（新课标）高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第5讲 直接证明与间接证明习题.doc

2017高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第5讲 直接证明与间接证明习题a组基础巩固一、选择题1用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是 ()a方程x2axb0没有实根b方程x2axb0至多有一个实根c方程x2axb0至多有两个实根d方程x2axb0恰好有两个实根答案a解析至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x3axb0没有实根”2分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设abc，且abc0，求证：a”索的因应是 ()aab0b.ac0c(ab)(ac)0d(ab)(ac)0答案c解析ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.故选c.3不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数 ()a成等比数列而非等差数列b成等差数列而非等比数列c既成等差数列又成等比数列d既非等差数列又非等比数列答案b解析由已知条件，可得由得代入，得2b，即x2y22b2.故x2，b2，y2成等差数列4设f(x)是定义在r上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，若x1x20，则f(x1)f(x2)的值 ()a恒为负值b.恒等于零c恒为正值d无法确定正负答案a解析由f(x)是定义在r上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是r上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)0，故选a.5设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是 ()ab.cd答案c解析若a，b，则ab1，但a1，b1，故推不出；若ab1，则ab2，故推不出；若a2，b3，则a2b22，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.6如果a1b1c1的三个内角的余弦值分别等于a2b2c2的三个内角的正弦值，则 ()aa1b1c1和a2b2c2都是锐角三角形ba1b1c1和a2b2c2都是钝角三角形ca1b1c1是钝角三角形，a2b2c2是锐角三角形da1b1c1是锐角三角形，a2b2c2是钝角三角形答案d解析由条件知，a1b1c1的三个内角的余弦值均大于0，则a1b1c1是锐角三角形，假设a2b2c2是锐角三角形由得那么，a2b2c2，这与三角形内角和为180相矛盾所以假设不成立，又显然a2b2c2不是直角三角形所以a2b2c2是钝角三角形二、填空题7用反证法证明命题“a，br，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_.答案a，b中没有一个能被5整除解析“至少有n个”的否定是“最多有n1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除8设ab0，m，n，则m，n的大小关系是_.答案mn解析法一：(取特殊值法)取a2，b1，得mn.法二：(分析法)ab2ab20，显然成立9已知点an(n，an)为函数y图象上的点，bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nn*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_.答案cn1cn解析由条件得cnanbnn，cn随n的增大而减小，cn1cn.10若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1，在区间1,1内至少存在一点c，使f(c)0，则实数p的取值范围是_.答案(3，)解析法一：(补集法)令解得p3或p，故满足条件的p的范围为(3，)法二：(直接法)依题意有f(1)0或f(1)0，即2p2p10或2p23p90，得p1或3p.故满足条件的p的取值范围是(3，)三、解答题11若abcd0且adbc，求证：.证明要证，只需证()2()2，即ad2bc2，因adbc，只需证，即adbc，设adbct，则adbc(td)d(tc)c(cd)(cdt)0，故adbc成立，从而成立12已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0xc时，f(x)0.(1)证明：是f(x)0的一个根；(2)试比较与c的大小；(3)证明：2b1.答案(1)略(2)c(3)略解析(1)证明：f(x)的图象与x轴有两个不同的交点f(x)0有两个不等实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的根，又x1x2，x2(c)，是f(x)0的一个根(2)假设c，又0，由0xc时，f(x)0，知f()0与f()0矛盾，c，又c，c.(3)证明：由f(c)0，得acb10，b1ac.又a0，c0，b1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为xx2，即.又a0，b2，2b1.b组能力提升1已知函数f(x)满足：f(ab)f(a)f(b)，f(1)2，则 ()a4b.8c12d16答案d解析根据f(ab)f(a)f(b)，得f(2n)f 2(n)又f(1)2，则2.由16.2凸函数的性质定理：如果函数f(x)在区间d上是凸函数，则对于区间d内的任意x1，x2，xn，有f()，已知函数ysinx在区间(0，)上是凸函数，则在abc中，sinasinbsinc的最大值为_.答案解析f(x)sinx在区间(0，)上是凸函数，且a、b、c(0，)f()f()，即sinasinbsinc3sin，所以sinasinbsinc的最大值为.3设整数n4，集合x1,2,3，n，令集合s(x，y，z)|x，y，zx，且三条件xyz，yzx，zxy恰有一个成立若(x，y，z)和(z，w，x)都在s中，则下列选项正确的是 ()a(y，z，w)s，(x，y，w)sb(y，z，w)s，(x，y，w)sc(y，z，w)s，(x，y，w)sd(y，z，w)s，(x，y，w)s答案b解析方法一因为(x，y，z)s，则x，y，z的大小关系有3种情况，同理，(z，w，x)s，则z，w，x的大小关系也有3种情况，如图所示，由图可知，x，y，w，z的大小关系有4种可能，均符合(y，z，w)s，(x，y，w)s.故选b.方法二(特殊值法)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在s中，不妨令x2，y3，z4，w1，则(y，z，w)(3,4,1)s，(x，y，w)(2,3,1)s，故(y，z，w)s，(x，y，w)s的说法均错误，可以排除选项a、c、d，故选b.4已知函数f(x)ax(a1)，(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明f(x)0没有负实数根答案(1)略(2)略解析(1)任取x1，x2(1，)，不妨设x1x2，则x2x10，ax2x11，且ax10，所以ax2ax1ax1(ax2x11)0.又因为x110，x210，所以0.于是f(x2)f(x1)ax2ax10.故函数f(x)在(1，)上为增函数 (2)设存在x00(x01)，满足f(x0)0，则ax0.又0ax01，所以01，即x02，与x00(x01)假设矛盾故f(x)0没有负实数根5(2015江西七校联考)已知函数f(x)lnx.(1)若函数f(x)在(0，)上为单调递增函数，求a的取值范围；(2)设m，nr，且mn，求证：.答案(1)(，2(2)略解析(1)f (x).因为f(x)在(0，)上为单调递增函数，所以f (x)0在(0，)上恒成立即x2(22a)x10在(0，)上恒成立当x(0，)时，由