随机过程 汪荣鑫 答案.pdf

1 第二章 平稳过程 1 指出下面所给的习题中 哪些是平稳过程 哪些不是平稳过程 1 设随机过程 Xt etX t 0 其中X具有在区间 0 T中的均匀分布 解 该随机过程的数学期望为 该随机过程不是平稳过程 2 设随机过程 ttX在每一时刻的状态只取 0 或 1 数值 而在不同时 刻的状态是相互独立的 且对任意固定的 t 有 1 0 1 ptXPptXP 其中10 p 解 该随机过程的数学期望为 ptXPtXPtEXtmX 0 0 1 1 常数 该随机过程的自相关函数为 0 0 1 1 tXtXPtXtXPtXtXEttRX 2 1 1 ptXPtXP 结果与 t 无关 该随机过程是平稳随机过程 3 设 1 nXn是独立同分布的随机序列 其中 j X的分布列为 j X 1 1 j 1 2 P 2 1 2 1 定义 n j jn XY 1 试对随机序列 1 nYn 讨论其平稳性 解 0 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 jjj XPXPEX n j j n j jn EXXEEY 11 0 常数 又因为随机序列 n Y的自相关函数 n j mn k kjY XXEmnYnEYmnnR 11 m 为自然数 T TtTxtxt x conste Tt e Tt dx T etEXtm 0 0 1 111 2 n j n k m nk kjj XXXE 111 n j m nk kj n j j n j m nk kj n j j XXEXEXXXE 11 2 111 2 1 n j m nk kjn EXEXEY 11 2 nnnn DYEYDYEY 22 n j n j n j jjjj n j jn npEXEXEXDXXDDY 111 222 1 即 mRnpmnnR YY 该随机过程不是平稳过程 4 设随机过程 ttAtX cos 0 其中 0 为正常数 A是相互独立 的随机变量 且 A 服从在区间 0 1 上均匀分布 而 服从在区间 0 2 上的均匀分布 解 1 0 2 0 00 0 c o s 2 1 1 cos dtdatAEtEXtmx 常数 而自相关函数为 000 2 cos 6 1 cos cos ttAEtXtEXttRX 该随机过程是平稳随机过程 5 设随机过程 tttX cos 其中 在区间 2 1 2 1 00 中服从均匀 分布 解 随机变量 的概率密度为 其它 0 2 1 2 1 1 00 f 0 sin 1 cos 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 tt t tdtEXtmx t t t 0 cos 2 sin 2 不是常数 该随机过程不是平稳过程 6 设有随机过程 tYtXtX 而随机向量 YX的协旗阵为 2 2 2 1 r r 解 tEYEXYtXEtEXtmx 当0 t时 tmx不是常数 3 该随机过程不是平稳随机过程 7 设有随机过程 tZtYtXtX 2 其中 X Y Z 是相互独立的随机变 量 各自的数学期望为 0 方差为 1 解 0 22 EZttEYEXZtYtXEtEXtmx 常数 22222 1 ttttEZttEYttEX 自相关函数 xx RttR 该随机过程不是平稳随机过程 8 设有随机过程XtX 随机变量 则 2 DXaEX 解 aEXtEXtmx 常数 2222 xx RaEXDXEXtXtEXttR 该随机过程是平稳随机过程 2 设随机过程UttXsin 其中 U 是在 0 2 上均匀分布的随机变量 试证 1 若Tt 而 2 1 T 而 2 1 ttX是平稳过程 2 若Tt 而 0 T 而 0 ttX不是平稳过程 证明 1 该随机过程UttXsin 的数学期望为 0 12 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 2 0 2 0 t t vt t vtdvtEXtMx 常数 sin sin mtVVtEmtXtEXmttRx 0 2sin 2 1 4 1 sin 1 4 1 2cos 2 1 2 1 cos 2 1 2 1 2cos 2 1 cos 2 1 2cos cos 2 1 2 0 2 0 2 0 2 0 vmt mt mv m vdvmtmvdv VmVtEmVEvmVtmVE 2 1 ttX是平稳随机过程 2 0 ttX的数学期望为 2 0 2 0 cos 2 1 sin 2 1 sin vt t vtdvVtEtEXtmx 2cos1 2 1 t t 不是常数 0 ttX不是平稳过程 2 tZtYXZtYtXEtXtXEttRX 22 2222 ZttYZttXZ YZttYtttXYXYtXZtXE 4 3 设随机过程 ttAtX cos 0 其中 0 是常数 A 与 是独立随机变量 服从在区间 0 2 中的均匀分布 A 服从 瑞利分布 其密度为 0 0 0 2 2 2 2 x xe x xf x 设随机过程 ttCtBtY sincos 00 其中 B 与 C 是相互独立正态变量 且 都具有分布 N 0 2 1 试证 tX是平稳过程 证明 对于随机过程 cos 0 tAtX 的数学期望为 cos cos 00 tEEAEAtEXtmx 0 2 0 0 2 2 0 cos 2 12 2 dtdxe x x x 常数 自相关函数 cos cos 000 2 ttAEtXtEXttRx cos cos 000 2 ttEEA 22cos cos 2 1 cos cos 000000 tEttE 22cos 2 1 cos 2 1 000 tEE 000 2 0 0 cos 2 1 22cos 2 1 2 1 cos 2 1 dt 0 2 2 0 2 2 22 2 2 2 2 xx dexdxe x xEA 0 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dxxexdeex xxx dxedxe xx 0 2 22 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 22 2 2 x e 5 0 2 0 2 c o sc o s 2 1 2 ttRx 该随机过程为平稳随机过程 2 用本章例 4 说明 Y t 是平稳过程 证明 0DC DB 0 2 cEBE 根据例 4 随机过程 Y t 是平稳随机过程 4 设 S t 是周期为 T 的周期函数 而 是在区间 0 T 上的均匀分布的随机变量 随机过程 ttStX 称为随机相位周期过程 试问 X t 是否为平稳过程 又问它是否具有各态历经性 解 Tt t TT x duuS T duuS T utdtS T tEXtm 00 1 1 1 周期函数性质 T x duuS T tm 0 1 常数 又 tStSEtXtEXttRx TTt t duSuS T dtStS T 0 1 1 tStS的周期也为 T Tt t T xx RduuSuS T duuSuS T ttR 0 1 1 tStX是平稳随机过程 再讨论随机过程 X t 的各态历经性 l l l lll dttX l dttX l tX 2 1 lim 2 1 lim l ll dttS l 2 1 lim 5 设 ttX是随机相位周期过程 它的一个样本函数 tX如下图所示 周期T 和振幅a都是常数 相位 0 t是区间 0 T 上的均匀分布 求 tEX 解 根据上图 得 Ttt T t T tt T tTTtta T tttTtta tX 00 000 000 4 0 48 4 8 8 8 则 84 8 0000 0 0 0 0 4 8 1 1 8 1 T t t T t T t Tdt T tta T Tdttta T tXE 6 8 0 4 8 22 0 8 1 4 8 8 TT T a du T T uaudu T a utt 6 随机过程 cos 0 tAtX 其中 A 和 是相互独立的随机变量 而 在区间 0 2 上均匀分布 试问 X t 是否具 有各态历经性 解 cos cos 00 tEEAtAEtEX 0 sin 2 1 2 1 cos 2 00 2 0 0 tEAdtEA 常数 cos cos 000 tAtAEtXtXEttRx cos cos 000 2 ttEEA cos 22 cos 2 1 000 2 tEEA 000 2 cos 22 cos 2 1 tEEA 2 0 000 2 cos 2 1 22cos 2 1 2 1 dtEA 0 2 000 2 cos 2 1 22sin 2 1 2 1 2 1 tEA cos 2 1 2 0 x REA TT xx dEA T dmR T 2 0 2 0 2 0 2 cos 2 1 2 1 2 1 TTT d T dtEAd T EA 2 0 2 0 2 0 00 2 0 2 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 2 1 TT d t EA 2 0 0 0 2 0 0 0 2 sin 2 1 sin 1 2 1 sin sin 2 1 2sin 1 2 1 2 0 0 2 0 0 0 0 0 2 d T TEA T cos 1 sin 2 1 2sin 2 1 2 0 0 0 00 2 0 T TT T TEA 1 2cos 1 sin 2 1 2sin 2 1 0 0 0 00 2 0 TTT T TEA 7 2 1 2cos 2 1 sin 2 1 2sin 2 1 0 0 0 00 2 0 T T T TTEA T xX dmR TT 2 0 2 T 2 1 1 lim 0 2 1 2 2cos 2 sin2sin 2 1 0 2 0 2 0002 0 lim TT T T T T Tw EA T 该平稳过程具有数学期望各态历经性 下面讨论相应函数的各态历经性 令 tXtXtY 固定 由于 A 与 相互独立 则有 1111 tXtXtXtXEtYtEYB cos cos cos cos 1000100000 4 ttttAE 222cos cos22cos cos 4 1 01000000 4 ttEEA 2cos 22 cos 2 1 cos 4 0000 2 4 ttE EA 2cos 2 cos 2 1 100000 tt 22 2c o s2 c o s 2 1 100010 t 100 2 4 2cos 2 1 cos 4 EA T x dRB TT 2 0 1 2 1 1 T 2 1 1 lim T d EAEA TT 2 0 10 2 22 100 2 4 1 T cos 4 2cos 2 1 cos 42 1 1 lim T d EAEAEA TT 2 0 10 2 22 10 4 0 2 4 1 T cos 4 2cos 8 cos 42 1 1 lim T d EAEAEA TT 2 0 110 4 0 2 224 1 T 2cos 8 cos 4 2 1 1 lim 10 2 2 0 224 1 cos 4 2 1 1 d EAEA TT T T d TT EAEA 2 0 1 1 0 2 224 2 1 1 cos 4 2 0 1 0 2 224 4 2 1 cos 4 T T T T EAEA 8 0 2 224 0 2 224 cos 4 12 cos 4 EAEAEAEA T d EA TT 2 0 110 4 1 2cos 8 2 1 1 T d T EA T 2 0 110 1 4 2cos 2 1 8 1 110 2 0 1 2 0 10 0 4 2cos 2 1 2sin 2 1 8 1 d T EA T TT T d TEA T 2 0 101 00 0 4 2sin 4 1 2 4sin 8 1 2sin 2sin 4 14sin 8 2 0 110 2 0 101 00 0 4 TT d T TEA 2cos 2 1 4sin2 4 14sin 2 0 10 0 0 2 0 0 4 T TT TT TEA 8 1 4cos 8 1 2 4sin4sin 0 2 0 0 2 00 0 4 T T TT T T TEA 8 1 4cos 8 1 2 sin4 0 2 0 0 2 0 0 4 T T TT TEA 令 t则有 0 2 224 1 2 1 2 0 1 cos 4 2 1 1EAEA dRB TT x T 该平稳过程不具备自相关函数各态经性 7 随机过程 ttBtAtX cossin 其中 A 和 B 号均值为零不相关的随机变量 且 22 EBEA 试证明 X t 具有数学期望各 态历经性 而无相关函数各态历经性 解 0cossin cossin tEBtEAtBAEtEXtmX 常数 cos sin cossin tBtAtBtAEtXtEXttRX cos cos sin cos cos sin sin sin 22 ttBttABttABttAE sin cos cos sin cos cos sin sin 22 tttABEttEBttEA sin cos 2 ttEBEAttEA cos 2 X REA 该随机过程是平稳随机过程 现证数学期望各态历经性 9 T XX dmR T 2 0 2 2 1 T 1 TT d TT EA dEA T 2 0 2 0 2 2 cos 2 1 cos 2 1 T 1 TT d TT EA 2 0 2 0 2 cos 2 1 sin sin sin 2 1 2sin 2 00 2 TT d T T T EA cossin 2 1 2sin 2 0 2 T T T T T EA 12 cos 2 1 2 2sin 2 T T simT T T EA 0 2 12cos 22 12sin 2 2 T TsimT T T EA 当 T时 该平衡过程具有数学期望各态历经性 T TT dttXtX T tXtX 2 1 lim dttBtAtBtA T T TT cos sin cossin 2 1 lim dtttBttABttABttA T T TT cos cos sin cos cos sin sin sin 2 1 lim 22 dttBtABttA T T TT cos 2 cos 2 1 2sin 2cos cos 2 1 2 1 lim 22 dttBtABttA T T TT 2cos cos 2sin 2 2cos cos 4 1 lim 22 2sin 2 1 cos2 2cos cos 22 T T T T tTAdttA 2sin 2 sin 2 1 cos2 2 TTTA 2sin 2 1 2sin 2 1 cos2 2 TTTA 2cos 2 cos 2cos 2 sin2 TtABtABdttAB T T T T T T T T tTBdttB 2sin 2 1 cos2 2cos cos 22 2sin 2 1 2sin 2 1 cos2 2 TTTB ABTTTA T tXtX T 2sin 2 1 2sin 2 1 cos2 4 1 lim 2 10 2sin 2 1 2sin 2 1 cos2 2cos 2 cos 2 TTTBtt T TAB T TAB T TA T TAA T 2cos 4 2cos 4 2sin 8 2sin 8 cos 2 lim 222 T TB T TBB 2s in 8 2s in 8 co s 2 222 coscos 22 2 22 X REA BA 利用均方极限的性质 4 即自相关函数无各态历经性 8 设平稳过程 tX的相关函数 1 a X e aA R 其中 A a 都是 正常数 而0 tEX 试问 tX对数学期望 是否具存各态历经性 解 2 0 1 lim lim tEX e aA R a T X L hospital 法则 即平稳随机过程 tX具有 2 lim xx mR 平稳随机过程关于数学期望具有各态历经性 9 设 tX和 tY是相互独立的平稳随机过程 证明 tYtXtZ 也是平稳随机过程 证明 YXZ mmtEYtEXtYtEXtEZtm 常数 tYtYtXtXEtYtXtYtEXtZtEZttRz YX RRtYtYEtXtXE 与t无关 随机过程 tYtXtZ 也是平稳随机过程 10 设平稳过程 tX和 tY相互独立 令 tYtZtZ 试求 tZ的自相关函数 解 tYtZtYtXEtZtEZttRZ tYtYtXtYtYtXtXtXE tYtYEtEXtEYtEYtEXtXtXE tYtX都是平稳过程 X mtEX 常数 Y mtEY 常数 YX RtYtYERtYtXE YXYXZ mmRRttR 2 11 平稳过程 ttX的相关函数为 3coscos4 eRX度求均方值 2 tEX 11 解 根据平稳过程自相关函数的性质有 5 0 2 X RtEX 13 设有随机过程 ttAtX cos 其中 A是相互独立随机变量 而 A 的均值为 2 旗为 4 在 上服从均匀分 布 在 5 5 上服从均匀分布 试求 tX的自相关函数 并问 tX是否平稳以及是否 具有各态历经性 解 cos cos tEEAtEAtEXtmX sinsincos cos ttEEA sinsincoscos 2 EtEEtE 2 1 sin 10 1 sin 2 1 cos 10 1 cos 2 5 5 5 5 ddtddt 0 2 1 cos0sin 2 1 10 1 sin 2 2 5 0 dt t 常数 c o s c o s tAtEAXEXttR ttx 22cos cos 2 1 8 cos cos 2 EttEEA 22cos cos 4 tEE 2sin 2sin 2cos 2 cos 4cos4 ttEE 5 5 5 5 2 1 2cos 10 1 2cos 4cos 10 1 4 ddtd 5 5 2 1 2sin 10 1 2sin 4 ddt 5sin 5 4 5sin 10 8 sin 1 10 8 5 0 x R 该随机过程具有平稳性 又 2 0 5sin 5 4 xx mR 该平稳过程关于数学期望具有各态历经性 又 T T tt T tt dtXX T XX 2 1 lim T TT dttAtA T cos cos 2 1 lim dtt T A T TT cos 22 cos 2 1 2 lim 2cos 22sin 2 1 4 limTt T A T T T 12 cos 2 22sin 22sin 8 lim A T T T TA T cos 2 x R A 该随机过程不具有相关函数各态历经性 14 设有随机过程 t tYtVXtZ 其中平稳过程 tX和 tY仅随机变量 V 三者相互独立 且0 0 yx mm 2 3 0 2 9 cos2 eReR YX 又 EV 2 DV 9 试求 Z t 的数学期望 和相关函数 解 2 3 0 2 9 cos2 eReR YX 1019 2 0 22 EYREX X 2 2222 X mEXEXEXDX 10 2222 Y mEYEYEYDY 0002 tEYtEXEVYVXEtEZtm ttz tYtVXDtDZ 20 22222222 EVEYEXEVVtYtEXtYtXEV 22 EVEVDV 13 2 EV 2602013 tDZ tYtVXtYtVXEtZtEZttRZ 22 tYtEYtXtEXEVtYtYtXtXVE 9 cos26 13 2 3 0 2 eeRR YX 15 设 X t 是雷达的发射信号 遇到目标的回波信号为1 1 ataX 1 是信号返 回时间 回波信号必然伴有噪声 记为 N t 于是接收机收到的全信号为 1 tNtaXtY 假定 X t 和 N t 平稳相关 1 求互相函数 XY R 2 若 N t 的数学期望为零 且与 X t 相互独立 求 XY R 13 解 1 先求互相关函数 XY R 1 tNtaXtEXtYtEXRXY 1 tNtXtXtaXE 11 XNXX RaRtNtEXaR 2 X t 与 N t 相互独立 且0 tEN 11 XXXY aRtENtEXaRR 16 设有两个平稳过程 ttbtYtatX10 sin cos 00 其中 0 ba为常数 而 是在 0 2 上均匀分布的随机变量 试求 XY R与 YX R 解 sin cos 000 ttabEtYtEXRXY 000 s in 22s in 2 1 tEab 0 2 0 00 s in 2 22s in 2 1 2 ab dt ab 0s in 2 1 ab c o s s in 000 ttabEtXtEYRYX 000 s in 22s in 2 tE ab 0 2 0 00 s in 22 1 22s in 2 ab dt ab 0s in 2 ab 17 设 ttX 是独立同分布随机过程 且1 0 tDXtXE 试问 tX是否为平稳过程 又 tX是否均方连续 解 0 m X tEXt 常数 0 0 0 1 2 tEXtEX DXEX tXtEXttRX 时 这与 t 无关 该随机过程是平稳随机过程 又因为 X R在0 点不连续 根据定理 tX不均匀连续 18 设 ttx 是平稳过程 1 若存在 T 0 使得 0 XX RTR 则对固定的 t 有 14 satXTtX 提示 2 DX EXXP 证明 根据概率论中的契比雪夫不等式有 2 tXtXD tXtXEtXtXP tX是平稳过程 故 0 tXtXE 2 tXtXEtXtXD 22 2 0 2 TRRtXTtXE TXTtXP xx 存在 T 0 使得 0 XX RTR 则对上式 T 0 0 tXTtXP SatXTtX 证毕 2 若 tX可导 则 0 xRtXtXE 证明 t tXttX tXEtXtXE l i m 0 t t xEXttXtEX t lim 2 0 0 0 lim 0 X XX t R t RtR 3 若 tX可导 则 t X 是平稳过程 且它的相关函数 2 2 d Rd R X X 证明 tX是平稳过程 故 xx mtm 常数 XX RttR 而 0 lim l i m 00 t t tEXttEX t tXttX EtXE t 0 tmx 常数 又 tXtXEttRx 2 2 0 1 1 0 l i m l i m 21t tXttX t tXttX E tt 15 21 2112 00 limlim 21tt RtRtRttR xxxx tt 2 2 2 121 0 1 0 lim 1 lim 21t RtR t tRttR t xxxx tt 2 2 1 0 lim 1 d Rd t d dR d dR x x t x t 19 设 ttX 和 ttY 是平稳相关随机过程 若 tX和 tY满足微分方程 tXtaYtY 其中 a 是非零常数 则它们的数学期望满足 xY m a m 1 证明 两边同时取数学期望有 tEXtaYtYE 即 tEXtaYtYE tmtamtm xYY 因为 tX tY是平衡随机过程 则 XX mtm 常数 YY mtm 常数 0tmtam xY 即 xY m a m 1 20 设 ttX 是平稳过程 且 2 1 1 eRtEX 试求随机变量 1 0 dttxS的数学期望和方差 解 1 0 1 0 1 0 11 dtdttEXdttxEES 1 0 1 0 2 1 0 22 1 1 dXdttXEdttXEESESDS 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 dtdtRdtdXtEX 1 0 1 0 1 0 1 0 2 2 11 dtdedtde tt dtdedtde D t D t 21 2 2 1 0 0 1 0 1 2222 dtededtede tt deedee tt 1 0 1 0 122 0 22 2 1 2 1 16 deeedee 1 0 1 0 22222 2 1 1 1 0 1 0 22 1 0 1 0 2 1 2 1 2 1 1 2 1 ddeeded 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 0 221 0 2 eee 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 222 eee 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2222 eeee 21 设复随机过程 tetZ ti 0 其中 是在 2 0 上均匀分布的随机变量 而 0 常数 试求 tZ的相关函数 并讨论其 平稳性 解 deedeEetEZtm itititi Z 2 0 2 0 000 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 22 0 00 itiwitiw ee i e i e 0 12sin2 cos 2 1 0 ie i tiw 常数 0000 X iwwtwitwi z ReeeEtZtEZttR 随机过程 tetZ twi 0 是平稳过程 22 设 X t 是数学期望为零的平稳正态过程 又 2 tXtY 求证 2 0 22 XXY RRR 证明 显然 22 0 X RtEXtYE 22 tXtEXtYtYEttRY 22 22 22 22 2 1 2 1 exp 12 1 dxdyyrxyx r yx r 其中 0 X X R R r 22 2 2 2 2 22 1 2 exp 12 1 22 dy r rxr ydxex r x 令 2 1r rxy u 2 222 2 2 22 1 2 1 dueurrxdxex u x dxexrxr x 22 2 2 2222 1 2 1 17 2 4 2 24 22 2 1 dxex r r x 0 223 1 224424224 YXX RRRrrr 上面的证明同时也说明 2 tXtY 是平稳随机过程 证毕 23 1 下列函数哪些是功率谱密度 哪些不是 为什么 22 2 1 1 4 9 S 65 1 24 2 2 S 34 4 24 2 3 S 2 2 4 2 i e S 解 根据功率谱密度的性质 功率谱密度是实的 非负的偶函数 所以 1 S 3 S 4 S不是功率谱密度 而 2 S是功率谱密度 2 对上面的正确功率谱密度表达式计算自相关函数和均方值 解 2 1 3 2 3 2 1 65 1 2222 2 24 2 2 S 自相关函数为 2 1 3 2 2 1 2 1 2 1 FFSFRx 22 1 2 22 32 1 3 32 2 22 1 22 1 FF 2 3 22 1 3 1 ee 而均方值为 22 1 3 1 0 2 x RtEX 24 已知平均过程 tX的功率谱密度为 a aa Sx 0 22 求 tX的均方值 18 解 00 2 2 1 0 deSRRtXtEXtEX i xxx a a x dadS 2 1 2 1 22 a a da 0 3 22 3 2 1 25 试说明下图所示函数不可能是某个平稳过程的自相关函数 解 如果自相关函数 x R在0 连续 则它必在 T 上连续 但在该题中自相关函数 x R在0 连续 但它并不在 上连续 故该图所示的函数不可能是某个平 稳过程的自相关函数 26 已知下列平稳过程 tX的自相关函数 试求 tX的功率谱密度 1 0 cos 0 aeR a x 解 cos 0 a xx eFRFS dedee aia coscoscos 0 0 00 000 cos cos coscos2 dede aa 00 00 cos cos dede aa 00 00 c o s 1 c o s aa de a de 0 0000 sin cos 1 dee a aa 0 00 sin 1 10 1 a de aa 0 0000 2 0 cos sin 1 aa ee aa de aa a 0 0 2 2 cos 1 0 0 2 2 1 cos 1 a de a a 19 0 2 0 2 0 cos a a de a 同理 0 2 0 2 0 cos a a de a 2 0 22 0 2 1 1 aa aSx 2 其它 0 TT 1 TRx 解 de T deRRFS i T T i xxx 1 TT d T d T 00 sin 1 2 cos 1 2 TT TT d T d TT 00 00 sin 2 sin 1 sin 1 2 2 sin 4 cos1 2 1 cos 2 0 cos 2 2 2222 T T T T T T T T 3 3coscos4 eRX 解 3coscos4 eFRFS XX 3 cos cos 4 1 FeF 3 3 1 1 1 1 4 22 4 sin cos 12 babbeR a X 其中a 0 解 sin cos 2 babbeFRFS a XX sincos 122 beabbeF aa sin cos 122 beFabbeF aa sin 12 2222 2 baFab ba a ba a a 而 0 cossinsin sin dbedebebeF a i aa 20 0 sin sin dbbe a 0 22 ax cossin 1 sine cbxbbxae ba bxdx ax 2222 0 1 s in ba b b ba dbe a 0 22 sin ba b dbe a 2222 12 2222 2 X S ba b ba b ab ba a ba a 27 已知下列平稳过程 tX的功率谱密度 试分别求 tX的自相关函数 1 其它 0 1 0 X S 解 dedeSSFR ii XXX 0 02 1 2 1 1 0 sin 1 2 10 0 10 1208 其它 X S 解 d eSSF i XXX 2 1 R 1 2 2 10 0 10 5sin 1 4 cos 10 120 1 8 2 1 ddei 3 其它 0 1 0 0 X S 解 d eSSF i XXX 2 1 R 1 2 sin 2 cos1 1 02 0 2 00 0 d 4 2 1 1 X S 解 论 2 1 1 Y S 则 2 1 eRY 21 1 1 S 2 22 X YYY SSS R 1 X YYYY RRSSF deedRR YY 4 1 当0 时 0 0 4 1 4 1 deedeeRX deedeedee 4 1 4 1 4 1 0 0 4 1 ee 由于 X R是偶函数 4 1 R X ee 5 n k k k X bw a wS 1 2 2 其中nkak 2 1 0 解 22 2 1 1 1 2 11 X 1 R k n k k n k k k X b Fa b a FSF n k b k knk n k k k k e b a e b a 1 1 22 1 6 其它 0 2a a 2 b wSx 解 d eSSF i XX 2 1 R 1 X debdeb a a i a a i 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 a a i a a i e i b e i b 2s ins in 2 aa b 28 记随机过程 t cos 0t tXtY 其中 tX是平稳过程 为区间 0 2 上均匀分布的随机变量 0 为常数 且 tX和 是相互独立的 论 tX的自相关函数为 X R 功率谱密度为 X S 22 试证 1 tY是平稳过程且它的自相关函数 0 cos 2 1 XY RR 2 tY的功率谱密度为 4 1 00 XXY SSS 证明 1 先证 tY是平衡过程 cos cos m 00Y EtEXttXtEYt 2 0 0 0 c o s 2 1 dtmX 常数 cos cos 000 tttXtXEtYtEYttRX cos 22 cos 2 1 000 ttEtXtEX 2 1 22c o s c o s 2 1 2 0 000 dtRX cos 2 1 0 YX RR tX t cos Y t 0 是平稳随机过程 且 0 cos 2 1 XY RR 2 2 2 1 00 ii XYY eeRFRFS 4 1 00 i X i X eReRF 00 4 1 i X i X eRFeRF 4 1 00 XX SS 利用 Fourier 变换的性质 29 如下图所示系统中 若输入的平稳过程 输出为 tXtXtY 试求 tY的谱功率为 cos1 2 TSS XY 解 R Y TtXtXTtXtXEtYtEYtt TtXTtXEtXTtXETtXtXEtXtXE XXXX RTRTRR 2 YXXX RTRTRR T F RT F R 2F R F R w S XXXYY 23 cos1 2 2TSeSeSS X iT X iT XX 利用 Fourier 变换的性质 30 设平稳过程为 c o s tatX 其中 a 是常数 是在 0 2 均匀分布的随机变量 是具有分布密度 xf为偶函数 的随机变量 且 与 相互独立 试证 tX的功率谱密度为 2 faSX 证明 根据相关函数的定义有 cos cos 2 ttaEtXtXERX ddftta 2 1 cos cos 2 0 2 dfa cos 0 2 ddefaRF i X111 2 X cos S 1111 2 2 df a 2 2 2 faff a 31 若二个随机过程 ttAtX c o s ttBtY sin 其中 A t 和 B t 是相互独立数字期望为零的平稳过程 且有相同的自相应函数 试证 tYtXtZ 是平稳过程 而 tX和 tY都不是平稳过程 证明 0cos cos ttEAttAEtEX 0 sin sin tEBtttBEtEY cos cos cos cos AX RttttAttAEttR 与t 有关 tX 不是平稳过程 同理可证 tY也不是平稳过程 理证 tYtXtZ 是平稳过程 因为0 tEYtEXtYtXEtEZtmz 常数 tYtXtYtXEtZtEZttRX 24 tYtEYtXtEYtYtEXtXtEX sin sin cos cos ttRttR BA cos cos AA RR 与 t 无关 tYtXtZ 是平稳随机过程 32 设平稳过程 tX和 tY是平稳相关的 试证 YXeXYe SRSR YXmXYm SISI 证明 YXXY RR deRdeRS i YX i XYXY YX i YX SdeR YXeXYe SRSR YXmXYm SISI 33 设 tX和 tY是两个不相关的平稳过程 数字期望分别为 YX mm 都不为零 定义 tYtXtZ 试求互谱密度 XY S和 YZ S 解 YXXY mmtEYtEXtYtEXR YXYXYXXYXY mmFmmmmFRFS 2 1 1 向 tYtXtEXtYtEXRXZ XYX RR XYXXYXXZXZ RFRFRRFRFS YXX mmS 2 34 设复随机过程 tX是平稳的 试证 1 自相关函数满足 XX RR 2 tX的谱功率是实函数 证明 tXtEXRX 25 XX RtXtEXtXtXEtXtEXR 1 式成立 又 d eRRFS i XXX dvevRdeRdeR vi X i X i X X S 即 XX SS X S是实函数 35 如果一个均值为零的平稳过程 tX t0 的线性滤波器 试证明它的输出功率谱密度为 cos21 22 22 2 X TT Y SeTeS 解 根据平稳过程的输入谱密度和输出谱密度之间的关系有 2 iHSS XY 其中 T titti dteedtethiH 0 0 0 T e i dte ti T ti 1 TiT ee i 1 sin cos 22 TiTe i T sin 1cos 22 2 TieTe i TT 1cos sin sin 1cos 1 2 2 22 TeTei TeTe TT TT cos21 2 22 2 2 TT eTeiH cos21 2 22 2 2 X TT XY SeTeiHSS 26 36 将自相关函数为 0 SRX 的白噪声电压 tX输入到如下图所示的二级 R C 电路 系统 1 求系统的脉冲响应函数 2 求输出电压的均方值 解 1 由电学知识可知输出电压所满足的微分方程为 221 1 111 dt dy CRtyty dt tdy CRtytX 2 2 22111122 dt yd CRCR dt dy CR dt dy CRtytX 两边取双边拉普拉氏变换有 1 2 21211122 pCCRRpCRCRpYpX 1 1 2 21211122 pX pCCRRpCRCR pY 传递函数 pH满足 2 21211122 1 1 pCCRRpCRCR pH 2 22036 36 48 1 3 4 6 1 3 1 8 1 4 1 1 pp pp 18 1 2 1 4 9 2 1 18 1 4 9 pppp pH 4 1 3 Y t X t 8 1 F C 6 2 F C 27 4 9 1821tt eepHLth 当 t 0 其它 0 0 4 9 182 tee th tt 2 根据定义有 20364 0 2 0 2 2 16 81 0 dteeeSdtthSRtEY ttt Y 0 10 9 S 37 在如下图所示的 R C 电路系统中 如果输入电压为 2cos 0 tXtX 其中 0 X在 0 1 区间上服从均匀分布 在 0 2 上服从均匀分布 且 0 X与 相 互独立 试分别同时间域法和频率域法求输出电压 tY的自相关函数 解 way1 采用时间域法 因为该问题的输出电压 ty满足的微分方程为 txty dt tdy RC 令 RC 1 则有 2 1 txty dt tdy 在上面的方程两边取双边 Laplace 变换有 pXpypY p 则 pX p pY p pH 而脉冲响应函数为 0 0 0 1 t te pHLth t 再求 2cos 0 tXtX的自相关函数 22cos 2cos 00 tXtXEtXtEXRX 2cos 22cos 00 2 0 tEEXtEEXEX 22c o s 2c o s ttE 28 2cos 224 cos 2 1 00 2 0 tEEX 2cos 2 1 2 00 EXDX 2cos 2 1 3 1 0 0 212112 ddhhRR XY 0 0 21 2 12 21 cos2 2 1 3 1 ddee 0 0 0 0 21 2 1221 2 2121 2cos 2 1 3 1 ddeedde 0 0 2112 2 21 2cos 23 1 ddee 22 2 4 2cos 23 1 当0 时 由于 Y R为偶函数 故对任意的 有 22 2 4 2cos 23 1 Y R way2 采用