（应用数学专业论文）非线性kleingordon方程柯西问题的解的整体存在性与blowup.pdf

哈尔滨t 稗大学硕十学位论文 摘要 本文研究了以下非线性k l e i n g o r d o n 方程的柯西问题 甜 一a u u u 1 i 一 x r f 0 u x 0 u o x x r u t x 0 u l 工 x er 1 2 3 通过引进一族位势井 不仅得到了该问题解的整体存在性与不存在的门 槛结果 而且也得到了解的真空隔离现象 最后证明了在临界条件e 0 d 下 解的整体存在性 本文主要分为五个部分 第一部分为概述及引言 简单介绍了偏微分方程的应用背景 非线性发展 方程的发展历史 问题的研究现状及已有的主要结果等 第二部分为位势井族的引进及其性质 在这一部分中 首先给出了位势井 的概念 紧接着又给出了位势井族的定义 列举并证明了有关位势井的一些定 理和引理 第三部分为解的真空隔离现象与不变集合 真空隔离现象是2 0 0 3 年刘亚 成教授首次提出的 第四部分研究了问题 1 一 3 的整体弱解的存在性与b l o w u p 第五部分研究了在临界条件e 0 d 下 问题 1 一 3 的整体弱解的存 在性 关键词 k i o i n 6 0 r d o n 方程 柯西问题 位势井 整体解 b l o w u p 哈尔滨t 程大学硕 学何论文 i j i i i i i i i i i j i i i i i i i i i i i i i i i i i i i j j i i i i i i i i i i i i i i i a b s tr a c t i n t h i s p a p e r w es t u d yt h ec a u c h yp r o b l e mo fn o n l i n e a r k l e i n g o r d o n e q u a t i o n s 甜厂a u u 川川 工 r f 0 u x 0 u 0 x x r n t 工 0 n l x x r 1 2 3 b yi n t r o d u c i n gaf a m i l yo f p o t e n t i a lw e l l s w en o to n l yg i v ea t h r e s h o l d r e s u l t o fg l o b a le x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fs o l u t i o n s b u ta l s oo b t a i nt h ev a c u u m i s o l a t i n go fs o l u t i o n s f i n a l l yw ep r o v et h eg l o b a le x i s t e n c eo f s o l u t i o n sf o ra b o v e p r o b l e mw i t hc r i t i c a li n i t i a lc o n d i t i o ne o d t h i st h e s i sm a i n l yc o n s i s t so f f i v ep a r t s i ns e c t i o no n e t h e r ei sa no u t l i n ea n da ni n t r o d u c t i o no ft h i sw o r k i ts i m p l y i n t r o d u c e st h eb a c k w o o do fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h eh i s t o r yo f n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s a n dt h em a i nr e s u l t st h a tw eh a v ek n o w no nt h e p r o b l e ma r eg i v e n i ns e c t i o nt w o w ei n t r o d u c et h ep o t e n t i a lw e l la n di t sp r o p e r t i e s i nt h i sp a r t w ef i r s tg i v et h ec o n c e p to fp o t e n t i a lw e l la n dt h ed e f i n i t i o no ft h ef a m i l yo f p o t e n t i a lw e l l s t h e nw eg i v ea n dp r o v es o m et h e o r e m sa n dl e m m a go np o t e n t i a l w e l l t h et h i r dp a r ti sa b o u tt h ev a c u u mi s o l a t i n go fs o l u t i o n sa n dt h ei n v a r i a b l e s e t so fs o l u t i o n s a n dt h ev a c u u mi s o l a t i n gw a gf i r s ts h o w nb yl i uy a c h e n gi n 2 0 0 3 i ns e c t i o nf o u r w es t u d yt h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a lw e a ks o l u t i o n sa n d b l o w u po f q u e s t i o n 1 卜 0 或在0 点的右侧某个有限区间存在 对于线性方程来说 例如热传 导方程 只要初值适当光滑 其初值问题的解也必具有适当的光滑性 而且对 于t 0 解是整体存在的 但对非线性方程来说情况则不同 一般地 非线性发 展方程初值问题的整体古典解通常只能在时间 的一个局部范围中存在 即使 对于充分光滑的初值也是如此 相应地 解的爆破 b l o w u p 有时也指代 整体 不存在性 即 解的最大区间是有界的 尽管后者的概念在某种意义下更宽 泛一些 是指解在有限时间内回失去正则性 产生奇性 解本身或某些导数趋 于无穷 非线性发展方程的基本问题之一是研究各种初边值问题的解的存在性 而退化的和其它奇性的方程一般都不具有古典解 s o b o l e v 空间引入为求解 初边值问题提供了有效的途径 研究这类方程的第一步就是选取适合于方程 特点的s o b o l e v 空间或其它类型的函数空间来定义广义解 在远为广泛的函 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 数类中寻求方程的解 比直接求古典解容易的多 如果在这样选取的函数空间 中 解不仅是存在的而且是唯一的 那么这就是一个理想的函数空间 在得到 弱解后 在进一步讨论这些解是否具有更高的光滑性 是否也是古典解 这就 是所谓的正则性问题 无论是从理论上还是从应用上总是希望能找到使解唯 一的最弱的函数空间 同样也希望知道解最好的正则性如何 函数空间的选取 还用于对各种逼近问题作必要的先验估计 也是进一步研究解的性质的基础 研究解的整体存在性的意义是非常明显的 对一些重要的方程的解的整体性 态 例如解的稳定性等 的研究以及有关的数值求解方法的讨论 都要以解的 整体存在性为前提 解的爆破理论首先是在上世纪四 五十年代s e m e n o v 链式反应 绝热燃烧 和爆炸理论的研究中提出的 自七十年代起 随着气体动力学 激光核聚变和 燃烧等领域的深入研究 非线性发展方程解的爆炸理论引起了研究者的极大 兴趣 解在有限时刻爆破是指解或其某些导数的某种范数在有限时问变成无 界的 经典意义下的爆破是指逐点爆破 现在仍然没有完整的一般化理论 但 是对于各类特定的模型都有了许多相应的研究和绪论 现今爆破理论仍然是 一个有发展空阳j 的课题 最典型的爆破模型是 一a u x r t 0 u x 0 g o x x r 2 0 世纪6 0 年代 f u j i t a 对这个模型做了开创性的工作 其中p l 为 维l a p l a c e 算子 他的兴趣在于非负解对于固定的时间t 在无穷远处的衰减性 从而初值是非负的 且非线性项有定义 他证明了如下结果 定理 f 4 哈尔滨 程大学硕士学位论文 设 1 素 那么 a 如果i p p c n 则方程存在全局正解 只要初值足够小 自f u j i t a 开创性的工作以来 人们对于非线性发展方程解的爆破理论做 了大量的研究 除了偏微分方程以外 爆破理论还被联系在诸如化学反应理论 量子力学和流体力学等更广泛的领域 在发展方程的研究中 全局 和 局部 分别指在整个t 0 时间的存 在性和t 0 后某个有限区间的存在性 在一般的文献中 用 爆破 来指 全 局非存在性 即表示 解的极大存在区间是有限的 而 有限时间爆破 意指解或解的导数在有限时间内 在某个范数意义下变成无界 事实上 古典 意义下的爆破是指 逐点爆破 即解在空间区域的某点处无界 如果区域是 无界的 可能也包括无穷远处的点 让我们回到该问题 在这之后 关于此结果有了进一步研究 首先当不存 在整体解时 解实际上是逐点爆破的 其次 人们的兴趣在于具有很小初值的 情形 实际上l e v i n e 在 3 7 中证明了只要初值u 石 很大 满足 击胁飞z d x j 1 i v 吣u 0 i 2 出 则对与任意时间都不存在整体解 即u f n h l 其中 v c 岳去 寺 哈尔滨工程大学硕士学位论文 在定理 f 中 p c n 叫做该问题的临界指数 当p 2 口 无需要对u x 0 加以进一步的限制就能得到一个非负的全局解 而 对于2 p 2 口的情形 要求u x 0 足够小才能得到同样的结论 如果 2 p 2 o l 且 x 0 充分大 则方程的解会在有限时间内发生爆炸 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 在化学方面 3 7 中描述了伴随扩散的化学反应过程 由守恒率得 u 一v d v u f x u v u 这罩u x 是关于月 中介质q 中的位置 j 和时间 的密度函数 d 称为 扩散系数 项v d v u 表示扩散的变化率 f x u v u 表示反应的变化率 在 许多反应扩散问题中 依赖于密度函数u v 以及 x f 这类问题在过去的 十年中得到了广泛的关注 大量的研究集中在d l 的情形 谭忠在 3 8 中考 虑了特殊扩散系数d i x l 2 的情形 1 3 有关位势井及g a i o r k i n 方法 1 9 6 8 年s a t t i n g e r 首先提出了位势井理论 从而完全解决了一类方程的 整体解的存在性问题 此后 位势井理论就成为了研究非线性发展方程解的整 体存在性与不存在性的一个基本重要的方法 而被许多数学家应用和推广 人们用此方法研究了一系列双曲型或抛物型方程的整体解的存在性或不存在 性 1 3 3 2 3 9 4 5 例如 t s u t s u m i 在文 4 6 中研究了一类带p l a p l a c e 算子的 抛物方程初边值问题的解的存在性和爆破 i k e a t a 在文 4 7 中研究了一类半 线性热方程和带耗散项的双曲型方程的初边值问题得到了关于存在性和爆破 的条件 k o s u k e 在文 3 7 中研究了一类退化的双曲型方程 t o d o r o v a 在文 4 8 中研究了带耗散和阻尼的双曲方程 a l f r e d o 在 4 9 中研究了一类k i r c h h o f f 型双曲方程 杨晗在 2 5 中用位势井理论结合算子半群理论研究一类半线性 热传导方程不仅得到了解的存在性还得到了其解的增长性质 目前郑州大学 的张宏伟 厦门大学的潭忠等一批学者活跃于研究用位势井理论来解决非线 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 性发展方程解的存在性和不存在性 但是 在这些工作中所引进的位势井与 s a t t i n g e r 于1 9 6 8 年引进的位势井并没有本质的区别 而且用这些位势井方法 所得到的结果也基本相同 即当 g 矿r o e o d 时 问题存在整体解 w 特别长时间以来 有关位势井理论的一些基本问题 如位势井 的结 构 位势井深度d 的值的求法或估计及具有临界初始条件 0 0 或 e o d 或j 瓯 d 的问题是否存在整体解 这样一些重要问题一直没有 解决 直到2 0 0 3 年我的导师在国际上首次引入了一族位势井 才使上述问题 得到解决 特别是 利用这一位势井族理论 在国际上首次发现了非线性发展 方程解的真空隔离现象 这是凡十年来对位势井理论的重大创新和突破 g a l e r k i n 方法在研究方程的整体解的存在性是往往难于得到先念估计 而势井理论常常能起到弥补作用 二者结合使用在解的存在性时比较有效 g a l e r k i n 方法的基本步骤是 1 构造近似解 在一适当的可分的空间中选取一组标准正交基 然后在有限个向量张成 的子空间中构造线性组合形式的近似解 利用常微分方程组局部解存在性定 理证明局部解存在 2 作先验估计 一般采用乘以近似解或其关于时间变量的某阶导数然后关于空间变量在 给定空间区域积分而获得先验估计 往往在非线性项可能为负数时结合势井 理论获得先验估计 3 取极限 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 利用泛函分析b a n a c h 空间内一个有界集合的弱紧性与弱 紧性原理取弱 极限或弱 极限 4 说明 说明所得到的解满足初边值条件 1 4 用到的一些引理 引理1 1 s o b o l e v 嵌入定理 设q 具有锥性质 表示q 与r 中一个 k 维平面的交集 1 k s 玎 m 为正整数 为非负整数 l p i o o 则由下 列嵌入关系 1 如果删p 且行一m p k 玎 贝0 w q c p q p q 坠 n m p w j m p q c w q p s q 坠 n m p w j m p q c w q p q 坠 n m p 如果p 1 则m 甩 这时当胛一m k 时 仍成立 即 1 q cw 1 q 2 如果 印 n 则对1 k s 胛 有 w j p q c w 洱 q p q 特别是 w 9 q c f q p q 则 哈尔暝工程大学坝士学位论文 w 9 q cc q 其中c q c q j d 4 甜 p q 坍 若q 具有强局部三垂醇c 娩性质 则上述嵌入关系可改善为下列形式 1 假定m p 1 1 m 一1 p 则 w j m p q c c 五 0 口s m 一一n p 2 假定疗 m 一1 p 贝0 w s l m 9 q c c s 4 五 0 口 1 如果p 1 仃 m 1 则上式对口 1 也成立 w q 的紧嵌入 设q 是r 中的一个区域 q 是q 的有界子区域 q 是q 与r 中的一 个k 维超平面的交 m 是整数 j 0 埘 1 p 是实数 1 s p 佃 则 1 如果q 具有锥性质且m p s 则下列嵌入是紧的 记为c c 懈 c c 州蚴 栉一m p k n l q 南 w 9 q c c w 9 q 疗 m p 1 k n l s q 拧 则下列嵌入是紧的 9 q c cc q o w j m p q c c w 4 q 1 q 3 如果q 具有强局部l i p s c h i t z 性质且 妒s 刀 则下列嵌入是紧的 紧的 哈尔滨工程大学硕士学位论文 矿m q c c c j 五o m p 甩 w j r n r q c c c 一0 唧 孙 协o a m 暑 4 若用吲 9 q 代替w 舯 则对r 中任意区域q 上述嵌入都是 引理1 2 对甜 h2 q 怯i i i i a 1 1 为1 1 忆 的等价模 对于甜 h j q i i v l i 为 的等价模 引理1 3 若g x f l q q 詹 石 于f q 有界 1 q o o 且 g 胛 x r 斗g x f 于q 几乎处处收敛 则g 工 g x f t l q q 弱收敛 引理1 4 假设 c x f p 0 t w 9 q n r q k l 1 p 0 1 1 甜g o d 0 g 甜 g o u t g x r 0 2 得到主要结果为 设 2 1 p 务写 当n 2 时 l p o 假设 h 仁 伍 l s 2 了n l 满足初始能量 e o 面p 叫1 出 那么 1 若 j 6v 1 2 2 一i p k o 哈尔滨工程大学硕士学位论又 则柯西问题 1 1x 1 2 的解在有限时间t 0 则柯西问题 1 1 x 1 2 的解在f o c o 存在整体解 其中q x 为 a u u p 0 的解 文 5 8 改进了已有的结果 但其结果依赖于方程 一 0 伍 且证明存在某些问题 0 文中 5 2 式 圳 扭 2 叩卯一寿 卜荆 应为 圳 扭 2 叩卯m 1 2 寿 1 出 荆 2 文中 5 7 式 s 妒 f e f e 0 s f o r 应为 s f e e 0 o s o s 0 o 墨0 s 3 q l o t t 令t t 则 玛0 0 此时 完全可能陋 f 翊 o o 应属于k 但髟不包含这个 所以原定义的k 不是解的不变集合 本文采用位势井理论 尤其是引进一族位势井 得到了更新更好的结果 自从1 9 6 8 年s a t t i n g e r 5 9 在国际上首次引进了位势井理论 3 0 多年来 许多 人对位势井理论作了各种推广和应用 5 3 6 0 7 7 但是这些工作中所引进的位势 井并没有本质区别 而且用这些位势井得到的结果也基本相同 即当 且e 0 d 或 d 时 问题存在整体解 有关位势井理论的一些基本问 题 如位势井w 的结构 位势井深度d 的值的求法或估计及具有临界初始条件 0 0 或e 0 d 的问题是否存在整体解 这样一些重要问题一直没有得 到解决 直到2 0 0 3 年 刘亚成教授在国际上首次引进了位势井簇的理论 7 8 才使上述问题得到彻底解决 特别是利用这一位势井族理论 在国际上首次发 现了非线性发展方程解的真空隔离现象 迄今大多数利用位势井方法的工作都是关于有界域的初边值问题的 只 有极少数工作是关于柯西问题的 本文中首次提出了关于柯西问题的位势井 哈尔滨工程大学硕士学位论文 族理论方法 本文主要结果是门槛结果 假设 g 日1 乜 l e o d 那么当 0 o 时问题 1 1 1 2 存在一个整体弱解 而当 o d u o 定义井外集合 矿 h r i o d 其中位势井深度为 d i n f j u 其中u h 1 r o n 0 引理2 1 设 h 月 h i i 9 则 i l m j a 甜 0 l i ms 1 u o o i i 于0 2 o o 存在唯一的z z 使得丢 以 1 r i i i 勉 于o 兄s z 单调增加 于zs a 0 7 0 五 z 勉 o 于z 五 o o 证明 f 蝴妒和v i 2 i 邮 筹 醌 i i l 由 烈d 五 到删2 2 一 一1 功 可得 i i i l 由式 2 1 可得当0 五 0 面 7 当 a o 有 d g j 物 0 我们定义 6 0 i v 1 1 2 i i 0 2 一0 i i d 8 i n f j u 1 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 其中 r 1 6 u o 1 1 1 1 0 引理2 2 若0 i i i i 0 特别若0 1 1 1 1 r 1 则 州地脚阱 专 而 c 是删脚驯帅嵌入常数 证明若0 l i i i 0 引理2 3 若l 0 p 特别若 0 r 1 可得 证明若厶0 0 则 l o 由 8 1 1 1 1 2 p 引理2 4 若厶0 0 则i l u l l r p 或 0 特别 若 0 0 则 i l u l l 0 或例 0 可得 证明 若l l u l l o 则l 0 o 若厶0 o i l u l l o 则由 制巴 删 c 1 i i 删 p 引理2 5 若厶o o 且 o 若o j o 若 j 譬 舢o 0 若万 孚 则施 o 证明 由引理2 4 及 荆 圭一币8 弘b 击圳 可得 引理2 6 作为6 的函数d 艿 在区间0 s 8 1 有如下性质 i d p a p p 2 p 其中口p j i p 鲁 o 8 p r l 嬲荆一o d 孚 0 渊 i i i 当o j 1 时 d 艿 单调增加 当l 艿 芝望时j 万 单调减少 当j l 时 a 8 取得最大值 d d 1 i v d 万 在o 万 0 存在唯一 满足式 2 2 即 显然 因此 8 l i e u 删瞄 万 舻制 叫矧而 l 伽 0 l i m 五p 0 5 o 烘j 协 烛j 伽 0 m l i m d j 0 2 2 本引理剩余部分可由引理2 5 得到 i i i 我们首先证明 对于o 扩 l 或l 扩 旦笋 有 晗尔浜工栏大学坝士字位论文 d p d a 显然我们只需证明 对于o 扩 扩 l 或l 0 使得 v 0 一占p d 事实上 对于上述u 我们由式 2 2 式定义a p l 那么 i s 以p h o 丑p 1 设g 以 o 那么 丢g 名 知械一 劫 扣一艿 n 厶 勉 1 8 4 唁 取v 旯p 则 v on l l v 峙 o 若0 8 1 8 p2 p m p x l 一五p s p 8 若l p 一1 p 2 p m p x a a 一1 占p i v 显然 只需证明对任何4 o n 最 1 譬 d p 在h 1 和 l 也 上分别一致连续 首先 我们证明对任意西 0 1 d 8 在慨 1 上一致连续 对任意 2 l 哈尔滨工程大学硕士学位论文 且j p 1 取 h 1 r 使得 1 8 0 地l i a 8 k o 并且 o 一d p 詈 2 3 对于每一占 e 1 定义旯 以 p 满足 从式 2 4 我们得到 并且 艿1 1 2 u a 屺 泓 1 l 2 4 厶阮 p o t 8 p 1 f a 2 8 p i l l p i 占 8 1 万 蛘 油姚以 k 旺 一 5 很明显乃 p 在p 1 l 办 以 在0 以 1 m 单调增加且连续 设 g 以 0 材 j 也 p m 1 艿 6 l 那么 类似于本引理 i i i 我们能得到 砑dg j 0 i 叫 2 t l t l l 万 s js 1砑g j u j j o 卯s 1 2 5 峙鬲川 一iii 一 训一陋 哈尔滨工程大学硕士学位论文 因此 对j j 1 且五 乃 p 可得 o 以 一j 0 g o 一跖 1 0 一占e 怯 旺q 一1 1 一磊 卜 睡以一1 x 艿 s 萝 占 l z 五 从 可得 三一六卜肛 斋 川n 击 j d 三 1 那么从 得到 矽 a 兄 p 一 4 0 8 等钡以一 三 以 一九 1 0 一l 溉 孕学扣 弦i五i z u 旺 1 7 圳砒 卜旦 附皑 地小 畦 v j 脚 之 矿 一 p k 一 旷峙m 敝 n 订 b e艿v 村 n 一 一 哈尔滨工程火学硕士学位论文 因此 对于 b i j 并且o s 一占 可得 o 以p 一1 一1 且 0 阮 p 一 詈 0 d p 一d p o p 一d p j 阮 p 一j 0 j 0 一d p 三 三 g 22 下面证明对于任意最 1 里笋 d p 在 1 以 上是一致连续 又对于 任何o 占 d 及万 1 疋 取u a g 日1 r 使得 1 8 g g 0 陋 g o 并且满足式 2 3 那么对于每一个万 1 j 由式 2 4 定义 t 乃 p 使 得 厶阮 p o 以 p 1 又我们在式 2 5 中定义这个函数时 以 1 五 1 那么乃 p 在 1 6 上 办 以 在k 1 1 1 j 上分别单调增加且连续 又对于艿 1 艿 和五 乃 p 肛4 p o 得 可 细 和 旦以 以 义 定 从 可得 哈尔滨工程大学硕 学位论文 o o 一 g g o 一g 1 荸一 l l o 一旯 s 一1 札聃一五l j s 荸鲋 五墨牙s 1 b 斋妒私陪斋卜昏六她 j 0 d p 三 2 d o l l 4 j j 等兰j 瓦d 艿 疋 且 0 j 2 u 一j b 4 8 2 1 j j 等兰哥d 1 一a 以 1 a 取五 使得0 五 p l x l 一如 竺 v 4 1 8 j 因此 对于 i j j 并且0 8 一8 2 可得 o l 一以 p 1 一如 2 5 且 引理2 7 设 肛 粥 哈尔滨工程大学硕士学位论文 o 阮一p 一t 0 那么 矧 若荆 d 并且删 酬h l 掣 证明 由 可得 口川 六l o o d p 2 6 义由瓦 z 6 找1 j 得r 回日可引埋 2 8 和引埋2 9 引理2 8 设川 孚 若 d p 并且 器 那么 l o 特别 若 o d 并且 型曼竿d 那么 o 引理2 9 设 j p 2 l 若 0 d 并且 l 0 o 那么 陋o 鬻 枞若荆娜 并且删 o 舷肛l l 掣d 对于o 6 t p l 我们再引进下列集合 l p 一2 p 一 占一2 万 占一2 o j d p u o 其中 h r l i 甜 o 甜 d p 见 似 h 尺 p 引理2 1 0 设o 占 旦笋 那么以 砷c c b d s c 群 b h 1 r i l l 0 m i n r 2p 2 d p 卜哪她o 粥 证明 首先 由引理2 2 0 另一方面 从 t 0 去 和例 2 a a 我们能得到 0 d p 因此 a c 剩 余部分由引理2 3 与引理2 7 可得 由引理2 6 与 与 的定义可得引理2 1 1 引理2 1 1 i 若0 j j 1 那么 c g i i 若l 占 里芸 那么 c 引理2 1 2 设对某一 h 有0 d 磊 疋是方程 d j 的两个实根 则厶0 在区间4 艿 o 可得 i l u l l 0 如果l 0 在匹 j 如内变号 那么一定存在一个萝 e 嘎 使得厶0 0 因此可得j 似 d 眵 这与 j 4 d 8 2 d 修 矛盾 2 3 本章小结 本章首先给出了位势井的定义并且对j o 1 对位势井深度的值做了 推广 接着证明了与位势井相关的一些引理 最后给出了位势井族的定义 使 我们对s o b o l e v 空间中的位势井结构有了清楚的认识 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第3 章解的真空隔离现象和不变集合 3 1 解的真空隔离现象 首先 对问题 1 1 1 2 定义能量 e f 扣1 1 2 扣卜两1 1 i f 1 1 2 d o 定理3 1 设 x h 1 r i 功 l 2 r 设o p d 磊 0 或帆忆 0 的所有解 f v j 4 易 i i 问题 1 0 0 2 满足e 0 e i u 0 或帆忆 0 的任一解 存在时间为t 若 i 0 则 z o 工 降0 v 占 4 疋 若l u 0 则由 昙肛 2 j o e 0 0 及j u d 8 哈尔滨上程人学硕士学位论文 即 o x e 肛名 v 占 4 疋 下面证明 u t 阡名 v 占 4 疋 r o 丁 用反证法 若不然 则必存在某一磊 磊 疋 及某一b o 丁 使得 u t o a 即 0 l l u s t 1 1 0 或 j u t d 磊 由能量等式可得 扣1 1 2 o e 0 d v j 4 a 2 o f t g 2 t d u t d 8 0 是不可能的 若 1 6 0 甜 f o 0 f 1 1 0 则由d p 的定义可得 f o d 8 0 此与式 3 2 矛盾 i i 设 f 是问题 1 1 1 2 满足e o p 0 的任一解 存在时 间为t 首先 由e 0 p 0 式 3 1 及引理2 7 可得 5 甜o 0 及j u o d 8 即 e v 6 磊 疋 哈尔滨工程大学硕士学位论文 f 曲证明 f v 8 8 1 疋 t e o 丁 若不然 则必存在某一磊e 磊 以 及某一t o t 使得u t a 即 o 或 f d 8 0 由式 3 2 可知j u t d 8 0 是不可能的 若k r o o 且 o 是第一 个使k 甜 0 的值 则有厶 o 于o r 8 0 0 t o 从而必有肛纯 r 磊 及 d 8 0 此与 3 2 式矛盾 定理3 2 若在定理3 1 中 将假设e o e 换成o e o e 则定理 3 1 的结论仍然成立 3 2 不变集合 由定理3 1 及引理2 6 可得下面的 定理3 3 设 工 h 1 r i x l 2 r 0 e d 4 8 2 是方程 d 艿 e 的两根 若0 e o p i u x 寸4 y z v a 4 暖 与 在问题 1 1 1 2 的流之下是不变的 从而 下面两个集合 如2 4 旦屯 如2 技岛 在问题 1 1 1 2 的流之下也是不变的 哈尔滨工程大学硕士学位论文 3 3 本章小结 通过对初始值 以及l u i i v 忆的取值范围的假设 证明了整体解 在问题 1 一 3 的真空隔离现象 然后证明了流之下的不变性 真空隔离现象 是刘亚成教授在文献 7 8 中于2 0 0 3 年首次提出的 这个结论对我们研究 s o b o l e v 空间中解的分布情况有很大帮助 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第4 章解的整体存在性与有限时间b l o w u p 4 1 解的整体存在定理 定义 u x f 称为问题 1 1 1 2 于r o 丁 上的弱解 若 l 0 t h r r o t l 2 r 芝鬟惑 v va h 慨i r 飞硼 n f l i 1 v p r o v l o r 且u x 0 甜o x 于h 1 r 定理4 1 设 z h 1 r h 1 x f r e 0 d 或 峙 0 则 问题 1 1 1 2 存在一个整体弱解 r o o o h r l o 0 o o l 2 r 且 w 0 t 0 0 证明设 w j x 为何1 r 的一个基函数系 构造问题 1 1 1 2 的 近似解 x f e g f 一 x 沏 l 2 满足如下常微方程组的初值问题 v v u 比 i r 1 毗 u m x o 口 一 功斗 x 于日 4 2 4 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 u m t x o b j 一 x u i x 于r r 4 4 j i 将式 4 2 乘以g f 再对s 求和 得 抽 舻母删 一两1 蚓剀 g j t 积分得 即 由 圭1 1 1 1 2 母小雨1 m 瞄 拉研 扣 一面1m 聪 三1 1 1 1 2 o e 0 x o 知 卜4 u e 0 d 可得j 0 0 可得 w 由式 4 3 与式 4 4 可知 对充分大的m 有 扣胛 o 瓦 o d o r a o 4 5 及 o w 与定理3 1 的证明类似 由式 4 5 对充分大的m 及o r o o 我们能够证明u m o w 由式 4 6 可得 三i l u 1 1 2 为 i 如纵m 4 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 陋一l 掣邶 m 小c 2 l l 砒 a 訾如 o o p l u r e i 备 掣d 川2 qp l 胚 k4 2 2 d 0 t o o 从而存在 及 的子序列 1 1 使得当y 寸o o 时 4 7 4 8 4 9 4 1 0 一 在r o t l 2 r 弱 收敛 且于q r 0 o 几乎处处收敛 斗u 于r 0 o o l 2 r 弱 收敛 k r h 1 于r o o o l q r 弱丰收敛 在式 4 2 中两边对 积分得 令所 y j0 0 可得 0 心 f 勺 v w d f i o 矽r f6 r 1 p f o 0 1 以 故对v v h 1 r 有 0 m i 帆 v w d r 1 0 w 如 m 川 u b r 心l v s 0 i v 印v 如 1 0 v 如 m 川 b 什o 又由式 4 3 可知 u x o 1 4 0 功于 彤 故甜是问题 1 1 1 2 的整 哈尔滨工程大学硕七学位论文 体弱解 再由定理3 1 我们知道u w 0 sr 由定理4 1 和定理3 1 司得 定理4 2 若在定理4 1 中把e 0 0 换成0 e o 0 其中反 暖是方程矗p e o 的两个实根 则问题 1 1 1 2 存在一个整体弱解 r o o d 日 r u r 0 0 0 l 2 r 且 w 0 0 换成 i l u o 峙 r 慨 则问题 1 1 1 2 存在一个整体弱解z f r o o 1 r r o o o l 2 r 且 1 1 鬻尔6 叫纵 川1 2 2 d p l 磊 万 以 o t m 特别 o 裂 i i 州f 2 0 f m 4 2 解的有限时间b i o w u p 定理4 4 设 x h 1 矗 l l 2 g e o d l u 0 则问题 1 1 1 2 的解的存在时间是有限的 且在有限时间内b l o w u p 即存在 0 s t o o 使得 蜊 肛佃 则有 哈尔滨工程大学硕士学位论文 证明设 o 是问题 1 1 1 2 满足e o d l u 0 的任 解 令 f 0 i l u 0 1 2 由式 4 1 1 可得 f f 2 0 虬 f f 2 1 1 u 0 2 2 0 u 2 1 1 u 0 2 2 1 u f o 2 f i 2 2 j i v 0 2 2 i p i l 2 2 i 卜0 c o 3 q l u 卜 一1 1 l v 1 1 2 1 1 4 2 一2 p 1 e 0 3 牡 9 2 0 一l 扩 一2 c o 1 e 0 4 1 2 i 若e o 0 则由式 4 1 2 可得 f f c o 3 q l u 1 1 2 4 1 3 i i 若o e o d 则由定理3 1 可得 o v 占 磊 从而 l 0 o v j 最 f 0 其中4 v 6 8 2 t 0 这样 由式 4 1 1 可得 哈尔滨工程大学硕士学位论文 如0 o 及l i 0 r 6 2 v 0 f f 2 g 2 慨一1 h u i l 2 h 一2 0 2 8 一l m 22 8 2 一l 卜2 仅 f o 2 以一1 p 2 8 2 r f o 故存在 0 使得f o 0 o f f f t o f t f f x r t l t o 故对充分大的t 必有 由式 4 1 2 可得 0 一l 扩 r 2 p 1 归 o f o 扩 f 一牟p f 炉 c o 3 i 1 2 i 订一g 川 2 o p r 玎 南p o f o 一 t x f 训 0 使得 i m f f o 胁f 佃 推论4 5 在定理4 4 的假设下 还有 别i n i v 佃 其中2 q o o n l 2 g 疗 2 2 g 茎五n 2 蚪 l 玎 3 3 8 4 1 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 证明式 1 4 可由i i v i i l l v 1 2 1 1 1 1 2 得到 注意到 由 骊p 1 n 击 o 我们看到如果o j u 0 或 0 o 1 1 忆 0 是不可能的 如果j 0 0 那么 0 是不可能的 因此在定理4 1 和定理4 4 中我们已经讨论了所有可 能情形 从而我们得到下面的门槛儿结果 定理4 6 设 x h r u l x r 尺 若e o d 则当 g o 0 时 只要可能 问题 1 1 1 2 存在整体弱解 而当 0 时 问题 1 1 1 2 不存在任何整体解 4 3 本章小结 本章主要结果是门槛结果 假设 g h 1 伍 l e o d 那么当 瓴 o 时问题 1 1 1 2 存在一个整体弱解 而当 0 0 时问题 1 1 1 2 不存 在任何整体解 哈尔滨 r 程大学硕士学位论文 第5 章临界初始条件e o d 下问题 1 一 3 的解的 存在性 5 1 临界初始条件e o d 解的存在定理 在性 在这一部分我们证明在临界初始条件e o d 下问题 1 一 3 的解的存 定理5 1 设 o h u l l 2 r e 钆 j l u 0 则问题 1 1 1 2 存在一个整体弱解u r o o o h 1 尺 l 2 0 o o l 2 凡 且 旷 w u o w 0 t 证明 i 若l l v 忆 0 得到 忆 0 取序列 k0 厶 1 m 1 2 以一1 当m 专o 设i 0 m g 以 g l 考虑初始条件 u x o n o r a g x r 相应的问题 1 式 5 1 叭l u 0 和引理2 1 可得z z 0 1 5 1 因此i u 1 2 u 且s u s u d 因此 从定理4 1 可得 对每一m 问题 1 式 5 1 存在一个整体弱解 且 u m o m o o 日1 r u l 2 0 o o l 2 r 4 0 哈尔滨矗 程大学硕士学位论文 满足 并且 o w 0 蔓f o 5 2 从式 5 3 和 我们得到 扣胛 j o 既 o d o f o 5 3 o 骊p i 六 o 扣 卜云晶m i d 5 4 剩下的证明与定理4 1 的证明相同 i i 若慨忆 o w f o l l o 可得 o 三忆1 1 2 e 0 d 取序列 以 o 九 l m 1 2 以一i 当所寸o o 设 g 以 g 考虑初始条件 b o g q g o u l m g b r 5 5 和相应的问题 1 式 5 5 由j i v l i o 可得 o o 扣 n j 扣w e o d 因此 从定理4 1 可得 对每一m 问题 1 式 5 5 存在一个整体弱解 且 哈尔滨工程大学硕士学位论文 u m f r o o o h 1 r 甜 o o o l r 剩下的证明与 i 的证明相同 5 2 本章小结 u m f w 0 s t o u x 0 o x x r x o l x x r 的柯西问题 但他得到的结果不是很好 且有错误 本文指出了的他的错误 改进了他的结果 系统地阐述了关于柯西问题的位势井族理论 总结全文 本文所作的工作主要有以下几个方面 一 本文采用位势井理论 尤其是引进一簇位势井 得到了更新更好的 结果 二 本文中首次提出了关于柯西问题的位势井族理论方法 三 本文主要结果是门槛结果 假设 g h 1 融 l o d 那么当 4 3 哈尔滨j 程大学硕士学位论文 l u 0 时问题 1 1 1 2 存在一个整体弱解 而当 0 0 时问题 1 1 1 2 不存在任何整体解 本文对 的所有可能情形都进行了讨论 且改进了原有的结果 得到 了迄今为止关于该非线性k l e i n g o r d e n 方程的柯西问题的最好结果 无论 在理论上还是实践上都具有重大的意义 本文提出的关于柯西问题的位势井族理论方法在理论上和应用上都具有 一定的指导意义 必将在实际应用中发挥其作用 哈尔滨工程大学硕士学位论文 参考文献 i 杜心华 一类非线性波动方程混合闯题整体解的存在唯一性 j 四川 师范大学学报 自然科学版 1 9 9 4 1 7 4 3 5 4 2 页 2 杨从军 一类拟线性退化抛物型方程的初边值问题 j 数学学 报 1 9 9 5 3 8 1 1 3 4 1 3 9 页 3 谭忠 具有特殊扩散过程的反应扩散方程 j 数学学 刊 2 2 a 5 2 0 0 1 5 9 7 6 0 6 页 4 李庆霞 一类非线性双曲方程的局部解存在性 j 数学研 究 2 0 0 2 3 5 2 1 7 5 1 8 0 页 5 张宏伟 呼青英 具阻尼的k l e i n g o r d o n 方程组整体解的存在性 衰减 性和爆破性 j 数学理论与应用 2 0 0 2 2 2 2 3 4 3 8 7 7 页 6 张宏伟 呼青英 一类偶合非线性k l e i n g o r d o n 方程组的稳定集与不稳 定集 j 纯粹数学与应用数学 2 0 0 2 1 8 3 2 0 7 2 1 0 页 7 王凡彬 广义神经传播型非线性拟双曲方程解的爆破和熄灭 j 应用 数学和力学 1 9 9 6 1 7 1 1 1 0 3 9 1 0 4 3 页 8 查中伟 非线性发展方程混合问题解的b l o w u p j 三峡大学学 报 2 0 0 2 2 4 3 2 7 6 2 7 9 页 9 f u j i t ah o nt h eb l o w i n gu po fs o l u t i o n so ft h ec a u c h yp r o b l e m f o ru a u 1 j j f a c s c i o n i v t o k y os e c t l 1 9 9 6 1 3 1 0 9 1 2 4 p 1 0 s o u p l e t p h b l o w u p i nn o n l o c a lr e a c t i o n d i f f u s i o n e q u a t i o n s j j s i a mj m a t h a n a l 1 9 9 8 2 9 1 3 0 1 1 3 3 4p 1 1 张宏伟 陈国旺 一类非线性四阶波动方程的位势井方法 j 数学物理 学报 2 0 0 3 2 3 a 6 7 5 8 7 6 8 页 1 2 刘亚成 半线性热方程整体解的存在性与非存在性 j 数学年 刊 1 8 a 1 1 9 9 7 6 5 7 2 页 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 3 b a d i a l e m a n dt a r a n t e l l o g as o b o l e v h a r d yi n e q u a l i t yw i t h a p p l i c a t i o n st oan o n l i n e a re 1 1 i p t i ce q u a t i o na r i s i n gi n a s t r o p h y s i c s a r c hr a t i o n a lm e c ha n a l 1 6 3 2 0 0 2 2 5 9 2 9 3p 1 4 l a d y z e n s k a j a 0 a s o l o n n i k o v v a a n du r a l c e v a n n l i n e a r a n dq u a s i l i n e a re q u a t i o n so fp a r a b o l i ct y p e t r a n s l a t i o n so f m a t h e m a t i c a l m o n o g r a p h s 2 3 a m e r m a t h s o c p r o v i d e n c e r l 1 9 6 8p 1 5 g a r c i aa z o r e r o j p a n dp e r a la l o n s o l h a r d yi n e q u a l i