2017届广东省梅州市高考数学一模3月试卷(理科)(解析版).doc

2017年广东省梅州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1已知集合A=x|x210，B=x|x0，则集合（RA）B=（）A（0，1B1，+）C（，11，+）D（，1（0，+）2设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数a的值为（）ABC3D33已知，是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A若m，=n，则mnB若m，mn，则nC若m，n，则mnD若，=n，mn，则m4已知命题p：xR，2x+2，命题q：x0，使sinx+cosx=，则下列命题中为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq5箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（）ABCD6设椭圆（m0，n0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）ABCD7我国古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”当输入a=6102，b=2016时，输出的a=（）A6B9C12D188若向量，的夹角为，且|=2，|=1，则与+2的夹角为（）ABCD9已知函数f（x）=cos（2x+）cos2x，其中xR，给出下列四个结论函数f（x）是最小正周期为的奇函数；函数f（x）图象的一条对称轴是x=函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）函数f（x）的递增区间为k+，k+，kZ则正确结论的个数是（）A4个B3个C2个D1个10某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A4B8CD11已知双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且MF2N=60，则双曲线C的离心率为（）ABCD12设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），如果在区间（a，b）上恒有f（x）0，则称函数f（x）是区间（a，b）上的“凸函数”，若f（x）=x4mx3x2，当|m|2时是区间（a，b）上的凸函数，则ba的最大值为（）A4B3C2D1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13设x，y满足约束条件，则z=2xy的最小值为14在二项式（）8的展开式中，第四项的系数为15已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则ABC的周长的取值范围是16函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的xR都有f（x+2）=f（x2）若在区间5，3上函数g（x）=f（x）mx+m恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是三、解答题17已知数列an中，a1=3，且an=2an1+2n1（n2且nN*）（）证明：数列为等差数列；（）求数列an的前n项和Sn18如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中BAE=GAD=45，AB=2AD=2，BAD=60（）求证：BD平面ADG；（）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值19中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：井号I123456坐标（x，y）（km）（2，30）（4，40）（5，60）（6，50）（8，70）（1，y）钻探深度（km）2456810出油量（L）407011090160205（）16号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；（）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的，的值（，精确到0.01）与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果： =， =， =94， =945）（）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望20已知动圆C过点F（1，0），且与直线x=1相切（）求动圆圆心C的轨迹方程；并求当圆C的面积最小时的圆C1的方程；（）设动圆圆心C的轨迹曲线E，直线y=x+b与圆C1和曲线E交于四个不同点，从左到右依次为A，B，C，D，且B，D是直线与曲线E的交点，若直线BF，DF的倾斜角互补，求|AB|+|CD|的值21已知函数f（x）=alnxx+2a（其中a为常数，aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）当a0时，是否存在实数a，使得当x1，e时，不等式f（x）0恒成立？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由（其中e是自然对数的底数，e=2.71828）四、选修题22已知曲线C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是=4sin（）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求OAB的面积（O为坐标原点）五、选修题23设函数f（x）=|x+|+|x2m|（m0）（）求证：f（x）8恒成立；（）求使得不等式f（1）10成立的实数m的取值范围2017年广东省梅州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1已知集合A=x|x210，B=x|x0，则集合（RA）B=（）A（0，1B1，+）C（，11，+）D（，1（0，+）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】解不等式求出集合A，根据补集与并集的定义写出集合（RA）B即可【解答】解：集合A=x|x210=x|1x1，B=x|x0，则集合RA=x|x1或x1，所以集合（RA）B=x|x1或x0=（，1（0，+）故选：D2设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数a的值为（）ABC3D3【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再由已知条件列出方程，求解即可得答案【解答】解： =，复数的实部与虚部是互为相反数，即a=3故选：C3已知，是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A若m，=n，则mnB若m，mn，则nC若m，n，则mnD若，=n，mn，则m【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一核对四个命题得答案【解答】解：对于A，如图，m，=n，此时m，n异面，故A错误；对于B，若m，mn，则n或n，故B错误；对于C，若n，则n或n，又m，则mn，故C正确；对于D，若，=n，mn，则m可能与相交，也可能与平行，也可能在内，故D错误正确的选项为C故选：C4已知命题p：xR，2x+2，命题q：x0，使sinx+cosx=，则下列命题中为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假【分析】判断两个命题的真假，然后利用复合命题的真假判断选项即可【解答】解：命题p：xR，2x+2，当x=0时，命题不成立所以命题p是假命题，则p是真命题；命题q：x0，使sinx+cosx=sin（x+）1，所以x0，使sinx+cosx=，不正确；则q是真命题，所以pq故选：A5箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】首先做出摸一次中奖的概率，摸一次中奖是一个等可能事件的概率，做出所有的结果数和列举出符合条件的结果数，得到概率，4个人摸奖相当于发生4次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果【解答】解：由题意知首先做出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C62=15种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有（1，4）（3，4），（2，4）（2，6）（4，5）（4，6），摸一次中奖的概率是=，4个人摸奖相当于发生4次试验，且每一次发生的概率是，有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（）3=，故选：B6设椭圆（m0，n0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）ABCD【考点】椭圆的标准方程【分析】先求出抛物线的焦点，确定椭圆的焦点在x轴，然后对选项进行验证即可得到答案【解答】解：抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由排除D，故选B7我国古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”当输入a=6102，b=2016时，输出的a=（）A6B9C12D18【考点】程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；a=6102，b=2016，执行循环体，r=54，a=2016，b=54，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=18，a=54，b=18，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=18，b=0，满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为18故选：D8若向量，的夹角为，且|=2，|=1，则与+2的夹角为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出【解答】解：向量，的夹角为，且|=2，|=1，=1=22+21=6， =，与+2的夹角为故选：A9已知函数f（x）=cos（2x+）cos2x，其中xR，给出下列四个结论函数f（x）是最小正周期为的奇函数；函数f（x）图象的一条对称轴是x=函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）函数f（x）的递增区间为k+，k+，kZ则正确结论的个数是（）A4个B3个C2个D1个【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】展开两角和的余弦公式后合并同类项，然后化积化简f（x）的解析式由周期公式求周期，再由f（0）0说明命题错误；直接代值验证说明命题正确；由复合函数的单调性求得增区间说明命题正确【解答】解：f（x）=cos（2x+）cos2x=，即函数f（x）的最小正周期为，但，函数f（x）不是奇函数命题错误；，函数f（x）图象的一条对称轴是x=命题正确；，函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）命题正确；由，得：函数f（x）的递增区间为k+，k+，kZ命题正确正确结论的个数是3个故选：C10某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A4B8CD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥组成的组合体，画出几何体的直观图，求出两个棱锥的体积，相加可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：该几何体是一个四棱锥ACDEF和一个三棱锥组FABC成的组合体，四棱锥ACDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，三棱锥组FABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，故这个几何体的体积V=，故选：C11已知双曲线C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且MF2N=60，则双曲线C的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由MF2N=60，可得F1PF2=60，由余弦定理可得4c2=16a2+4a224a2acos60，即可求出双曲线C的离心率【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|PF2|=2a，|PF1|=4a，|PF2|=2a，MF2N=60，F1PF2=60，由余弦定理可得4c2=16a2+4a224a2acos60，c=a，e=故选：B12设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），f（x）在区间（a，b）上的导函数为f（x），如果在区间（a，b）上恒有f（x）0，则称函数f（x）是区间（a，b）上的“凸函数”，若f（x）=x4mx3x2，当|m|2时是区间（a，b）上的凸函数，则ba的最大值为（）A4B3C2D1【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】先求f（x）=x2mx3，从而由凸函数的定义知|m|2时，x2mx30在（a，b）上恒成立，并且可以得到mxx23恒成立，讨论x的取值：x=0时，容易判断上面不等式成立；x0时，会得到，从而得到2，解该不等式0x1；同样的方法x0时，会得到1x0，最后即得到1x1，从而得出ba的最大值2【解答】解：根据已知，|m|2时，f（x）=x2mx30在（a，b）上恒成立；mxx23恒成立；（1）当x=0时，f（x）=30显然成立；（2）当x0时，；m的最小值为2；解得0x1；（3）当x0时，m；m的最大值为2；解得1x0；综上可得1x1；ba的最大值为1（1）=2故选C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13设x，y满足约束条件，则z=2xy的最小值为2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=2xy的最小值【解答】解：由z=2xy，得y=2xz，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2xz，由平移可知当直线y=2xz，经过点A时，直线y=2xz的截距最大，此时z取得最小值，由，解得x=1，y=0，即A（1，0），代入z=2，即目标函数z=2xy的最小值为2，故答案为：214在二项式（）8的展开式中，第四项的系数为7【考点】二项式系数的性质【分析】先求得二项式（）8的通项公式，再令r=3，即可求得第四项的系数【解答】解：二项式（）8的通项公式为Tr+1=C8r（）r，第四项的系数为C83（）3=7，故答案为：715已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则ABC的周长的取值范围是（2，3【考点】余弦定理【分析】由余弦定理求得 cosC，代入已知等式可得 （b+c）21=3bc，利用基本不等式求得 b+c2，故a+b+c3再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c2，由此求得ABC的周长的取值范围【解答】解：ABC中，由余弦定理可得 2cosC=，a=1，2cosC+c=2b，+c=2b，化简可得 （b+c）21=3bcbc，（b+c）213，解得 b+c2（当且仅当b=c时，取等号）故a+b+c3再由任意两边之和大于第三边可得 b+ca=1，故有 a+b+c2，故ABC的周长的取值范围是（2，3，故答案为 （2，316函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的xR都有f（x+2）=f（x2）若在区间5，3上函数g（x）=f（x）mx+m恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是【考点】函数零点的判定定理【分析】求出f（x）的周期，问题转化为f（x）和y=m（x1）在5，3上有3个不同的交点，画出f（x）的图象，结合图象求出m的范围即可【解答】解：f（x+2）=f（x2），f（x）=f（x+4），f（x）是以4为周期的函数，若在区间5，3上函数g（x）=f（x）mx+m恰有三个不同的零点，则f（x）和y=m（x1）在5，3上有3个不同的交点，画出函数函数f（x）在5，3上的图象，如图示：，由KAC=，KBC=，结合图象得：m，故答案为：三、解答题17已知数列an中，a1=3，且an=2an1+2n1（n2且nN*）（）证明：数列为等差数列；（）求数列an的前n项和Sn【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（1）整理变形an1=2（an11）+2n，（n2且nN*）式两端同除以2n得出： =1=常数，运用等差数列的和求解即可（2）根据数列的和得出Sn=（121+222+323+n2n）+n，设Tn=121+222+323+n2n，运用错位相减法求解即可得出Tn，代入即可【解答】解：（1）an=2an1+2n1（n2且nN*）an1=2（an11）+2n，（n2且nN*）等式两端同除以2n得出： =1=常数，a1=3，=1，数列为等差数列，且首项为1，公差为1，（2）根据（1）得出=1+（n1）1=n，an=n2n+1数列an的前n项和Sn=（121+222+323+n2n）+n，令Tn=121+222+323+n2n，2Tn=122+223+324+（n1）2n+n2n+1，得出：Tn=2+22+23+2nn2n+1，Tn=n2n+122n+2，Sn=n2n+12n+1+2+n18如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中BAE=GAD=45，AB=2AD=2，BAD=60（）求证：BD平面ADG；（）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）由余弦定理得BD=，满足AB2=AD2+DB2，得ADDB，直平行六面体中GD面ABCD，得BD平面ADG（）如图以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，求出法向量，利用公式求解【解答】解：（）证明：在BAD中，AB=2AD=2，BAD=60由余弦定理得BD=，满足AB2=AD2+DB2，ADDB直平行六面体中GD面ABCD，DB面ABCD，GDDB，且ADGD=DBD平面ADG（）如图以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，BAE=GAD=45，AB=2AD=2，A（1，0，0），B（0，0），E（0，2），C（1，设平面AEFG的法向量，令x=1，得y=，z=1，而平面ABCD的法向量为平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为19中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：井号I123456坐标（x，y）（km）（2，30）（4，40）（5，60）（6，50）（8，70）（1，y）钻探深度（km）2456810出油量（L）407011090160205（）16号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；（）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的，的值（，精确到0.01）与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果： =， =， =94， =945）（）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）利用前5组数据与平均数的计算公式可得=5， =50，代入y=6.5x+a，可得a，进而定点y的预报值（）根据计算公式可得， =6.83， =18.93， =6.83，计算可得并且判断出结论（）由题意，1、3、5、6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，勘察优质井数X的可能取值为2，3，4，P（X=k）=，可得X的分布列及其数学期望【解答】解：（）利用前5组数据得到=（2+4+5+6+8）=5， =（30+40+60+50+70）=50，y=6.5x+a，a=506.55=17.5，回归直线方程为y=6.5x+17.5，当x=1时，y=6.5+17.5=24，y的预报值为24（）=4， =46.25， =94， =945，=6.83，=46.256.834=18.93，即=6.83， =18.93，b=6.5，a=17.5，5%，8%，均不超过10%，使用位置最接近的已有旧井6（1，24）（）由题意，1、3、5、6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，勘察优质井数X的可能取值为2，3，4，P（X=k）=，可得P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=X的分布列为：X234PEX=2+3+4=20已知动圆C过点F（1，0），且与直线x=1相切（）求动圆圆心C的轨迹方程；并求当圆C的面积最小时的圆C1的方程；（）设动圆圆心C的轨迹曲线E，直线y=x+b与圆C1和曲线E交于四个不同点，从左到右依次为A，B，C，D，且B，D是直线与曲线E的交点，若直线BF，DF的倾斜角互补，求|AB|+|CD|的值【考点】轨迹方程【分析】（）由题意圆心为M的动圆M过点（1，0），且与直线x=1相切，利用抛物线的定义，可得圆心M的轨迹是以（1，0）为焦点的抛物线；圆心C在原点时，圆C的面积最小，可得圆C1的方程；（）先求出b，再利用韦达定理，结合|AB|+|CD|=（x1x3）+（x2x4）=（x1+x2x3x4），可得结论【解答】解：（I）动圆圆心到点F（1，0）的距离等于到定直线x=1的距离，动圆圆心的轨迹C为以F为焦点，以直线x=1为准线的抛物线，动圆圆心的轨迹方程为y2=4x圆心C在原点时，圆C的面积最小，此时圆C1的方程为x2+y2=1；（II）F（1，9），设B（x1，y1），D（x2，y2），A（x3，y3），C（x4，y4），由，得x2+（4b16）x+4b2=0，0，b2，x1+x2=164b，x1x2=4b2，直线BF，DF的倾斜角互补，kBF+kDF=0，kBF+kDF=+，y2（x11）+y1（x21）=0，x1x2+（b）（x1+x2）2b=0，代入解得b=，由，得5x2+2x25=0，x3+x4=，|AB|+|CD|=（x1x3）+（x2x4）=（x1+x2x3x4）=21已知函数f（x）=alnxx+2a（其中a为常数，aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）当a0时，是否存在实数a，使得当x1，e时，不等式f（x）0恒成立？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由（其中e是自然对数的底数，e=2.71828）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）通过讨论a的范围，根据函数的单调性求出f（x）的最小值，从而确定a的范围即可【解答】解：（）由于f（x）=alnxx+2a，（x0），f（x）=，a0时，f（x）0恒成立，于是f（x）的递减区间是（0，+），a0时，令f（x）0，解得：0x，令f（x）0，解得：x，故f（x）在（0，）递增，在（，+）递减；（）a0时，若1，即0a，此时f（x）在1，e递减，f（x）min=f（e）=3ae=（3）ae（3e0，f（x）0恒成立，不合题意，若1，e，即a时，此时f（x）在（1，）递增，在（，e）递减，要使在1，e