2013年高考新课标文科数学1卷(后附完全解析).pdf

第 1 页 共 21 页 2013 新课标全国新课标全国 卷卷 文文 适用于河南 河北 山西 第 卷 一 选择题 1 已知集合 a 1 2 3 4 b x x n2 n a 则 a b a 1 4 b 2 3 c 9 16 d 1 2 2 1 2i 1 i 2 a 1 1 2i b 1 1 2i c 1 1 2i d 1 1 2i 3 从 1 2 3 4 中任取 2 个不同的数 则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 a 1 2 b 1 3 c 1 4 d 1 6 4 已知双曲线 c x 2 a2 y2 b2 1 a 0 b 0 的离心率为 5 2 则 c 的渐近线方程为 a y 1 4x b y 1 3x c y 1 2x d y x 5 已知命题 p x r 2x0 若 f x ax 则 a 的取值范围是 a 0 b 0 c 2 1 d 2 0 第 卷 二 填空题 13 已知两个单位向量 a b 的夹角为 60 c ta 1 t b 若 b c 0 则 t 14 设 x y 满足约束条件 1 x 3 1 x y 0 则 z 2x y 的最大值为 15 已知 h 是球 o 的直径 ab 上一点 ah hb 1 2 ab 平面 h 为垂足 截球 o 所得截面 的面积为 则球 o 的表面积为 16 设当 x 时 函数 f x sin x 2cos x 取得最大值 则 cos 三 解答题 17 已知等差数列 an 的前 n 项和 sn满足 s3 0 s5 5 1 求 an 的通项公式 2 求数列 1 a2n 1a2n 1的前 n 项和 18 为了比较两种治疗失眠症的药 分别称为 a 药 b 药 的疗效 随机地选取 20 位患者服用 a 药 20 位患者服用 b 药 这 40 位患者在服用一段时间后 记录他们日平均增加的睡眠时间 单位 h 试验的观测结果如下 服用 a 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间 0 61 22 71 52 81 82 22 33 23 52 52 61 22 71 52 93 03 1 2 32 4 服用 b 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间 3 21 71 90 80 92 41 22 61 31 41 60 51 80 62 11 12 51 2 2 70 5 第 4 页 共 21 页 1 分别计算两组数据的平均数 从计算结果看 哪种药的疗效更好 2 根据两组数据完成下面茎叶图 从茎叶图看 哪种药的疗效更好 19 如图 三棱柱 abc a1b1c1中 ca cb ab aa1 baa1 60 1 证明 ab a1c 2 若 ab cb 2 a1c 6 求三棱柱 abc a1b1c1的体积 20 已知函数 f x ex ax b x2 4x 曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为 y 4x 4 1 求 a b 的值 2 讨论 f x 的单调性 并求 f x 的极大值 21 已知圆 m x 1 2 y2 1 圆 n x 1 2 y2 9 动圆 p 与圆 m 外切并且与圆 n 内切 圆心 p 的轨迹为曲线 c 1 求 c 的方程 2 l 是与圆 p 圆 m 都相切的一条直线 l 与曲线 c 交于 a b 两点 当圆 p 的半径最长时 求 ab 22 选修 4 1 几何证明选讲 如图 直线 ab 为圆 o 的切线 切点为 b 点 c 在圆上 abc 的 角平分线 be 交圆于点 e db 垂直 be 交圆于点 d 1 证明 db dc 2 设圆的半径为 1 bc 3 延长 ce 交 ab 于点 f 求 bcf 外接圆的半径 第 5 页 共 21 页 23 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 c1的参数方程为 x 4 5cos t y 5 5sin t t 为参数 以坐标 原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 c2的极坐标方程为 2sin 1 把 c1的参数方程化为极坐标方程 2 求 c1与 c2交点的极坐标 0 0 2 24 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f x 2x 1 2x a g x x 3 1 当 a 2 时 求不等式 f x 1 且当 x a 2 1 2 时 f x g x 求 a 的取值范围 第 6 页 共 21 页 2013 新课标全国新课标全国 卷卷 文文 第 卷 一 选择题 1 已知集合 a 1 2 3 4 b x x n2 n a 则 a b a 1 4 b 2 3 c 9 16 d 1 2 答案a 解析 x n2 n a x 1 4 9 16 b 1 4 9 16 a b 1 4 故选 a 2 1 2i 1 i 2 a 1 1 2i b 1 1 2i c 1 1 2i d 1 1 2i 答案b 解析 1 2i 1 i 2 1 2i 2i i 2 2 1 1 2i 故选 b 3 从 1 2 3 4 中任取 2 个不同的数 则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 a 1 2 b 1 3 c 1 4 d 1 6 答案b 解析基本事件的总数为 6 构成 取出的 2 个数之差的绝对值为 2 这个事件的基本事件的个数为 2 所以 所求概率 p 2 6 1 3 故选 b 4 已知双曲线 c x 2 a2 y2 b2 1 a 0 b 0 的离心率为 5 2 则 c 的渐近线方程为 a y 1 4x b y 1 3x c y 1 2x d y x 第 7 页 共 21 页 答案c 解析由 e c a 5 2 知 a 2k c 5k k r 由 b2 c2 a2 k2知 b k 所以b a 1 2 即渐近线方程为 y 1 2x 故选 c 5 已知命题 p x r 2x 3x 命题 q x r x3 1 x2 则下列命题中为真命题的是 a p qb p q c p qd p q 答案b 解析由指数函数的性质知 命题 p 是错误的 而命题 q 是正确的 故选 b 6 设首项为 1 公比为2 3的等比数列 a n 的前 n 项和为 sn 则 a sn 2an 1b sn 3an 2 c sn 4 3and sn 3 2an 答案d 解析sn a1 1 q n 1 q a1 q an 1 q 1 2 3a n 1 3 3 2an 故选 d 7 执行右面的程序框图 如果输入的 t 1 3 则输出的 s 属于 第 8 页 共 21 页 a 3 4 b 5 2 c 4 3 d 2 5 答案a 解析由程序框图知 s 3t t 1 4t t2 t 1 当 1 t 1 时 3 s0 可排除 a b 第 9 页 共 21 页 f x 在 0 2 上是增函数 且当 x 2时 f x 1 排除 d 第 10 页 共 21 页 10 已知锐角 abc 的内角 a b c 的对边分别为 a b c 23cos2a cos 2a 0 a 7 c 6 则 b a 10b 9c 8d 5 答案d 解析由 23cos2a cos 2a 23cos2a 2cos2a 1 25cos2a 1 0 cos a 1 5 由 a2 b2 c2 2bccos a 得 72 b2 62 12b 1 5 解之得 b 5 b 13 5 舍去 故选 d 11 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 a 16 8 b 8 8 c 16 16 d 8 16 答案a 解析 将三视图还原成直观图为 上面是一个正四棱柱 下面是半个圆柱体 所以 v 2 2 4 1 2 2 2 4 16 8 故选 a 第 11 页 共 21 页 12 已知函数 f x x2 2x x 0 ln x 1 x 0 若 f x ax 则 a 的取值范围是 a 0 b 0 c 2 1 d 2 0 答案d 解析 函数 y f x 的图象如图 当 a 0 时 f x ax 显然成立 当 a 0 时 只需在 x 0 时 ln x 1 ax 成立 比较对数函数与一次函数 y ax 的增长速度 显然不存在 a 0 使 ln x 1 ax 在 x 0 上恒成立 当 a 0 时 只需在 x mn p 的轨迹是以 m n 为焦点的椭圆 左顶点除外 且 2a 4 2c 2 a 2 c 1 b2 a2 c2 3 p 的轨迹曲线 c 的方程为x 2 4 y 2 3 1 x 2 2 由 1 知 2r pm pn 2 mn 2 4 圆 p 的最大半径为 r 2 此时 p 的坐标为 2 0 圆 p 的方程为 x 2 2 y2 4 当 l 的方程为 x 0 时 ab 2 3 设 l 的方程为 y kx b k r k b 1 k2 1 2k b 1 k2 2 解之得 k 2 4 b 2 或 k 2 4 b 2 l 的方程为 y 2 4 x 2 y 2 4 x 2 联立方程 x2 4 y 2 3 1 y 2 4 x 2 化简 7x2 8x 8 0 第 18 页 共 21 页 x1 x2 8 7 x 1x2 8 7 ab 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 18 7 22 选修 4 1 几何证明选讲 如图 直线 ab 为圆 o 的切线 切点为 b 点 c 在圆上 abc 的 角平分线 be 交圆于点 e db 垂直 be 交圆于点 d 1 证明 db dc 2 设圆的半径为 1 bc 3 延长 ce 交 ab 于点 f 求 bcf 外接圆的半径 1 证明连结 de 则 dcb deb db be dbc cbe 90 deb edb 90 dbc cbe deb edb 又 cbe ebf edb dbc deb dcb db dc 2 解由 1 知 cbe ebf bce ce be bde cde de 是 bc 的垂直平分线 设交点为 h 则 bh 3 2 oh 1 3 4 1 2 dh 3 2 第 19 页 共 21 页 tan bde 3 2 3 2 3 3 bde 30 fbe bde 30 cbf bcf 90 bfc 90 bc 是 bcf 的外接圆直径 bcf 的外接圆半径为 3 2 23 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 c1的参数方程为 x 4 5cos t y 5 5sin t t 为参数 以坐标 原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 c2的极坐标方程为 2sin 1 把 c1的参数方程化为极坐标方程 2 求 c1与 c2交点的极坐标 0 0 2 解 1 c1的参数方程为 x 4 5cos t y 5 5sin t 5cos t x 4 5sin t y 5 x 4 2 y 5 2 25 cos2t sin2t 25 即 c1的直角坐标方程为 x 4 2 y 5 2 25 把 x cos y sin 代入 x 4 2 y 5 2 25 化简得 2 8 cos 10 sin 16 0 2 c2的直角坐标方程为 x2 y2 2y 解方程组 x 4 2 y 5 2 25 x2 y2 2y 得 x 1 y 1 或 x 0 y 2 c1与 c2交点的直角坐标为 1 1 0 2 c1与 c2交点的极坐标为 2 4 2 2 24 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f x 2x 1 2x a g x x 3 1 当 a 2 时 求不等式 f x 1 且当 x a 2 1 2 时 f x g x 求 a 的取值范围 第 20 页 共 21 页 解 1 当 a 2 时 f x 2x 1 2x 2 4x 1 x 1 3 1 x 1 2 4x 1 x 1 2 画出 f x 的图象 在同一坐标系中 画出 g x x 3 的图象 f x g x 的解集为 x 0 x 1 则 a 2 1 2 f x 2x 1 2x a 4x 1 a x a 2 a 1 a 2 x 1 2 4x a 1 x 1 2 当 x a 2 1 2 时 f x a 1 即 a 1 x 3 在 x a 2 1 2 上恒成