（基础数学专业论文）一类非线性发展方程解的研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究d p 类方程和广义超弹性杆波动方程解的局部存在性， 整体存在性，b l o w - u p ，以及方程的行波解的存在性等全文分为三部分 第一部分介绍背景、现状及本文主要结果的概述 第二部分考虑d - p 类方程在半无界和有界域上的初边值问题，应用 k a t o 关于拟线性发展方程的理论结合积分估计证明了解的局部、整体存 在性，及在一定条件下有限时间内的b l o w - u p 第三部分研究了广义超弹性杆波动方程解在半无界的初边值问题， 利用积分估计证明了解的存在性并且通过讨论方程的极限零点证明了 方程在各种情况下行波解的存在唯一性 关键词：d p 类方程；广义超弹性杆波动方程；初边值问题；整体解；爆 破；存在性；行波解； 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a ls o l u t i o n ，t h eb l o w - u p a n dt h et r a v e l i n gw a v es o l u t i o nf o rt h eg e n e r a l i z e dd - pt y p ee q u a t i o na n dt h e g e n e r a l i z e dh y p e r l a s t i c r o dw a v ee q u a t i o n t h e r ea r et h e r e s e c t i o n smt h i s p a p e r t h ef i r s ts e c t i o n s ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n da c t u a l i t ya n d s u m m a r i z et h em a i nr e s u l t t h es e c o n ds e c t i o n s ，w ec o n s i d e rt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f t h eg e n e r a l i z e dd - pt y p ee q u a t i o no nh a l fl i n ea n db o u n d e di n t e r v a l ，w i t h k a t o sm e t h o df o ra b s t r a c tq u a s i - l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa n d ap r i o r e s t i m a t e so fs o l u t i o n , w eg e tt h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a ls o l u t i o na n dt h e b l o w u po fs o l u t i o n mf i n i t et i m eu n d e rs o m ec o n d i t i o n s f i n a l l y , w e c o n s i d e rt h ei n i t i a l b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m o ft h e g e n e r a l i z e dh y p e r l a s t i c - r o dw a v ee q u a t i o n o nh a l fl i n ea n db o u n d e di n t e r v a l ， b yt h em e t h o d so fp r i o re s t i m a t e s ，t h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a ls o l u t i o na r e p r o v e d b yd i s c u s sl i m i t i n g z e r op o i n to ft h ee q u a t i o n ，s o m es u f f i c i e n t c o n d i t i o nt h a tg u a r a n t e et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft r a v e l i n gw a v e s o l u t i o no f t h i se q u a t i o na r eo b t a i n e d k e y w o r d ：d pt y p ee q u a t i o n ；g e n e r a l i z e dh y p e d a s t i c - r o d ；i n i t i a lb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ；g l o b a ls o l u t i o n ；b l o w - u p ；e x i s t e n c e ；t r a v e l i n g w a v es o l u t i o n n 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密囤。 学位做储签孝：；荔厶野指剥雠：拼 m 年，2 ，月占日驯年，乞月2 汨 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者虢7 杉乡 日期：妒缉肛月，占日 江苏大学硕士学位论文 1 1 背景及研究现状 第一章绪论 非线性科学作为现代科学的一个新分支，如同量子力学和相对论一样，将人类引 入了一个用全新的角度、方法和思想去观察研究世界的新局面 一个系统，如果输出不与输入成正比也不成反比，则系统表现非线性特征例如 弹簧，当其位移变得很大时，胡克定律就失效，弹簧就变成非线性振子又例如单摆， 当其角位移很小时其行为才是线性的实际上自然科学或社会科学中的几乎所有的 已知系统，当输入足够大时，系统将不再满足线性叠加原理，表现出非线性的特征因 此非线性系统远比线性系统多得多，客观世界本来就是非线性的，线性只是一种近似 而已 从二十世纪五十年代以来，一系列的非线性问题正逐步得到解决，非线性科学得 到了蓬勃发展，并逐步地渗透到现代科学的各个领域之中，包括数学、物理学、化学、 天文学、地理学、生物学、工业领域、农业领域，甚至经济、管理等社会科学领域 在诸多非线性科学的研究中，描述孤波现象的方程的研究成为一个重要方面许 多实际问题中的数学物理模型都与这些方程相联系，并且其相应的研究成果在实际 应用中显示出重要作用至今，这类方程包括各种修正型方程至少已有几十种，最常 见的有k d v 方程、n l s 方程、s g 方程、b u r g e s 方程、b o u s s m e s q 方程、k p 方程、 c - h 方程、b b m 方程、d p 方程、弹性杆波动方程等这些方程作为物理工程等技 术领域上的数学模型都具有普遍而重要的意义，引起了研究者的极大兴趣 1 1 1 d v 方程和c - h 方程 1 8 9 5 年，荷兰的应用数学家k o r t e w e g 和d ev r i e s 针对浅水波运动引入描述具有 小振幅长波色散的非线性偏微分方程，称为k o r t e w e g - d e c r i e s 方程，即k d v 方程 坼+ 6 u u ，+ l k = 0 t 0 ，x r( 1 1 1 ) u ( x ，f 1 表示波的高度( 相对于平底) 1 刚方程引起广大学者的深入研究是从 二十世纪五十年代才开始的方程( 1 1 1 ) 与人们熟悉的线性方程有许多不同，它具 江苏大学硕士学位论文 有许多非常有用且有趣的性质，其中很重要的是方程( 1 1 1 ) 存在孤立子解 孤立子理论是非线性科学的一个重要方面，孤立子解反映一类非常稳定的自然 现象，例如江河中的某类水波，光纤中的光信号传播，太空中涡旋星系的密度波，弹性 杆中纵向色散波等等我们知道孤立子在数学上的研究首先始于k d v 方程，并且它的 孤立子解是光滑的c a m a s s a 和h o l m “1 却发现了一类新的浅水波方程( 即c - h 方程) 的孤立子解不是光滑的( 具有一阶导数间断) ，而在实际中浅水波的运动确实存在间 断现象这引起了研究者的高度重视，成为研究者感兴趣的问题之一 1 9 9 3 年，美国洛斯阿拉莫斯国家实验室的c a m a s s a 和h o l m “3 应用哈密顿方法导 出一个新的浅水波色散波动方程c a m a s s a - h o l m 方程 嗨一z ，+ 2 强+ 3 t l u x = 2 以z o + g l l g = x ( 1 1 2 ) 其中“( 膏，) 表示波的高度( 相对于平底) ，k 是与临界波波速相关的一个常数 当k = 0 时色散项消失，即得到通常的无色散项的c h 方程 一矽埘+ 3 甜屹= 2 u x u = + 甜甜w ( 1 1 3 ) 对不可压缩流体的e u l e r 方程的h a m i l t o n 系统渐进展开，保留其高阶项则得到方 程( 1 1 3 ) ，而去掉高阶项则得到b b m 方程或k d v 方程由于保留了高阶，对于描述 的问题将更加准确，所以c - h 方程比b b m 方程或k d v 方程能更好地描述波的传播 实际上，c h 方程最早是在1 9 8 1 年作为k d v 方程双h a m i l t o n 形式的推广由 f u c h s s t e i n e r 和f o k a s 。1 用递归算子的方法得到的但当时对其解的认识很不充分，所以 并没有引起研究者的重视 1 9 9 8 年，c o n s t i n t a na 叫得到c h 方程解的存在性结果之后，关于c - h 方程的研 究已迅速发展成为一个内容丰富、应用广泛的研究领域至今对c h 方程的性质已有 许多的研究并得到了许多很好的结论，如c - h 方程是完全可积的，描述非线性色散 波( 方程具有删。项) ，具有x y h a m i l t o n 结构，即可以用两种不同的h a m i l t o n 形 式表示，而这两个h a m i l t o n 算子的比是导出无穷多守恒率的递推算子c - h 方程的 解有许多特殊的性质，关于其解的性质的研究的结果也已很多，如孤立子的存在性， 初边值闯题解的存在性，方程的精确解等。1 ” 一些与c h 方程性质相类似的方程被人们归为一类，称为c h 族方程其中包括 c - h 方程，d - p 类方程，弹性杆方程等由于c - h 族在诸如超弹性材料力学等应用科 学邻域中有广泛的应用，c - h 族方程成为目前国内外数学物理学界所关注的一大热 2 江苏大学硕士学位论文 点因此讨论c h 族方程相关性质并揭示波的传播规律，在准确解释自然现象，确定 物理材料属性等方面具有极大的应用价值 1 1 2d p 类方程 1 9 9 9 年，d e g a p p e r i s 和p r o c e s i “”应用渐进可积的方法验证了如下一类非线性发展 方程d e g a p p e r i s p r o c e s i 类方程( d - p 类方程) 7 - t m w + ( 6 + 1 ) “z = 6 z m 。+ “甜。 ( 1 1 4 ) 只有b = 2 ，b = 3 时才是完全可积的当b = 2 时，方程( 1 1 4 ) 是无色散项的c - h 方程 ( 1 1 3 ) ，当b = 3 时，方程( 1 1 4 ) 是无色散项的d e g a p p e r i s - - p r o c e s i 方程( d - p 方 程) u ，一+ 4 u u 。= 3 u x u x x + “ ( 1 1 5 ) d - p 方程( 1 1 5 ) 作为z fo ，t ) 与y ( x , t ) = “( x ，f ) 一( x ，t ) 的系统，可写成 ”+ ( ) ，) 以卅字- z y ) y ( 1 1 6 ) h 一= y ，q = 1 - d e g a s p e r i s 等“”通过反向变换构造了d p 方程的拉克斯对，证明d p 方程是 可积的，并且讨论了它的双哈密顿结构，给出了守恒律的两个无限列h a a s l t m m a r k 等嘲1 使用反散射方法求得了d - p 方程的多孤子解，并给出多尖峰波解的形 式 “( 彬) ：窆( f ) e 扣们x ， k - i 其中艿是d i r a ed e l t a 分布 m ( x ，f ) = 2 ( f ) 6 ( x 一( f ) ) k - i 尖蜂波的位置和动量 ( f ) ，( f ) 2 。，满足常微分方程 廊= 2 ms 鲫( 黾一而) g 墩一剐，五= p 也i l 。i f - i v a k h n e n k o v o 等。“研究了d - p 方程的行波解，特别是它的周期尖波解和孤立波解 z h o uy o n g 。2 1 讨论了d - p 方程的爆破现象并证明了整体解的存在性余丽琴研究了 d - p 类方程( 1 1 4 ) 的精确行波解 江苏大学硕士学位论文 1 1 3 弹性杆波动方程 1 9 9 8 年，d a ih u i h u i 嘲1 对普通超弹性可压缩物质得出有限波长有限振幅的一个 新的弹性杆波动方程： 匕+ 盯l + c r 2 ，+ c r 3 ( 2 嗨+ ) = o ( 1 1 7 ) 其中，p ( 孝，f ) 表示对预应态的径向伸缩0 1 o ，c r 2 o ，乃0 是由材料杆的预应力系 数确定的常数 令拈近0 1 ，f = 局，则方程( 1 1 7 ) 可改写为 一z k + 3 “虬= 尹( ；“，“。+ “。) ( 其中y = 害兰) ( 1 1 8 ) 2 0 0 4 年，c o c l t e , h o l d e n , k a r l s e n 等渊研究了方程( 1 1 8 ) 的推广形式即广 义超弹性杆波动方程 a t 一+ 去g ( “) 虬= y ( 2 毪+ u t d = r ) ( 其中s ( o ) = o ) ( 1 1 9 ) 对于方程( 1 1 8 ) 的研究已有很多结果( 见文 2 4 - 2 6 ) 如c a u e h y 问题整 体解的存在性，周期边值问题整体解的存在性，解的适定性，解的b l o w - u p ，弱解的存 在性等d a ih u i h l l i 洲研究t ：y 程( 1 1 8 ) 在， o ，0 o 内研究方程( l2 1 ) 满足初始条件 u ( x ，0 ) = u o ( x ) 的解“( x ，t ) ( b ) 一类半无界域上的初边值问题 在区域d = ( 马，) 卜( o ，佃) ，t ( o ，丁) ) 内研究方程( 1 2 1 ) 满足初始条件及边值 条件仨 i 君三：“。的解“( t r ) ( c ) 一类有界域上的初边值问题 在区域d = ( x ，t ) l x ( o ，1 ) ，fe ( o ，r ) ) 内研究方程( 1 2 1 ) 满足初始条件及边值条 件鼢君嚣高地( 1 ，) = 力小 1 2 2 非线性波动方程的行波解问题 非线性波动方程有一类重要的解，就是形如u ( x ，f ) = “( f ) ，掌= x + e t 的行波解就 数学而言，行波解可以揭示方程本身的许多重要性质在行波解的研究中不断产生的 新思想和方法，对于数学本身的发展有着相当促进作用 定义1 2 1 ( 文 2 7 ) u ( x ，f ) = “( f ) ，f = z + 甜称为非线性波动方程 f ( t ，膏，u t ，u t t ，虬，u o u ) = 0 ( 1 2 2 ) 的行波解，如果存在一轰，磊佃使得“( x ，t ) = “皓) ，善= x + c f 满足方程( 1 2 2 ) ， 江苏大学硕士学位论文 其中f 强，参) ，甜纭) = “( 参) = ，在编，岛) 的任意子区间( 口，6 ) 内甜( f ) 不恒等于 0 ，当孝( 一，轰) e c u ( 孝) = 口，当f ( 磊，佃) 时，“皓) = 其中c 称为波速 通常来说，对非线性波动方程行波解的研究主要有行波解的存在性、唯一性、波 速问题以及精确解等方面 注记：本文为了方便起见，也记空闻r ( f ) 为r ，空间日1 ( ) 为，空间 h ”( ) 为日4 相应的空间上的范数表示记| j | | f ( 矿) 为i l ，j j | | 。- ( 旷) 为卜u 。- ，l i i | 。- ( 。+ ) 为 i | 1 【。h 。( q ) 表示硪( q ) 的共轭空间联( q ) ，1 1 | | 表示日。1 上的范数 1 3 本文的主要结果 本文对d p 类方程，广义超弹性杆波动方程进行研究，讨论了其初边值问题及广 义超弹性杆波动方程的行波解的问题分为两个部分 第一部分：研冗d p 类方程( 1 1 4 ) 在半无界域和有界域上的初边值i 司题证明 了解的存在性、解的b l o w - u p 等 具体地，对于半无界域上的初边值问题 i l d t u x x t + ( 6 + 1 ) m = 6 略z k + “够璩 x o ，f 0 “( o ，f ) = 0 ， 0 ( 1 3 1 ) 【u ( x ，o ) = u o ( x ) 主要结论有 ( 1 ) 设( x ) 珥( 肜) n h 3 ( f ) ，方程( 1 3 1 ) 在f 【o ，丁) 上存在唯一解 “( r ，石) = “e , u o ) c ( 【o ，r ) ；磁( r + ) n 日3 ( r + ) ) n c l ( 【o ，r ) ；叫( r + ) n 日2 ( r + ) ) ， u o - - ，u ( ，) 是瑞( 肜) n ( r + ) 到 c ( 【o ，t i ；h ：( r + ) n 日3 ( 口) ) n c l ( o ，丁】：尉( 月+ ) n 日2 ( f ) ) 的连续映射其中r 仅依 赖刊i i 旷 ( 2 ) 设( 工) 磁( 尺+ ) n 日3 ( r + ) ，如果u ( x ，o ) 一( 五o ) o ，虬( o ，f ) = o ，则方程 ( 1 3 i ) 的罄体解存在 6 江苏大学硕士学位论文 ( 3 ) 设o ) 删( r + ) n ( r + ) ，如果虬( o ，) o “( o ，) = 以( 1 ，f ) = o ，( 1 ，) = 甜( 1 ，r ) t o ( 1 3 2 ) 【甜( 罩，o ) = u o ( 工) 主要结论有 ( 1 ) 设( 工) 娥，( o ，1 ) = 妒日2 ( o ，1 ) ：妒( o ) ；( 1 ) = o ) ， ( x ) 一u 0 。( x ) 曩2 0 ( o ，1 ) = 妒日2 ( o ，1 ) ：伊( 1 ) = 伊( o ) = o ) 则方程( 1 3 2 ) 在， o ，丁) 上存在唯一解“( x ，f ) ，且有 “( x ，f ) c ( 磁，( 9 ，1 ) n i l 4 ( o ，1 ) ； o ，丁) ) n c l ( ( o ，1 ) ； o ，r ) ) ，t e o ，r ) i , 。寸“( ，u 0 ) = “( 薯，) 是瑶。( o ，1 ) 到 c ( 碥( o ，1 ) n i l 4 ( o ，1 ) ；【o ，r ) ) r 、c 1 ( 日2 ( o ，1 ) ；【o ，r ) ) 的连续映射其中r 仅依赖于怯i i ( o ，1 ) ( 2 ) 设( x ) 磁，( o ，1 ) = 尹h 2 ( o ，1 ) ：伊( o ) = 痧( 1 ) = o ， ( x ) 一u o 。( x ) 磁。( o ，1 ) = 妒h 2 ( o ，0 ：d 0 = v ( o ) = o 如果甜“o ) 一( x , o ) o ，u z ( o ，r ) = o ，则r 专0 0 ，l i p p 耀( 1 3 2 ) 的整体解存在 ( 3 ) 设( x ) 月i 。( o ，1 ) = p 日2 ( o ，1 ) ：伊( o ) = 伊( 1 ) = o ， u o ( x ) 一。( 工) 碥( o ，1 ) = 妒日2 ( o ，1 ) ：伊( 1 ) = ( o ) = o 如果“：( o ，t ) o “( o ，) = 0 ，g ( o ) = 0 ， 0( l3 3 ) u ( x ，0 ) = i a 0 ( x ) 主萤结论百 ( 1 ) 记 ( “) = g ( ) ，若i l h 。( r + ) ，设( x ) 磁( f ) n 3 ( r + ) ，则方程( 1 3 3 ) 在 f 【o ，r ) 上存在仅依赖于( x ) 磁( fn i l 3 ( r + ) 的解 “( x ，f ) c ( 珥( r + ) n 日3 ( r + ) ；【o ，丁) ) n c l ( 磁( r + ) n 日2 ( r + ) ；【o ，丁) ) ， u o “( ，) 是 叫( 矿) n 日3 ( 矿) 斗c ( 碰( 口) n i l 3 ( f ) ； o ，r ) ) n c l ( 剜( ) n 日2r + ) o ，丁) ) 的连续映射r o 仅依赖于陋1 ( 2 ) 当g ( u ) = 3 r u 2 时，设o ) 纠( ) n ( r + ) ，( x ) 一“。o ) o ，则方程( 1 3 3 ) 的整体解存在 对于方程( 1 1 9 ) 的行波解问题，我们主要得到下面结论 ( 1 ) 若方程( 1 i 9 ) 存在非平凡行波解，则解妒= 伊皓) 在相平面( 善，妒) 上关于f 轴对 称或反对称 ( 2 ) 设纷 。，则方程( 1 1 9 ) 在初始 条件妒侈) f i 。= 伤下的非常数行波解唯一存在，且有仍妒( 善) 仍 ( 3 ) 设仍 。，则方程( 1 1 9 ) 在初始条件 妒( 孝) l f l 。；仍，i = i ，2 下的非常数行波解在f ( a o ，佃) 上分别唯一存在，且有 仍矿( 孝) 仍 8 江苏大学硕士学位论文 ( 4 ) 设鲲 o ，则方程( 1 1 9 ) 在仍 o ，当l l y l l ，y ，l i z l l ，- 0 u ( x ，o ) = u o ( x ) x o u ( o ，f 1 = o t o 解的存在性) 及b l o w - u p ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 若记“一= y ，q = i - 或，则方程( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 的等价形式为 咒+ ( q 1 y ) 以= 一6 ( q 。j ，) ，y y ( x ，o ) = y o ( x ) = u o ( x ) - u o 。( 石) u ( o ，f ) = 0 并且 “= q - 1 y = r y ( 善，f p ( 工，善) 鸳 其中 p ( 五f ) ：p 蟛， l o - # t 4 n - e s h x ， f x x f 为了证明解的存在性我们先陈述算子a = i - a 2 ，及0 1 在半无界空间上的一些 性质( 其中1 是恒同算子) 引理2 1 1 ( 文 7 ) 对方程“一= 厂有下面结论 ( 1 ) 设厂( x ) r ( 彤) ，则 2 - 1 ，= f 厂( 跏( 墨f ) = 三r 厂( f 弘“鸳+ 三f ( 善弘蟛一e f - xr ，( f 弘一西 d 伽 = 舢 江茎查兰塑主兰堡笙圣 - _ _ - - _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ - 一一。 是方程“一：s 在s 4 ( r + ) n 日2 ( f ) 中的唯一解且有 矽砸：+ 弦川l i 2 ：l 忱 旷q _ i 忆- 1 1 ：1 1 p ( 2 ) 如果，o ) h 2 ( f ) ，q - s w ( r + ) n 日4 + ) 且 q - 1 厶= ( q - i 厂) 。+ 厂( o ) e 。 特别地，若，( x ) 硝( r + ) n 日2 ( r 十) 则有 ( q 一1 ) 。= q 。厶司( r + ) n 日2 ( r + ) ( 3 ) 设厂( 善) r ( 口) ，则 矿m 似1 - f i l l , 陋1 n k ) 3 ，f 忆 ( 4 ) 设厂( x ) e ( r + ) ，则 ( q 1 厂) ( x ) + ( q 。，) ( x ) = e xf ，( y 弘一砂 ( q 一1 ) ( x ) 一( q 一1 ) ( 工) = e 一1 ( f 厂( j ，) e y f 厂( y ) e ) 如果，不变号，q - i f y 及q - 1 ，+ ( q - 1 f ) 也不变号，且与，同号( 其中“”是对x 的 微分) 2 1 2 解的局部存在性 设z = p ( 月+ ) ，y = h 1 ( ) ，彳( ，) = ( q 。1 y ) 或，厂) = 一b ( o 。，) ，y ， s = q 则式( 2 1 4 ) 可以写成 等+ 4 ( y ) ) ，= m ) ( 2 1 5 ) 【_ y ( f ，o ) = y o ( x ) 下面验证4 ( ) ，1 及厂( y ) 满足工r + 时k a t o 定理中的条件 江苏大学硕士学位论文 u ) 对于v w y ，结合引理2 1 1 有 0 4 ( y ) w l l 。= i i ( q 一1 y ) w 。l l 。- 1 1 ( q - 1 d l 。h 。- l l y l l 。i l w l l ， 所以对v w l ，w 2 y 有 愀y ) m 一4 ( ，) 犯- a ( 叩) ，w y ，有 ( ( 一( 夕) + p ) w ，w ) 。 = ( 4 ( y ) ，w ) x + ( p w ，w ) 。 = f ( q - l y ) w ，w d x + f ，2 威 = 一号f ( q 。y ) ，m ，2 威+ r w 2 疵 p 一五( ，7 ) ) ： 由于硝( ) c r ( 口) 稠密，所以对v w z = r ( ) ，则存在心y = 日1 ( 口) ，使 得j w 又由于z ，y 为h i l b e r t 空间，所以有到w 在p 上按范数收敛，即 鼽如_ 0 吼 所以，对于v w x ，有 ( ( 4 ( _ y ) + ) w ，w ) 。( 一a ( 玎) ) 0 w 睡 所以4 ( y ) 是拟m 增殖算子 对v y ，z ，w ey 有 怕( y ) 一彳( z ) ) w l l ，= i i ( q - 1 ( y z ) ) u 忆 炉( y z ) u 嵋b 旷z w b ( i i ) 对于v w y 有 江苏大学硕士学位论文 所以 q a 【y ) q 1 w = q ( ( q 一1 y ) ( q w ) ，) = ( q 一1 y ) ( q 一1 w ) ，一( ( f 一1 j ，) ( ( 7 1 w ) ，) 。 = ( 矿1 y ) ( q 。w l 一( q 。y ) o ( o 。1 w l 一2 ( o 。夕) 。( o - 1 w ) 。 一( 9 。1 y ) ( q - 1 w ) 。 = ( y ( q 。w ) x - 2 ( 0 。y ) ，( q 。1 w w ) 一( o - 1 y ) ( o - 1 w ) ，) + a ( y ) w b ( y ) = o a ( y ) o - 【- a ( y ) = ( ( y ( 一1 j ，) ) a ，( ( 7 一! ) 一2 ( o 一1 y ) ，( q 一1 一，) ) 于是对v y ，z x ，a ，b r ，w x 有 占( 回，+ 凹) w = c 培( j ，) w + 卵( i ，) w 所以占( y ) 是x 中的线性算子 对v w x = r ( r ) 有 o b ( y ) w j i ，= i ( ( y 一( q “y ) ) 屯( q 。1 ) 一2 ( o 。y l ( q 一，) ) 叫l i y 一( q 。1 y ) ) ( q 。w ) ，i i r + 2 1 1 ( o 。y ) ，( q 。1 w w ) l l p 拿。o w l l 。+ 压。 6 1 y l l 。1 1 w l l 。 因而，8 ( y ) l ( x ) ，又由于b 【y ) 是线性的，所以算子b 【y ) 在y x 的有界集上一致 有界，所以有 l i ( b c y ) - b ( z ) ) w l l 。- 6 l l y z l l 。l l w 0 。 ( i i i ) 记f y ( 孝) e - d 孝= v ( y ) ，则 l v ( y ) l - l l y l l f 卜万1 一l l y l l f 由厂( y ) = 一6 ( q 。y ly = 一砂( q 。咒+ e 。f y 侈) e 。d f ) 知 厂( y ) 一，( z ) = 旬 ( y z ) ( q 4 只+ v ( y ) e 1 ) 一z ( q 。( y zx + e - x ( v ( y ) 一v ( z ) ) ) 1 4 江苏大学硕士学位论文 ( ( y ) - ( z ) ) ，= 一6 【( ) ，一z ) ，( q 。1 y x + v ( y ) e 。) + ( y z ) ( q 。1 儿+ v ( | y ) e 。) ， 一乙( q 。( j ，一z ) j + e 。( v ( y ) 一v ( z ) ) ) 一z ( q 。( y zx + e - x ( v ( y ) 一v ( z ) ) ，) 所以对v y ，z z ，再结合引理2 1 1 得 抓y ) 一，( z ) i i 。 = 0 6 ( _ y z ) ( q 。1 儿+ v ( y ) e 。) 一z ( q “( y zx + e - x ( v ( y ) 一v ( z ) ) ) 毗 - o ，则“( 工，t ) 0 所以有r “( x , t ) d x 0 ，于是有 - u a x , 0 0 于是由虬( x t ) 的有界性，可得q ( x ，t ) 关于x 单调增- 9 + o o ，所以g ( f ，x ) 是 r + 专r + 的一一映射，q z g ( x ，f ) 本身连续并且关于工的反函数也是连续的 所以，对o , v t l 【o ，r ) ，s x 2 0 ，使得g k ， ) 。x a 设u ( x ，f ) ，q ( x ，f ) ，y ( x ，t ) 分别是方程( 2 1 3 ) 和( 2 1 6 ) 和( 2 1 4 ) 的解，对 y ( q ( x ，f ) ，r ) 群( x ，f ) 关于f 微分得 昙( 五州矿( 硼 = ( 咒( g ( 彬) ，t ) + y q ( q ( x ，r ) ，咖，( 列) ) q ：( x ，t ) + b y ( q ( x ，f ) ，f ) ( 彬) ( 即) = ( 以( g ，t ) + y q ( q ，t ) u ( q ，t ) + b y ( q ，t ) u 。( g ，f ) ) 矿( 彬) = 0 因而y ( g ( 工，f ) ，) q ：( x ，f ) = y ( g ( x ，o ) ，o ) 磋( x ，o ) = y ( 墨o ) = y o ( x ) 由于t ( x ，) o ，所以由y o ( x ) o ，得y ( g ( x ，f ) ，) o 而对v x t o , v t t 【o , t ) ，3 x 2 o 艘得g ( 屯， ) = x t 所以对v _ - 0 ，v 【o ，r ) ，有y ( 而，h ) = ) ，( g ( 屯，t 1 ) ， ) o 定理2 1 6 如果日1 ( r + ) ，儿( x ) o ，畋( o ，) = o 则定理2 1 1 中的r = a 。， 即方程( 2 i 4 ) 的整体解存在 证明首先由定理2 1 5 知由y o ( x ) 0 ，则y ( x ，f ) 2 0 要证明解的整体存在性，需要估计f f y 犯，y f f 一如果存在m ，n 0 ，使得 i l y l l r n e ”，l l y l l o ，q ( o ，t ) - 0 则定理 2 1 2 中的t = o o ，即方程( 2 1 3 ) 的整体解存在 2 1 4 方程解的b l o w - u p 研究非线性发展方程的另一个方面是解的b l o w - u p 性质在这一节里我们讨论 d - p 类方程解的b l o w - u p 性质 定理2 1 7 假设u o ( x ) 硎( 矿) a n 3 ( 口) ，u o ，( o ) o 当l b - 3 时，方程 ( 1 1 4 ) 的解e t + o d 内e l 现b l o w - u p 证明由方程( 1 1 4 ) 得 u t + u u ，一( u t + u u x ) 。= - b u u x + ( 6 3 ) “；z k 方程两边对工微分的得 ( 坼+ “虬) ，一( ( 坼+ “虬) ，) 。= ( 6 “虬+ ( 6 3 ) l i , l i o ) , 用q - 1 作用上式得 ( 1 i t + v l i x i 卜叫( 学 。 由于引理2 1 1 的结论q 一1 丘= ( q 一1 ，) 。，所以 ”晦谁。( 学) 即 幺22 + 半如呵1 ( 学 令g ( f ) = ( o ，f ) ，则当1 b - o ( 2 2 i ) u