研究资料--华东师范大学数学分析解答.pdf

华东师范大学 2003 年数学分析试题及解答 Tangshan0315 一 30 分 简答题 只需写出正确答案 3 1 3 1 1 sin lim 2 2 1 xx x x 2 1 2 1 1 arccos 22 2 xx y x y 则 2ln2 ln ln 22 Cxxxxdx sin dyzdxzdz y x yz yx x 则 D yx edxdyeyxyxD 1 1 22 22 则 2 1 22 L ydxxdyyxyxL 取顺时针方向 则 二 20 分 判别题 正确的说明理由 错误的举出反例 若0lim 0lim n n n n n xx则 错 例如0 1 lim n n 但1 1 lim n n n 若 xf在 0 上可导 且 xf有界 则 xf在 0 上一致连续 对设 K Kxxfxfxf xxxx K xKxf 0 0 0 0 并且则 若 xf在 ba上可积 x a dttfxF 在 0 bax 可导 则 00 xfxF 错 例如0 1 10 0 xxxf在 1 1 上可积 并且 1 0 0 0 1 1 0 1 fF xFxdttfxF x 但是 若 1 212 n nn aa收敛 且0lim n n a则 1n n a收敛 对 设 11 212 nn nnn aaa的部分和分别为Sn与 n 则 SS nSaAndSnSS n n nnnnn lim 0 12122 三 17 分 求极限 sin sin lim sinsin xf x t xt x xt 指出 xf的间断点 并判断间断点的类型 解 xt x xt x t sinsin sin sin lim x x xt x xt x xt sinsinsin sin sin sinsin 1 lim x x esin xf 由于 exf x 0 lim 0 lim kxf kx 不存在 因此0 x为 xf的可去间断点 0 kkx 为 xf的第二类间断点 四 17 分 设 xf在 0 a 上连续 0 0 f 证明 2 2 0 Ma dxxf a 其中 dxxfM ax max 0 证明 由下式出发 0 0 axMxxffxfxf x 在 0 a上取定积分 即得 2 2 000 Ma dxxMdxxfdxxf aaa 五 17分 若 函 数 yxf在 2 R上 对x连 续 且 存 在0 L 对 yyLyxfyxfyx 证明 yxf在 2 R上连续 证明 2 00 Ryx 有 0000 yxfyyxxfz 0000 yxxfyyxxf 0000 yxfyxxf yL 0000 yxfyxxf 因 为 0 yxf关 于x在 0 x连 续 故0 0 当 x时 2 0000 yxfyxxf 又当 L y 2 时 2 yL 现取 2 min 1 L 且当 11 yx时 使得 z 故 yxf 在 2 R上任一点 00 yx连续 六 17分 求下列积分 S dSzyxfI 其中 0 2222 aazyxzyxS 222222 0 yxzyxzyxzyxf 证 明 记 222222 1 yxzazyxzyxS 因 为 1 S上 22 yxzyxf 而在S 1 S上0 zyxf 故有 S dSzyxfI 1 22 S dSyxfI 又因为 1 S在 xy 平面上的投影区域为 2 2 22 a yxD 有 1 S的方程 222 yxaz 又有 222 22 1 yxa a zz yx 所以可求得 dxdy yxa a yxI D 222 22 令 sin cosryrx dr ra r da a 2 0 2 022 3 令ura 22 duuuaa a a 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 1 2 3 2 2 a a uuaa 2 25 4 3 1 4 a 七 17 分 设10 r Rx 证明 1 2 2 cos21 cos21 1 n n nxr rxr r 0 cos21ln 0 2 dxrxr 证明 把欲证明的等式经移项后写为 nxr rxr rx n n cos cos21 cos 1 1 2 只要把此式左边的分母乘至右边 经整理后可得rx cos 主要过程如下 111 11 1 12 1cos 2coscos cos cos21 nn n n nn n n xnrnxrnxr nxrrxr 其中 111 1cos 2 1cos cos2 n n n n n n xnrxnrnxr 把它带入上式后 化简可得rx cos 利用一的结果 由以上等式又有 1 1 2 cos2 cos21 2cos2 n n nxr rxr rx 容易看 出左边的分子是分母对 r 求导的结果 所以先通过两边对 r 求积分 得到 1 0 1 0 2 cos2 cos21 2cos2 n r n r nxdd x x 即 1 2 cos2 cos21ln n n nx n r rxr 再对X在 0 上求积分 又得 1 00 2 0cos2 cos21ln n n nxdx n r dxrxr 证毕 八 15 分 设baaaba 21 0 0 3 2 1 11 2 22 1 2 n aa a nn n 证明 n a收敛 证明 由于3 n时2 n a 故5 n时 2 5 n a 估计 2 2 2 1 2 1 2 1 1111 nnnn nn aaaa aa 9 8 5 max 8 5 16 5 3 2 211 211 2 2 2 2 nB aaaa aaaa aa aa aa n nnnn nnnn nn nn nn