（计算数学专业论文）一些反应扩散方程的有限差分格式.pdf

摘要 本文研究某些反应扩散方程及方程组的有限差分方法首先，考虑下面一类二维半 线性抛物方程组的线性化交替方向隐格式； u t d l = ，( t ，口) ，( ，y ，t ) n ( 0 ，t ) ， v t 一如口= g ( u ， ) ，( z ，f ) q ( 0 ，t ) ， “( z ，y ，0 ) = 忉( z ，f ) ，v c x ，y ，0 ) = = 忱( z ，) ，( z ，y ) n ， u ( x ，y ，t ) = a ( x ，g ，) ，v ( x ，t ) = 卢( z ，y ，t ) ，( z ，y ，t ) 1 9 q 【0 ，t i ， 其中q = ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ，d l ，如为正常数通过对方程右端非线性反应项进行t a y l o r 展开， 将c r a n k - n i c o l s o n 格式应用于方程并将其改写成交替方向格式每一时间层上的数值解 由解一系列三对角方程组得到研究了差分格式解的存在唯一性，接着利用能量分析法 证明了差分格式在离散日1 模下关于时间和空间步长是二阶收敛的，并且得到了差分格 式关于初值是无条件稳定的然后用一个数值例子验证差分格式的收敛性 第三章，给出二维常系数抛物方程第三类初边值问题的交替方向隐格式假设方程 在定义域的充分小邻域内存在唯一的光滑解，边界条件直接在两点上进行二阶逼近如果 假设方程在边界点上有意义，则二阶精度的差分格式就可构造出来利用最大值原理， 通过分析交替步上的最大模性质，得到了离散解的最大模先验估计，从而得到差分格式 最大模意义下的收敛性和稳定性，并给出差分格式的数值模拟 第四章，分析了一类捕食一被捕食模型的单调差分格式，应用最大值原理得到离散 解的正性，有界性和收敛性 关键词：弱耦合方程组，能量分析法，交替方向隐格式，线性化，最大值原理，先验估计， 捕食一被捕食模型，收敛性，稳定性，正性，有界性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e sf o rs o m er e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n sa r es t u d l e d f i r s t l y , a na l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p f i c ts c h e m ei sp r e s e n t e df o rs o l v i n gt h ef o l l o w i n gt w o - d i m e n s i o n a ls e m i l i n e a rp a r a b o u cs y s t e m s ： u t d l a u = ，( “，口) ，( z ，y ，t ) n ( 0 7 t ) ， t 眭一d 2 a v = g ( u ，移) ，( z ，掣，t ) n ( 0 7 t ) ， u ( z ，”，0 ) = | ，o l ( z ，f ) ，v ( x ，0 ) = ( z ，) ，( z ，v ) 矗， u ( z ，y ，t ) = a ( x ，y ，t ) ，v ( x ，y ，t ) = p ( ，y ，) ，( z ，y ，t ) a f 2 【0 ，卅， w h e r e n = ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) a n d d l ，d 2 a r e p o s i t i v ec o n s t a n t s n o n h n e a rr e a c t i o n t e r m s a r ee x p a n d e d b yt a y l o rs e r i e sa n da na l t e r n a t i n gd i r e c t i o ns c h e m ei sc o n s t r u c t e db yu s i n gt h ec r a n k - n i c o l s o n s c h e m e t h en u m e r i c a ls o l u t i o ni 8o b t a i n e dt h r o u g l ls o l v i n gas e r i e so ft r i d i a g o n a ls y s t e m s t h e s c h e m ej su n i q u es o l v a b l e w i t ht h ee n e r g ym e t h o d i ti sp r o v e dt h a tt h es c h e m ei ss e c o n d o r d e rc o n v e r g e n ti nt h ed i s c r e t e 日1n o r ma n du n c o n d i t i o n a l l ys t a b l e an u m e r i c a le x p e r i m e n t i sc o n d u c t e dt ot e s tt h ec o n v e r g e n c eo ft h es c h e m e i nt h et h i r dc h a p t e r ，t w oa l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c ts c h e m e sf o rt w o - d i m e n s i o n a lp a r a b o l i c p r o b l e mw i t hc o n s t a n tc o e f l i d e n t sa n dt h et h i r dk i n db o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ep r e s e n t e d 。b a s e d o nt h ea s s u m p t i o no fe x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fas m o o t hs o l u t i o ni ns o m es u f f i c i e n t l ys m a l l n e i g h b o r h o o do ft h ed e f i n i t i o nd o m a i no ft h ep r o b l e m ，t h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ed i r e c t l ya p - p r o x i m a t e dw i t ht h es e c o n do r d e ro nat w o - p o i n ts t e n c i l i fa s s u m i n gt h a tt h ee q u a t i o ni sd e f i n e d w e l lo nt h eb o u n d a r yn o d e s ，t h e ns c h e m e so ft h es e c o n do r d e ra c c u r a c yh a v eb e e nc o n s t r u c t e d t h em a x i m u mn o r mp r i o re s t i m a t eo fn u m e r i c a ls o l u t i o ni so b t a i n e dt h r o u g ha n a l y z i n gt h ea l - t e r n a t i n gs t e pb yt h ed i s c r e t em a x i m u mp r i n c i p l e t h e nc o v e r g e n c ea n ds t a b i l i t yo fd i f f e r e n c e s c h e m e sa r eo b t a i n e d t w on u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r eg i v e nt od e m o n s t r a t et h e o r i c a la n a l y s i s t h em o n o t o n ed i f f e r e n c es c h e m ef o ra p p r o x i m a t i n gac l a s so fp r e d a t o r - p r e ym o d e li sa n - a l y z e di nt h ef o u r t hc h a p t e r t h ep o s i t i v e ，b o u n d e dp r o p e r t ya n dc o n v e r g e n c eo fn u m e r i c a l s o l u t i o na r ea l s op r o v e db yt h ed i s c r e t em a x i m u m p r i n c i p l e k e y w o r d s ：w e a k l y - c o u p l e dp a r a b o l i cs y s t e m s ，e n e r g ym e t h o d ，a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c t s c h e m e ，l i n e a r i z a t i o n ，m a x i m u mp r i n c i p l e ，p r i o re s t i m a t e ，p r e d a t o r - p r e ym o d e l ，c o n v e r g e n c e ， s t a b i l i t y , p o s i t i v ep r o p e r t y , b o u n d e dp r o p e r t y “ 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名l 篷! 13 i 毫 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生 院办理 签名： 第一章引言 本章我们介绍反应扩散方程差分数值解法的一些研究成果，引入了研究差分格式的 收敛性和稳定性的最大值分析方法，给出了本文的主要研究内容 1 1 反应扩散方程的一些差分解法 反应扩散方程一般来源于化学反应，生物竞争，神经传导等实际模型中，一种物质 在某固定区域中的增长( 减少) 不只依赖于物质自身的增殖( 消亡) 和扩散，还依赖于其它 物质对它的作用与影响，方程中的反应项就描述这种物质的相互作用现象反应扩散方 程的动力性质已有许多研究，如关注解的存在住，解存在唯一的条件，解的分支现象， 稳定点，极限环的存在性等【l ，2 一由于方程描述的是现实中的物质的量关系，所以方程 的解一般要求是正的研究表明，解的渐近性质会依赖初值的选取，在不同的初值下， 会出现周期解，解趋于稳定点，解趋于极限环等情况1 4 另外，研究这类方程的数值解法 对人们的经济生活具有重要的指导意义 目前，用有限差分方法研究这类问题的数值解已有了许多工作对于线性方程，常 用的解法一般为向前e u l e r 格式，向后e u l e r 格式和c r a n k - n i c o l s o n 格式1 5 1 上世纪五六 十年代，p e a c 锄a l l 吲和d o u g l a s i s ，9 l o i 分别提出解高维问题的交替方向隐格式，这种方 法是将高维问题转化为一系列一维问题，通过求解一系列三对角方程组来得到数值解 在建立差分格式的时候引进过渡层，逼近精度关于时间步长和空间步长均是二阶的由 于其稳定性好，节省运算时间，几十年来在科学与工程计算中到了广泛的应用针对不 同的方程形式，交替方向法有了很大的改进和发展程爱杰【1 l l ，李雪玲【1 2 1 对于变系数的 线性反应扩散方程分别构造了交替方向隐格式和紧交替方向差分格式，并利用离散能量 估计方法得到了差分格式在离散日1 模下的关于时间步长和空间步长的二阶收敛性和无 条件稳定性： 当反应项是关于未知解的函数时，方程变为拟线性抛物方程的形式这类方程的差 分格式构造比较困难，可解性，收敛性和稳定性分析也会比较麻烦周毓麟 1 3 1 ，袁光伟【1 4 l 研究了拟线性抛物方程组初边值问题的具有并行本性的差分格式，利用不动点定理，离 散内插公式和先验估计方法，证明了差分格式解的存在性。惟性和在离散w 妒u 范数下 的无条件稳定性孙志忠1 1 5 , 1 6 ，堋，姜明杰1 18 1 提出了线性三层格式，利用能量方法证明了 差分解在离散日1 模下二阶收敛性p s o 19 | 利用上下解技术提出了解拟线性抛物方程组 的迭代算法，由于每个时间层都需要构造不同的上下解迭代初值，所以实现比较烦琐 东南大学硕士学位论文第一章引言 2 j o r g e ，b u j a n d a 2 0 和m a r l i sh o c h b m c l 【2 1 1 对半离散差分方程在时间方向上用r u n g e - k u t t a 法构造出在时间步上可以达到任意精度的差分格式。这种格式在实现时需要消耗大量的 时问和计算机内存c h e n g 2 2 1 通过变步长p e a c e m a n r a c h f o r d 分裂格式模拟了退化反应 扩散方程的数值解，分析了差分解的单调递增性，并采用冻结非线性项的方法得到差分 格式的局部线性稳定性v o s s 和k h a l i q l 2 3 1 提出了预测一校正算法，将非线性差分格式 化成两步线性格式求解，其中考虑了差分格式整体达到二阶精度时预测校正步的构造方 法吴宏伟，r 咐l 【衢，2 6 ，矧通过对右端非线项的t a y l o r 展开，构造了线性化和线性化 交替方向差分格式，这种处理方法当右端函数满足一定的光滑性条件时，可以证明差分 解在离散日t 范数下是二阶收敛和无条件稳定的本文第二章内容是在其基础上研究二 维弱耦合方程组，构造了线性的交替方向隐格式近年来，对于拟线性方程和方程组， 还发展了一些非标准差分方法 非标准差分格式是一类解决非线性微分方程的数值问题的有效方法它具有精确差 分解【2 8 】，保持原微分方程解的动力性质的一些特点m i c k e n s 曾给出两条非标准差分格 式所要满足的条件例： ( 1 ) 一阶差商a ：酗磙矗。，a ：f 镌，。中的分母a t ，a x ，9 用非负函数庐1 ( t ) ，如( z ) ， 如( ) 代替其中咖( a z ) = z 十d ( ) ，0 0 ，g 0 ，最 0 ， 觑= g a 一鼠 0 ，i = 0 ，1 ，m + 1 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中4 0 = 0 ，b m + 1 = 0 我们可以得到下面两个引理 引理1 1 设q 0 = 0 ，1 ，m + 1 ) 是差分方程p ，砂，口剀的解，若差分格式系数满足 似夥，p ，则当月0 ( 只so ) 0 = 0 ，1 ，m + i ) 时，对0 m + i ，有陇20 他o ) 引理1 2 【翻设差分格式n j ，以矽系数满足条件一剀，以，则它们的解砘0 = 0 ，1 ， m + 1 ) 有估计式 舾i i 。sm “ l 斜f m + 川i ，1 1 与1 1 c )( 1 s ) 对于差分格式的一般形式 a ( z ) ( z ) = b ( q ) ( f ) + f ( z ) ， 霉蛳，( z ) = p ( z ) ，z 7 h ( 1 6 ) 妊m 7 ( z ) 其中系数满足 a ( z ) 0 ，b ( x ，) 0 ，d ( z ) = a ( z ) 一b ( z ，f ) 0 ，z w h ， ( 1 7 ) 朋扛) 这里m 7 ( z ) = 朋( z ) z ) ，朋( z ) 是网格结点，蛳为内部结点，佻为边界结点则我们有 引理1 3 【踟设( z ) 缸朋( z ) ) 是差分方程p 砂的解，若差分格式系数满足“刀，则当 f ( x ) 20 ( f ( x ) 50 ) ( z m ( ) ) 和v ( x ) 0 ( v ( x ) o ) ( z y ) 时，有”( z ) o ( ( z ) o ) 任“) 东南大学硕士学位论文第一章引言4 引理1 4 【剐设差分方程口砂中系数满足n 刀则成立下面估计式 i i ! ，l l o m “钏训c ，i t f d i i c ，( 1 8 ) 其中i i i i c 2 。m 。a 。x i i ，i i 。0 q2 嬲i i ，i i i i c 2 怒i l 1 3 本文的主要研究内容及结果 本文的主要研究内容及具体安排为，第二章讨论半线性反应扩散方程组d i r i c h l e t 初 边值问题的交替方向隐格式，证明差分格式是唯一可解的，利用能量方法分析了差分解 关于时间步长和空间步长是二阶收敛的以及差分格式是无条件稳定的，然后用数值算例 验证了格式的收敛性结果；第三章分析抛物方程第三类初边值问题的p e a c e m a n r a c h f o r d 格式与d a u g l a s 格式，用最大值原理得到了差分格式的最大模先验估计式，从而得到了差 分解在一定条件下是二阶收敛和稳定的；第四章研究一类生物竞争中的捕食被捕食模 型的一种非标准差分格式，同样利用最大值原理得到数值解的正性，有界性和收敛性 第五章作出结论，指出对非d i r i c h l e t 边界条件一般虚拟边界法对提高格式的精度不再有 效，提出最大值原理分析收敛性和稳定性的一些不足，并给出解决这些缺陷的设想 第二章弱耦合抛物方程组的交替方向隐格式 本章考虑下面的半线性反应扩散方程组初边值问题的数值解： u t d l a u = f ( - ，口) ， 饥一d 2 a v = g ( u ，口) ， t | ( ，9 ，o ) = o l ( z ，g ) ， u ( x ，y ，t ) = n ( z ，玑t ) ， ( z ，口，t ) nx ( 0 ，t ) ， ( z ，v ，t ) n ( o ，t ) ， ( z ，0 ) = 忱( z ，可) ， v ( x ，y ，t ) = p ( z ，v ，t ) ， ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 茁，v ) 磊， ( 2 3 ) ( z ，”，t ) a q ( 0 ，t ) ， ( 2 4 ) 其中为二维l a p l a c e 算子( 昙+ 导) ，n = ( o ，1 ) ( 。，1 ) ，舶为。的边界，d 。，如 。 为常数 假设t ( h 1 ) 问题( 2 1 ) 一( 2 4 ) 存在唯光滑解t ，口6 * 4 , 3 ( 矗【0 ，刁) ，而且存在常数c o 0 ， 使得n ，”及其导数以c o 为界 ( h 2 ) ，扣，”) ，9 ( t t ，口) 二阶可导，且存在常数c i 0 及0 口 0 ，使得 ( 端i _ c o ，黼l 哿| 岛， m 眯a x n l i p 2 l _ _ sc o ，m a x ，l s 岛 2 1交替方向格式的建立 取正整数m ，记h = 1 m ，1 - = 幻，x i = i h ( i = 0 ，1 ，m ) ，协= j h o = 0 ，1 ，肘+ ) ，t k = k r ( k = 0 ，1 ，一，) ，n = ( 甄，y j ) l osi ，js f ) ，n r = t k l o ， ，y = ( o ，) ，( m ，钏o js 肘) u ( i ，o ) ，( ，m ) 1 1s i 曼m 1 ) ，并记。女+ = ( 如+ t k + 1 ) 2 设口= l o s ，j 肘) 是n 上的网格函数， = 矿i o ) 为n ，上的网格 函数，引进下面的记号 如+ ；，j2 ；( 优+ 1 j 一砘j ) ，句j + ；2i ( 忱j + 1 一t b ) ， 11 磋= 嘉( 忱一，j 一2 j + + t 办磅叼= 去( 地卜- 一2 + 啦一t ) 文= ；( w j e + l - - z e k ) ，扩；= ；( 扩+ 扩1 ) 5 记= 俐口= 为q h 上的网格函数，且当c i , j ) 7 时v i i = 0 1 设虬w v a ，定义内积 和范数 0 如训= 忪0 = ( 口) i m 一1 m - ii m - i m - i 、i 舻( 如+ ；j ) 2 ，l i 而v 4 = 、l h 2 ( 6 以, j + ；) 2 n i = 0j = l 、i = 1j = o m = j i i , ”1 1 2 圳驯1 2 ，* = ，。n l a x 一。1 o i j m 一1 记嘴= u ( x i ，蜥，t k ) ，嗡= 口，蚴，t k ) ，在点，玢，t + ) 处考虑方程( 2 1 ) 一( 2 2 ) ，应用 t a y l o r 展开定理得 & 略5 一d 1 ( 磋唠5 + 唠5 ) = ，( 唠5 ，哆t 1 ) + o - 2 + 妒) ， 魂呓“一如( 鹾咭+ + 呓+ 5 ) ；9 ( 略5 ，呓+ 5 ) + d ( r 2 + 2 ) ， 1s ，歹m 一1 ，0 sk s n 1 对，( 瞄5 ，呓+ 5 ) ，g ( 唠5 ，呓+ 3 ) 在( 嘴，嗡) 处作t a y l o r 展开 ，( 疗5 ，呓+ ；) = ，( 噶，嗡) + i r 瓦o f u 巧，w k ，巩k + 。+ ；筹( 噶，嗡地呓+ 5 + o ( r 2 ) ， 9 ( 疗5 ，呓+ 5 ) = g ( 噶，嘭) + 互 r 瓦o g l u 玎，v r 玎i j k 川、, c v rr 巧k + 5 + 二2 鱼0 vr ，, - , 1 ，嗡溉呓+ 5 + o ( r 2 ) 对上面c r a n k - n i c o l s o n 格式增加一些高阶项，贝l j 我们可将其写成下面形式， 最唠。- d 1 ( 磋唠。+ 砖哼5 ) + 竿蟛魂疗。+ 丁d l r 2 蔚o f 坳kw k 2 恂k + 5 = ，( 嘴，咭) + ；誊( 嘴，瞄瓶唠5 + 二2 型c 3 v m - ! ，瞄) 盈呓* 一；笔( 嘴，喈) 筹( 噶，嗡) 地呓“一竿( 1 一；笔( 吗，嗡) ) 砖( 纂( 噶，嗡咭十5 ) 一生4 艘f 笪0 ( 喝，嗡) & 哼5 ) + 譬霹( 筹( 嘴，呓哆5 ) + r 叼o 声) ( 2 - 5 ) 也咿3 一d 2 ( 鹾2 k + + 鬈2 k + ) + 竿磋砖魂咭+ + d 1 4 r 2 科0 q 9 1 。 。k ，w k 飓2 0 tr 玎k + 3 = 9 ( 吗，呓) + r i 瓦o g t u 巧，w k 脚u 巧k + 5 + ；象( 噶，嗡) 最呓一；爱( u 骞，呓) 塞( 噶，嗡) 砌。r r 巧k + l d 2 4 r 2 ( 、l 一；塞( 呓，嗡) ) 霹( 裳( 嘴，v r 玎i k ，, w r v rr 巧k + 。) 一笙4 触塑o u ( 吗，增k 肚v 巧k + 5 ) + 譬硭霹( 裳( 噶，瞄) 最略5 ) + 嗽，l 幻s m 一1 ，o k n l ， ( 2 6 ) 萨 渊 = 奶扣 其中r 呵o ，) = d ( r 2 + ，1 2 ) ，鼹= o ( r 2 + h 2 ) 为截断误差 用屹，镌代替嘴，嗡并略去小量项，我们可构造问题( 2 1 ) ( 2 4 ) 的差分格式 ( ( s - ；篆( “5 ，坞) ) 一等磋) ( 卜- 警) ( 咯1z 。a 。s ( “各，k ，x k + 1 ) = 噶，( z 7 ) ( ( j i r 甜o g “屿) ) 一丝2 磋) ( j 一警砖) ( 学1 一t i 蔚o g “k 巧，kx 脚k + 1 ) = g ( 2 8 ) u 巧0 = 妒1 ( x i ，鲫) ， v o = l - a 2 ( x i ，玢) ，0si , j m ( 2 9 ) t 当= a ( x i ，协，t k ) ， 郇0 = 芦( 霸，协，t k ) ( 巧) 1 ，0s 七 ( 2 1 0 ) 其中 磅：r ，( 谚，v , 9 一；笔( “各，屿) 屿一；筹( u 嚣，坞) 屿+ u 嚣+ 丁d i 7 t 7 。r ；2 k + 屿) + 譬o 。f ( u 嚣，k 槐2 k + 竿鹾霹屿+ ；甏( 砖，咯) 筹( “各，k ，x t 2 玎k + 譬( - 一；纂( “嚣，屿) ) ( 筹( u 各，谚) 屿) + 譬磋( 筹( u 巧k ，呜) 屿) 一譬( 筹( “各，屿) 吼 噶= r 9 ( u 嚣，砖) 一i t 瓦o gl 叼，屿) u 巧k i r 瓦o g t “嚣，k ，k + 屿+ 丁d 2 t r e 2 k + 屿) + 竿塞( u 嚣，kj 2 k + 镌4 r i 6 2 6 z v k + 百r = 瓦o g , ，瓦o g ( u o ，屿) “各 + 譬( 1 一；象( 咯，噶) ) 磅( 塞( “嚣，屿) “各) + d l r r 2 吲d 2 t 瓦o g 。7 k ，谚) u o ) 一等嬲( 瓷( u 乞，枷嚣) 记 啦：蚶一z 。o 。s ( “，k ，x k + 1 ，t 蛾= 唠1 一二2 塑0 u ( u 嚣，屿) ”1 咄：( 卜丁d l r 。2 , ( i ) ，艰= ( 卜警) 咯 则差分方程( 2 7 ) ( 2 1 0 ) 等价于下面的交替方向差分格式： ( ( z - 互r 硪o f , 坳蝽) ) 一d 2 l r 6 。2 、， 。( 1 ) = 砾 ( ( s - ；塞( 坞，谚) ) 一警磋) 埸= 岛， 1 i m 一1 ，j = 1 ，2 ，一，m 一1 ，k = 0 ，- 1 ，n 一1 ， 武k = ( ，一警霹) 蝎l 州面矿i - d 。a t w a = w h ” ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 东南大学硕士学位论文第二章弱耦合抛物方程组变替方向隐格式 8 瑙l = ( j 一等砖) 瑙k ，面m j 旷( j 一坐2 稍， 一m 。j 斛， j = 1 ，2 ，m 一1 ，k ；0 ，1 ，n 一1 ， ( 卜警嘭) 蛾+ 1 _ 啦， ( 卜等) 蟓+ l - 艰， i sj m 一1 ，i = 1 ，2 ，m 一1 ，k = 0 ，i ，n 一1 ， 嘏l + 1 = n ( o ，“+ 1 ) 一；筹( 口( o m ) ，f l ( x i ，o ，t ) ) 卢( o ，沁1 ) ， 咄m = a ( 戤，1 ，) 一；筹( n ( ：v i , 1 , t k ) ，p ( 1 沌) ) p ( 甄，1 a + 1 ) ， 蠕+ 1 = 芦( o m + 1 ) 一；塞( n ( o m ) ，f l ( o m ) ) n ( o ，t 州) ， ”：碧，k + l = f l ( x i ，1 ，+ 1 ) 一；嘉( a ( x i , 1 , t k ) ，3 ( x i , 1 , t i c ) ) 。( z i ，l ，t 女+ - ) ， 蚶1 一；筹( u k ，x k + 1 = 啦， 学1 一；塞( u k ，x k + l 一- - 惭( 2 ) 2 2 差分格式解的存在唯一性和收敛性 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 本节我们利用能量估计方法证明差分格式( 2 7 ) 一( 2 1 0 ) 的可解性和收敛性，并给出收 敛阶数 引理2 1 懈设v h = m l i = 0 ，1 ，m ) ，w h = 弛h = 0 ，1 ，m ) ，则有 m - 1 m - 1 咙( 蚴) = 一( 疋+ ) ( 瓦q + ) 一如( 如叫 ) + v m ( 6 z w u 一 ) i = 1i - - - - o 弓l 理2 2f 5 ，日设 v h ，更1 i * h - 1 ，壳m 利用引理2 1 ，可以得到下面两个引理 引理2 3 设w v h ，则有 w 如 = 护 b 峨慨 胪 博 瑚 = 咐幢 矿 归 一 壅壹查堂塑主兰鱼迨塞第二掌弱耦合抛物方程组交替方向隐格式 9 一h 2 ( 砖哟) = h 2 ( 0 使得 。m 。a 。x 。i i t , k l l o o sc o 4 o , 。 m k 鹭n l i e k0 m c o + 。辫1 1 6 1 , u k l l 。c o + 口，。m x 。l i l y k 怯sc o + m ( 2 2 3 ) 例设u ( x ，y ，t ) ，v ( x ，玑) 是方程组偿j ，偿4 ，的解，坞，呜( o ，j m ，0 k ) 是差分方程组俾砂一仁j 砂的解，记镑= u ( x i ，鲫，t k ) 一u ，碡= v ( x i ，勘，t k ) 。吨( o5 ，j m ，0s ) ，则当h ，r 充分小时有下面的误差估计 o m a x ( 1 1 f i i + 慨+ 帆l + 呐1 ) c o 2 + 吼 ( 2 2 4 ) 其中c 是与l h 无关的正常数 证明关于时间层用归纳法证明当k = 0 时，显然方程组( 2 7 ) ( 2 1 0 ) 有唯一解u 易，v 。g ，( os i ，js m ) ，且由假设( h 3 ) 知 一 i i 如u 。l l 一蹁l 哿i 岛，i l u 。l l 一_ i k o i l o o c o ， 慨棚( x 一, u ) e i ii 等| 岛，1 1 ? 1 1 0 。- 0 东南大学硕士学位论文曼三童秘褐盒塑塑立墨望寥替方旦堕鳖塞 1 0 使得 躜i i 毛t ，0 m c b + 咣m a x 。 1 而, l l o os 岛+ ， 则由假设( h 2 ) 得对l = 0 ，l ，有 o m a 。x 。 1 u 怯sc o + a 趱i o o s c o + 一一 蝰m ，。a x ! 。i f ( u ，, ，屿) l c 1 ，蜓m 。a x ! 。1 9 ( u 乞，v ：j ) l sa ， 。黝i i 抛o fc 、u t l j ，屿) j a ，。s m 。a s x 。o 鲫f ( u b ，咯) l s 砚 。黝l 裳( “毛，吨) l a ，峰m 。a ；x m 西曲：、l 巧，屹) i a 记r l = 可d l t ，r 2 = d 万2 t ，则当r 西2 时有 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 因此对j = 1 ，2 ，m 一1 及固定的女方程组( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 的系数矩阵 是严格对角占优的，因此它存在唯一解面爨，亩苏( osi m ，1 j m 一1 ) ，从而方程 组( 2 1 7 ) ，( 2 x s ) ，( 2 1 9 ) 和【2 2 0 ) 存在唯一解越臻，越袭( os ，jsm ) ，因为方程组( 2 2 x ) ， ( 2 2 2 ) 的系数矩阵是可逆的，故交替方向格式( 2 1 3 ) - ( 2 2 2 ) 的解存在唯一，即差分方程组 ( 2 7 ) 一( 2 1 0 ) 存在唯一解蚶1 ，哲1 ( o i ，j m ) ) 下面证明当1 = k + 1 时( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) 也成立并有估计式( 2 2 4 ) 对方程( 2 7 ) 的误 差方程( t t p 将( 2 5 ) 减去( 2 7 ) ) 两边同乘以7 1 2 呱衍k + 并对 ，j 求和得 f 一1m - 1 m - 1 ， 似2 。锄k + 5 ) 2 一d ，( 铲( 霹岛ky 1 ) ( 盈学5 ) + 叫2 2 铴k + 1 ) ( 南孝5 ) ) i d = li d = l i , d = l + 譬董暇6 ：强1 魂；1 ) i d = l ：= b ， ( 2 3 0 ) 其中 孔：警h 2 ( ，( 嗡，喈) 一，( 屿，k 西k + ) ，孔= ( ，( 嗡，喈) 一，( 屿，西o ) ， l j = 1 1 一m q g r 一2 r 一2 一 一 l l 一 一 、，、，n一2您一2 + + n一2您一2，j 一 一 n 您 十 + 、，、j 谚屿 屿屿 瓦的丽 r一2下一2 一 一 l 1 = 坠曼兰耋呈坚! 堡垒圣= ： 堑三薹 墅堡垒塑丝壅堡丝塞墼童塑堕丝苎 1 1 憝：；篁 ：( ( 筹( 噶，嗡) 一瓦o f ( 坞，屿) ) 盈u 。k + 。) ( 盈学3 ) ， 玛= i 3 盎m - 1 n 2 瓦o f ( 呜，姚鼬2 ， 蜀：一譬篁炉( ( 瓦o f ( 嘴，瞄) 一瓦o f ( 。嚣，屿) ) & 唠。) ( 魂掌3 ) ， = 一竽篁n 。( 芸( u 油谢。) ( 盈幽， 靠：互tm 二- 1 。( 瓦o f 。巧k ，喵) 一丽o f ( 。玎k ，屿) 瓶瞄+ 5 ) ( 盈掌。) ， 乃：；m 三- i 。纂( 。屿) 移魂学屯 珏= 一了t 2 毛m - 1 2 ( 瓦o f ( 噶，瞄丽o f ( 嘴，喈) 一瓦o f ( 屹，坞，丽o f ( 。嚣，屿) ) 文咭+ 3 ) 学5 ) ， 马= 一i 3 2m 二- 1 。瓦o f ( 。嚣，坞) 筹( 。嵇k ，屿) 移3 ) ( 魂5 ) ， 噩。= 譬笔 2 ( 笔( 噶，嗡) 一瓦o f ( 呜，屹) ) ( 丽o f ( 呓，嗡) 丑呓+ ) ) ( 魂分。) ， 乃= 一竿墓 2 ( 1 一；筹( “嚣，谚) ) ( ( 丽o f ( 嘴，嗡) 一丽o f ( 。，屿咭+ ) ) 学5 ) ， 冠。= 一垡4 蔓职1 一；筹( 。嚣，坞) ) ( 瓦o f ( 。嚣，屿) 民秽5 ) ) 慨掌气 五。= 一竽薹 z ( ( 筹( 吗，嗡) 一瓦o f ( 屿，坞) 瓶呓+ ；) ) ( 魂学。) ， 乃t = 一竽篁 。 ( 丽o f ( 谚，呜) 民存5 ) ) ( 巩学。) ， 墨s = 譬篁 。 ( ( 筹( 嘴，吻一瓦o f ( 。o ，屿胍呓+ ) ) 学。) ， t 1 。= 譬譬 。 霹( 丽o f t , ，屿) 民秽5 ) ) 学5 ) ， 壅妻奎堂堡圭堂竺篁塞塞三兰墅塑垒丝丝童塑壅童童堕堕竺茎 1 2 噩7 = 妒( r 苏) ( 魂学5 ) i d = l 由引理2 4 得 呐( m 乙- 1 姒奶kz ) 慨学5 ) + m 2 一- 1 吣巧z i ) i 嗽玎kz i)2 2k +22k + ) - 鲁( 扩，1 2 - l 矿胁一d ，( 乙姒奶2 ) 慨学) + 2 一吣巧2 ) 1 6 t 岛。) ) = 导( 扩1 1 2 - 网；) 利用引理2 3 ，有 譬篁以磋砖盈始( 魂；譬愉似峋： 下面逐项估计疋( 5 = l ，2 ，1 7 ) 噩；m - 1 炉( 箬( 哆，嗡) 笛+ 。，砖) 砖) ( 盈学5 )噩；炉( 磊( 哆，嗡) 笛+ 。，砖) 砖) ( 盈学5 g e g i i - - & 1 f + ；0 2 +i i ) ( 2 3 1 ) 其中镌在呜与嘴之间，磕在呜与瞄之间，s 0 为常数 死：；基 z ( 象( 磅，叼k 物k + 矗( “各，砖) 谚) ( 咐1 一k 肿锄k + 5 ) s l l 6 f k + 1 1 2 + c ：( 1 l 驴1 1 2 + 0 叩丘1 1 2 ) ( 2 3 2 ) 其中鸭在“各与噶之间，磅在吃与喵之间 死丁c i t 撇 1 1 2 ( 2 3 3 ) 乃一d 1 。7 2 等争_ 1 z ( 象( 磅，叼k 物+ 纛( 谚，磅) 碡) ( 铷哼奴文学屯 曼i l 最七+ ；1 1 2 + c ：( 0 f 膏1 1 2 + l f 町七1 1 2 ) ( 2 3 4 ) 利用复合函数的差商及归纳假设( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) 得 句( 笔( “乞砖屹+ ) ) = 象( 卢嚣，也+ 1 ) 如屹+ + 象( “易，屿) 如吃+ ； 2 c d c o + 力， 0 s s m ，0 j m 一1 ，( 2 3 5 ) 其中砖在“各和u 易+ ，之间，坞在屿和吃+ 之间因此由引理2 1 和上式得 马：丁d l t 2 m 厶- 1 m 厶- 1 d l t 2 。( 吩最锅) ( 凳( 坞，屿) ( 屯瓯端) + 尻k 一+ ；5 ，、o 抛f 、屹+ ；，吃+ ；) ) ) 马= r 刍刍 2 ( 吩最锅) ( 磊( 坞，屿) ( 屯瓯端) + 尻一，、抛、屹+ ；，吃+ ；) ) ) 东南大学硕士学位论文 第二章 弱耦合抛物方程组交替方龟隐格式 1 3 一m 一1 m 1， 丁d 1 1 - 2 2 a 蝌k + 5 ) 2 + 2 a + 一) ( 如也渺未) ) 0 磊+ 1 1 2 + c ：( 垮+ 1 i + f f l ) ， ( 2 3 e ) 死纠嗽嘲| 2 + 警川挪i i + i i 挪i i ) ( 2 3 7 ) t t 竿川醛+ 1 1 2 圳计+ 1 1 2 ) ( 2 耳：一i , m t - i ，i 。( 筹( 嘴，瞄) ( 象( 磅，k ；) 荡+ 否o a ( , , f j ，砖) 碡) + 。o f ( u 嚣，k ，、抛o a 踟fi 、巧k ，w k ，劬k + o a f ( “各，k ，协k ) ( r 玎k + 1 一瞄) ( 文学5 ) se 0 民 知+ ；1 1 2 + c ；( 1 l k 1 1 2 + l l 町。1 1 2 ) ( 2 3 9 ) t 9 s 字州也一旷刊计铘) ( 2 4 。) 设0 7 - i 6 4 ，则 n 乃。= 等基 。( 象( 笛，嗡蝣+ 患( u 嚣，砖) 砖) ( 筹( 咯仙e ；k 。+ 1 ) ( 喘一噶+ 1 ) 一2 筹( 吃，k 埘k + l 一噶) + a 。f ( u l 巾吃。i ( 1 ：k j - 1 + l 一吃一。) ) ( 魂掌5 ) sd ，c o c , 暖m - 1 2 ( 嘲+ l 每1 ) i 也学毛 j = l e 0 & f 七+ ；0 2 + c ：( 1 垮七1 1 2 + 0 町七1 1 2 ) ( 2 4 1 ) 噩。：竿2m 萎- 1m - 1 萨( ；( ( 筹( 哦z , 2 扎略。) 一o 。f ( 。2 ，也+ 1 ) i d 喝+ l 一( 渤o f , u k ，噶) 一a f ( u ：, i ，蚴 略动 ( 一互r 叭瓦o f ( n ，吃+ ) ) ( 盈葛) + ( 1 一i t 瓦o fl , k j ，吃) ) ( 毛也锅) ) 等2m 善- 1m - 1 。( 弘1 、丽