（应用数学专业论文）非线性发展方程的新解.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 在过去的三十多年里 人们深入地研究非线性科学并将其广泛应用 于自然学科的各个领域 如生物学 化学 数学 通讯 凝聚态物理 场论 低温物理 流体力学 等离子物理 光学等 并且在这些领域当 中提出了大量的非线性方程 因此 人们很自然地考虑到 如何求解这 些非线性偏微分方程 他们的解具有什么样的特性 怎样构造具有性质 较好的非线性方程以及怎样进行分类等问题 第一章中介绍了孤立子理论的产生和发展历史 并对求解非线性发 展方程的重要方法进行了简要描述 第二章提出新扩展的r i c c a f i 方程有理展开法以及具体使用步骤 进 一步以i t o 方程组和w h i t h a m b r o e r k a u p 方程组为例应用新扩展的 r i c c a t i 方程有理展开法求得了以上两个方程组的新解 第三章作为新扩展的r i c c a t i 方程有理展开法的进一步应用 给出 2 1 维破裂孤立子方程组 2 1 维n i z h n i k 方程组和 2 1 维a s y m m e t r i c n i z h n i k n o v i k o v v e s s e l o v 方程组等 2 1 维系统的精确解 关键词 孤立子 非线性发展方程 新扩展的r i c c a t i 方程有理展开 法 精确解 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t d u r i n gt h ep a s tt h i r t yy e a r s n o n l i n e a rs c i e n c ei sd e e p l ys t u d i e da n d w i d e l ya p p l i e di nn a t u r a ls c i e n c e s s u c ha sb i o l o g y c h e m i s t r y m a t h e m a t i c s c o m m u n i c a t i o n c o n d e n s e dm a t t e r sp h y s i c s f i e l dt h e o r y l o wt e m p e r a t u r e p h y s i c s h y d r o d y n a m i c s p l a s m ap h y s i c s o p t i c sa n ds oo n t h e r e f o r e al a r g e n u m b e ro fn o n l i n e a re q u a t i o n sa r ea r i s e di nt h ea r e aa n d q u e s t i o n sa r ea s k e d s u c ha sh o wt os o l v et h e s en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w h a tk i n d o fp r o p e r t i e sp o s s e s sf o rt h e s en o n l i n e a re q u a t i o n s h o wt os o l v ea n dc l a s s i f y t h e s en o n l i n e a re q u a t i o n s e t c i n t h ef i r s t c h a p t e r t h ed e v e l o p m e n t so fs o l i t o nt h e o r ya n ds o m e m e t h o d sf o rf i n d i n gt h ee x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa r e i n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r b a s e do nan e wa n s a t za n ds y m b o l i cc o m p u t a t i o n an e we x t e n d e dr i c c a t ie q u a t i o nr a t i o n a le x p a n s i o nm e t h o di sp r o p o s e d i ti s a p p l i e dt ot h ei t os y s t e ma n dw h i t h a m b r o e r k a u pe q u a t i o n s a n dw eg e t s o m en e ws o l u t i o n so ft h e s e 1 1 d i m e n s i o n a ln l e e s i nc h a p t e r 3 t h em e t h o di sa p p l i e dt ot h e 2 1 一d i m e n s i o n a lb r e a k i n gs o l i t o ne q u a t i o n s 2 1 d i m e n s i o n a ln i z h n i ke q u a t i o n sa n d 2 1 d i m e n s i o n a l a s y m m e t r i cn i z h n i k n o v i k o v v e s s e l o vs y s t e m s e v e r a ln e wk i n d so fe x a c t s o l u t i o n so f t h e s e 2 1 一d i m e n s i o n a ln l e e sa r ef o u n db yt h i sm e t h o d 内蒙古师范大学硕士学位论文 k e yw o r d s s o l i t o n n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n e x t e n d e dr i c c a t i e q u a t i o nr a t i o n a le x p a n s i o nm e t h o d e x a c ts o l u t i o n s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢的 地方外 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不 包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示感谢 签名 盘盟骘日期 埘年多月z p 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留 使用学位 论文的规定 内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘 允许论文被查阅和借阅 可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印 或扫描等复制手段保存 汇编学位论文 并且本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致 保密的学位论文在解密后也遵守此规定 签名 覆l 司之多导师签名 靳随往 日期 磁年石月2 华日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 孤立子理论的产生及发展 随着科学的发展 人们发现线性模型不能完全反映客观世界的真实情况 在客观 世界中占统治地位的是非线性现象 所以人们在发展非线性科学方面投入了极大的热 情 发展方程 e v o l u t i o ne q u a t i o n 又称演化方程或进化方程 广义地说 是包含时 间变量t 的许多重要的数学物理偏微分方程的统称 在物理 力学或其他的自然科 学中用来描述随时间而演化的状态或过程 狭义地说 它是可以用半群方法化为一个 b a n a c h 空间中的抽象微分方程的c a u c h y 问题来处理的那些数学物理方程 在近代物 理 化学 生物学 流体力学等学科中 提出了大量的演化方程 其中包括许多的具 有非线性色散或耗散的非线性演化方程 如波动方程 热传导方程 流体动力学方程 组 k d v 方程 非线性薛定鄂方程 正弦一戈登方程 萨哈罗夫方程 朗道一利弗席茨 方程 布森内斯克方程 反应扩散方程等 一方面 这些方程和物理问题 化学反应 问题 生物学的种群问题 流体力学的波动问题紧密相连 成功的描述了自然界中出 现的大量的波动现象 广泛的应用在这些学科的许多分支中 如基本粒子 流体物理 等粒子体物理 凝聚态物理 超导物理 激光物理 生物物理 统计物理等 另一方 面 演化方程的研究与数学的其它领域 如 经典分析 李群 李代数 无穷维代数 代数几何 拓扑学 动力系统 计算数学及泛函分析等数学的分支紧密相关 互相促 进 非线性发展方程在非线性科学领域中占有重要的地位 而孤立子理论是非线性发 展方程研究的一个重要方向 因为对自然科学和工程应用的深人研究常常归纳为对非 线性发展方程的研究 从历史上看 求解微分方程 始终是人们追求的目标之一 现 在 有关线性微分方程的一般解法已经得到相当充分的研究 也有了较成熟的方法 例如 关于线性常微分方程解的一般理论与方法 关于刻画诸如弦振动的波动方程和 刻画扩散过程的热传导方程求解的d a l c m b e r t 方法 分离变量法和f o u r i e r 变换法等 而非线性方程极其复杂 人们很难找到一种十分有效的求解方法 因此每一个典型的 发展方程问题的解决都会引起人们的极大关注 孤立子理论是研究非线性方程的主要 手段之一 它的兴起给求解非线性发展方程及对非线性科学的研究带来了革命性的内 l 内蒙古师范大学硕士学位论文 容和新的动力 j 早在1 8 4 4 年 英国科学家罗素 j s c o t tr u s s e l l 在 英国科学促进协会第1 4 届会议 报告 中的 论波动 一文n 1 中 描述了他在1 8 3 4 年发现的奇妙的水波现象 一条船 被两匹马拉着在一条河道中快速行进着 当船突然停止时 船头产生一个滚圆而平滑 轮廓分明的巨大孤立波峰 它快速向前滚动 在行进中其形状和速度并无明显改变 直到最后消失在逶迤的河道中 他认为这是流体运动的一个稳定解 并称之为 孤 立波力 但在当时他并未成功证明 也没有能够使物理学家信服他的论断 1 8 9 5 年d e v r i e s 在导师k o r t e w e g l 拘指导下研究了浅水波的运动并建立了单向运动的浅水波运动 方程 k d v 方程 并得到了与r u s s e l l 在流体运动中得到的脉冲状稳定解一致的孤立波 解嗍 从而在理论上证实了孤立波的存在 不过很多人认为这种孤立波解很可能不稳 定 没有物理意义 从而孤立波解的研究没有引起人们的关注 又过了半个世纪t o d a 在f e r m i p a s t a 和u l a m 等三个人研究的相等质量的6 4 个质点用非线性弹簧相连的非线 性振动弦的实验 即著名的f p u 问题 口1 时惊奇的发现如果把能量集中在一个振子上 则经过一段时间后 能量并未均匀分布 而是又回到了初始的分布 由于当时他们只 在频率空间考虑 因此未能发现孤立波解 也未能很好的解释这一现象 f e r m i 本人 起初也以为这只是一个 较小的发现 但很快他便意识到这个发现的重要性 并打 算在一年后的美国数学会年会邀请他做一个荣誉性很高的学术报告时 报告这个发现 遗憾的是f e r m i 当时已病重 随后不久便去世了 他没有能够再次报告这个发现 而 且也未能见到他的有关该学术问题的论文正式发表 1 9 6 2 年p e t t i n g 和s k y r m e 对 s i n e g o r d o n 方程的数值求解过程当中发现该方程的相互碰撞后保持原有的形状和速 度的孤立波解 1 这是基本粒子物理领域内首次发现孤立子 但是 真正引入 孤 立子 这一概念并导致世界范围内对孤立子理论研究热潮的是m d k x u s k a l 和 n j z a b u s k y i 生1 9 6 5 年发表的一篇文章瞄 z a b u s k y 和k r u s k a l 在研究k d v 方程的数值解 时发现 第一 他们设计了某种连续极限过程 使f p u 问题的一类解可由k d v 方程的 解来描述 即k d v 方程可以看成是f p u 格子方程的一个连续模型 第二 通过用数值 模拟的方法研究了k d v 方程的初边值问题 他们发现 k d v 方程的孤立波解在相互作 用 或叠加 后不改变各自的波形和速度 这种波具有类似于粒子碰撞的性质 因此 他们把孤立波命名为 孤立子 这样孤立子作为应用科学中的新概念诞生了 k r u s k a l 矛1 1 z a b u s k y 的这项研究 是研究孤立波发展史上一个重要的罩程碑 他们引进了 孤 2 第一章绪论 立子 的概念 确切揭示了从r u s s e l l 发现的奇妙的水波至i j f e r m i p a s t a 和u l a m 发现的 奇特现象的共同本质 随着孤立子理论研究的深入和发展 人们除了在流体力学 粒 子物理领域中发现孤立子的存在外i 在等离子体物理 凝聚态物理 激光物理 固体 物理 超导物理 生物物理等众多物理学科以及生物等其他学科中 也相继发现了孤 立子现象 因此 孤立子现象已成为众多学科领域中一些非线性问题的共性之一 1 2 孤立子理论的精确求解简述 目前 孤立子一词虽被广泛引用 但尚未有一般性的定义 在数学中 将孤立子 理解为非线性发展方程的局部行波解 孤立子是稳定的孤立波 即通过相互碰撞后不 见消失 而其波形和波速也不会改变或者只有微弱的改变 在物理中 孤立子被理解 为经典场方程的一个稳定的有限能量的不弥散的解 即能量集中在一个狭小的区域内 且相互作用后不改变波形和波速 许多非线性发展方程具有孤立子解 随着科学技术 的发展 非线性在自然科学和社会科学领域的作用越来越重要 人们对于非线性问题 的关注也越来越大 在许多领域内出现的很多科学问题的研究都归结为非线性发展方 程 组 来描述 然而如何求解非线性发展方程 组 的精确解 特别是如何更简便地求 解它们 一直是数学家和物理学家研究的重要课题 到目前人们已提出了许多求解非 线性发展方程 组 的有效方法 除了孤立子理论中已发展成熟的反散射方法睁1 5 1 b 萏c k l u n d 变换法n 纠们 h i r o t a 方法 舢钉 d a r b o u x 变换法降3 l i e 群方法哑州外 利 用符号计算来寻找非线性发展方程的孤立波解己成为孤立子理论中的一个十分活跃 的研究领域 目前已经发现精确求解非线性发展方程的基于符号计算的许多直接方 法 1 9 9 5 年 王明亮教授等人提出了求解非线性发展方程的一个很有效的齐次平衡 法汹叫 并获得了广泛的应用 1 9 9 6 年 范恩贵教授将这一方法进行了许多的推广 用 于寻找方程的b a c k l u n d 变换 相似约化及更多的类型的精确解n 排1 兰慧彬 汪克林 提出的双曲正切函数法h 7 1 经w m a t f l i e t 8 1 马文秀博士h 引 范恩贵教授 张玉峰博 士 2 1 一1 陈勇博士等人 瞄钔的推广和应用 求出了许多非线性发展方程 组 的精 确解 范恩贵教授h 叼又提出扩展的双曲正切函数法 求得了许多非线性发展方程的孤 立波解 奇异解和周期解 此外还有直接函数法旧1 s i n e c o s i n e 法娜嘲3 j a c o b i 椭圆 函数展开法 碱 辅助方程法哺2 刊3 等 这些方法快捷 高效因而受到应用数学家和物 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 理学家的欢迎 但是由于非线性方程本身的复杂性 至今仍然没有 种统一的方法 构造非线性发展方程精确孤波解的方法依然是当前的一个研究热点 7 1 3 本文的工作 本文在许多专家 学者研究成果的基础上 对 1 1 维和 2 1 维非线性发展方程 组 的精确求解进行了探讨 工作包括 1 本文在第二章中对文献 6 5 的r i c c a t i 方程有理展开法中所提出的展开式 吣h 絮鬻臀 ml 推广维如下形式 吣h 嘻巡警铲 m2 其中孝 k x t y 一办 矽 孝 满足r i c c a f i 方程i 孝 吃 2 孝 1 3 并利用该方法得到了 1 1 维i t o 方程和w h i t h a m b r o e r k a u p 方程组新的精确解 2 近年来 2 1 维及更高维的非线性发展方程的各类有意义的精确解和相干 结构引起了数学家和物理学家的关注和深入研究 本文在第三章利用 错误 未找到引用源 形式的展开式的解应用于 2 i 维方程组 并以 2 1 维破裂孤 子方程组 2 1 维n i z t m i k 方程组 2 1 维a s y m m e t r i cn i z h n i k n o v i k o v v c s s e l o v 方程组为例进行探讨并得到它们的若干新的精确解 4 第二章 1 1 维非线性发展方程组的新解的构造 第二章 1 1 维非线性发展方程组的新解的构造 2 1 新扩展的r i c c a t i 方程有理展开法 随着符号计算的发展 寻找非线性发展方程的精确解的大部分工作着重在已知的 代数方法的扩展和应用去构造 删 最近 文 6 5 首次提出了r i c c a t i 方程有理展开法 成功的构造出了新的有理形式解 按照有理展开的思想 本文提出了新扩展的r i c c a t i 方程有理展开法 并构造了若干非线性发展方程组的新的精确解 下面介绍新扩展的r i c c a t i 方程有理展开法的主要步骤 步骤1 对于给定的非线性发展方程 作行波变换 v f 坼 0 2 1 f x f u 善 善 k x 一彳f 2 2 这里k 和a 是待定常数 经 2 2 将方程 2 1 约化成非线性常微分方程 a u 叫 蝶 0 2 3 步骤2 引入新的变换 吣一 善巡警笋 亿4 其中变量矽 孝 满足r i e c a t i 方程 煳地 妒 考m 桫 o 2 5 这里口f 和 f l 2 j f 1 2 以 是待定常数 步骤3 运用领头项分析法汹3 平衡式 2 1 或式 2 3 中的最高阶导数项和最高 内蒙古师范大学硕士学位论文 幂次非线性项得到参数强的值 步骤4 将式 2 4 和式 2 5 代入式 2 3 收集 0 f 0 1 2 的系数并令其 等于零 得到一个关于七 a i 吩 o l 2 l 2 佛 的非线性代数方程组 步骤5 利用符号计算系统m a p l e 或者m a t h e m a t i c a 解非线性代数方程组 得到 k a s 吩 o l 2 1 2 的值 并将它们代回 2 4 即得方程 2 1 的解 这里给出方程 2 5 的解如下 1 当j i l 三和红 一互1 矿 孝 t 孤h 孝 趣e d l 孝 妒 孝 c o t h 孝 c s e h o 2 当a 吃 丢 妒 f s e c f t a n 4 矽 f c s c f c 0 t 孝 3 当7 l i 1 和心 i 4 当磊 坞 l 5 当鸟 i j l 2 1 妒 孝 t a n h g f c o t h o 6 当啊 o 和如 o 矽 孝 t a n o 矽 孝 c o t 孝 艄 一j 两1 2 6 2 7 2 8 2 9 2 1 0 2 1 1 其中孝 七 x 纱一办 f 二i 和 是任意常数 下面我们将上述方法应用于求解非线 性方程组 6 第二章 1 1 维非线性发展方程组的新解的构造 2 2 方法应m i o d 维非线性发展方程举例 例1 1 1 维i t 0 系统旧1 u 荔 b 2 1 2 近年来的研究表明 1 1 维i t o 系统具有大量孤子解和变量分离解旧删 对 2 1 2 作 行波变换 u x f u f y x t y 0 善 k x 一五f x 2 1 3 方程 2 1 2 约化为非线性常微分方程 p 2 名搿 删 o 亿 用领头项分析法平衡方程 2 1 4 中的最高幂次非线性项和最高阶导数项得 码 2 m 2 2 所以我们可假设方程 2 1 4 具有如下形式的解 二丝二筮 亿 附 c d 等 螋 1 f i e 2 一 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 4 一硇 口l 三 吒 丢五 二一 l q2 干i 二 a 2 千 也即 五6 1 2 1 2 属 1ll 6 1 2 乞 扣 砺b 而1 2 如 b u d 2 他 2 1 6 根据方程 2 1 3 方程 2 1 5 和方程 2 6 一 2 1 1 我们可得方程 2 1 2 的解 1 当厄 二和毛 一喜时 得到 1 i 维i t o 系统的解 2 z 强 口n 丝 鲤堂塑堕坐业型l 1 6 1 2 2 2 1 s e c h f 2 1 i s e c h t a n h 孝 6 l 2t a n h 孝 s e ch 0 2 千f s e ch 孝 t a n l l 孝 千fs e ch 善 1 s e ch 孝 2 fis e ch f t a m 血 乡 却 州 私础渤鼬 垡絮篙翁篙甓鬻劳蚴 千 b l s e ch 善 2 千fs e ch 孝 t 锄h 参 2 1 s e ch 孝 2 千fs e ch 孝 t a n h f 2 一壶舅 2 监1u l 之刍 参丢2 2 2 五龟2 1 s e ch f 2 千fs e ch 孝 t a n h 孝 4 4 b 2 2 2 1 s e c h 孝 2 千f s e c h 孝 t a r l l l f 五岛 一2 t a n h 孝 s e c h f 2 千f s e c h 多 t a n h f 千f s e c h 毒 l s e ch 善 2 千fs e ch 孝 t a n h 孝 8 第二章 1 1 维非线性发展方程组的新解的构造 一 2 b d a s e ch 喾 2 千fs e ch f t a l l l l 孝 l 二兰 璺些 童2 1 1 1 1 垒 圭 王 兰 塾 圭21 呈些 圭塑王 兰 塾 圭 1 s e ch 孝 2 t is e ch t a n h f 2 工墨刍 竺 h 孝 2 千f s e c h 孝 t a n h f 2 忐 1 e c h 分挪e c h 孝 鼬 善 2 十广 0 0 2 2 2 2 u 2 口o 下 坠竺堕螳2 堑蜓2 竺尘蚴 6 1 2 2 2 z 1 f l c s ch 孝 2 c s ch 孝 c o t h 孝 刍 兰竺生垡2 1 c h 孝 2 c s ch f c o t h f c s ch 孝 1 c s ch 0 2 c s ch f c o 吐 乡 一刍丝 皇 童 主竺 垒 童2 竺 塾 圭 丛兰竺t h f c s c h 善 2 c s c h f c o t l l 善 c s c h 孝 一 一 二二二 二 二 二二二 二三2 1 c s ch f 2 c s ch 善 c o t h o y 千一产 壑 兰塾 圭 主 竺垒 圭2 竺塑圭1 2 万o l 瓦 1 4 c s c h 孝 2 c s c h 孝 砌 劲 2 j 一丝 兰竺塑丛坚垒塑 主塑 垒塑竺些塑主塑 塾 塑 1 c s ch 掌 2 fc s ch 善 c o t h 孝 鸽p c s ch 善 2 fc s ch f c o n l 善 兰 些塑竺塾塑 兰塑坐盈竺塑塑圭 竺垒 型 1 c s ch 孝 2 fc s ch f c o t h f 2 a b 1 2 c s ch f 2 i c s ch c o t h 孝 2 7 z 2 殳 2 u 1 c s c h 孝 2 ic s ch 善 c o t h f 2 o 产 2 当 呜 j 1 时 得到 1 1 维i t o 系统的解 1 吩2 i 刍 圭笪 s e c 孝 2 s e c 善 t a n f 1 三1 1 s e c 孝 2 s e c 孝 t 锄 孝 刍 三 塑 童基 竺 圭窆主 竺 金 呈璺堡1 2 亟圭1 2 u s e c 0 2 s e c ot a n o 9 2 1 7 且扣上 丝扣 生 上 矿 一他 内蒙古师范大学硕士学位论文 一刍丝 里墨圭 主 圭 竺 圭 丛兰 呈呈 圭 圭 圭 竺 圭 竺 主塑 圭塑 o u s e c 0 2 s e c f t a l l 善 2 千 b 1 2 s e c f 2 s c c f t 锄 f 2 1 s e c f 2 s e c 孝 t a i l 停 2 料西1 巧2 z p 道五 z a o i 1 巧a 2 巧2 a o 丢 ri 鸽2 1 n s e c 0 2 s e c 善 t 觚 孝 2 1 矽1 一一忐 1 廊e c 铲 s 嘶 t a i l 孝 五岛 2t 锄 善 s e c 善 2 s e e c t 锄 孝 s e c 善 l f l s e c 孝 2 s e e c t a n o 五岛 s e c 孝 2 t s e e c t a n c 2t a n 孝 s e c 孝 2 s e c f t a n 孝 s e c 孝 1 s e c 孝 2 s e c f t a n f 2 名白2 s e 善 2 s e c 孝 t 锄 f 2 1 5 i 厶 岛2 1 n c s e 0 2 c s c 孝 c o t 孝 1 要 二 1 c s 步 2 c s c 孝 c 0 t 孝 6 i 2c 0 t 孝 c s c 孝 2 c s c 孝 c o t 毋 c s c 孝 1 c s c f 2 c s c 孝 c o t f 一刍丝 丛盈 主 堕童 竺丛圭丛三 坐 圭塾竺堕鱼 主 金竺堑生 丛圭2 1 1 c s c 孝 2 c s c f c o t o 2 干 b 1 2 c s c 善 2 c s c 孝 c o t 孝 2 柚2 1 五6 1 2 1 c s c 孝 2 c s c 孝 c o t f 一 1 三 加 一忐 1 圳c s c 分 c s c 跏 l o 且哮 一 兰一2丝哮生 矿 一 一 第二章 1 1 维非线性发展方程组的新解的构造 一一 一 一一 墨刍 兰 竺 圭丛 乡 2 c s c 孝 c o t 手 c s c 毋 l c s c 孝 2 c s c 孝 c o t 善 一 墨刍丝 童z 圭 圭 竺坚圭2 2 1 兰竺 f 圭 呈 圭 c s c 善 c o t 善 c s c 孝 1 c s c 善 2 c s 善 c o t 孝 2 3 当h i l 和如 1 时 得到 1 1 维i t o 系统的解 1 1 5 a o 6 1 2 1 2 s e c h 孝 2 1 2 6 l s e ch 孝 4t a n h 孝 一 1 s e c h 孝 2 2 十 1 s e c h 们 1 s e c h 善 2 p 塑 丝 13 2 堕 1 1 61 七u 1 t 61 t 1 七u 3 匆2 1 2 2 s e c h 2 p 1 1 t s e c h 善 2 2 岛 s e ch f 4t a n h 4 1 s e c h f 2 2 a o 2 包s e ch 孝 2t a n h f 1 p s e c h f 2 包2 1 2 2 c s c h 2 j 2 2 1 2 b t c s c h f 4c o t h 手 1 p c s c h 孝 2 2 十 1 t c s c h f 2 2 岛c s ch 4 2c o t h 孝 r 一 1 一 2 c s c h 善 2 2 1 8 内蒙古师范大学硕士学位论文 屹 一 塑 熟二 竺 堕 1 6 61 1 6 i ll g 3 刍 兰丝 兰 塾 圭 一 2 2 5 c s c h o 2c o t h 孝 1 1 u c s c h 国2 l 一 c s c h 孝 2 允岛 c s h 孝 4c o t h 9 卜 c s c h 善 2 2 2c s c h f 4 4 当j l l 噍 1 时 得到 1 1 维i t o 系统的解 u 7 岛2 1 2 s e c 孝 2 鸟 s e c 孝 4t a n i f 一 1 s e c 孝 2 2 十 垄 塑丛型金 1 s e c 孝 2 怯 一 塑 一五 d a o i 3 2 鱼土 l 61 l i 1 七l l 61 七旺 1 七l t 3 千 五反2 1 2 s e c 孝 2 上墨6 l 丝兰圮 孝 4t a n c 1 s c c 4 2 2 2 五包s e c 善 2t a n f 1 s c c 0 2 鸽2s c c 0 4 5 当红 也 i 时 得到 1 1 维i t o 系统的解 一千司一一鬻挚 1 2 2 1 9 2 2 0 第二章 1 1 维非线性发展方程组的新解的构造 岛 s e c 孝 4c o t 孝 1 一a s e c 孝 2 2 u 三塑 丝 12 2 鱼千1 5 6 1 t1 j 61 t 1 一 3 鸽 s e c 孝 4c o t f 0 u s e c 乡 2 2 2 鸽s e c 孝 2c o t 孝 1 一 s e c 善 2 其中善 后似一a t a o 龟 五 是任意常数 例2w h i t h a m b r o e r k a u p 方程组 7 3 e z z 搿笺 2 2 1 2 2 2 是描述浅水波中的色散长波的可积模型 在方程 2 2 2 中 口 是代表不同色散 指数的实常数 当口 0 0 2 2 2 可变为长波方程的近似方程 当口 l 0 2 2 2 变为变形b o u s s i n e s q 方程0 1 7 1 7 6 给出了w h i t h a m b r 0 肾k a u p 方程组的b 菹c k l u n d 变换和相似约化 以及大量椭圆函数解和行波解 对 2 2 2 运用如下行波变换 u x t u 善 v x t 矿 f 孝 k x 一五f 2 2 3 方程 2 2 2 约化为非线性常微分方程组 2 v u 嬲u v 嚣a ku 臻p k 0 v 0 泣2 4 i 7 y 7 2 一 用领头项分析法平衡方程 2 2 4 中的最高幂次非线性项和最高阶导数项得 1 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 码 l r n 2 2 从而我们假设方程 2 2 4 具有如下形式的解 吣 口o 锗 一吣h 锗 狰 q 卫国 其中矽 f 满足方程 2 5 借助于m a p l e 或m a t h e r n a t i e a 等符号计算系统 将方程 2 2 5 和方程 2 5 代入 到方程 2 2 4 中 得到关于 d 0 1 2 的代数方程 令 9o 0 1 2 的系 数为零 产生关于口o a 白 c o c i c 2 4 畋和尼的非线性代数方程组 此处省略方程组 利用m a p l e 求解代数方程组 得到以下结果 岛 o 4 z 4 肚2 罗2 噍红 2 一吐墨 2 一 2 岛 一口岛 q2 4 f 1 2 k 2 如一8 p 2 k 2j l i 心 一8 a k 2 j 1 2j l i 一4 口后2 如 2 2 6 乞 8 h j 4 p 2 魄 口 2 口 七2 d 2 4 i l k 2 l p 2 h h a 2 一口岛如 2 p 2 吃 一a h 2 u u q 圳厣面丽万丽加一 等 根据方程 2 2 3 方程 2 2 5 和方程 2 6 2 i i 我们得到方程 2 1 2 的解 即 1 当磊 i i 和岛 一1 2 时t 得到 1 1 维w h i t h a m b r o e r k a u p 方程组的解 一兰二竺譬一字 五压掣 万 三 i 万 地 卫2 一垒 乙 竖三 兰垒 二 至二二 以掣 去砌2 丢掣2 三脚 4 三掣 丢 2 2 丢掣2 主 2 七 s e c h 分 f s e c h 孙锄l l 锄 1 4 叩怒 警半笔淼簧畿籍产 2 譬 1 1 s 2 s e c h f 劬 善 j t 4 p k 2 一2t a n h 亭 s e cj j l 孝 2 fs e ch 孝 t a i l h 善 fs e ch 孝 1 s e c 五 孝 2 fs e ch 善 t a n h 善 4 后2 i s e ch 0 2 f s e c h 孝 t a u l l l 孝 一2t a n h 善 s e c 孝 2 f s e ch 孝 t a n h 善 fs e ch 孝 1 s e cj j l 孝 2 fs e ch 孝 t a i l l l 孝 2 4 去 2 寺掣 2 口 七2 s e c h 0 2 f s e c h 孝 t a i l l l 孝 2 一 鼍二 一 0 4 s e ch 善 2 f s e ch f t a l l l l 善 2 吃2 4 笔后 芋警口笋 五n三掣 三砌2 丢掣2 三砌22 22 c s c h 孝 2 c s c h 孝 c o t h f 1 g c s ch 孝 2 c s ch 孝 c o t h 孝 屹 警 盟型笔高c s c h 蒜鬻瓮产 2 2 等 1 1 孝 2 c s c h 善 c o m 善 4 p k 2 2 c o t h 善 c s c h 孝 2 c s c h 孝 c o t h 孝 c s c h 善 1 c s c h 孝 2 c s c h 善 c o t h 善 4 七2 p c s c h 孝 2 c s c h dc o t h 孝 2c o t h 善 c s c h 孝 2 c s c h 孝 c o t h 善 c s ch 孝 1 c s c 办 孝 2 c s ch oc o t h 孝 2 2 当i l i 红 三1 时 得到 1 1 维m i t h 锄 b r o 盯 凡l u p 方程组的解 2 2 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 蚝2 4 p 2 k p 2 k p 旦查 a k g 五 一t 1 一t 工 2222 s e c 0 2 s e c ot a n o l s c c d 2 s d z ot a n o k 一丝兰竖 墨二丝坠业型笔型幽塑金塑鳓 2 等 1 1 s e c 孝 2 s e c 孝 锄 孝 千 4 肚2 2t a n o s e c 0 2 s e c 善 t a n o s e c 孝 1 s e c 善 2 s e e c t a n o 4 p k 2 s e 善 2 s e c 孝 t 觚 善 2t 锄 孝 s e c 善 2 s e c 孝 t 锄 孝 s e c 孝 1 s c 孝 2 s e c 孝 t 锄 f 2 4 t 1 f 1 2 t 1 f 1 2 兰兰 竺竺 圭 竺竺 竺篁兰 1 u s e c 0 2 s e c 孝 t 柚 孝 2 2 4 f 1 2 k f 1 2 k z 呈生 里堡坐 a 一十 十一十一t 几 2222 c s c 务2 c s c 善 c o t 孝 1 u c s c 0 2 c s 善 c o t 孝 一 坐兰竖 二三 j 坠三壁 生 生呈丛 三兰竺壁兰丛竺堕鱼 箜堕圭 堑 2 a 等 1 l y c s c 0 2 酬2 f f c o t d f f t 4 b k 2 2c o t 乡 c s c 善 2 c s c oc o t f 1 6 第二章 1 1 维非线性发展方程组的新解的构造 c s 善 1 c s c 善 2 c s c 孝 c o t 孝 4 七2 比 c s c 0 2 c s c 孝 c o t 善 2c o t 孝 c s c 孝 2 c s c 孝 c o t f c s c o 1 u c s c 0 2 c s c 孝 c o t f 2 4 三 2 j 1 掣 2 础2 c s e 0 2 c s c o c o t 纠2 1 c s c 0 2 c s c 善 c o t 善 2 3 当啊 1 和吃 1 时 得到 1 1 维w h i t h a m b r o e r k a u p 方程组的解 一一 2 k 2 f 1 2 k l z c t k 2 a k l t 2 掣 2 2 掣2 2 u f 兰 三 三 三 二 二 4 a a 夕2 2 掣2 2 4 掣 2 2 a p 2 2 ks e c h 2 1 u s e c h 孝 2 协 壁 竺 查 笆 垒 墨壁 生 丝 丝墨 墨竺生 丝 兰 塾 圭2 7 p 1 t 1 1 s e c h 孝 2 8 肚2 掣 2 2 掣2 2 s e c h 孝 2t a n h 孝 l p s e c h 孝 2 8 后2 掣 2 2 掣2 2 p ps c c h f 4t a n h o 1 z s e e h f 2 2 8 a p 2 掣 2 口 后2s e c h f 4 一一i j i 焉面再厂 7 一一矿k 一2 壁2 k 弘一a k 一2 a k p 九0 a p p 2 矿j 卜o c 矿 p 2 p 掣 2 2 掣2 2 4 a p 矿矿 仅矿 矿p k c s c h 孝 2 卜 t c s c h 乡 2 2 2 8 一 2 口 后2 4 f 1 2 k 2 8 2 k 2 k t 4 e t k 2 8 a k 2 p c s c h f 2 u u 1 1 一 u c s c h 孝 2 8 七2 掣 2 2 a 9 2 2 zc s c h 孝 2c o t h f 1 二竺 竺翌 2 2 9 4 i l k 2 掣 2 z 2 a z 2 2 c s ch 孝 4c o t h o 卜 c s c h 孝 2 2 8 4 2 l a u 2 口 后2c s ch f 4 1 一 c s c h 0 2 2 内蒙古师范大学硕士学位论文 4 当啊 岛 1 时 得到 1 1 维w h i t h a m b r o e r k a u p 方程组的解 丝兰丛生哗丝丝丝丝 丝二型 丝 一掣一 2 2 一掣2 一 2 4 4 a u a l u a a l u ks e c 0 2 1 i z s e c 0 2 v 7 曼壁二垫壁 兰壁笙二墨芝墨 丝二兰丝 冀堕丝 竺 筻 1 1 一 c s c h 孝 2 8 p k 2 一q 一 2 2 一a u 2 一夕2 s e c 善 2t a n c 1 s e o 善 2 上4 七2 一掣一 2 2 一掣2 一 2 s e 孝 4t a n o 1 s e c 孝 2 2 8 a p 2 q 2 口 七2s e c 偕 4 1 s c c 孝 2 2 5 当 岛 1 时 得到 1 1 维w h i t h a m b r o e r k a u p 方程组的解 蚝 丛坐券券簪乎 4 f f a u p 2 2 一q p 2 2 t ks e c 2 l 一 s e c 善 2 2 口 七2 4 p 2 k 2 8 p 2 k 2 4 a k 2 8 a k 2 s e c 孝 2 1 一一 二 二 二 二二 一 1 一 1 t c s c h 孝 2 8 p k 2 掣一 2 2 一掣2 2 s e c 孝 2c o t 孝 1 u s e c 与x 2 4 肚2 掣一 2 2 一掣2 2 s e c f 4c 0 t 孝 1 一 s e c f 2 2 8 一 2 一a l u 2 口 七2s e c 孝 卜 s e c f 2 2 其中孝 k x a t 口 k 五 是任意常数 1 8 2 3 0 2 3 1 第三章 2 1 维非线性发展方程组的新解的构造 第三章 2 1 维非线性发展方程组的新解的构造 3 1 方法简述 对于给定的非线性发展方程 作行波变换 v 吩 u e a 0 3 1 z z y f 孝 善 k x l y 2 0 3 2 这里尼 和旯是待定常数 方程 3 1 被约化成非线性常微分方程 引入新的变换 a 研 睇 0 3 3 吣嘲 巡警笋 n4 其中变量矽 f 满足方程 2 5 通过平衡式 2 1 或式 2 3 中的最高阶导数项和最高幂次非线性项得到参数 的值 将式 3 4 和式 2 5 代入式 3 3 收集 f f l 2 的系数并令其等于零 得到一个关于七 口f 吩 f l 2 1 2 的非线性代数方程组 利用符号 计算系统m a p l e 或者m a t h e m a t i c a 解非线性代数方程组 得到 k q f 1 2 1 2 的值 并将它们代回 3 4 即得方程 3 1 的解 3 2 方法应用于 2 1 维非线性发展方程举例 例1 2 1 维破裂孤子方程组 1 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 r 苫 4 心 地 3 5 是描述沿着y 轴传播的r i e m a n n 波和沿着x 轴传播的长波的 2 i 维相互作用的重要 模型 对于该方程有许多研究结果n 7 侧 并且已经找到大量孤子解和变量分离解 7 对方程 3 5 作行波变换 u x y f u 孝 v x y t 矿 孝 孝 k x l y 冠t 3 6 方程 3 5 被约化为非线性常微分方程组 一五u 七2 i u m 4 u v 4 u v o 3 7 i 圮 7 一v 0 通过平衡方程 3 7 中的最高幂次非线性项和最高阶导数项得 l i 2 1 2 2 从而我 们假设方程 3 7 具有如下形式的解 吣卜 可a b l a b 笔铲 阻8 附h 锗 镨 其中 孝 满足方程 2 5 借助于m a p l e 或m a t h e m a t i c a 等符号计算系统 将方程 3 8 和方程 2 5 代入到 方程 3 7 中 得到关于 孝 i 0 1 2 的代数方程 令矽7 f i o 1 2 的系数 为零 得到关于口o a i a 包 6 2 c o c l c 2 4 吐和k 的非线性代数方程组 在此省略方程 组 利用m a p l e 求解代数方程组 得到以下结果 6 2 一岛 加 磊1 9 舡2j i l i 3 6 a o u 2 崛 9 舡 3 6 a 0 1 d 一 1 j i l l 第三章 2 1 维非线性发展方程组的新解的构造 畋 一啦 后 孝c 鼎 亏 4 c 22 j 2 c l2 j 哆 啦 a 2 詈 其中口o 2 j l 是任意常数 ll 4 6 1 2 3 9 根据方程 3 8 方程 3 6 和方程 2 6 2 1 1 我们获得方程 3 5 的解 也 即 1 当盔 i 1 和吃 一j 1 时 得到 2 1 维破裂孤子方程组的解