（全国通用）高考数学 6.6 直接证明与间接证明练习.doc

课时提升作业(三十八)直接证明与间接证明(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015周口模拟)用反证法证明命题:若a+b+c为偶数,则“自然数a,b,c恰有一个偶数”时正确反设为()a.自然数a,b,c都是奇数b.自然数a,b,c都是偶数c.自然数a,b,c中至少有两个偶数d.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】选d.由于“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a,b,c都是奇数或至少有两个偶数”,故选d.2.(2015北京模拟)若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2ab+bc+ca.证明过程如下:因为a,b,cr,所以a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个“=”不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2ab+bc+ca.此证法是()a.分析法b.综合法c.分析法与综合法并用d.反证法【解析】选b.由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.3.(2015东城模拟)在abc中,sinasinccosacosc,则abc一定是()a.锐角三角形b.直角三角形c.钝角三角形d.不确定【解析】选c.由sinasinc0,即cos(a+c)0,所以a+c是锐角,从而b,故abc必是钝角三角形.4.设a,br,已知p:a=b;q:,则p是q成立的()a.必要不充分条件b.充分不必要条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选b,p:a=b是q:成立的充分不必要条件.5.(2015宁波模拟)分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设abc,且a+b+c=0,求证0b.a-c0c.(a-b)(a-c)0d.(a-b)(a-c)0【解析】选c.ab2-ac3a2(a+c)2-ac3a2a2+2ac+c2-ac-3a20-2a2+ac+c20(a-c)(2a+c)0(a-c)(a-b)0.6.若=loga,|logba|=-logba,则a,b满足的条件是()a.a1,b1b.0a1c.a1,0b1d.0a1,0b1【解题提示】先利用|m|=m,则m0,|m|=-m,则m0,将条件进行化简,然后利用对数函数的单调性即可求出a和b的范围.【解析】选b.因为=loga,所以loga0=loga1,根据对数函数的单调性可知0a1.7.若abc,则使+恒成立的最大的正整数k为()a.2b.3c.4d.5【解析】选c.因为abc,所以a-b0,b-c0,a-c0,且a-c=a-b+b-c.又+=+=2+2+2=4(当且仅当2b=a+c时取等号),所以k+,k4,故k的最大正整数为4,故选c.二、填空题(每小题5分,共15分)8.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab0,则xa且xb”时,应假设为.【解析】“xa且xb”的否定是“x=a或x=b”,因此应假设为x=a或x=b.答案:x=a或x=b【误区警示】此题容易出现:”x=a且x=b”的错误答案.9.若p=+,q=+(a0),则p,q的大小关系是.【解析】因为p2=2a+7+2=2a+7+2,q2=2a+7+2=2a+7+2,所以p20,q0,所以pq.答案:p1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)【解析】若a=,b=,则a+b1,但a1,b2,故推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故推不出;对于,即a+b2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a1且b1,则a+b2与a+b2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2015青岛模拟)设x,y,z0,则三个数+,+,+()a.都大于2b.至少有一个大于2c.至少有一个不小于2d.至少有一个不大于2【解析】选c.因为x0,y0,z0,所以+=+6,当且仅当x=y=z时等号成立,则三个数中至少有一个不小于2,故选c.2.(5分)(2015营口模拟)若a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断:(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20;ab与a0,ab0,b0,a0,b0且0,即a,b不为0且同号即可,故有3个.答案:34.(12分)(2015银川模拟)如图,几何体abc-efd是由直三棱柱截得的,efab,abc=90,ac=2ab=2,cd=2ae=,(1)求三棱锥d-bec的体积.(2)求证:cedb.【解析】(1)由题意可证,ef平面bcd,vd-bce=ve-bcd=sbcdef=1=.(2)连接cf,依题意可得:abbf,abbc,而bf和bc是平面bfd内的两条相交直线,故有ab平面bfd.而bd在平面bfd内,故abbd.再由efab可得efbd.又在rtbcf和rtcdb中,因为=,=,所以=,所以rtbcfrtcdb,所以bdc=bcf,所以bdc+dcf=bcf+dcf=90,所以cfbd.综上可得,bd垂直于平面cef内的两条相交直线,故有bd平面cef.又ce平面cef,所以cedb.5.(13分)(能力挑战题)已知数列an:a1,a2,an.如果数列bn:b1,b2,bn满足b1=an,bk=ak-1+ak-bk-1,其中k=2,3,n,则称bn为an的“衍生数列”.(1)写出数列a4:2,1,4,5的“衍生数列”b4.(2)若n为偶数,且an的“衍生数列”是bn,证明:bn=a1.(3)若n为奇数,且an的“衍生数列”是bn,bn的“衍生数列”是cn,依次将数列an,bn,cn,首项取出,构成数列:a1,b1,c1,证明:是等差数列.【解析】(1)b4:5,-2,7,2.(2)因为b1=an,b1+b2=a1+a2,b2+b3=a2+a3,bn-1+bn=an-1+an,由于n为偶数,将上述n个等式中的第2,4,6,n这个式子都乘以-1,相加得b1-(b1+b2)+(b2+b3)-(bn-1+bn)=an-(a1+a2)+(a2+a3)-(an-1+an),即-bn=-a1,bn=a1.(3)对于数列an及其“衍生数列”bn,因为b1=an,b1+b2=a1+a2,b2+b3=a2+a3,bn-1+bn=an-1+an,由于n为奇数,将上述n个等式中的第2,4,6,n-1这个式子都乘以-1,相加得b1-(b1+b2)+(b2+b3)-+(bn-1+bn)=an-(a1+a2)+(a2+a3)-+(an-1+an)即bn=an-a1+an=2an-a1.设数列bn的“衍生数列”为cn,因为b1=an,c1=bn=2an-a1,所以2b1=a1+c1,即a1,b1,c1成等差数列.同理可证,b1,c1,d1;c1,d1,e1,也成等差数列.从而是等差数列.【加固训练】(1)如果a,b都是正数,且ab,求证a6+b6a4b2+a2b4.(2)设a,b,c为abc的三条边,求证(a+b+c)20,所以a6+b6a4b2+a2b4.(2)要证原不等式成立,只需证4(ab+bc+ca)-(a+b+c)20,即a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)0