 5 1 1 3 3 1 d e s c h w w s c h a p p a c h e r 和g f w e b b 就交换半群的 超循环性质作出了分析f 3 3 1 另外 连续半群的超循环性质也得到了一一的证实 3 4 1 1 3 5 3 6 众所周知 超循环性与拓扑传递性是等价的 即对非空开集u y 存在某个t 厂 使得t t ut i v o 如果t t 和s o 分别为b a n a c h 空间x 上的 超循环半群 那么t t x s t 的超循环性阐述为 对同一t j 对于非空开集 玑 匕cx u ye c y 使得r f 玑n e a 和s t u n e f 2 j 但对于丁 f s f 同一个r 一般情况下是做不到的 因此r t s f 的超循环性并不能得到保证 类似 于超循环半群 非游荡半群也是如此 在这方面 刘恂等探讨了非游荡半群并得 到了相关性质f 9 1 钟光胜等研究了半群的非游荡性 1 0 1 本文在前面工作的基础上 在无穷维可分b a n a c h 空间中引入非游荡标准 n w c 和非游荡回归标准 r n w c 并给出了两者的联系与区别 然后探讨了半群z f s f 的非游荡性 1 3 研究意义及内容 目前关于算子超循环性理论 混沌性理论的研究已比较完善 非游荡算子作为 算子理论中一门新的特殊分支 是有限维微分动力系统中公理a 系统自然推广到 无穷维空间中的线性算子 从而该类算子是有意义的 通过其性质的研究表明 江苏大学硕士学位论文 这类算子是一类特殊的混沌线性算子 它既与超循环算子有联系 又与超循环算 子有不完伞相同的性质 因为对于超循环算子而言 其谱与单位圆必相交 而对 于不可逆的非游荡算子 其谱与单位圆是可以相交的 但对 町逆的非游荡算子来 说 要求其谱与单位圆不交 因此 非游荡算子的研究不仅很好的组合了算子超 循环性和微分动力学中的某些思想 并为算子混沌性的n i m i 提供了新途径 同时 也为算子理论的研究开拓了新方向 本文组织如下 第二章列举了一些基本的概念及记号 第三章以微分动力学 思想及算子的基本理论为工具 在无穷维可分b a n a c h 空间上介绍了一特殊集 链回归集 得到了一些链回归集的相关性质 然后以此为基础运用泛函分析方法 及伪轨这一工具证明了其上的非游荡算子的存在性 并举例说明在具有无条件基 的无穷维可分的b a n a c h 序列空间上是存在的 第四章在链回归集的基础上 结合q 稳定性概念给出了非游荡算子r 稳定性的这一定义 并结合公理a 系统证明了非 游荡算子在链回归集上具有尺稳定性 第五章对半群r t s f 的非游荡性做出了 研究 通过在无穷维可分b a n a c h 空间中引入非游荡标准 n w c 和非游荡回归标 准 r n w c 并证明半群t t x s t 在t t 或s t 至少有一个满足非游荡回归标准 r n w c 的情况下具有非游荡性 本文通过对无穷维可分b a n a c h 空间上非游荡算子及非游荡半群的研究 不仅 丰富和发展了关于这一理论的前期工作 也使得该理论体系得到了进一步的完善 而且为该项研究的后续工作提供了很好的思路与方法 另外 微分动力系统与算 子理论中不断成熟的非游荡算子理论也必将为本文的后续工作提供很大的启发 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念及记号 本文假设岱 为实数域或复数域上的无穷维可分b 孤a c h 空间 令 x 表 示x 上所有有界线性算子的集合 n z a r c 分别表示自然数域 整数域 有理 数域 实数域和复数域 b x 表示 x 中的有界线性算子之集 肋仃 为算子z 的周期点集合 我们引入下面的记号 对 z 呀 y 悱x lit y x i l 7 7 k 0 1 2 h l i m i t 以 j 一石 l i o w 7 5 y x iit y x i l 0 对于v 占 0 x y 存在一点y 属 于x 的s 邻域 使得d f 功 y 盯 2 具有拓扑传递性 即对于任意y 的开子集x y 存在k 0 满足 f k x f l y g 3 厂的周期点在y 中是稠密的 注 如果y 是有限维空间 f 是混沌映射 那么 一定是非线性映射 当v 是无 江苏大学硕士学位论文 穷维空间 厂是混沌映射 那么厂可能是线性的也可能是非线性的映射 定义2 4 设t l x t 称为是线性混沌算子或线性混沌映射 如果f 满足以下两 条件 1 t 是拓扑可传的 即r 在x 中有稠密轨道 2 t 的周期点的集合肋仃 在z 中稠密 注 d e v a n e y 意义下定义的混沌映射还需要另一个条件 3 t 对于初始条件有敏感依赖性 参看 3 3 事实上 条件 1 和 2 蕴涵 3 参 看 3 3 定义2 5 设e 是工中的线性闭子空间 而e 丘是e 中的线性闭子空间 如果对 任意的x e 有唯一的分解 z 置 恐x a 置 恐ee 2 巨n e 2 a 则称e 是 关于臣和易的直和分解 并记e 巨o e 2 其中 表示直和符号 定义2 6 设伍 是无穷维可分的b a n a c h 空间 t 三g 1 存在一个闭子空间e cx 且在e上有双曲结 构 e e o e 8 t e e ut e 5 e 5 其中e e 5 都是闭子空间 而且存在常数 f 0 f 0 使得 l t k 酬 c f 1 1 1 1 v e k n 2 1 i i t k r l c i z k v 叩 e k 2 4 2 若非游荡算子z 是可逆的 则非游荡算子的谱的性质与超循环算子是不同的 但若z 是不可逆的 则这种情形十分复杂 3 若z 是e 上的非游荡算子 则由定义2 6 1 中e 的双曲结构我们易得 肋仃 n e g 4 因为z 是非游荡算子 在e 中每一点的切丛都是非游荡算子t 自身 因此非 江苏大学硕士学位论文 游荡算子是公理a 系统从有限维到无穷维的自然的概括 这种算子是有数学和物 理意义的 5 若e 是非游荡算子r 的不变非游荡向量流形 则有e 口 e 叮 七 z 定义2 7 设丁是闭子空间ec x 上的非游荡算子 玉 r e 中一点列 口 o 如果对每一个f 口 b l 允许口 和6 o o 都有i 观一再 l l o 如果存在y e 使得妒y x i o 存在口 甜 0 使得丁的口伪轨被e 中的点 跟踪 我们称丁具有伪轨追踪性质 定义2 8 若rel x q o o 为x 中的一组基 若满足 巳qn 1 且 o 则 称r 为关于 q f 的一个单边后移位算子 定义2 9 设ec j 是z 的一个闭线性子空间 如果存在可数个闭不变子集 e 1 e e 任意两个互不相交 使得e u e 并且对于任意非空开集 1 1 u vc 置 存在n 使得z un y f 2 j 则称此为z 关于e 的谱分解 巨 e 被称为基本集 定义2 1 0e 仃 上关于丁的滤子是指一可数闭子集列 m 三 满足 1 1 2 j m oc m 1c c e 2 对任意的甩 0 有z 似 ci n t m i 1 2 其中i n t m 表示集合m 的内点 注 在微分动力系统的研究中 定义的滤子是一有限紧集序列 本文定义的滤子 m m m 是在一般的b a n a c h 空间中的 该序列可以是一可数闭集序列 定义2 1 1 设置仃 扛1 2 是r 关于 f 的基本集 我们定义如下的关系 为 e e j 巨 n j e j a 而且 称e 仃 满足无环条件 如果不 存在两两不相同的 乞 i r 使得气 注 如果f j 则 e n e 1 2 j 巨厂 8 但 o 如果我们定义关系 p 巨 目 w 巨 厂 5 e f 2 j 那么定义2 1 1 中的无环条件可以转化为 1 不存在两两不相同的 乞 使得气 气睁 毛 o 江苏大学硕士学位论文 2 w e nw 5 巨 巨 i l 2 定义2 1 2 对于x 上的有界算子半群丁 f x 的轨道为o r b t t x t t j ft o 如果存在x x 满足d r 6 仃 f 功在x 中稠密 我们就称x 为一相对于r f 的超循环 矢量 对于丁 f 三 x 如果存在t t 的超循环矢量 则称z f 为超循环算子半群 江苏大学硕士学位论文 第三章链回归集上的非游荡算子 本部分我们在尢男维司分b a n a c h 至间上介缁 一特殊集一一链蚓归集 得剑 了一些链回归集的相关性质 然后以此为基础运用泛函分析方法及伪轨这一工具 证明了其上的非游荡算子的存在性 并举例说明在具有无条件基的无穷维可分的 b a n a c h 序列空间上是存在的 3 1 链回归集及主要性质 定义3 1 链回归集 设 x i i 是无穷维可分的b a n a c h 空间 t 瞄 点x 称 为z 的链回归点 如果对任意的占 0 都存在通过x 点的周期s 伪轨 z 的所有链回 归点组成的集合称为z 的链回归集 i 已为r t 性质3 1zr t 的充分必要条件是 对任意万 0 在x 的万球形邻域中有z 的周 期艿伪轨通过 证明 必要性是显然的 我们来证明充分性 对任意的占 o 取o 万 詈满足 p g x q 1 万j l 盼一功i l 设 玉 o o 是满足条件恢一z 0 万的周期万伪轨 其周期为疗 令 f 五f 砌 毛2 1 砌 墨 l 幻l 下面证明 z 三一 是通过点x 的周期为以的占伪轨 分两种情形加以讨论 a 甩 1 这时吆 x o v 七 z 于是有 炉x i 一 詈 峥砜嵯 因而 l l 玩一圳 粉一x 一戤 砜一而 而一x i l 1 这时有 卜x 陪砜嵯 江苏大学硕士学位论文 i j 砜一圳 i 盼一砜l f f i 砜一五0 詈 万 占 i 睇1 一圳 0 巩q x i r x 1 x o x o x l i 万 万 o 存在通过x 点的周期s 伪轨 五 三 令 y i 孤州 则 j l y 一xj i 随 x o0 g i i r m y i i i t 刊 一强 i 2 0 0 可取万 0 使得 p qex i p q 0 万ji i r p t q i l 占 设戈 r 仃 则存在通过x 点的周期万伪轨 薯 三 于是 现 三 是通过觋点的周 期s 伪轨 i i 醌一玉 0 万 i i 丁 观 一醌 0 o 存在 0 1 使得对任意y e 我们有 p w z y j1 r y 一丁 1 p i i i i y p l l q 崂 y jj t y t q i 0 使得 s 要 与 s 7 7 占 五 r 二 因此对任意小的占 o 只要j i y z i i 万 s y z ce 就有 江苏大学硕士学位论文 町 y fl 町c e 现取 足够大 使得 占 o 存在倪 o 使得任意口 伪轨 毛 被点而害跟踪 即有 忙 一毛l l 0 存在x l u 口 g 并且有 l p 而 一再0 s 对于五 我们有五r t 又可以找到屯 u 仃 西 0 并且有 j t x o x i s 如此一直这样做下去 我们可以得到点列 而 下面我们证明点列 毛 是收 敛的 事实上 由于z 是有界算子 我们只考虑恻j 1 的情况就可以了 由上述做 法可知 l i 醌1 一再0 s o l 2 则 0 r x o x l t x o t 1 x a t 1 西一t n 2 x 2 巩q 一毛l i 1i 一五 w 2l 阮一x 2 0 巩q 一 i l m n 时有 江苏大学硕士学位论文 i l 一 0 忙 而一毛 l p x o x h t x o t x 0 0 1 咿0 i ti x l rl l l r l l 占 忙l l 扩 1 而一 l i 对于第一部分 当n 充分大后 l l i r l l l l r l l l l r l l l i t l l m 对于第二部分 当n 充分大后 i i r l l s 一x ox o l l m 所以 i l 吒一 0 聊 时有 0 一 0 r 这就证明了点歹 i 1 o o 是收敛的 t r t 是闭的 则存在 er t 使得毛 x 对于上述的s 存在n 当 l n 时 有 i x x 南 特别地取n n 就有 卜z i l 南 从而 0 砜一硝 i ti x x i i s 对于点 t x 由s r 的闭不变性 则存在一轨道靠近该两点 因此存在 y 尺 r s t n 不妨s 使得 l i t y l 刮陟戥 f f 南 从而以下点生成的周期s 伪轨经过点 x o 五 h 乳 t y t y 定理3 1 的证明 证明 对任意的z 尺 z 由引理3 2 可知 存在过点x 的周期口伪轨 薯 c 月 丁 江苏大学硕士学位论文 设其周期为聊 又由引理3 1 可知 存在过y 点的轨道 厂 y 二 跟踪 玉 则有 p 丁 y 一丁 e l l i r 册y 一五 8 l k z y l l 0 都存在y 砌仃 满足 i i x y l i 这就证明了 p e r t r 仃 由此说明了z 是尺口 上的非游荡算子 3 3b a n a c h 序列空间中链回归集上非游荡算子的存在性 例3 1 链回归集上非游荡算子在具有无条件基的无穷维可分b a n a c h 序列空间中是 存在的 证明 令x 为无穷维可分b a i l a c h 序列空间 q 0 0 是x 中的一组无条件基 令丁是 一个单边后移位算子 见定义2 8 由 3 5 知 当 2 名 2 时 灯是e e 0 e 5 上 的非游荡算子 这时 e s p a n 1 e 5 s p a n y o 其o ey o 缸扣扣 m 扣c 刍2 小 o 下面我们证明e e g e 5 是链回归集 设而 e 则可表示为而 m o y o n o y l 另 设置 铂 n y l 要使j i 忽 一五j l s 成立 即 c 害 一 吩 c 丢 一 m0 g 若有 l 耋 z o 一 啊l 占 l 五2n 一 气l s 则上式显然成立 对于固定的s m o n o 我们可找到相应的 惕 即可找到五 依 江苏大学硕士学位论文 次类推 可得到一过点而的伪轨 毛 c o 另一方面 由于x 是无穷维可分b 狮a c h 序 列空间 存在f 使得 j f 从而当刀取 充分大 时 点列而 墨 h 工 就 是过点而的周期占伪轨 由而的任意性可知 e 为链回归集 江苏大学硕士学位论文 第四章链回归集上非游荡算子的r 稳定性 在微分动力系统 1 8 1 1 1 9 1 结构稳定性一直足其研究的主要内容 自1 9 3 7 年 有了平面有界域上系统为结构稳定的充要条件后 到2 0 世纪6 0 年代 s m a l e 提 出的两个著名的推测 以及国内外学者为此推测所做的研究 都极大的推动了该 问题的蓬勃发展 并吸引了相关学科分支稳定性的研究 众所周知 单边后移位 映射算子口不可能足超循环的 但它在恒等算子的扰动下足超循环的 甚至成为 混沌算子 f m a r t i n c e g i m e n e z 和a p e r i s 1 4 得到在g o d e f o r y s h a p i r o 意义下的广义 后移位映射 1 1 力1 1 k 恒等算子是超循环的 而且他们推广了s a l a s 在k o t h ee c h e l o n 空 间上的结果 刻画了它们的混沌 同时他们还得到在f r e c h e t 空间上恒等算子扰动 下的紧算子不可能是混沌的 b r u n k a l l a k a ip e t e r 2 0 在他的博士论文中讨论了超循 环和亚循环算子的扰动问题 超循环算子的小扰动问题与不变子空间问题有联系 f 1 e o n s a v v e d r a 和a m o n t e s r o d r i g u e z f l 5 证明了模小于1 的紧算子扰动下的超循环 算子在合适的条件下有一超循环不变子空间 这个结论引起了很多研究不变子空 间问题的学者的兴趣 上一章我们研究了链回归集及其上的非游荡算子 这一章我们试图在上一章 的基础以及q 稳定性的基础上提出了尺稳定性的概念并研究了链回归集上非游荡 算子的r 稳定性 并得到了几个有用的结果 4 1预备知识 定义4 1 设人是x 的所有的非空闭子集组成的集合 在a 上定义h a u s d o r f f 距离为 d a b 罂p l d x a 一a x b i 这里d x a 5 赠忙一y 0 x e 五 7 性质4 1h a u s d o r f f 距离可以表示为d 么 b m a x l s u a pd 口 b s 瑚u pd 6 彳 证明 我们有 s u pd b a s u pi d b a d b 召 l d p 曰 同样 s u pd a 曰 d a 曰 江苏大学硕士学位论文 凶而 一b m 既s u 印p m 彳 彳 趴 另 二方面 对于任意x m b b 我们有 d x a d 五 d p a 于是 d x a 一d x 曰 d x a 一i 6 n 臼fd 五6 s u p d x a 一d 五坳 s u p d b a 同样有 a x 曰 一d 五a s u p d a 曰 因而 d a 曰 s u pi d x a d x 曰 l m a x l s u pd 口 b s u 口pd 6 彳 性质4 2 设d a b 占 则 1 对任意取定的以 a 存在b eb 使得d a b 占 2 对任意取定的6 曰 存在口 a 使得d 口 b s 反过来 如果 1 和 2 成立 则可得d a b 占 证明 由s u p d a b s 可得 1 反过来 由 1 可得 4 e a s u p d a 曰 占 4 e a 关于 2 的类似论断可同样证明 4 2 尺稳定性的定义 定3 4 2 设x b a n a c h 3 e i h z x i 一置o 1 2 是两个算子 若存在一个同胚 缈 五一石 使得缈 互 瓦 缈 则称五与疋拓扑共轭 江苏大学硕士学位论文 定义4 3 若z 是e 上的可逆非游荡算子 则存在t 的邻域b 叮 使得对任意的 厂 眈叮 厂具有不变集e f 厂是非游荡算子 且存在同胚办 e 仃 e f 满 足 1 i i h x x i l 0 是任意给定的实数 则存在z 的 周期点p q 和自然数七满足0 p y i l f i i t p z i l f 证明 设从x q 出发的轨道在q 中稠密 则存在m n z 使得 江苏大学硕士学位论文 l i t y 心卜i tz 心 又因为周期点在f 2 i 中稠密 存在z 的周期点p 2 i 满足 p b t 知t f b r x 2 q 设p 的周期为j l 必要时以后 七 l h 这罩z 是充分大的自然数 来代替k 可设 k n 记k n m 贝0 l i p t m x 心 i 旷p t x 嵯 于是有 p y i i 钏t p z 0 q 2 q q 1 卜q q 贝0 存在 呸e w c 2 f n w 5 q f 1 o 1 2 3 于是对任意的s 0 存在充分大的自然数m 使得 d t 1 呸 q 三 d t 呸 q 三 扛1 2 3 又由引理4 1 可知 存在b q 和毛 n 满足 怯一z 呸10 弘 2 3 4 和 仍一p 呸i o 存在 当厅 时 有d q q 三 特别地取甩 n 1 时 有 d q h q 三 江苏大学硕士学位论文 在式 i b r 呸q i i 导 o 2 3 4 d p a 拿i n i 则有 敝r z q i 导 而对于m h q h 由d 噶小q 要可得 在q 中可找到z 使得 慨 o i i 导 于是就有 吼一x p 鲰一肌 l i n h z 0 g 又q 是不变集 对于吼 q 则有 t 7 儡 q l j z 另设从y q 出发的轨道在q 中稠密 则存在s fe n 不妨s 使得 b 圳 0 对于一切的 都存在过呸点的周期伪 轨 即有 呸 r 叮 q 叮 f l 2 3 但这与纽的选取方式相矛盾 从而结论 成立 推论4 1 设 x i i d 是无穷维可分的b a n a c h 空间 t x 如果z 在尺叮 上具 有双曲结构 则r 满足公理a 和无环条件 因而z 是q 稳定的 定理4 2 r 稳定性定理 设 x 是无穷维可分的b a n a c h 空间 t 岱 如果尺 z 具有双曲结构 那么t 是r 稳定的 证明 由上一章定理3 1 可知r 满足公理a 又由本章定理4 1 得z 满足无环条件 因而是q 稳定的 另一方面 由q 叮 r j f l 而对于任何在c 1 意义下充分接近z 的s 也有n s 月p 于是 r 稳定性成为q 稳定性的推论 江苏大学硕士学位论文 4 4 应用 定理4 3 设e z 具有关于z 的滤子 a m ocm 1c ce 则有 1 如果x e m 1 并且存在七 使得r x m 口 1 那么xr t 2 如果y m 并且存在m n 使得r 1 y m m 口 那么y 仨r t 3 t 的链回归集r r 仃 分解为两两不相交的集合之并 r u 兄 a l 这早 是z 的不变集 因而 吃 尺n m m 口 1 c m m l r c n t 八m q 吃 r n k t 0 k e z 证明 1 我们有 可以选取 满足 t m 1 ci n t m 1 0 d m i n t m 口 1 t m 对于这样的 和n k 1 由第三章引理3 1 可以确定0 o f 使得e 中的任意 口伪轨 薯 都被轨道 r 二所 跟踪 据此 我们将证明 从x 出发的任何口伪 轨 鼍 二 x o 砷都不可能是周期的 事实上 我们有 r 1 x t m 一 i p 1 x 一 h i f l d m i n t m d t m 一 由此可得 气 1 i n t m 口 lc m 口 1 从 五 m q 巩 t m 群q l 陬 一讫 h0 口 k 江苏大学硕士学位论文 这说明了 薯 二 力不可能是周期的口伪轨 2 我们有 z t 一 y m m t z y m 由 1 可知z 仨r t 因而y 萑r t 3 如果 x j 乙 rm m m 口 1 那么由 1 2 和尺的不变性可得 t x r m m m 1 v k z 这说明了 r r n 似 m 1 c m m 1 是r 的不变集 因而 也cn t 八m 1 k 七e z 定理4 4 如果z 满足公理a 和无环条件 那么r t q 口 证明 设q q 叮 分解为基本集的并集 q qu q u q u 则存