（系统工程专业论文）一类非线性系统的分析和模糊滑模控制.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 模糊系统理论自诞生以来应用最有效、最广泛的领域就是模糊控制，取得了 令人信服的成绩。近年来，对复杂不确定非线性系统的控制研究一直是一个热 点，模糊逻辑系统凭借其特有的优势，被认为是解决此问题的一个有力工具。 进行非线性时间序列分析能够更好地揭示事物的非线性本质和规律，对于精 确预测事物的发展趋势具有重要意义。模糊系统在对带有较强无序性和不确定性 的随机噪声的非线性系统的分析中表现出较强的优越性，为了使具体性能更确切 地表现出来，本文通过仿真对一类带有随机噪声的混沌时间序列预测问题进行了 分析，证明了模糊系统在此类问题研究中的有效性。 另外，本文在混沌动力学和模糊逻辑系统理论的基础上，针对一类含未知 非线性函数和外界干扰的单输入单输出系统，根据滑模控制原理，设计了一种 直接鲁棒自适应模糊滑模变结构控制器，并利用模糊规则消除了高频振荡。此 控制器自适应学习参数只有一个，容易实现。最后通过对w i l l i s 环脑动脉瘤混 沌系统仿真，验证了该方案的有效性。 关键词：模糊控制；混沌时间序列预测；模糊滑模控制；w i l l i s 混沌系统 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h et h e o r yo ff u z z ys y s t e mh a sb e e nw i d e l yu s e di nt h ea r e ao ff u z z yc o n t r o l a n dg o tab r i l l i a n tr e c o r d i nr e c e n ty e a r s ，w ef o c u s e do nt h er e s e a r c ho fn o n l i n e a r s y s t e mw i t hc o m p l i c a t e du n c e r t a i n ，a n df u z z yl o g i cs y s t e m 口l s ) ，w i t hi t sp e c u l i a r a d v a n t a g e s ，i sc o n s i d e r e do n e o ft h em o s tp o w e r f u lt o o l sf o rt h i sk i n do fp r o b l e m a n a l y s i sf o rn o n l i n e a rt i m es e d e si sv e r ys i g n i f i c a n ti nc o m p r e h e n d i n gt h ew o r l d w el i v ei n f u z z ys y s t e mh a si t so w n s u p e r i o r i t yi n t h ea n a l y s i sf o rt h en o n l i n e a rs y s t e m w i t hd i s o r d e r e da n du n c e r t a i ns t o c h a s t i cn o i s e b ys i m u l a t i o n , t h i sp a p e rs t u d i e dt h e f o r e c a s t i n gf o rak i n do fc h a o st i m es e r i e sw i t hs t o c h a s t i cn o i s e ，d e m o n s t r a t e dt h e p e r f o r m a n c eo ff u z z ys y s t e mi nt h i sp r o b l e m b a s e do nt h et h e o r yo fc h a o sa n df l s ，ad i r e c tr o b u s ta d a p t i v ef u z z ys l i d i n gm o d e c o n t r o la l g o r i t h mi sp r e s e n t e df o rac l a s so fs i s on o n l i n e a rs y s t e m sw i t hu n k n o v n l n o n l i n e a rt e r m sa n de x t e r n a ld i s t u r b a n c e s t h ep r i n c i p l e so ft h es l i d i n gm o d ea r eu s e d t od e s i g nt h ec o n t r o l l e r b e c a u s eo fi t so n l yo n ea d a p t i v ep a r a m e t e r , t h ec o n t r o l l e ri s e a s i l yt oi m p l e m e n ti ni n d u s t r y t h es i m u l a t i o nd e s i g n e df o rw i l l i sc h a o ss y s t e ms h o w t h ee f f e c t i v e n e s so ft h ec o n t r o ls c h e m e k e y w o r d ：f u z z yc o n t r o l ，c h a o st i m ea e r i e sf o r e c a s t i n g , f u z z ys l i d i n gm o d ec o n t r o l ， w i l l i sc h a o ss y s t e m 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 学位论文作者签名： 伊 年6 月i j 日 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密 训符， 指导教师签名： 川年5 月阳 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：面忒， 日期：p 刁年6 月侈日 l 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1模糊控制理论的研究和发展 1 1 1 模糊控制的提出 模糊控制的基础是模糊数学。 1 9 6 5 年，美国自动控制专家l a z a d e h 发表( f u z z ys e t s ，创立了一种完全 不同于传统数学理论的模糊集合论，建立在其上的模糊数学完全有别于建立在经 典集合理论基础之上的精确数学。在现实生活和人类的思维定势中，并非所有的 事物都可以用两种截然相反的状态来描述，绝对的突变是不存在的，差异通常会 通过过渡和中间状态表示。z a d e h 针对这一性质，在模糊集合论中引入了“隶属函 数”以( 力的概念，来表示描述客观事物差异的中间过渡的不分明性，即模糊性。 特点是隶属函数的取值在【o ，1 】之间可以有无穷多个取值，而不同于特征函数的二 值逻辑，因此隶属函数这一概念更加符合人类的自然语言。 正是有了模糊数学这一基础，在对控制系统性能的要求日益严格的紧迫情况 下，模糊控制理论应运而生了。 1 1 2 模糊控制的发展和研究现状 1 9 7 4 年，英国工程师e h , m a n d a n i 首先依据模糊理论设计了模糊控制 器用于蒸汽发动机的控制，开创了模糊控制工程应用的先河。 为了解决复杂的工业生产过程的控制问题，在模糊集合论的基础上，一种新 型的控制器设计理论模糊控制理论诞生了，其广义的定义如下： 模糊控制：模糊逻辑控制( f u z z yl o g i cc o n t r 0 1 ) 简称模糊控$ 4 ( f u z z yc o n t r 0 1 ) ， 是以模糊集合论、模糊变量语言和模糊逻辑推理为基础的一种智能控制技术。 模糊控制的核心是利用模糊集合论，把人的控制策略的自然语言转化为计算 机能够接受的算法语言来实现过程控制。虽然它是建立在模糊集合论的基础之 上，但是其控制输出仍为精确量，因此它不仅能成功地实现普通控制，而且由于 能够模仿人的思维，对那些无法用数学模型描述的对象也可以进行良好的控制。 江苏大学硕士学位论文 在其发明后的3 0 多年里，模糊控制技术得到了高度重视，无论在理论还是 实际生产过程中都取得了很大的发展，其发展阶段大致可以总结如下： 1 。基本模糊控制器阶段 由于实际诸多生产过程中，很难获得被控对象的数学模型，所以无法采用传 统的控制方式来实现过程控制。然而利用操作人员在实践中积累的经验，形成一 定的控制规则，在实际的控制过程中利用这些规则，采取适当的策略，进而实现 对被控过程进行定量的控制，这就是基本模糊控制器的指导思想。 这种模糊控制器的特点包括：控制器的核心是利用实践经验形成的固定的模 糊控制规则表；而设计控制器是针对控制过程中的某些特定过程，因此控制器的 使用具有特殊针对性；另外这种基本模糊控制器的控制规则表一旦形成，就不再 改动，因而不具有自学习、自组织能力。 2 自组织模糊控制器阶段 对于一些复杂的控制过程，人们很难精确地总结出操作人员的实践经验，致 使控制规则比较粗糙，很不完善，定会影响控制效果。另外，即使控制规则总结 得比较完善，但是由于被控过程在运行中实际情况经常会发生变化，如果始终按 照一组控制规则对其进行控制，也不可能取得理想的控制效果。 自组织模糊控制器为了克服基本模糊控制器的缺陷，人们在其基础上研 制了能在运行中自动修改、完善和调整模糊控制规则的控制器，对被控过程的控 制效果不断提高，直至达到预定的控制效果。 它利用性能测试部分得到的期望值和输出值之间的偏差对过程的控制量进 行修正，然后根据应取的校正量，对原有的模糊控制规则进行修正，得到使控制 效果更好的新控制量，以获得新的控制规则。 由上可见，自组织模糊控制器的控制过程，就是反复进行性能检测和控制规 则检测，直到取得满足要求的控制结果。 3 智能模糊控制器阶段 与基本模糊控制器相比，虽然自组织模糊控制器能更好地解决许多问题，但 是由于在自组织模糊控制器中，依旧是按照人的意志，凭借实践经验使之在容许 2 江苏大学硕士学位论文 的范围内进行调整，因此其控制能力毕竟有限。为了能对复杂的生产过程进行控 制，就必须在掌握过程控制机理的同时，结合操作经验，利用模糊控制规则构成 原始的人工智能专家系统，然后通过产生式学习系统，对照实际的生产过程不断 修改、完善和补充，从而构成机理操作经验型专家系统。利用产生式学习系统软 件决定处理问题的过程，并对原有知识进行反馈修正，这就是智能模糊控制器。 1 1 3 模糊控制理论的应用范围和前景 模糊控制理论开辟了自动控制领域的新篇章，不论在理论方面，还是在实际 的工业过程控制中，都逐渐显示其自身的活力。在短短的3 0 多年里，模糊控制 技术取得了迅猛的发展，而且有着广阔的应用前景，加之其趋向智能化的特点， 模糊控制必将在未来的工程控制中发挥巨大的作用。有专家预测：模糊控制技术 可以使计算机模拟人的知觉，并根据不确定信息做出决定，这将是下一代工业自 动化的基础。 图1 1 模糊控制技术和其他控制技术的关系 综上所述，模糊控制理论是- - l - j 发展迅速、应用前景广阔的新技术。随着模糊 控制理论的不断规范化，模糊控制技术必将对未来的控制策略产生重大影响。同 江苏大学硕士学位论文 时，模糊控制理论应用的灵活性和简便性及其特有的模糊信息处理能力，将在人 工智能和新一代计算机的研制中发挥巨大的作用。 1 2 混沌理论的提出和发展 本节首先给出了混沌概念的提出、混沌现象的一般特征，最后介绍了奇异吸 引子的几种情况。 1 2 1 混沌概念的提出 混沌是当今世界瞩目的前沿课题及学术热点，它表征了自然界及人类社会普 遍存在的复杂性，揭示了有序性和无序性的统一、确定性和随机性的统一，使人 类大大加深了对客观世界的认识。混沌在自然科学领域中覆盖面之大、跨学科之 广、综合性之强、影响之深都是空前的。国际上称誉混沌的发现是2 0 世纪继相 对论和量子力学问世以后的第三次物理学革命，这场革命冲击和改变着几乎所有 科学技术领域，同时向我们提出了巨大的挑战。 混沌的概念很难确切给出，一般认为，混沌就是在确定的非线性系统中出现 的一种貌似无规则、类似随机的现象。这种确定性非线性系统出现的具有内在随 机性的解，就称为系统的混沌解。 从数学角度讲，对于一个系统，给定初始值，由动力学理论可以推知该系统 的长期行为甚至追溯过去的历史。但是大量实例表明，很多系统对初值非常敏感， 即所谓的“蝴蝶效应”，这是系统内在固有的随机性引起的，只可能发生在非线性 系统中。 混沌研究的鼻祖是法国的庞加莱( p o i n c a r eh ，1 8 5 4 。1 9 1 2 ) 。1 9 0 3 年，科 学与方法一书中提出的庞加莱猜想，把动力学系统和拓扑学有机地结合起来， 并提出三体问题在一定范围内其解是随机的，实际上这是一种保守系统中的混 沌。1 9 6 3 年，美国学者洛仑兹( l o r e n z ) 在著名论文确定性的非周期流 ( d e t e r m i n i s t i c n o n - p e r i o d i c f l o w ) 中指出：在三阶非线性自治系统中可能会出现 混沌解。他研究的是大气在温度梯度作用下的自然对流系统，这是天气预报的一 种极端简化模型，即著名的洛仑兹方程。 4 江苏大学硕士学位论文 仨；警， 方程右端不显含时间，它是一个完全确定的三阶常微分方程组。三个参数a ( 称为 普兰德尔数) ，r ( 瑞利数与其l f 每界值之比) ，b 为正实数；如取值为6 = ，a 2 1 0 ， 改变参数，：若r c l ，其解的性质趋于无对流的稳态；，l ，其解为非周期的，看 起来很混乱。这就是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的一个实例。 1 9 7 5 年，混沌( c h a o s ) 作为一个数学名词首次在科学文献中出现。混沌讨 论系统对初值的敏感依赖性、拓扑传递性与混合性、周期点的稠密性、随机性和 遍历性、正的l y a p u n o v 指数、分数维和奇怪吸引子等。同时，混沌在许多领域 得到广泛应用。如声学、光学、湍流、化学反应中的混沌变化、地震的混沌特性、 天气长期预报的“蝴蝶效应”( b u t t e r f l ye f f e c t ) 、商业周期中蕴含着有序性、股市 细微分散的交易和大规模变动情况之间的重要关系等 2 1 。 1 2 2 混沌现象的一般特征 混沌现象是是介于规则与随机之间的一种非线性动力学行为，当某一时刻 系统状态确定之后，其后的系统状态将按动力学方程转移，靠近某一稳定状态， 这样的稳定状态，就是“吸引子”。吸引子有许多种，包括点吸引子、周期吸引子、 奇异吸引子四。吸引子对应的初值集合，称为“吸引域”。 一般来说，混沌现象具有以下基本特征： 1 非线性 物质世界是非线性的。当非线性进一步增强时，具有耗散结构的系统一般 都会出现混沌现象。这就是说非线性导致混沌，非线性是混沌的一个基本特征。 2 分数维特性 维数是对吸引子集合结构复杂度的一个定量描述 4 1 。平衡点、极限环以及二 维环面等吸引子具有整数维数。而混沌吸引子具有自相似特性，在维数上表现为 非整数维数，即分维数。 3 对初值的敏感依赖性 5 江苏大学硕士学位论文 当系统的输出是混沌状态时，即使从任意靠近的初值出发的状态，经过有限 时间后，也将以指数规律相互分离。 4 奇异特性 混沌吸引子在有限的空间内，具有无穷嵌套的自相似结构，在状态空间表现为 奇异吸引子。 5 随机性 混沌是由确定系统产生的不确定性行为，混沌信号有连续的宽带频谱，这和 噪声是类似的( 但二者之间又有本质的区别) 明。正是因为二者之间的类似性，利 用混沌来实现通信系统的加密才具有现实可能。 6 正l y a p u n o v 指数的统计特性 l y a p u n o v 指数是反映相空间轨线在不同方向上收缩和扩散的平均量， l y a p u n o v 指数的正负是判断系统是否处于混沌、超混沌状态的重要方法之 一阿7 1 。 1 2 3 奇异吸引子 有限维动力学系统中的奇异吸引子主要可分为三大类：双曲吸引予、l o r e n z 型 吸引子和类随机吸引子。 1 双曲吸引子 双曲吸引子是一个有限的集合，双曲吸引子在结构上是稳定的。对于双曲吸 引子来说，所有的轨道都呈同样的鞍型形状，即所有轨道的稳定流均具有同样的 维数，这些吸引子形如：a n o s o v 系统、s m a l e w d h a m s 螺线管及p l y k i n 吸引子 等”。然而，双曲吸引子的主要缺点是它们在图形和微分方程方面仍未能够在 形式上得到实现，更不用说其应用了。 2 l o r e n z 型吸引子 l o r e n z 型吸引子最初是在l o r e n z 方程中被发现的，该方程来源于g a l e r k i n 的近似部分微分方程，用来描述流体的对流特性，也可以说是源于最简单的激光 模型的动力学特性【“l 。 l o r e n z 型吸引子的特性之一便是和双曲吸引子的相似性，也就是说它们的结 6 江苏大学硕士学位论文 构稳定性周期轨道和它们的同过程及异过程等轨道的分布密度是处处相等的，在 微小扰动的作用下，不会出现稳定的轨道。然而，l o r e n z 型吸引子并不是结构性 稳定的，其原因是由于在此吸引子中嵌入了一个鞍型平衡点，该平衡点具有一个 一维不稳定的流。 3 类随机吸引子( 详细介绍在此略) 。 目前，用于研究l o r e n z 型吸引子的几何模型主要有两种： 1 威廉斯模型，用于描述一分支二维复制轨道中的半流体的反向束缚现象。 2 a f r a i m o v i c h ，b y k o v 和s h i l n i k o v 模型，其代表之一是二维非连续映射 t ，该映射在非连续线段之外是平滑的。映射t 是在同一截面d 中的p o i n c a r c 映 射，即通向鞍点的稳定流的横截线。 1 3 本文的研究方向和内容安排 本文主要研究内容为模糊系统理论在非线性系统中的两类典型应用。 论文第一章较全面地回顾了混沌系统理论和模糊控制理论的产生、发展历史 和研究现状，介绍了本文的主要工作。 第二章详细介绍了混沌时间序列的研究现状、预测和判别方法。 第三章概括了模糊系统的基本理论，包括模糊系统的基本结构、工作原理等 内容。 第四章研究了模糊系统在一类混沌时间序列预测中的应用，给出了仿真研究 的结果。 第五章也就是本论文的重点部分，针对一类含未知非线性函数和外界干扰 的单输入单输出系统，在前人理论的基础上，根据滑模控制原理，设计了一 种直接鲁棒自适应模糊滑模变结构控制器，并利用模糊规则消除了高频振荡。 此控制器自适应学习参数只有一个，容易实现。最后通过对w i l l i s 环脑动脉 瘤混沌系统仿真，验证了该方案的有效性。 本文的最后为总结和展望。 7 江苏大学硕士学位论文 第二章混沌时间序列判别及预测方法 2 1混沌时间序列的现状 p a c k a r d t q 等在1 9 8 0 提出的重构相空间理论开创了从时间序列研究混沌。我 们知道：对于决定系统长期演化的任一变量的时间演化，均包含了系统所有变量 长期演化的信息。因此，我们可通过决定系统长期演化的任一单变量时间序列来 研究系统的混沌行为 1 3 1 。而吸引子的不变量关联维( 系统复杂度的估计) 、 k o l m o g o r o v 熵( 动力系统的混沌水平) 、l y a p u n o v 指数等在表征系统的混沌性质 方面起着重要的作用。 其中，l y a p u n o v 指数是一种量化初始闭轨道的指数发散和估计系统的混沌 量，它从整体熵反应了动力系统的混沌水平0 4 1 。因此，基于混沌时间序列的 l y a p u n o v 指数计算和预测显得尤其重要。尽管目前计算l y a p u n o v 指数的方法有 很多，但它们大体上分属于两大类：w o l f 方法和j o c o b i a n 方法。其中，w o l f 方 法适用于时自j 序列无噪声及切空间中小向量的演变高度非线性的情况，也是本论 文后续部分所采用的方法；j o c o b i a n 方法适用于时间序列噪声大、切空间中小向 量的演变接近线性的情况。 混沌时间序列的预测方法包括：全域法、局域法、加权零阶局域法、加权一 阶局域法、基于l y a p u n o v 指数的预测方法和基于神经网络的预测方法等。混沌 时间序列的预测具有非常广阔的应用i ；i 景，如电力系统短期负荷预测、股市行情 预测、电机转子剩余寿命的预测、天气预报等。基于l y a p u n o v 指数的时间序列 预测是根据数据序列本身所计算出来的客观规律i y a p u n o v 指数作预测，而 不是像传统方法那样通过选取主观模型来进行预测。 2 2 混沌时间序列判别方法 在实际的测量过程中，由于测量方法和计算工具等限制，使得到的时间序列 8 江苏大学硕士学位论文 不可避免地带有一定噪声，这些噪声的存在给时间序列分析带来很大困难，甚至 导致错误的结论。因此如何正确区分噪声和混沌信号是一件很重要的事情，通常 从两个基本特征上取判断：一是系统的相空间的中的吸引子是否具有自相似结构 的分数维几何体；二是系统对初始状态条件是否十分敏感。如果吸引子具备这两 个特性，则认为整个系统的行为是混沌的。具体判断时间序列数据中是否存在混 沌主要用下列两种方法： 1 功率谱分析 系统响应_ ) ， 的功率谱密度函数s ，( 叻为) ，o ) 的自相关函数马( f ) 的傅立叶变 换，即 s a w ) = e 一肛d r s a w ) r y ( r ) e = 熙亭防( ，叻1 2 ( 2 1 ) 上=一肛2 熙亭防( ，叻f ( 2 1 ) 如果计算出的功率谱是类似于宽带噪声的连续谱，则系统具有混沌特征。 2 l y a p u n o v 指数 混沌动力学系统的性质，通常采用l y a p u n o v 指数和熵来刻画。 1 ) 对于连续系统来说： 设自治系统 - f ( x ) ，x e r ” ( 2 2 ) 它经过而的流在相空间形成一个轨道相，若初始条件而有一偏差而，则由 x o + a r o 出发形成另一轨道，它们形成了一个切空间向量瓴，f ) ，i i 瓴( x o ，) l i 是 复数欧式模平方，w ( x o ，f ) = a ( ，f ) ，应满足 - m ( x , t ) w ( 2 3 ) m = ( 2 4 ) i i jn 维流的l y a p u n o v 指数为 地咖嫩i i i 蹦川姚小。 ( 2 5 ) 9 江苏大学硕士学位论文 l y a p u a 枷i 指数定量地描述了相空间中相邻轨道呈指数发散的性质。若i y a p l m 钾 指数为正，则表示相邻轨道发散，说明系统具有混沌特性m m 。 2 ) 对离散系统来说 设离散动力学系统僻，f ) ，初值为而，生成轨道为 ，行z ，考虑沿而的某 个切线方向熵的无穷小扰动，d 为差分方程的时域算子，则y 随时间的演化服 从于 - 。d ，瓴) y ( 2 6 ) 显然，k i 表示在而处扰动的方向，而k i 表示扰动是放大还是缩小。由上 式可得 咒一观( x o ) y o( 2 7 ) 式中：观( x o ) 一巧( 。) d r 瓴：) d ，) 。 这样就可定义在初值而下，沿着i 粥l 的方向的l y a p 吼o v 指数为 l e ( x o ，u o ) = l i m i 。l , , ( 1 y o l i s 0 1 ) = 舰吉l n ( z 砺( ) ) ( 2 8 ) 式中= 哉伊，若l e o ，则系统中存在混沌行为c l e 即b 印u n o v 指数，。 2 3 混沌时间序列预测方法 传统的预测方法主要有动力学方法和数理统计方法，这些方法的共同特点是 先建立数据序列的主观模型，然后根据主观模型进行计算和预测。随着混沌科学 的发展，使得可以不必事先建立主观模型，而直接根据数据序列本身所计算出来 的客观规律进行预测，这样可以避免预测的人为主观性，提高预测的精度和可信 度。本文主要介绍混沌时问序列预测的常用方法：全域法、局域法、最大l y a p u n o v 指数法等。 2 3 1 全域法 当我们对混沌时间序列进行预测时，应该注意到混沌是确定的，即混沌服从 1 0 江苏大学硕士学位论文 一定的规则，实际上它具有有限的预测能力。虽然它们对初始条件极为敏感，我 们也不可能得到完全准确的测量，然而在它们的可预测能力丢失之前，对一个较 短的时间长度，它们的可预测性还是可以获得的，并可能比基于一般统计方法的 预测能力要好1 1 7 1 。 设时间序列为x ( t ) ，t = 1 2 ，嵌入维数为m ，时间延迟为f ，则重构相空间为 l r ( f ) - ( 柏，】咆+ f ) ，x ( t + ( 雕一1 ) f ) ) 尺“，( f - 1 ，2 ，) ( 2 9 ) 根据t a k c n s 定理，对合适的嵌入维数m 及时间延迟f ，重构相空间在嵌入空间中 的轨线，在微分同胚意义下与原系统是“动力学等价”的。因而存在一个光滑映射 ，：r 4 一r “，给出相空间轨迹的表达式： y o + 1 ) 一f o ( f ) ) ，t 一1 ，2 ，( 2 1 0 ) 上述映射可表示为时间序列： ( x o + f ) ，】孵+ 2 力，】睁+ m f ) ) = ，( 】：o ) ，x ( t + f ) ，x ( t - i - ( ，”一1 ) f ) )( 2 1 1 ) 所谓全域法是将轨迹中的全部点作为拟合对象，找出其规律，即得，( ) ，由 此预测轨迹的走向。这种方法在理论上是可行的，但由于实际数据总是有限的， 以及相空间轨迹可能很复杂，从而不可能求出真正的映射，。通常是根据给定的 数据构造映射，：置“一f ，使得，逼近理论的，： 【y 0 4 - 1 ) 一于彤o ) ) 】2 ( 2 1 2 ) 达到最小值的于：r “一r “，当然具体计算时要规定于的具体形式。 全域法预测的缺点是：一般计算比较复杂，特别是当嵌入维数很高或者于很 复杂时。因为混沌只能在非线性系统中产生，于常取多项式、有理式等形式，这 对较低的嵌入维是可行的。但如果遇到较高嵌入维的系统，用高阶多项式很不实 际，故常用典型的线性回归分析方法。 由以上描述可知，全域法一般适用于，不是很复杂，同时噪声干扰比较小的 时候，对于其他情况，我们可以考虑局域预测法。 1 1 江苏大学硕士学位论文 2 3 2 局域法 局域法是将相空间轨迹的最后一点作为中心点，把离中心点最近的若干轨迹 点作为相关点，然后对这些相关点做出拟合，再估计轨迹下一点的走向，最后从 预测出的轨迹点的坐标中分离出所需要的预测值。相对全域法来说，局域法在大 多数情况适用。 下面用一阶近似拟合的局域法为例来说明局域法的预测方法。所谓一阶近似 是指以y ( f + 1 ) = 4 + 6 y ( o 来拟合第拧点周围的小邻域。设第”点的邻域包括点 ，乞，乞，则上式可表示为： y g + 1 ) l r 也+ 1 ) y 心+ 1 ) # a + b y g ) l r ( f 2 ) ； l ，心) ( 2 z 3 ) 可用最小二乘法求出a ，b ，再通过h 玎+ 1 ) = 口+ 6 y ( 力得到相空间中轨迹的趋势， 从而可以从y ( n + 1 1 中分离出时间序列的预测值n 8 】。 一阶近似的缺点在于它是线性的，优点是要拟合的参数随嵌入维数的增加而 缓慢地增加。有时增加局域法的阶数可以提高预测精度，但太高的阶数并不一定 能保证更高的精度，这时可采用分段线性的方法提高预测精度“”。 2 3 3 基于最大l y a p u n o v 指数的预测方法 用混沌时间序列的历史数据进行相空间重构，建立起时间序列的非线性混沌 模型。由于l y a p u n o v 指数量化了初始轨道的指数发散程度，所以它是混沌系统 很好的预测参数，在混沌时间序列预测中有着广泛的应用前景。有关l y a p u n o v 指 数的计算方法在本文后面章节中将有详细的叙述。 设匕为预报的中心点，相空间中匕的最近邻点为k ，其距离为屯( o ) ，最大 l y a p u n o v 指数为 ，即： 屯( o ) = m i n i i y 一圳= 慨一圳 i k 一。i i = f , 一k + 。 i e 4 ( 2 1 4 ) 江苏大学硕士学位论文 其中点匕。只有最后一个分量地。) 未知，故地。) 是可预报的，式( 2 1 4 ) 就 是基于最大l y a p u v 指数的预测模式。 2 4 本章小结 本章介绍了混沌的一般特征，以及几类混沌奇异吸引子，给出了混沌时间序 列的一般判别方法以及预测方法，并给出了动力学模型和推导过程；分析了几种 混沌时间预测方法的动力学模型优缺点，其中最大l y a p u n o 、，指数的预报模式是 现有混沌时间预测方法中比较好的。 江苏大学硕士学位论文 第三章模糊系统的基本理论 3 1模糊系统的基本结构 模糊系统是一种基于知识或基于规则的系统。模糊系统的核心就是所谓的琢 一1 h e n 规则所组成的知识库，模糊系统的其他部分都是以一种合理而有效的方 式来执行这些规则的。假设模糊规则库是由以下模糊规则组成： 硝：如果墨为彳且且为z ，则y 为 其中4 f 和b 7 分别是q c r 和y c r 上的模糊集合，x = ( 五，恐，矗) 7 e u 和j ，v 分别是模糊系统的输入和输出变量。一个具有普遍意义的模糊系统如图3 1 所示。 3 2 模糊控制工作原理 图3 1 模糊系统结构图 模糊控制器可以分为模糊输入接口、模糊规则推理结构和模糊输出接口，他 们构成了模糊控制器的控制机理和算法机构。模糊输入接口的主要功能是实现精 确量的模糊化，就是将被控系统输出变量的偏差e 和偏差变化率a 的精确量转化 为模糊量，以便进行模糊推理和决策；模糊推理机构的主要功能是模仿人的思维 特性，根据总结人工控制策略取得的语言规则进行模糊推理，并决策出模糊输出 1 4 江苏大学硕士学位论文 控制量；模糊输出接口的主要功能是对经模糊推理决策后所得的模糊控制量进行 模糊判决，把输出模糊量转化为精确量后，施加到被控对象上。 3 2 1 模糊控制规则 模糊控制规则常用两种表达方式： 1 一组模糊i f - t h e n 语句； 2 一个模糊规则表。 模糊规则可用一组模糊i f - 1 3 - i f _ n 语句表达，如硝：u 膏，模糊语句的形式为： 1 = 1 磷：i f x ji s 坟a n dx 2i s 哎a n d a n dk i s f ：t h e ny i sg l 其中，工- “，x 2 ，广u 1 x 玑和y e v 是模糊语言变量，f 和g 分别 是珥c r 和yc r 中的模糊集，m 是模糊规则数。 模糊规则中语言变量反映的是人的思维方式，例如：神经网络的输出层的误 差为“正”“零”“负”，如分别用“p ”“z ”“n ”来表示，网络的误差取为 模糊语言值仉乙n 。语言变量的模糊语言值划分越细，则对对象的描述就越精 确，但随着模糊语言值的增加，模糊控制规则数肘也会急剧增多，模糊推理运算 会变得更复杂，而且耗时比较严重，影响控制的实时性。 模糊语言值取为毋z n 三个元值一般难以满足控制精度的要求，取为 飓， p s ，z ，n s ，n b 或者 p b ，p m ，p s ，乙n s ，n m ，n b 在控制中较为常用。 隶属函数是模糊语言值的描述，它是模糊语言值的语义规则，是模糊控制规 则的核心。隶属函数可采用三角函数或高斯( g a u s s i a n ) i 琢i 数来表达，如下图，如果 隶属函数采用g a u s s i a n 型，则变量再关于模糊集f 的隶属函数为 圪“) = e x p ( 电。) ( 3 1 ) 其中墨和正是模糊神经网络学习模糊规则的重要参数，分别为中心和宽度。 江苏大学硕士学位论文 6 - 2 0 2 6 - 6- 420246 图3 2 模糊语言值的隶属函数f f t c m b e r s h i p so f f u z z yl a n g u a g t ，v a r i a b l e ) 3 2 2 模糊规则的建立途径 模糊规则的建立一般有两种方法：经验归纳法和推理和合成法。根据经验丰 富的人或者专家的操作经验，经过归纳、加工和提炼而得到模糊控制规则属于经 验归纳法，实质上专家的经验是在时间中不断学习和积累的，这就是知识的形成 过程。要获得成功的模糊控制规则关键在于：1 经验丰富的人或专家；2 将他 们的经验和知识转化为模糊规则。在实际中遇到的困难往往是：1 经验或知识的 不完善；2 完善的经验或知识在转化中丢失部分信息，有时甚至是关键信息，有 些经验根本无法转化。根据已有的输入输出数据对，通过模糊推理合成来获得 模糊控制规则是推理合成法。要获得成功的模糊控制规则，关键在于：1 得到反 映控制规律的完整的数据对；2 从数据对中抽取控制规则的适当方法。实质上这 是从一系列的样本中抽取模糊规则的过程，不过这是人工加工和学习的过程。 3 2 3 模糊规则的形成和推理 定义一【扩展定理】：设u 和y 为两个论域，是从u 到y 的一个映射，对u 上的模糊集合a ，扩展原理由下式定义一个模糊集合口： 以跚p 。- j ( v ) 【以( m ) 】 ( 3 2 ) 即对所有的h 【，鳓( d 是以o ) 的上界，因为f ( u ) = v , v e v ，且设f - i ( d 非空。 当，。1 ( d 对于某些 ，y 为空集时，设以( 叻- 0 。 定义二【模糊蕴涵】1 2 0 l ：设a 和口分别为定义在u 和y 上的模糊集合，则由 a 曰所表示的模糊蕴涵是定义在u x v 上的一个特殊的模糊关系，其隶属函数 定义如下： 江苏大学硕士学位论文 以。以d - z a o ) 心( 崎( 3 印 或者 p , - - s ，叻一心 ) a 心( d ( 3 4 ) 上面两种模糊蕴涵分别称为乘积模糊蕴涵和最小值模糊蕴涵。 定义三【s u p 一合成】：设r 和s 分别是u x v 和v x w 上的模糊关系，则由 欠o s 表示的r 和s 的s u p 一合成是一个模糊关系，其定义如下： 心 ，叻- s u p 。【服 ，d * z s 以，) 】( 3 5 ) 其中口e u ，w e w 。最常用的s u p 一合成运算是v 一 和v - - x ，其中v 表示s u p ， 和 x 表示最小和代数积，用来代替。 如前节，模糊规则的形成是把有经验的操作者或专家的控制知识和经验定成 具有如下形式的若干模糊“如果一则”控制规则： r ：如果五为可，且，且为可，则y 为g 。p = 1 ，m )( 3 9 式中，最和g 分别为珥c r 和y c r 上的模糊集合，且 善- “，毛，u l x x u 和y y 均为语言变量。在此我们只考虑了多输入一 单输出系统，原因是一个多输出系统总可以分解为多个单输出系统。 一个形如式( 3 6 ) 的模糊“如果一则”规则可以表示成一个积空间u x v 上的模 糊蕴涵可x x f 一g 。设u 上模糊集合为模糊推理机的输入，则采用s u p 一 合成运算，每一条式( 3 6 ) 的模糊“如果一则”规则将对应于，上的模糊集合，即 o ，) - s u p 疽，【。刮卅似y ) 。匕】 ( 3 7 ) 为了表示方便，设耳彰一a ，g - b ，因此，式( 3 6 ) 的模糊规则可以表示 成a 斗口。常见的模糊蕴涵规则有： 模糊蕴涵最小规n - 以。似y ) - m i n 0 , 。( x ) ，胁o ) )( 3 8 ) 模糊蕴涵乘积规则： 以。o ，y ) 一以胁( y )( 3 9 ) 在模糊推理机中常用的推理形式一般有如下三种： 1 如果a 。那么b ( i fat h e nb ) ； 1 7 江苏大学硕士学位论文 2 如果彳。那么口，否则c ( i fat h e nb ，e l s ec ) ； 3 如果4 ，且口，那么( i faa n db ，t h e nc ) 针对三种不同的推理形式，我们具体地导出其推理结果。 1 i fat h e nb 型推理 也可以这样表达： 大前提：如果工是4 ，那么j ，是曰。 小前提：现在工是彳， 结论：那么y 是占。 推理结果为： b = a o a 寸印( 3 1 0 ) 即结论曰可用4 与由a 到口的推理关系进行合成而得到。 m a m d a n i 把( 彳寸曰) 定义为： ( 彳 口) = a b( 3 1 1 ) 那么其隶属度函数为： 以口( x y ) = 儿 ) 胁( y ) ( 3 1 2 ) 式( 3 1 0 ) 变为： 心( y ) 2 ￥ 以( 功 阮 ) 鳓) 】) 2 y 儿( 工) 以( 石) 鳓 ) = a z s ( y ) ( 3 1 3 ) 其中盯= v 以( x ) 以( x ) ) 指模糊集合彳和a 交集的高度，成为4 对彳的最大适 配度。这种推理关系可用下图表示： 图3 3m a m d a n i 推理过程 1 8 江苏大学硕士学位论文 2 i fat h e nb e l s ec 型推理 它可以表达为： 大前提：如果工是a ，那么y 是曰，否则y 为c ， 小前提：现在x 是a ， 结论：那么y 是口t 。 其推理表达式为： ( 4 - - 9 , b ) v ( a 斗c )( 3 1 4 ) 推理结果为 b = a 。【( 彳寸功v ( a _ c ) 】 ( 3 1 5 ) 根据m a m d a n i 推理过程，有： - 帆v ) a 心( 3 1 6 ) 其中 。： 以， 以 ，- 。：讹t 【1 一段】 ( 3 1 7 ) 3 i faa n d 曰t h e nc 型推理 它可以表达为： 如果a 且曰那么c ， 现在：a 且口， 结论：c 。 其推理表达式为 ( a 曰) 斗c( 3 1 s ) 推理结果为 c k ( a f 曰3 0 【( a 曰) _ c 】( 3 1 9 ) 其隶属度函数为： 雎一! 以t 【以( 力 心( z ) 】 v 以t ( ) ，) 【如) 心0 ) 】 i ( a s ) 心g ) ( 3 2 0 ) m a m d a n i 推理中的几何意义是分别像单输入情况一样求出a 对a ，曰对曰的 适配度，并且取这两个之中较小的一个作为总的模糊推理前件的隶属度，以此为 江苏大学硕士学位论文 基础去切割推理后件的隶属度，便得到结论c 。在这种推理方法中，两输入的情 况很容易就推广到多输入的情况，只要分别先求出各个输入对推理前件中相应条 件的适配度，再取其中一个最小的作为总的模糊推理前件的隶属度，去切割推理 后件的隶属度，便可得到推理的结论。这种方法避免了以往模糊推理方法的矩阵 合成运算，对于多输入条件的推理省去了大量的矩阵运算。 3 2 4 模糊决策 模糊决策是将模糊推理的结果从模糊集曰到精确值y 的映射，模糊决策根据 模糊推理结果得到能反映控制量的真实分布。常用于模糊决策的方法有如下三 种： 1 最大隶属度法 设模糊控制器的推理输出是a ，则其隶属度最大的元素h 就是精确化所得到 的对应精确值，这种方法就称为最大隶属度法。 ， ) u a u ) ，石( 3 2 1 ) 其中x 是控制量的论域，如果出现多个隶属度元素，则取它们的平均值。由于涉 及的信息量较少，故在计算机应用中有良好的实用性，但由于丢失了许多有效的 信息，导致精度较低。 2 中位数法 中位数法就是把隶属度函数与横坐标围成的面积分成两部分，两部分面积相 等的分界点对应的横坐标值为反模糊化后的精确值。 设模糊控制器的推理输出是a ，如果存在群，使得 意段o ) t 芝以 ) ( 3 2 2 ) l r 则群就是模糊判决所得到的对应精确值。 中位数法考虑了所有信息的作用，但计算过程比较麻烦，在实际应用中并不 普遍。 3 重心法 重心法把模糊量的重心元素作为判决之后得到的精确值u + ，求取公式为 江苏大学硕士学位论文 。y 4 u , ) u , 炉丽 其中i 是u 的论域中对甜离散化分成的点。 ( 3 2 3 ) 从本质上讲，重心法就是加权平均法，只是在上式中，加权系数为1 ，在多 规则推理中，为了强化可信度高的推理规则，可取加权重心为 k , u ( u ，) x q “2 专雨万 ( 3 2 4 ) 采用重心法来确定模糊量中的能反映整个模糊信息的精确值，是目前模糊控 制中应用最多的模糊判决方法。 江苏大学硕士学位论文 第四章模糊系统与混沌时间序列预测 4 1 引言 模糊系统理论自诞生以来应用最有效，最广泛的领域就是模糊控制，并取得 了令人信服的成果。 模糊系统在对无序性、不确定性很强的随机噪声的时间序列分析中表现出较