材料力学第2版 课后习题答案 第7章 弯曲变形.pdf

244 习习题题 7 1用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角 梁的抗弯刚度EI为常量 7 1 a 0 M Mx 0 EJMy 0 EJMyxC 2 0 1 EJM 2 yxCxD 边界条件 时 0 x 0y 0y 代入上面方程可求得 C D 0 2 0 1 M 2EJ yx 0 1 M EJ yx 0 1 M EJ B l 2 0 1 M 2EJ B yl b 22 2 1 M 222 q lxqx xqlqlx 2 2 1 EJ 22 qx yqlqlx 3 22 11 EJ 226 qx yql xqlxC 4 223 11 EJ 4624 qx yql xqlxCxD 边界条件 时 0 x 0y 0y 代入上面方程可求得 C D 0 4 223 111 EJ4624 qx yql xqlx 245 223 1111 EJ226 yql xqlxqx 3 1 6EJ B ql 4 1 8EJ B yql c 0 3 0 3 0 4 0 5 0 1 286 EJ 6 EJ 24 EJ 120 lx q xq l qlx M xq xlxlx l q ylx l q ylxC l q ylxCxD l 边界条件 时 0 x 0y 0y 代入上面方程可求得 4 0 24 q l C l 5 0 120 q l D l 45 5 000 2 3223 0 120 EJ24 EJ120 EJ 10105 120 EJ qq lq l ylxx lll q x lllxx l 3 0 24EJ B q l 4 0 30EJ B q l y d 2 23 EJ 1 EJ 2 11 EJ 26 M xPaPx yPaPx yPaxPxC yPaxPxCxD 边界条件 时 0 x 0y 0y 代入上面方程可求得 C D 0 246 23 2 323 2 111 26 11 2 5 326 2 BCC B yPaxPx EJ yPaxPx EJ PaPaPa yyaa EJEJEJ Pa EJ ii e 2 1 2 2 2 1 2 11 23 111 3 0 2 22 2 3 EJ 2 31 EJ 22 31 EJ 46 a M xqqaxxa q M xaxaxa a yqqax a yqaxxC a yqaxxC xD i i 边界条件 时 0 x 0y 0y 代入上面方程可求得 C D 0 22 1 184920 24EJ12EJ qaxqax yaxaxxa 22 2 3 22 22 4 223 222 1 EJ 2 4 2 1 EJ 42 23 12 EJ 2 2312 yqaaxx x yqa xaxC x yqa xaxC xD 边界条件 时 xa 12 yy 12 代入上面方程可求得 2 2 9 6 a C 4 2 24 qa D 432234 2 1612838464162 384 q yxaxa xaaaxa EJ 247 4 3 41 24 7 6 B B qa y EJ qa EJ f 22 1 2 2 2 2 1 2 23 11 2 234 111 5 20 22 5 22 252 51 EJ2 22 51 EJ 26 511 EJ 4324 qaqx M xqaxxa qaqaa M xqaxxaxa a yqaxx a yqxaxxC a yqxaxxC xD 边界条件 时 0 x 0y 0y 代入上面方程可求得 C1 D1 0 2 2 22 22 223 222 EJ 2 1 EJ 2 2 1 EJ 6 yqaax yqa xaxC yq a xaxC xD 边界条件 时 xa 12 yy 12 yy 3 2 9 6 a C 4 2 24 a D 4 3 71 24 13 6 B B qa y EJ qa EJ 7 2用积分法求图示各梁的挠曲线方程 端截面转角 A和 B 跨度中点的挠度和最 大挠度 梁的抗弯刚度EI为常量 248 7 2 a 解 0 0 2 0 3 0 2 6 M M xx l M EJyM xx l M EJyxC l M EJyxCxD l 边界条件 0 x 0y 0D xl 0y 0 6 M l C 23 0 3 6 M lxx y EJll 22 0 3 13 6 M lx y EJll 当时 可得 此时挠度最大 0y 3 l x 2 0 9 3 M l f EJ 中点挠度 2 0 216 M ll y EJ 0 6 A M l EJ 0 3 B M l EJ b 解 设中点为C点 则分析CB段 249 0 1 0 1 2 0 1 3 0 1 2 6 M M xx l M EJyM xx l M EJyxC l M EJyxCxD l 边界条件 0 x 0y 0D 2 l x 0y 0 24 M l C 3 0 1 64 Mxlx y EJl 2 0 3 64 Mxl y EJl 可得最大挠度 2 0 72 3 M l f EJ 2 3 l x 0 24 A M l EJ 0 24 B M l EJ c 解 0 2 0 3 0 42 0 532 0 2 6 242 12062 q EJyx l q x EJyC l q x EJyCxD l q xCx EJyDxA l q xCxDx EJyAxB l 边界条件 0 x 0 0 y y xl 0 0 y y 0 3 0 6 7 360 q l C q l A 0 0 D B 250 4422 0 3710 360 q x yxll x lEJ 422 0 1530 360 q yxl x lEJ 最大挠度 4 0 153 q l f EJ 0 5193xl 3 0 7 360 A q l EJ 3 0 45 B q l EJ d 解 2 1 2 2 1 23 11 34 111 3 0 822 82 3 EJ 82 3 EJ 166 3 EJ 4824 qlxqxl M xx qll M xlxxl qlxqx y qlxqx yC qlxqx yC xD 2 2 22 23 222 EJ 8 EJ 82 EJ 826 ql ylx qlx ylxC qlxx ylC xD 边界条件 0 2 x xl 1 12 0y yy 0 2 x xl 12 2 0y yy 3 1 1 9 384 0 ql C D 3 2 4 1 17 384 384 ql C ql D 251 323 1 3223 2 924160 3842 17248 3842 qxl yllxxx EJ qll yll xlxxxl EJ 4 41 1536 ql f EJ 0 25xl 4 3 3 5 2768 3 128 7 384 A B lql y EJ ql EJ ql EJ 7 3已知下列各梁的抗弯刚度EI为常量 试用初参数法求各梁的挠曲线方程 并计算 C yC 及 D yD 7 4计算下列铰接梁在C处的挠度 设梁的抗弯刚度EI为常量 a 解 252 C A 0 M a 0 M 0 2 3 0 33 c M M a a ya EJEJ b 解 C A q 1 2 qa C B 4 2 1 4 2 2 33 c qa qa ya EJEJ c 解 D A P P P B 333 3 333 C CDB yyay PaPaPa EJEJEJ Pa EJ i d 解 A P C D E P P B 3 33 3 2 333 10 3 C CEB yyay PaPaPa EJEJEJ Pa EJ i 253 7 5门式起重机横梁由4根36a工字钢组成如图所示 梁的两端均可视为铰支 钢的弹 性模量E 210Gpa 试计算当集中载荷P 176 kN作用在跨中并考虑钢梁自重时 跨中截面 C的挠度yC 解 查自重得 4 587 02 15760 qN m Jcm 34 33 98 4 98 5 48384 176 1011 48 210 1015760 104 587 02 5 11 385 210 1015760 104 0 03773 77 Plql f EJEJ mcm 7 6松木桁条的横截面为圆形 跨长为 4m 两端可视为简支 全跨上作用有集度为ql 1 8 kN m的均布载荷 已知松木的许用应力 10MPa 弹性模量E 1 0 103Mpa 此 桁条的容许挠度 y 200 试求此桁条横截面所需的直径 l 解 此松木条的最大挠度为 4 5 384 ql EJ 所以 4 5 384200 qll EJ 33 2 2 51 82 10464 200 0 006179 3841 10 32 1 689 8 d Mql MPa Wd i 所以取 4 0 0061790 28dm 7 7试用虚梁法求图示悬臂梁自由端B的和 B B y 254 a 解 2 3P l P l 3 P l 2 3 P l 2 3 l 2 3 122111 233233 5 18 11221411122 2333923339 18 81 B B PllPll EJEJ Pl EJ yPlllPlll EJ Pl EJ b 解 3 2 243 1119 326 1131 3 2486 B B qa qaa EJEJ qaqaqa b yaab EJEJ 7 8试用虚梁法求图示简支梁跨中挠度 C y 解 PaPa 2 2 3 3 2 311 2 2232 14 6 Af C QPa aa yPaaPa aPa a EJ P a EJ iii 255 7 9图示简支梁中段受均布载荷q作用 试用叠加法计算梁跨度中点C的挠度 梁 C y 的抗弯刚度EI为常数 解 3 34 42233 368 55 2436 C qb baqbqb fa EJEJEJ qbqa bqa bqab EJEJEJEJ 7 10用叠加法求图示外伸梁外伸端的挠度和转角 设EI为常量 a 解 2 2 4 4 2 2 33 1 2 25 2 163824 1 2 2 2 16364 C C qaa qaaqaq yaaa EJEJEJEJ qaa qaaqaqa EJEJEJEJ b 解 334 323 2 33 233 34 246824 1 2 44 246324 C C qlqa lqaqa yaaa ll EJEJEJEJ qa l qlqaqa a lal EJEJEJEJ 256 7 11用叠加法求图示悬臂梁中点处的挠度 和自由端的挠度 EI为常量 C y B y 解 43 44 432 2 4 33 239944 38646144 317 97242322 832768 C C ll qq qllql y EJEJEJEJ lqlll qql ql EJEJEJEJ 7 12外伸梁受力及尺寸如图示 欲使集中力P作用点处D的挠度为零 试求P与ql 间的关系 解 2 2 3 2 22 0 4816 3 4 D ql l Pl y EJEJ Pql 7 13若图示梁截面A的转角 试求比值 0 A b a 解 257 0 36 1 2 A PalPbl EJEJ a b 7 14悬臂梁的固定端为弹性转动约束 该处截面转角 其中k为已知常数 kM M为该梁面上的弯矩 已知梁的抗弯刚度为EI 试求梁自由端的挠度和转角 解 43 32 82 62 qlkql y EJ qlkql EJ 7 15简支梁AB 承受集中力P如图示 A端为固定铰支座 B端为弹性支座 弹簧 常数为k N m 梁的抗弯刚度为EI 求C处的挠度 解 22 2 3 2 233 9633 4 9243 C ll P Pll yl klEJ PPl kEJ 7 16图示梁的右端为一滑块约束 它可自由上下滑动 但不能转动和左右移动 若 EI为已知 试求滑块向下的位移 解 258 2 23 2 1 26 M xPlPx EJyPlPx P EJyPlxxC P EJyPlxxCxD 边界条件 时0 x 0y 时xl 0y 0C 3 3 Pl D 3 3 A Pl y EJ 7 17已知在梁的挠曲线方程为 试求 1 梁中间 7103 360 4224 0 lxlx EIl xq y 截面 x 上的弯矩 2 最大弯矩值 3 分布载荷的变化规律 4 梁的支承情 2 l 况 解 32 0 6060 360 q MEJyxl x l 当时 2 l x 2 0 1 16 Mq l 最大弯矩时 即 0M 22 0 180600 360 q xl l 1 3 m xl 2 max0 0 064Mq l 分布荷载为 0 q x qM l 根据 时0 x 0 0yy 时xl 0 0yy 支承情况为 梁的左端为固定端 右端为铰支端 259 7 18梁的轴线应弯成什么样的曲线 才能使载荷P在梁上移动时其左段梁恰好为水 平线 写出该曲线方程式 题 7 18 图 解 2 1 2 M xPx EJyPx EJyPxC 即 2 2 Px C EJ 时0 x 0 0C 2 2 Px EJ 3 0 6 x Px ydx EJ 即 若使 P 在梁上移动时左端保持水平则 3 6 Px y EJ 7 19图示等截面梁的抗弯刚度EI 设梁下有一曲面 欲使梁变形后恰好与 3 Axy 该曲面密合 且曲面不受压力 试问梁上应加什么载荷 并确定载荷的大小和方向 解 3 2 3 4 3 6 6 0 yAx yAx yAx yA y 即不受分布荷载 4 0y 0q x 设右端受集中力 P 260 6 6 6 EJyM x M xEJAx PxEJAx PEJA 即 受向下的集中荷载 6EJA 7 20重量为P的直梁放置在水平刚性平面上 当端部受集中力P 3后 未提起部分保 持与平面密合 试求提起部分的长度a等于多少 提示 应用梁与平面密合处的变形条件 解 1M EJ 当时所以即 xa 1 0 0M a 2 0 32 2 3 PP aa l al 7 21 简支梁受力如图所示 若E为已知 试求A点的轴向位移 梁的截面为b h矩形 解 261 2 2 2 2 22 2 2 222 212 12333 2263 2 3 22212 1233333 2263 145 27188 B PlxlPl x Pll EJll xl PllllPl Pll EJll PlPlPl EJ 22 33 112510 116227 PlPl EbhEbh 22 32 105 227227 AB hPlhPl x EbhEbh 7 22 悬臂梁受外力偶矩M如图示 若 3m 截面为No 20a工字钢 60 Mpa l max E 2 l 105Mpa 试求挠曲线的曲率半径 试分别根据精确结果及小挠度微分方程 判 断挠曲线是怎样的几何曲线 不必具体列出曲线方程 若所得结果不同 试说明为何有 这些差别 解 1M EJ EJ M maxmax 600 M y J 2370J 237W 600 237142200M 6 4 2 1 102370 3 49 10 142200 EJ cm M 262 精确方城 2 2 3 2 2 1 1 d y dx dy dx 小挠度下 2 2 1d y dx 7 23设在梁顶面上受到均布的切向载荷 其集度为t 梁截面为b h矩形 弹性模量 E为已知 试求梁自由端A点的垂直位移及轴向位移 提示 将载荷向轴线简化 解 2 3 2 2 4 12 N xt x h M xt x thx EJy thx EJyC thx EJyCxD i i i 时xl 0 0yy 2 4 thl C 3 6 thl D 2 4 A thl EJ 3 6 A thl y EJ 263 22 22 AA tlhtl xQ EbhEbh ii 7 24简支梁上下两层材料相同 若两层间的摩擦力忽略不计 当梁承受均匀载荷q 作用时 试求两层中最大正应力的比值 提示 两梁具有相同的挠曲线 解 11 11 22 2 2 12 1122 2 2 11 Mh J Mh J MM EJEJ 12 11 11 22 MJ MJ 11 22 h h 7 25AB梁的一端为定铰支座A 另一端支承在弹性刚架BCD上 AB梁中点F受有集 中力P作用 各杆抗弯刚度均为EI 试用叠加法求AB梁中点F的挠度 解 2 3 1 3 2 3333 2 2 2 6 117 482 2648 c Bc B F P a a Pa EJEJ Pa ya EJ Pa y EJ PaPaPaPa y EJEJEJEJ i 7 26试问应将集中力P安置在离刚架上的B点多大的距离x处 才能使B点的位移等于 264 零 各杆抗弯刚度均为EI 解 将载荷 P 移至 B 点 可知 B 点受一集中力 P 和一弯矩 Px 集中力引起的位移 3 1 3 B Pl y EJ 弯矩引起的位移为 2 2 2 B Pl x y EJ 12 0 BB yy 32 0 32 PlPl x EJEJ 2 3 xl 7 27用叠加法求图示各刚架在指定截面C的位移 设各杆截面相同 EI和GI均 p GI 为已知 解 a 2 2 44 25 88 C qa a qaqa x EJEJEJ 2