（应用数学专业论文）约束力学系统及其hamilton约化理论.pdf

摘要 本文首先分三部分对经典意义下的力学无约束力学系统和约束力 学系统的描述和约化理论作了介绍，在此基础上，进一步讨论了李群上 的力学系统，重点讨论了形变等价的动量映射的性质和李群上的非完整 力学系统，并应用于讨论c a r a t h e o 蛔问题 第一部分是对本文所涉及的基础知识的简要回顾，包括经典意义下 的一般力学系统和约束力学系统以及微分几何和李群基础，并给出了约 束力学中的经典问题一c 盯a t h e o d o r y 问题在经典意义下的求解 第二部分在几何力学的框架下。对无约束力学系统进行了刻画，并 介绍了具有对称性的无约束力学系统及其约化的理论，给出了形变等价 的动量映射的一个性质。同时，用几何力学的方法，讨论了无约束情况 下c 村a t h e 0 蛔问题的求解 第三部分在几何力学的框架下介绍了约束力学系统及其约化的理论， 给出了约束的定义和分类，介绍了具有对称性的非完整力学系统的约化 理论同时，继续对c 雠h e o d o 珂问题用约束力学系统的相关理论进行 了研究 第四部分是关于李群上力学系统的讨论，首先介绍了李群上力学系 统的几何描述和相关结论。然后，讨论了定义在李群上的一类具有非完 整约束的力学系统的性质，并继续研究c 删t h e o d o r y 问题及对所得出的 结论进行了验证 本文总结了几何力学框架下的约束力学系统及其约化理论，介绍了 几何力学的一些重要结果和方法，并应用所给出的方法和结论逐步解决 了c 锄t h e o d o r y 问题 关键词-非完整力学系统，辛约化，n o 酏h 凹定理，c a t a t h e o d o r y 问题 m r ( 2 0 0 0 ) 主题分类；5 8 f 0 5 ，7 0 h 3 3 ，7 0 h 3 5 ，7 0 h 3 0 a b s t r a c t i nt h i 8p a p e r ，d 鸽s i c a l 缸dg e o m e t r i ct h e o 巧f o rn o n - h o l o n o m i c0 0 n g 七瑚i i i 协m e 出a n i c a l 毋，8 t e m si 8i n t n l d u c e d ，a n dt h e 瑚e c h 粕i c a l 吕哦栅陷 w i t hn o n - h o l o n o m i c n s t r a i n t 8o nl | e 訇o u p 锄dm o m e n t 眦m a p p i n g a r e 锄p h 棚i z e d c 咖t h e o d o r yp m b l e mi 8 l v e d8 t 印b ys t e p t h e 缸tp a r ti 8ar e v i e wo f d 鹪8 i c a lm e c h 柚i 锵，d i 侬粕n t i a lg e 叩喊r y a n dl i ef o u p i kn e w t o n j 卸，h 砌妇_ t o n i 缸a n dl a g r 锄舀姐f o i m a l i 锄8 o fm e 出a n i c 8 l 昭s 劬8mp r 删c 眦t h e o d r yp r o b l 锄i 8i n t 胁 d u c e da n d8 0 1 v e di nd a s 8 i c a l 丘a l t h e c o n dp a r t i 8d e v 砌t o 删a l i z e d m e c h a n i i n g e o m e 埘| c m 捌丘锄e f h s t l y ，t h et k o r yo f8 ) ，m p l e c t i cr e d u c t i o ni 8p 】_ e 粥n t e d ； t h e n 踟咀塘r e 渊c hh a sd o n eo nd e 如r m a t i o n - e q l l i v 出tm 伪n d l t u mm a l 卜 由g f h l 8 n 乳t b eh ec 跹a t h e o d o r yp ro _ b i d mi sd i s c 糙8 e db yg e a m e h i c 坨c h a n i 鹳丘i a m e t b e 让l i r dp a r t 伽叩h 强i z e dm e c ：h 缸i c a l 昭8 t 即皤l ，i t h0 0 n s t r a i n t 8 e 珏 p e c i a y t h em e ( 血a n i c a l 财富t e m 8w i t hn o n - h o l o n o m i cc o 珊t r a i n t 8i 8d i 8 - c u 8 8 e d s e v e r a li m p o r t a n tt h e o r e m s 舡ep r 铡e n t e d 柏ab 越8f o rh t 艘 d 缸 c u s s i o n t h e f o u r t h p a r t i 8 d e 、r o t e d t o m e c h a n i c 出s y s t e m l i e g r o u p t h e n o n - h d l o l 删c 加e ( 血缸此a 王毋唔t e mo nl i ef o u pi sd i 8 c u 鹃e da n dt h e c 缸a t h e o d o r yp r o b l e mj s 鲥v e d ht h i bp a p e r ，m e c h a n i c a l 町r 8 1 舢w i t hc c 咀6 t r a j n l 薯i sf o n m l l a 衄d i nm o d e md i f f b r 衄t i a lg e 伽t n c 、r i 印叩o i n t ，鲫m ei m p o r t 舡i tr 器山t 8a n d 、 m e t h o d si n 籼e t r i cm 础8 n i 娼i 8i n t n l d l l o e da n dt h eg 糊t h e o d o 叮 d r o b l 锄i 8d i s ( ：1 1 8 s e d k q r d s ， n o n h o l o n o m i cm e 出a n i c a ls ) 吼e m ，s ) ，m p l e c t i cr e d u “i o n ， n o e t h e ft h e o r e m ，c a r a t h e o d o r yp r o b l e m m r s c ( 2 0 0 0 ) ：5 8 f 0 5 ，7 0 h 3 3 ，7 0 h 3 5 ，7 0 h 3 0 符号说明 矩阵a 的转置 由l 导出的l e g e n d r e 变换 e 上光滑函数的集合 动量映射 非完整动量映射 欧氏空间中的单位圆周变换群 分布c 的零化分布 刘维尔向量场 典则近切张量场 函数h 对应的h m n t 向量场 李群g 的李代数 g 的对偶空间 李群在其李代数上的伴随作用 g 上的余伴随作用 李代数上的伴随表示 流形q 的切丛 流形q 的余切丛 流形q 在q 处的切空间 流形q 在q 处的余切空间 t q 上解析函数的集合 流形q 上的光滑向量场集 f 对应的m 上的无穷小生成子 向量场的李括号运算或者李代数上的乘法运算 欧氏空间中的内积 或者切空间和余切空间的配合 筋m鹅船就罢8嚣粥埔坫坫坫坞坫5 7 6 6 5 7 勰坫m 6 点 ? ) 凡州，一伊伊占妇。旷朋肘以璁期啪卵觚搬锄。 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：幺叶1 岭 k 6 年r 月w 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 薯1 跏石年t 月竹日 1绪论 1绪论 1 1 引言 ， 力学是数学和物理学研究的一个核心的课题，从数学和物理学的发 展史就可以明显的体会到，正是长期以来对于力学的研究和探索。促进 了数学工具的发展，同时也促进了物理规律的发现，进而促进了各个学 科的发展正如牛顿力学三大定律的提出，不仅足物理学和天文学史上 开创性的贡献，也是数学方法一微积分的提出和应用的开创性的贡献； 而爱因斯坦相对论力学的提出，也不仅仅是物理学史上跨时代的贡献， 同时也是微分几何方法的一个极好的验证和应用对于力学问题的思考 和解决，既可以加深我们对于数学思想和方法的理解，并进一步作出创 新。又可以直接应用于生产实践因而，力学是个悠久而全新的课题 发展至今，力学已经成为一个庞大的学科体系按研究的具体对象 来分，力学可以分为t 经典力学相对论力学和量子力学其中经典力学 以牛顿力学为基础，研究低速条件下物质的运动，按研究对象又分为理 论力学和连续介质力学理论力学研究物体的机械运动，主要研究具有 有限自由度的力学体系；连续介质力学包括弹性力学与流体力学，研究 具有无限自由度的力学体系理论力学按研究方法和提出时间又分为质 点刚体力学和分析力学质点和刚体力学基本上是利用牛顿三大定律 来求解的。因而需要求解大量的微分方程组。如果质点组或刚体受到约 束，则因为约束反力都是未知的。所以更加增加了问题的复杂性1 8 世 纪，拉格朗日( l a g r a n g e ) 写了分析力学一书，完全用数学分析的方 法来解决所有的力学问题，奠定了分析力学的基础在此基础上。哈密 顿( h m n t m ) 又提出哈密顿原理来描写力学体系的运动，提出了在理论 上具有更重要意义的哈密顿正则方程，使得分析力学变得更为完善 到了二十世纪7 0 年代，一方面由于最优控制，机器人力学航天飞 行器控制等实际应用领域，以及轨迹跟踪动力系统稳定性反馈镇定 分岔控制等相关课题的需要；另一方面，由于微分几何作为力学系统的 一种更为清晰，而且更为深刻的语言和分析工具的不断完善和广泛使用， 从而引发了力学史上又一次重大的发展一几何力学的出现在最近的二 十多年里，几何力学不仅将经典力学用微分几何的语言做了更为清晰和 深刻的描述，得出了很多漂亮的结论，而且与非线性系统控制迅速结合， 形成了包括能控性，能观性，解耦，大系统的分解最优控制等一系列成 熟的理论，并在机器人和航天器的控制领域得到了有效的应用，解决了 1 1 1 引言 j绪论 很多难题， 对于力学系统的研究关键在于方程的建立和求解几何力学利用向 量场来刻画系统的运动，将系统的位形空间从经典力学中的欧氏空间拓、 展到了光滑流形，并利用系统的状态空间上自然具有的几何结构，来对 系统运动进行整体的刻画其中，l a f g e 力学系统即由一个流形( 。位 形空间”) 的切丛及其上的个函数( 。l a g r a n 菪e 函数。) 给出，系统的运 动则由切丛上向量场的积分曲线来描述几何力学更多地和h m l i l t o n 力 学结合在起，因为h a x n t 力学中的相空间，即为位形空间的余切丛。 它本身具有辛结构，从而具有更加丰富的几何性质在几何力学中，通 过勒让德变换。将岫g e 力学与h m n t 力学结合在一起并使得经 典的分析力学中的方程成为其相应的局部表达式 另外。经典的诺特定理将对称性与守恒量联系到了一起，在牛顿力 学体系中对称性和守恒量已经受到了相当的重视，如动量守恒定律，能 量守恒定律等，利用对称性和守恒量可以有效地降低系统方程的阶数， 从而大大地简化了系统的求解在几何力学中，对称性表现在l a g m l g e 函数( h m t 函数) 在速度相空间( 相空间) 的一个单参数微分同胚群 的作用下的不变性，进而由诺特定理给出系统的守恒律几何力学充分 应用空间的几何结构和性质，利用李群的作用达到丛的分解，进而可以 对系统进行约化 在刚体动力学的研究中，由于刚体的运动本身即可以用李群来刻画， 从而可以归结为李群上的力学系统通过李群自身具有的群运算，可以 将系统的运动拉回到位形空间的原点处进行刻画，进而以很简洁的形式 给出了系统运动的欧拉方程又由于李群对于自身的作用，自然具有对称 性，因而用几何力学的约化理论能够对系统进行很好的简化( 文献【3 】 8 j ) 在本文的第五章即会对李群上的力学系统进行研究 关于约束力学系统的研究，特别是对于非完整约束力学系统的研究 有着悠久的历史，可以说，在一定程度上正是为了研究非完整力学系统 才导致了分析力学的产生因为随着牛顿力学的完善以及实际的需要， 很自然地会提出物体在有约束的情况下如何运动的问题其中，最为典 型也是最为重要的约束，滚动约束即为非完整约束在8 0 年代以前，对 于该问题的研究主要使用分析力学作为工具，运用传统的分析方法来进 行研究( 参见文献 2 9 】) 在最近的二十年里，可以清晰第看到关于非完 整力学系统的研究主要沿l a 静g i a n 和h m i l b 两种思路进行，包括非 完整力学系统的刻画和具有对称性的非完整力学系统的约化理论，并均 2 j 2 本文的主要工作 i绪论 取得了丰富的成果文献 2 】和【1 4 】分别是这两方面有奠基意义的文献 沿l a f g i a n 力学进行的研究，侧重于从力学角度出发，应用仿射联络 作为工具，利用对称性对系统进行分解；沿t m i a n 力学进行的研 究则主要使用辛几何的方法，运用纤维丛，特别是主g 丛的有关知识， 对系统进行描述、分解和约化在文献【3 9 】中对这两种观点下的结果进 行了比较研究，更详尽地展示了这两种经典力学观点的内在一致性文 献【3 5 1 给出了非完整诺特定理，并应用它对非完整系统进行的约化；文 献【3 6 】则给出了一种非完整系统的新的描述方法；文献【2 0 】【2 l 】【2 8 】的思 路本质上是致的，都是应用分解来处理约束的；文献【6 】吲则是重点研 究d r 流形上的隐性哈密顿系统，非完整力学系统也包含在内。作者在 最近几年对这一课题做了比较充分的研究，得到了一系列的结果文献 【1 1 】【1 2 】【2 7 】研究了具有对称性的非完整力学系统及其约化理论 具有对称性的非完整力学系统的研究也是近十几年科学研究的一个 热点和难点1 9 9 7 年8 月。来自于七个国家的数位知名数学家在加拿大 的c a l g a r y 召开了。动力学中非完整约束。的学术会议，会议上发表的论 文收录在在s c i 检索期刊r 印o r t 6o nm a t 枷i c a lp h 拍i c 8 ( 1 9 9 8 ) 年第4 2 期，这些论文充分运用微分几何的方法和语言，对非完整约束动力系统 的研究成果进行了总结，同时也提出很多有待进一步发展的问题由此 可见，关于有对称性的非完整力学系统的研究是一个历史悠久并有着丰 富内涵的课题 1 2 本文的主要工作 在本文中，系统地回顾和介绍了经典力学系统和无约束力学系统 的研究成果，总结了近几年关于非完整力学的主要结论，在此基础上， 沿用几何力学的研究思路，讨论了形变等价的动量映射的一个性质和 李群上的非完整约束力学系统并逐步地将几何力学的理论应用于讨 论c 口a t h e o d o f y 问题，先给出了经典力学意义下的饵，然后应用几何 力学的方法和结论求出了无约束c 口a t h e o d o r y 问题的解，并进而求出了 c a r a t h e o d o r y 问题的解，最后，将c a r a t h e o d m 了问题作为李群上的力学 系统进行了讨论 1 3 进一步的研究方向 综上所述，本文对于约束力学系统的几何理论作了介绍，并研究了 个非常有代表性的问题；c ”a t h d o r y 问题在此基础上，无论对于理 3 l 3 进一步的研究方向 l绪论 论的研究。还是实际的应用都有很大的发展空间例如，如何给出各种条 件下非完整力学系统的守恒量；当系统的l a g r g e 函数是奇异的时候， 如何对系统进行约化；将非完整力学系统与最优控制相结合，如何给出 最优控制问题的解；如何刻画同时多种混合约束时系统的运动；以及考 虑c ”a t h e o d o r y 问题在一定条件下的能控性，能观性等，这些都将会成 为进步的研究方向 4 2 基础知识回顾 2 基础知识回顾 我们首先给出欧式空间中关于一般力学系统( 无约束力学系统) 的 描述，分别包括牛顿力学l a g r a n g i a n 力学和 i a m i l t 一力学框架下的描述 形式，在此基础上进一步给出了欧式空间中关于约束力学系统的定义和 描述经典力学的问题和模型是直接来源于实际问题的。为我们接下来介 绍用几何力学的方法来研究无约束力学系统和约束力学系统提供实际的 背景在第三节给出了微分几何和李群的相关基础知识，作为我们以后各 章分析的基础和准备这部分内容主要参见一文献【3 】，【1 6 - 1 8 】【矧，】，【29 】 2 1 经典意义下的一般力学系统 定义2 1 1 设质点的自由度为t l ，则质点系在空问中的位置用曰- 中的向 量口= ( 口1 ，矿，矿) 表示，质点在口点的速度用向量自= ( 口1 ，铲，矿) 表示，称q 为广义坐标，奇为广义速度，质点可以取到的口的集合构成 了彤；中的子集尬称为位形空间，质点可以取到的( q 神的集合构成了 j p j p 中的子集最称为状态空间，其中具体取到的每个( 口白) 称为系 统的一个状态 对于3 维欧式空问中，n 个质点组成的质点系( 以下简记为质点系 o ) 来说，每个质点的自由度是3 ，整个质点系的自由度为3 n ，用广义坐 标和广义速度表示该质点系的一个状态为， ( q ，= ( 口1 ，扩，口1 ，矿，口轨) m 驴 设n 个质点的质量分别为m 1 ， 1 2 ， h ，为与上面的指标相配，定义 磊，江l ，2 ，轨使得： 地一2 = 地一l = 地= 他 设f ；( f 1 ，严，p ) 为该质点系所受的合外力一般假设质点所受 的力与质点的位置和速度有关，即。 p ：m 驴_ r ， = 1 ，2 ，轨 则由牛顿力学有， 定理2 1 2 如上定义的3 维欧式空间中t 1 个质点组成的质点系，假设该 系统所受的合外力为只则该质点系随时间变化的位置“t ) 为下面微分 5 2 1 经典意义下的一般力学系统2 基础知识回顾 方程的解： 蝇辔= ：p 似味神) ) ，矾t ) = 窑 ( 2 1 1 ) 特别的，如果系统仅受保守力的作用。即存在势能函数，【厂：m 一冗，满 足 j 一( 甙t ) ，承t ) ) = 一( a u a 矿) ( 口) ，i = 1 ，2 ，3 n ， 记该质点系随时间变化的位置为“t ) ，矾t ) = ( d 口出) ( t ) ，则( q ( t ) ，4 ( t ) ) 为 系统在状态空间中的运动轨连，满足微分方程， 爰( 尬卅筹= o ，2 ，轨 ( 2 1 2 ) 由牛顿力学方程( 2 1 2 ) 可以导出力学的l a 酽百m 形式， 定义2 1 3 映射r ：m j 印一r 定义为 3 ，i 。 t ( 儡动= i ( 批 。 称r 为系统的动能函数 定义2 1 - 4 映射二：m j f i ，i r 定义为t ， 三；? 一( u o 霄) ， 其中 r ：m j 印一m 为典则投射，即任意( 口( 亡) ，国m 铲“，有 ，r ( q ( t ) ，动= g m ， 称工为系统的厶咿哪e 函数 定理2 l 5 对于如前定义的? 维欧式空间中n 个质点组成的质点系，设 英仅有保守力作用，具有势能函数tu ：m 一昆记该质点系随时间变化 的位置为q ( t ) ，自( t ) = ( d 出) ( t ) ，则( q ( t ) ，酬t ) ) 为系统在状态空间中的运 动轨迹。满足徽分方程， 爰( 券) - 券= 。，2 ，鼽 ( 2 m ) 其中，工为系统的厶删e 函数 6 2 1 经典意义下的一般力学系统2 基础知识回顾 注记2 1 6 方程( 幺j 称为上d 肿w e 方程，在这里可由方程( 旦j 力直 接导出这里的厶哆坶e 形式和下面的曰n ”耐t d ，l 形式仅是分析力学中 厶删e 力学和日肼试缸m 力学在质点系力学中的形式，与牛顿力学是等 价的 与力学的l a g r a n g e 形式相对应的有h a m n t o n 形式 如前所定义，m c 肿为系统的位形空间，s = m j 枷为系统的状态空 间，定义伊= m ( 驴) ，记( e 1 ，e 2 ，e 3 t i ) 为胪的标准正交基，则 与之对偶的( e ，e 耋，略；) 为( j p ) 中的基，满足； = ：i ； t j = l ，2 ，。，3 啦 在( e ，e 主，e k ) 下，习惯记伊中的每个点为( 矿，q 2 ，q 轨，p 1 ，p 2 ，确。) ， 其中口l 为相应与e 分量 定义2 1 7 称铲= m ( j p r 为质点系d 的相空间，p = ( m ，p 2 ，p 鼽) 称为广义动量 定义映射p ：m 驴一m ( 驴) 。对于任意的( q ，m m 驴， 有 3 n3 f l 2 ( q 矿e i ) = ( q 口。e ：) ( 2 1 4 ) i = li = l 写成坐标的形式，2 表现为； ? ( ，p ，n 一，扩) = ( 口1 ，q 3 ，i ，尬n ，坞。尹) p 有逆映射为，p 一1 ：m ( 胂) + 一m 胪，对于任意( q ，p ) m ( 胪) 有t 2 - 1 ( q p ) = ( q ，p 1 ， 矗，硒； h )( 2 1 5 ) 称z 为l e g i r e 变换由2 的定义可知，? 给出了状态空间s 与相空 间矿的对应从而可以通过相空间中的轨线来刻画系统的运动 定义2 1 8 对于具有势能函数u 的只受保守力作用的质点系d ，映射 日：伊一且定义为， 讹西= ；磊+ ( 2 1 6 ) 称为该质点系d 的丑h m l z t m 函数 7 2 2 经典意义下的约束力学系统2 基础知识回顾 定理2 1 9 具有势能函数u 的只受保守力作用的质点系d ，其运动在相 空间伊中的轨迹记为( q ( t ) ，p ( t ) ) ，满足方程组t 矿一豢矿= 筹 ( 2 ”) 矿一面，旷。面 阻7 ) = 1 ，2 ，3 竹。其中日为系统的z k m 疵m 函数，上述方程组称为日口m m 加方程组 、 定理2 1 1 0 具有势能函数矿的只受保守力作用的质点系0 ，设其在状 态空间s 中的运动轨线为c ( t ) = ( g ( t ) ，瓤t ) ) ，由定理幺j 5 知c 似满足方 程2 j 只则6 ( t ) = 酽c ( t ) 为系统在相空问舻中的运动轨线，满足方程 2 j z 其中厶e 函数工与目啪谢加函数日的关系为t 日o 彩( 叮 劬= 2 t ( q 亘) 一工( 儡动= t ( 叮，劬+ u ( 曲( 2 1 8 ) 可见，此时日为系统的总能量 2 2 经典意义下的约束力学系统 研究了无约束的力学系统，很自然的问题是t 如果系统不是无约束 的，也就是有一些限制条件的情况下，系统的运动应该如何刻画从无 约束力学系统到约束力学系统的研究在思维上是一个很自然的过渡，但 在实际理论的处理上，则是通过许多数学家和物理学家多年的努力才得 以完善和成熟的下面我们给出经典力学中关于约束的定义和分类- 定义2 2 1 在一个力学体系中加之于质点的位置和速度的限制条件称为 约束，常表现为包含力学体系中质点或刚体的坐标、速度和时间的方程， 对于系统o ，约束用光滑函数乒m r 轨r r 来刻画：t 时刻系统的 状态儡4 需满足； 贝岱讯t ) = 0 ，( 2 2 1 ) 称方程( 2 2 j ) 为系统0 的约束方程，满足方程的其q ，乱t ) 称为系统的 容许状态 注记2 2 2 这里将系统所受的约束记为， 表示方程组，= 仇， ) ， 表示系统所受约束的个数，对于系统d 来说，k 乩 当应用基本原理推导具体系统的运动微分方程时。约束本身的性质 有很大的影响，不仅系统运动的形式，而且为研究运动所选取的方法都 依赖于约束的性质，因此有必要研究各种类型的约束 2 2 经典意义下的约束力学系统2 基础知识回顾 定义2 2 3 在系统d 受到形如( 2 幺j ) 的约束的基础上t j 如果方程( 幺幺j ) 中不显含时间t 即系统的容许状态满足贞口劬= 0 ， 这种约束称为稳定约束；否则称为非稳定约束； 、2 、如果约束方程( 2 2 l j ) 仅为对位置叮的约束，即j ( 儡t ) = 0 ，则这种约 束称为纯几何约束；如果，的所有分量中均含有口和自则称为纯运动学 约束； 只如果约束方程( 2 2 j ) 是可积的，即存在函数垂( 呸t ) 使得d 垂( 口 t ) = 贞g 奇 ) 出则这种约束称为完整约束；否则，称为非完整约束进一步，在 非完整约束的情况下。如果，对于自的每个分量是线性的，这种约束称 为线性非完整约束。否则称为非线性非完整约束 例2 2 4 平面上运动的两个质点a 和口组成质点系，设其质量分别为 m 1 ，m 2 ，二者用定长为的刚性杆联结，且杆的中点的速度须沿杆的方 向 首先我们建立平面直角坐标系，设a ，且的坐标分别为( $ l ，”1 ) ，( 耽，z 1 2 ) 。 则杆的中点m 的坐标为( 2 峙丑，皿笋) 。由牛顿力学的知识可知，系统的 动能为 t = ；m 1 ( 嗣+ 口 ) + ；m 2 ( 谚+ 垢) 由题意可知，该系统在平面上运动，因此不具有势能，故系统的k 口r g e 函敷为正= t 同时。我们注意到系统受到一定的约束t f ( 2 一z 1 ) 2 + ( 抛一玑) 2 一护= o ，以， i 辫一辫= o ， 俐 由约束的分类可知，以，为纯几何约束，f 矽为线性非完整约束，故而系 统是一个具有混合约束的力学系统，系统的位形空间肘为舻舻中的 闭子集 书上述分析写成广义坐标的形式，( 9 1 ，口2 ，矿，一) 使得 9 1 = 。1 ，q 2 = 口l ，矿= z 2 ，一= 抛， 从而 m = ( 9 1 ，矿，矿，q 4 ) l ( 口3 一q 1 ) 2 + ( 矿一日2 ) 2 一俨= o 系统的z 伽m 哪e 函数为 l = ；m ( ( 4 1 ) 2 + ( 寸2 ) 2 ) + ；m 。( ( 矿) 2 + ( 矿) 2 ) ， 9 2 2 经典意义下的约柬力学系统2 基础知识回顾 系统所受的非完整约束为。 地= 辫一辫= o 在分析力学中，对于约束是通过引入与之等效的力f ：m j 印一r 来处理的，使得系统在f 的作用下其运动状态满足约束方程，力f 常称 为约束反力对于具有形如( 2 2 1 ) 的非完整约束的质点系o ，与该约束 等效的约束反力为t f ( q ，= ( 一妻等，一耋器) ， ( z 七七) 其中 为约束函数f 的分量，j = l ，为k 个待定参数，从而有t 定理2 2 5 口维欧式空间中n 个质点组成的质点系d 。设其仅受保守力 作用，具有势能函数玑且具有形如( 2 2 j ) 的非完整约束，则系统d 随 时间变化的位形酢) 满足微分方程， l 参! ? 2 _ 鸶：_ 萤，之磬 a ：，2 ，s 。)( ：2 s ) i 贞q ( ) ，白( t ) = d 口( t ) 出，t ) = o 、 、 分别引入定义2 1 4 给出的l a g r g e 函数和定义2 1 8 给出的l i a m n t 函 数，可以得到相应的l a g r a n g e 力学形式和h m n t 力学形式 定理2 2 6s 维欧式空问中n 个质点组成的质点系d ，设其仅受保守力 作用，具有势能函数以且具有形如( 2 2 ) 的非完整约束，则系统o 随 时间变化的状态( 甙t ) ，烈t ) ) 满足微分方程， 姜鬻二兰磊法害妻 c 忍，踟仁z l 贞矾t ) ，试t ) = d q ( t ) 出，t ) = o 定理2 2 7s 维欧式空问中 个质点组成的质点系0 ，设其仅受保守力 作用。具有势能函数以且具有形如( 盟2 j ) 的非完整约束，则系统运动 在相空间s 中的轨迹记为( “t ) ，p ( t ) ) 。满足徽分方程： 矿= 筹， 血，筹一喜等 ( z 。石) 2 基础知识回顾 2 3c a t a t h d o r y 问题一i c a r a t h e o d o 玎问题是非完整力学系统分析中的经典问题，因为这一 问题在实际生活中具有普遍性，冰刀和雪橇的运动都可以归结为这一问 题，而对于冰刀运动的研究可以说是非完整力学产生的一个最为直接的 因素，同时，在解决这个问题的过程中，我们可以应用经典力学中的很多 方法，同时，可以很好地验证几何力学的方法，下面，我们首先来描述这 一问题，并用经典的分析力学的方法进行求解，在以后的章节中。我们 会用几何力学的方法，对这一问题进行进一个深入的研究和详细推导 问题2 3 1 仇m h e 砌付问题假设物体a 可沿固定平面 r 滑动。物体与 平面有三个点相接触，其中两个点可以无摩擦地沿平面自由地在任何方 向上滑动，第三个接触点是刀片或者带尖缘的小轮对平面的支寺。并且 这个点p 仅能沿刀片或者小轮的尖缘移动，且设物体仅受重力作用建 立这个问题的系统方程。并求解 分析，物体a 在平面口上的位置可由刀片接触点p 的坐标0 ，) ，以及刀 片方向与平面上固定方向轴o 之间的夹角口来确定，不妨假设物体a 是匀质的，质量为m ，其质心设为c ，在刀片方向的延长线上，设p 点与 c 点间的距离为定长a ，因为a 可以绕p 点转动，故而假设物体a 相对于 通过质心的铅垂轴的转动惯量为五物体a 在平面上的投影如图一所示， y 矽 、日 一 r o x 图1 ：c a t a t h c o d y 问题平面图 1 l 2 3c a 亡a 曲e o d o l y 问题一f2 基础知识回顾 建立模型t 通过分析我们得到。物体a 的位形空间m = 舻s 1 ，a 的一个位形可以表示为：扛，玑口) ，其中，0 ，口) 舻是p 点在平面直角坐 标系内的坐标，口卜2 霄，2 丌j 兰伊表示刀片方向与平面上固定方向轴d 之间的夹角 通过简单的计算知道当p 点的速度分量为( ，口) 时，质心c 的速度分量 为： 蒿二： 仁s m 从而由经典力学的知识可得，a 的动能为。 t = ；五。2 + ；m 【p 一甜s i n 口) 2 + 傍一胡8 日) 2 】 ( 2 3 2 ) 限制点p 的速度仅能沿刀片的方向的条件可以表示为t 掣：t a 口( 2 3 3 ) 或 ， 士8 i n 口一口c o s p = o( 2 3 4 ) 采用广义坐标的形式，用( 口1 ，矿，矿) 替换印，口，日) ，表示位形空间m 中的 一个点，相应的速度分量用( 口1 ，铲，寸3 ) 替换( ，口，d ) ，由于a 在固定平面 上运动，故而系统的势能为零，设系统的l a n g e 函数为。 工( q = t = ；2 + ；m i 一胡s i n 口) 2 + 国一胡。口) 2 】 ( 2 3 5 ) 则由定理2 2 6 可知，系统的运动须满足微分方程， 丢( 筹) 一筹- - 筹 t = ， 2 s ( 。s o ) 出、钾7a 旷a 旷 其中 ，( q ，= 口1s i n 矿一铲c q 3 且系统运动须满足约束方程， ，( q ，m = 口1 血口3 一矿矿= o( 2 3 7 ) 模型求解t 下面我们对建立的模蛩进行求解； 展开微分方程组2 3 6 有t m 爰p 一甜咖p ) = 一 s m 口 ( 2 3 8 ) 2 4 微分几何与李群基础2 基础知识回顾 m 丢国+ 西c o s 口) = a c p ( 2 3 9 ) m 象【一m 8 i n 口 一面咖p ) + 口m 口国+ 胡c 0 8 口) 】- o ( 2 3 1 0 ) 注意到约束，并设 圣= 口o 口 口= u 8 i n p( 2 3 1 1 ) 即v 为物体a 沿p c 方向的速度，带入上述方程并化简可以得到t m 埘+ ( j c + m 铲) 甜= o( 2 3 1 2 ) 积分可得； ；舻+ ；+ 柑) 。2 = h ( 2 肌3 ) 对照系统总能量。也就是t 的表达式，可以看到，( 2 3 1 3 ) 说明了约束系 统a 仍然满足能量守恒将( 2 3 1 3 ) 带回到系统方程，可得t 。一筹等n = o ( 2 3 “) ”一i 再孬8 刮 1 4 ) 令警= 碚，譬= 6 ，则上式变为t 。= ；( 谛一t j 2 ) ( 2 3 1 5 ) 在上式中h 和b 均为由系统本身在初始时刻的状态所决定的常量，故 而，( 2 3 1 5 ) 为仅关于v 的常微分方程，设t = o 时，v - o ，求解( 2 3 1 5 ) 可 得， = 伽t h ( 半t ) ( 2 3 1 6 ) 其中t ( $ ) = 菩i ；将( 2 3 1 6 ) 带回到( 2 3 1 3 ) 。即可得到仅关于目的微 分方程 压磊赤 仁s ， 由( 2 3 1 7 ) 可以得到口= 口( ) ，由( 2 3 1 6 ) 给出的口= 口( t ) ，带回到( 2 2 1 1 ) 可以便可得到z = z ( t ) ，”= ( t ) 问题得解 2 4 微分几何与李群基础 下面首先给出辛几何的一些基本定义和性质 2 4 微分几何与李群基础2 基础知识回顾 定义2 4 1p 为一光滑流形，如果p 上存在一个非退化的，闭的二形式 u 。则称，为p 上的辛形式，p 与其上的辛形式，称为一个辛流形，记 为( p u ) 特别的，当p 为流形q 的余切丛的时候，其上自然具有辛形式： 命题2 4 2 口为一光滑流形，p 司q ，记“臼：p 一0 为余切盛p 到底流 形q 的典则投射，对于v e p 0 0 ) ，地。墨。p 。定义 一：p r ：g h a qo t 霄o ( 口) ，以：叫以口 ( 2 4 1 ) 则以劈。( p ) ，= 一棚。为p 上的辛形式，分别称如和如为p 上的典 则一形式和典则辛形式 注记2 4 3 在口为有限维流形的情况下。记n = d i n l q ，( 口1 ，矿) 为q 的局部坐标，相应的r q 上的局部坐标为( q 1 ，矿，p l ，鲰) ，则 以= a 耐，= 好 觑 i：l=1 定义2 4 4 ( p “，) 为辛流形，日：p r 为p 上的光滑函数。则由奴o ，= 扭。可以唯一确定p 上的向量场妇。称为日的觑m 勰d ，l 向量场 定义2 4 5 口为光滑流形，工尹( 7 曰) ，通过函数工可以定义l 沿着明 的纤维的导数，即映射 f l ：丁曰一r q ：蛳一d 工g ( ) 二( 蜀q 冠) = 露q ( 2 4 3 ) 其中嘶五q ，g q 工( 码q ，r ) 表示码q 上线性函数的集合 定义2 4 8q 为光滑流形，工尹( t q ) ，如果f 上，为正则的，则称工为正 则的；如果凡为微分同胚，则称工为超正则的 命题2 4 7 印为光滑流形，工庐( 册) ，则下面三个命题等价s j 二为正则的 见凡为局部截分同胚的 鼬l = f 扩( ) 为t 叼上的辛形式( 为r 口上的典则辛形式) 1 4 2 4 微分几何与李群基础2 基础知识回顾 在l a g r a n g e 函数l 是正则的情况下，典则二形式比是非退化的， 则有t ( t q ) 和p ( t q ) 之间的同构， 吒：t ( t 叼) 一r ( t 曰) ，虹= b ：1 ：r ( t q ) 一t ( 册) 具体的，对于v x t ( 丁曰) ，有吒) = 圾也，而此则为b l 的逆映射 定义2 4 8 设( m ，u ) 与( p ) 为两个辛流形，光滑映射f ：m 一如 果满足p p = ，则称，为辛映射 下面回顾关于李群的一些定义和性质 定义2 4 9 ( 李群) 有限维光滑流形g 不仅具有微分流形结构。而且是一 个群，其上的乘法运算g g g ：( 9 ， ) 一9 和逆运算g g ：9 9 1 对于v g ， g 是光滑的，也就是说g 上的群运算与g 的微分流形结构 是相容的则我们称g 是一个李群记e 为李群g 的单位元g = 磊g 为李群g 的李代数 在此基础上定义李群在光滑流形上的作用， 定义2 4 1 0q 是一个光滑流形，如果一个光滑映射圣：g q q 满 足： j 对于忱m ，均有西( e ，$ ) = z 2 对于，h g ，t q ，均有垂( 9 ，圣( h ，z ) ) = 垂( 9 k $ ) 则称垂为李群g 在流形q 上的作用 性质2 4 1 1 对于坳g ，映射雪口：q 一0 ：$ 一圣( 9 ，z ) 是q 上的微分 同胚 定义2 4 1 2g 为李群，对于的g ，q 正g 定义：g 正g 一瓦函 壬( g ，q ) = a 如q = 正( 岛一，岛) 仉 ( 2 4 4 ) 称西为李群g 在五g 上的伴随作用， 定义2 4 1 3n d ：疋g 疋g 一疋g 定义为：垤，目正g 有： 列( ，”) = 口出目；k ，川， 其中【，】：正g 五g 一疋g 为李代敷g 上的李括号运算 1 5 2 4 微分几何与李群基础2 基础知识回顾 下面给出一个很重要的概念一无穷小生成元，它是群作用在局部的 描述 定义2 4 1 4 设垂：g 口一q 是李群g 在光滑流形口上的作用，对于 k 疋g = 9 可以定义口上的向量场幻( 甸= 差圣( 唧蝤，z ) i t = o ，称为作 用对应于f 的无穷小生成元 性质2 4 1 5 对于忱q ，均有露( g z ) = 幻( ) 垮疗 性质2 4 1 6 设西：g m m 为李群g 在流形肘上的光滑作用，对于 的g ，f ，q 五g 有 j 阳( 鸽f ) j l f 2 圣：一，f l l f 盔砂篮j l f ，叼m 1 = 一碡，叫村 定义2 4 1 7 令由为李群g 在流形口上的作用，对于v z q ，在群作 用下的轨道为，g z = 垂口0 ) 恼研，则有下列定义， j 如果从忱q 出发的轨道都是重合的，则该作用称为可递的； 2 如果9 一圣。是一一的映射，则称作用壬为有效的； 只如果v q ，均有9 一面口( ) 是一一的，则称用圣为自由的； 4 作用垂：g q q 称为是恰当的，当且仅当圣：g q q q ，定 义为毒0 ，) = 如，圣( 函) ) 。是一个恰当映射 1 6 3 无约束力学系统 3 无约束力学系统 这部分内容介绍几何力学中关于无约束力学系统的理论，相关结论 的详细证明均可见文献【3 | 3 1 无约柬力学系统的几何描述 首先我们定义辛流形上的h m t 系统。 定义3 1 1 设( p ，) 为一辛流形，日：p r 为给定的光滑函数，则由下 式， i 轴，= d 日 ( 3 1 1 ) 唯一确定了日的 k 棚t 口n 向量场妇，称( p ，妇) 为一个如”讹m 系 统 ， 设工穸( 册) ，由微分几何的知识可得，如果l 为正则的话。通过 l 的纤维导数儿：册一r q 可以得到t q 上的辛形式蚍= f l ，其 中，为p q 上的典则辛形式定义t q 上的函数a ：丁曰一冗：对于 v 蜀q ，口q ，有t a ( ) = 儿( ) 码( 3 1 2 ) 其中”表示霹q 与五q 中元素的配合进一步定义t q 上的函数：e = a 一五，称为系统的能量函数进而有； 定义3 1 2 设p 为n 维光滑流形，工矿( t q ) 为t q 上的肠卯m g e 函 数，设工为正则的，则由下式， t h 叱= d f ( 3 1 3 ) 唯一确定了7 q 上的向