（应用数学专业论文）静态利率期限结构的数学模型与算法的研究.pdf

摘要 静态利率期限结构的数学模型与算法的研究 摘要 利率期限结构是指在相同的风险水平下 不同期限即期收益率之间的 数量关系 它是资产定价 金融产品设计 保值和风险管理 套利以及投 资等的基础 对利率期限结构的研究具有重要的经济意义 本文以国内债 券市场为背景 从理论以及实证分析的角度 研究了拟合利率期限结构的 线性规划法 多项式样条函数法 基于遗传算法的多项式样条函数法以及 基于惩罚函数的多项式样条函数法四种方法 并针对模型的不足做了相应 改进 针对线性规划法所得到利率期限结构离散的问题 论文提出利用三次 多项式插值的方法使之连续光滑 针对样条函数拟合法中存在人为选取固 定节点的不确定性的问题引入了遗传算法 使之有效的追踪国债利率期限 结构的系统变动 在模型实证中 分析了多项式次数 遗传代数等因子对 该模型拟合效果的影响 基于惩罚函数的多项式样条函数模型解决了精度 与平滑性相矛盾的问题 为了进一步优化模型 论文提出在模型中引入遗 传算法 在模型实证中 论文首次通过循环遍历的方法寻找最合适的惩罚 因子 最后 论文从精度 图像 平滑性以及计算速度四个方面对以上四 种模型做了对比分析 并得到基于g c v 的惩罚函数多项式样条函数模型 得到的利率期限结构拟合效果最好的结论 北京化t 人学顾l 学位论文 关键词 金融数学 利率期限结构 线性规划 多项式样条函数 遗传算 法 惩罚函数 g c v 方法 摘要 s t a t i cr e s e ar c ho nm a t h e m a t i c a lm o d e l sa n d a l g o r i t h m sf o rt e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s t r a t e a b s t r a c t t h et e r ms t r u c t u r em o d e lo fi n t e r e s tr a t ei s d e f i n e d a st h e r e l a t i o n s b e t w e e nt h ei n t e r e s tr a t e sa n dt h e i rm a t u r i t i e sa tt h es a m er i s kl e v e l i ti s e x t e n s i v e l ya p p l i e dt oa s s e tp r i c i n g d e s i g no ff i n a n c i a lg o o d s h e d g i n g a r b i t r a g i n ga n di n v e s t m e n td e c i s i o n i nt h eb a c k g r o u n do fd o m e s t i cs t o c k m a r k e t w ed ot h e o r ya n de m p i r i c a l a n a l y s i s r e s e a r c ho ft h el i n e a r p r o g r a m m i n gm e t h o d t h em e t h o do ff i t t i n gb a s e do np o l y n o m i a ls p l i n e f u n c t i o n t h em e t h o do ff i t t i n gb a s e do ng e n e t i ca l g o r i t h m sa n dt h ef i t t i n g b a s e do ng c v p e n a l t y f u n c t i o n i nm o d e l s t h er e s u l to b t a i n e df r o ml i n e a r p r o g r a m m i n gm o d e li sd i s c r e t e s ow eu s ec u b i cp o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o nm e t h o dt om a k ei tc o n t i n u o u sa n d s m o o t h t h em o d e lb a s e do ng e n e t i ca l g o r i t h mh a ss o l v e dt h ep r o b l e mt h a tt h e p o l y n o m i a lp i e c e sa r ef i x e db ym a n a n dw ea l s oa n a l y z e st h ev a r i o u s p a r a m e t e r so ft h em o d e l s t h em o d e lb a s e do ng c v p e n a l t yf u n c t i o nb a l a n c e s t h ep r e c i s i o na n ds m o o t h n e s s b e s i d e s t h ep a p e ra l s oi n t r o d u c e sg e n e t i c a l g o r i t h m si n t ot h em o d e lo f f i t t i n gb a s e do ng c vp o l y n o m i a ls p l i n ef u n c t i o n a n du s ee r g o d i cm e t h o dt of i n dt h eb e s tp e n a l t yp a r a m e t e rf i r s tt i m e a tl a s t i i i 北京化t 大学硕f 学位论文 t h ep a p e rm a k e sac o m p a r a t i v es t u d ya m o n gf o u rm o d e l st h r o u g hf o u ra s p e c t s s u c ha st h ep r e c i s i o na n a l y s i s i m a g ea n a l y s i s s m o o t ha n a l y s i sa n dv e l o c i t yo f c a l c u l a t ea n a l y s i s a n dt h er e s u l t sd i s p l a yt h a tt h em o d e lo f f i t t i n gb a s e do n g c v p o l y n o m i a ls p l i n ef u n c t i o nf i tt h et e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e sb e s t w h e ni tm e e t st h e f o u rr e q u i r e m e n t sa b o v e k e yw o r d s f i n a n c i a lm a t h e m a t i c s i n t e r e s tr a t eo ft e r ms t r u c t u r e l i n e a r p r o g r a m m i n gm o d e l p o l y n o m i a ls p l i n e f u n c t i o n g e n e t i c a l g o r i t h m s p e n a l t yf u n c t i o n g c vm e t h o d 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指导下 独 立进行研究工作所取得的成果 除文中已经注明引用的内容外 本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果 对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式标明 本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担 作者签名 鱼 当 区 e t 期 垫f 旦 作者签名 垃 当 竖期 垫f 旦 j 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文的 规定 即 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京 化工大学 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件 和磁盘 允许学位论文被查阅和借阅 学校可以公布学位论文的全部 或部分内容 可以允许采用影印 缩印或其它复制手段保存 汇编学 位论文 保密论文注释 本学位论文属于保密范围 在土年解密后适用本 授权书 非保密论文注释 本学位论文不属于保密范围 适用本授权 书 作者签名 导师签名 够 毫 日期 日期 第一章绪论 第一章绪论 利率期限结构是指在相同的风险水平下 不同期限的即期收益率之问的数量关 系 利率期限结构从研究方法的角度可以分为静态和动态两类 静态利率期限结构 是指在某一时点上 无风险零息票债券的期限与其对应利率的组合 在坐标轴上往 往表现为一条曲线 动态利率期限结构是通过随机微分方程刻画利率 然后通过参 数估计得到利率的动态变化过程 利率曲线微小改变都会对当今社会经济的发展产 生深远的影响 由于利率期限结构是资产定价 金融产品设计 保值和风险管理 套利以及投资等的基础 因此 对利率期限结构曲线的拟合和预测的深入研究 已 成为现代金融理论的基础课题之一口一1 本文从静态的角度对利率期限结构拟合的多种方法 如多项式样条函数拟合法 线性规划拟合法 基于遗传算法的多项式样条函数拟合法以及基于罚函数的多项式 样条函数拟合法进行研究分析 1 1 利率期限结构及研究现状 什么足利率期限结构呢 严格地说 利率期限结构是指某个时点不同期限的即 期利率与到期期限的关系 由于零息债券的到期收益率等于相同期限的市场即期利 率 从对应关系上来说 任何时刻的利率期限结构是利率水平和到期期限相联系的 函数 因此 利率的期限结构 即零息债券的到期收益率与期限的关系可以用一条 曲线来表示 其基本形状大致分为如下四种 如图1 1 向上凸的 向下凹的 平 坦直线型的 驼峰型的 其至还可能f l j 现更复杂的收益率曲线 但总的说来 债券 收益率曲线是上述部分或全部收益率曲线的组合口1 收益率曲线的变化本质上体现 了债券的到期收益率与期限之间的关系 即债券的短期利率和长期利率表现的差异 性 北京化t 大学顾l 学位论文 圈i 1 利率期限结构的基奉形状 f i g1 1t h et y p i c a ls h a p e so fi n t e r e s ts t r u c t u r e 对利率期限结构的研究 就早期理论而言 方法还比较粗糙 其巾具有较深远 影响的有以下三种理论h 1 1 预期假说 利率期限结构的预期假说首先由欧文 费歇尔 i r v i n gf i s h e r 于1 8 9 6 年提出来 的 是最古老的期限结构理论 又称为无偏预期理论 预期理论认为 长期债券的 现期利率是短期债券的预期利率的函数 长期利率与短期利率之间的关系取决于现 期短期利率与未来预期短期利率之间的关系 因此 如果预期的未来短期债券利率与现期短期债券利率相等 那么长期债券 的利率就与短期债券的利率相等 收益率曲线是一条水平线 如果预期的未来短期 债券利率上升 那么长期债券的利率必然高于现期短期债券的利率 收益率曲线是 向上倾斜的曲线 如果预期的短期债券利率下降 则债券的期限越长 利率越低 收益率曲线就向下倾斜 该理论最主要的缺陷是严格地假定人们对未来短期债券的利率具有确定的预 期 没有考虑因投资期限长带来的风险因素等问题 其次 该理论还假定 资金在 长期资金市场和短期资金市场之间的流动是完全自由的 这两个假定都过于理想化 与金融市场的实际差距太远 2 市场分割理论 市场分割理论的产生源于市场的非有效性和投资者的有限理性 它的最早倡导 者是c u l b e r t s o n 市场分割理论认为 债券市场可分为期限不同的互不相关的市场 各有自己独立的市场均衡 长期借贷活动决定了长期债券利率 而短期交易决定了 独立于长期债券的短期利率 根据这种理论 利率的期限结构是由不同市场的均衡 利率决定的 而是取决于短期资金市场供求状况与长期资金市场供求状况的比较 或者说取决于短期资金市场供需曲线交叉点的利率与长期资金市场供需曲线交叉点 2 第一章绪论 的利率的对比 市场分割理论最大的缺陷正是在于它旗帜鲜明地宣称 不同期限的债券市场是 互不相关的 因为它无法解释不同期限债券的利率所体现的同步波动现象 也无法 解释长期债券市场的利率随着短期债券市场利率波动呈现的明显有规律性的变化 3 流动性偏好假说 希克思首先提出了不同期限债券的风险程度与利率结构的关系 较为完整地建 立了流动性偏好理论 根据流动性偏好理论 不同期限的债券之间存在一定的替代性 这意味着一种 债券的预期收益确实可以影响不同期限债券的收益 但是不同期限的债券并非是完 全可替代的 因为投资者对不同期限的债券具有不同的偏好 范 霍恩 v a nh o m e 认为 远期利率除了包括预期信息之外 还包括了风险因素 它可能是对流动性的 补偿 影响短期债券被扣除补偿的因素包括 不同期限债券的可获得程度及投资者 对流动性的偏好程度 在债券定价中 流动性偏好导致了价格的差别 这一理论假定 大多数投资者偏好持有短期证券 为了吸引投资者持有期限较 长的债券 必须向他们支付流动性补偿 而且流动性补偿随着时间的延长而增加 因此 实际观察到的收益率曲线总是要比预期假说所预计的高 这一理论还假定投 资者是风险厌恶者 他只有在获得补偿后才会进行风险投资 即使投资者预期短期 利率保持不变 收益曲线也是向上倾斜的 对于以上三种早期理论的优劣众说纷纭 很多从事这方面研究的学者利用不同 的方法 使用不同国家的数据对利率期限结构形成假设进行了检验 在上面介绍的 三种假说中 纯粹无偏预期是最重要的理论 所以人多数的研究都是立足于无偏预 期假设 并在此基础上考虑流动性溢酬 英 美市场方面 c a r g i l l 1 9 7 5 璐3 利用英 国的资料对利率期限结构的预期假设下进行实证分析并拒绝了市场预期假设 l e e 1 9 8 9 油1 利用在代表性投资者效用最大化的基础上 使用广义矩方法 g 删 对市场预 期假设的非线性关系进行了分析 认为随时问变化的风险溢酬和异方差对分析战后 美国的债券市场十分重要 c a m p b e l la n ds h i l l e r 1 9 9 1 盯1 分析了长短期利率差距 对 将来利率变动的预期影响并发现了一些与市场预期假设不符的现象 m a n k i wa n d m i r o n 1 9 8 6 陋1 通过将历史资料划分成不同的区域对利率期限结构的市场预期假设 进行了实证检验 b e k a e r t h o d r i c ka n dm a r s h a l l 1 9 9 7 嘲对市场预期假设回归模型 中的小样本偏误问题进行了分析 研究表明小样本时间序列可以导致估计的偏误 在此之后 很多利率期限结构的数量构建方法也逐渐被提了出来 早在1 9 6 6 年 k a l m a nj c o h e n 等就提出了运用样条函数对美国国债收益率曲线的进行拟合 但是k a l m a nj c o h e n 等在计算方法上的存在错误 直接导致所得到结论不正确 他 们实现设定贴现函数时是采用非线性形式 却在计算系数的过程中又使用线性回归 北京化t 大学硕l 学位论文 求解 如此说来 真正意义上提出利率期限结构的样条函数拟合法的人应该是m c c u l l o c h m ec u l l o c hn 仉 提出了以分段多项式拟合利率结构的设想 精心构造了各 区间函数的形式 在多项式样条函数法中 多项式的次数通常取为三次 另一种应 月j 较多的样条函数法是指数样条函数法 指数样条法是l a n g e t i e g 和s m o o t u 2 1 于1 9 8 1 年提出来的 由于指数函数具有的衰减特性与利率期限结构理论有很多相近之处 所以用指数函数来拟合利率期限结构要比三次样条多项式拟合获得的收益率曲线更 加平坦 这就相应的避免了拟合曲线的远端不稳定性 但是c h a m b e r s c a r l e t o n 和 w a l d m a n n 3 1 1 9 8 4 认为 以分段的方式估计贴现函数不仅程序复杂 而且忽视了各 拟合区间的相互影响 往往造成在整个范围内的过度拟合 他们结合前人所提出的 多项式样条函数以及指数样条函数法提出了以指数多项式来拟合贴现函数 并利用 最大似然法估计回归式中的参数 随后s h e a n 钉 1 9 8 4 对样条函数的基雨数的选择提 出了重要看法 他发现多项式基函数所产生的回归矩阵的列向最间可能存在多重共 线性 由此引起大量数据的减少 导致拟合的准确度的减低 他首先提出来了使用 b 一样条函数作为贴现函数的基 由此之后 b 一样条函数便得到了广泛的应用 s t e e l e y n 射 1 9 9 1 率先利用b 样条函数对英国国债利率期限结构进行了估计 他认为 三次b 样条函数能使自由度损失最小并保证远期利率曲线是平滑的 这一原则也为 后来的研究者所采用 几年后 也就是1 9 8 7 年 n e l s o n 和s i e g e l u 副由二阶微分方程 推导出利率期限结构 即经典的n s 模型 该模型用特定的指数函数拟合瞬时远期 利率 n s 模型之所以得到了广泛的应用 是因为n s 模型所表现出来的利率期限 结构形状非常丰富 此外 n s 模型还有良好的预测能力 可用来预测样本外的利 率期限结构 学者s v e n s s o n n 订 1 9 9 4 年在已有的n s 模型的基础上又进行了改进 在模型之中增加了两个参数 提出了扩展的n s 模型 n s 扩展模型拟合曲线是即 期利率曲线 并且所得到的收益率曲线能够模拟双峰和双u 形状 提高了模型对复 杂收益率曲线性质的拟合能力 后来有学者研究 认为由于在同归样条中 参数的 个数是由节点的数量决定的 过多或是过少的节点都会影响拟合的效果 引 f i s h e r n y c h k a 和z e r v o s n 鲫 1 9 9 4 年提出了使用平滑样条代替回归样条来拟合曲线 通过在目标函数中增加一个粗糙惩罚项控制拟合曲线震荡 而后人在这个新增加的 惩罚项进行了研究 提出了可以使用常数惩罚函数 分度惩罚函数 时变惩罚函数 等啪 为了避免节点的选取对利率期限结构拟合效果的减低 f e m a n d o f e m a n d e z 2 0 0 6 乜 提出了零节点利率期限结构的方法乜2 嘶1 其研究思想是把期限结 构中的时问节点也作为未知参数 利用遗传算法进行求解 这样也就避免了节点的 人工选取欠真 摆脱了在分段的过程中凭借经验选取节点导致的错误结果以及拟合 精确度的减低 以上的所介绍的研究均是通过连续的函数来拟合利率曲线结构 与 此不同 a l l e n t h o m a s 和z h e n g 汹1 2 0 0 0 提出利用线性规划模型来拟合利率期限结 构 它避免了用固定的函数形式来拟合利率期限结构 这样 也就回避了根据所提 4 第一章绪论 出的拟合函数模型与当时真实的期限结构的走势不吻合的缺点 通过实证得到 该 方法在拟合精度上表现良好 近年来 越来越的学者开始从事利率期限结构的研究 他们有的通过实证来研究几个模型的优劣 有的仍然在研究如何从更好的角度来提 出新的模型 比如说通过从厶样条函数的角度来考虑拟合利率期限结构等乜7 刮 以上介绍的都是国外学者对利率期限结构的研究 由于我国国债市场发展起步 较晚 国内学者对于我国国债收益率期限结构的研究相对国外来说是非常不足的 从近年来已发表出来的研究成果来看 国内研究大致可以分为对我国国债收益率期 限结构曲线模型构造以及利用国外的研究成果对国债市场进行实证研究 在实证方 面 国内有很多学者对此做了研究 也得到了很多的成果 实证虽然没有提出新的 模型 但它是对利率期限结构的一个总的学习与创新的过程 只有在了解前人的模 型基础之上才能创造出的新的模型 在实证方面 如周荣喜 邱菀华做了基于多项 式样条函数的利率期限结构模型的实证比较啪1 朱世武 陈健恒做了利率期限结构 理论实证检验与期限风险溢价研究口 王安兴的中国利率期限结构研究 一种新的 实证方法口副等等 而在新模型的构造方面 我国学者所做出来的贡献是相对有限的 但也存在着不少学者的新突破 如谢赤 陈晖的利率期限结构的理论与模型嘲 潘 冠中的单因子利率期限结构模型参数估计的数据选择m 1 王春峰 刘玮 房振明提 出了基于模糊回归技术的交易所国债利率期限结构研究口5 棚1 等 1 2 相关概念 在学习了解各种利率期限结构模型之前 读者必须掌握一些基本概念 如利率 收益率 到期收益率 即期收益率 远期利率等 1 利息 利息是指货币所有者转让货币使用权而索取的补偿 2 利率 利率是单位货币在单位时间内的利息水平 在利息计算中有单利和复利两种方式 单利是指在计算利息时 不论期限长短 仅 按本金计算利息 复利是指计算利息时 要按一定期限将所生利息加入本金再计算 利息 逐期滚动计算 3 收益率 收益率是指收益额相对于投资额的比率 5 北京化t 大学硕 f 学位论文 4 到期收益率 到期收益率是假没投资者将债券一直持有期的条件下 债券的年均收益率 对于附息债券 其到期收益率可以由下列方程式解出 晶cf p 毛面可 而万 1 1 其中 p 为债券的市场价格 l 为债券投资年数 c 为每年支付一次的票息 为 到期支付的面值 r 为到期收益率 5 贴现价格 贴现价格是指未来时刻支付1 块钱利息的债券在此前某一时刻的价格 通常用 v f 丁 表示在未来时刻t 到期的零息票债券 通常l 美元 在时刻t 的贴现函数 t f 6 即期利率 即期利率是指在特定时间点上计算的纯贴现债券的到期收益率 通常用r f t 表示 以时刻f 为起息日 在时刻丁到期的债权的即期利率 计算公式为 聊 一击l n 吣 1 2 7 远期利率 远期利率是利率期限结构中隐含的 在未来某个时间段的收益率 通常f t s r 用 表示在时刻t 计算的 在时问s 起息 到期时间为丁的债券的远期利率 它可由下 式计算得出 厂 r j 丁 i n v t s i l n v 一t t i s 1 3 1 3 选题意义 利率期限结构的研究在我国具有重要的宏观经济意义 根据货币政策传导机制 理论 短期利率的变化必然引起长期利率和股票价格的变化 使得借款成本以及财 富水平发生变化 进而影响实际经济活动 即货币政策传导机制始于短期利率 终 于商品和服务的实际支出 因而 估计货币政策操作的短期利率变动会如何影响长 期利率的期限结构 是理解货币政策的理论传导渠道的关键所在 同时 利率的期 限结构会影响投资的期限结构 如果长期利率过高 则会抑制期限较长的投资 相 6 第一章绪论 对增加人们对短期投资的需求 反之 相对于较高的短期利率 较低的长期利率则 会刺激长期的投资 促使投资需求由短期转为长期 随着我国国债市场的发展 合 理的国债利率期限结构 能为基准利率的确定提供参考 同时 随着会融衍生产品 的大量推h 其产品定价依赖于利率期限结构 所以准确合理的估计利率期限结构 显得越为重要 从微观意义上来说 利率期限结构的研究也具有同样重要的意义 由于商业银 行是我国金融市场中的主体 是货币政策传导渠道中的关键的一环 利率期限结构 的微小变化会引起商业银行资产与负债的利率期限结构之间小匹配的风险 进而影 响整个金融体系的健康运行以及货币政策的有效传导 近年来 我国金融机构 存 款短期化 贷款长期化 趋势明显 商业银行短存长贷的信贷期限结构不匹配现象 更加突出 同时 随着我国会融市场的发展以及中国加入w t o 义务的履行 中国的 利率市场化进程会进一步推进 金融市场的利率风险也会进一步凸显 因而 利率 期限结构研究对商业银行的经营以及金融市场投资利率风险的规避具有重要意义 综上 不论从宏观经济层面还是微观经济层面上来看 利率期限结构的研究都 成为一个重要并必要的课题 1 4 章节结构 本篇论文共有7 章 章节内容如下 第l 章绪论简要介绍利率期限结构的相 关概念 研究成果 研究背景及意义 第2 章基于线性规划法的拟合分析利用线 性规划法拟合利率期限结构 本章针对线性规划拟合法存在的不足 即该方法拟合 出来的利率期限结构是离散的 而提出利用三次线性插值法拟合出连续的利率期限 结构的改良方法 第3 章基于样条函数拟合分析本章介绍利率期限结构的经典的 三次样条函数拟合模型并给出详细的推导过程 第4 章基于遗传算法的拟合分析 本章针对三次多项式样条函数拟合模型人工选取节点的不足 引入遗传算法来寻找 合理的时间节点 并给出模型求解算法 第5 章基于惩罚函数法的拟合分析在考 虑模型的精确度以及平滑度的基础上 利用g c v 方法对模型进行求解并给出实现算 法 第6 章实证分析与对比研究对4 种模型所得的实证结果进行对比研究 第7 章总结与展望总结本文中的利率期限结构研究成果 对未来的研究进行展望 7 第二章基于线性规划法的拟合分析 第二章基于线性规划法的拟合分析 通常 如果市场上可以观察到一组到期期限为一系列时间间隔相同的附息国债 的价格 那么就可以通过求解非线性方程的方法得到每一个时问点上的理论即期利 率 这是因为附息国债的价值理论上是与经过附息国债分离处理的全部零息债券的 价值之和相等 但是 市场上存在满足如此条件的一组附息国债仅仅是一种比较理 想的状态 一旦市场上不存在到期期限间隔均等的一系列债券的时候 市场上就存 在缺欠的数据点 利率的到期期限在市场上便没有债种可以匹配 那么以上这种方 法就难以适用了 在此情况下 通常需要采用插值的方法解决缺失数据的问题 事实上 在实际操作中 插值法也是取得附息债券的即期利率常用的一种方法 如果在每一期间只有一种债券到期 插值法便可以得到单一的即期利率 但是 如 果在某个期间没有债券到期或者是在同一期间有多只债券到期 那么就无法产生单 一的解 特别是在分解含有风险的附息债券时 也会产生特别严重的误差 针对这 种情况 a l l e n t h o m a s 和z h e n g 于2 0 0 0 年提出了利率期限结构的线性规划模型 本章针对线性规划拟合法存在的不足 即该方法拟合出来的利率期限结构是离 散的 而提出利用三次线性插值法拟合出连续的利率期限结构的改良方法 2 1 模型解析 线性规划法的建模思想为 首先将不同种债券的不同付息日调整到样本日 在 极小化各期债券定价误差的目标函数下 求解各样本时点下的零息债券的贴现值 r 3 7 鞠 模型如下 0 m i n i m i z e q 岛 i 1 r s u b j e c tt o p i q c i t v t b i t l v f 1 f v f 1 y 1 1 a f 岛 0 a i 包芝0 f 1 2 o 2 1 只表示第f 只债券的市场价格 o 表示债券样本数 9 北京化工人学硕 l 学位论文 a i 岛分别表示第f 只债券的实际价格仍与调整后的债券贴现值 q t v o t 的绝对 误差 t 表示付息期 c a t 表示第f 只债券调整后的现金流 v t 表示调整不同付息日至特定样本口后的贴现冈子 f t 表示t 至t 1 期间最小预期远期利率 目标函数表示的是使得所有的债券调整后的贴现值 c f f f 与其所观察到的 市场值阢的绝对误差之和最小 第一个约束条件中 a 和缸分别表示债券的实际价格与调整后的债券贴现值误 差 由于色 包均为大于等于0 的数值 当a i 为正数反为零时 表示调整后的债券 贴现值 q f f 大于市场值胁 而当眈为正数q 为零时 表示调整后的债券贴现值 q t v o t 小于市场值n 在第一个约束条件中 调整后的现金流q f 是由票面利息 付息日 样本日和观察日决定的 样本日配合付息日 在债券的现金流未调整之前 债券的现值p v 为c f f 和 其中c f 表示第t 期的现金流量 缸 表示未调整前 观察日至不同付息日的贴现因子 第二个约束条件表示到期日较长的零息债券价格应小于到期日较短的零息债 券 即贴现函数v o t 为递减函数 厂 f 大于l 目的是为了保证 f 是一个递减函数 因为时间越长 债券所具有的价值越小 第三个约束条件是体现贴现因子的经济含义 不能超过l 第四个约束条件表示理论价格与实际债券价格误差均大于等于零 且对于每只 债券而言 a i 规两数值中至少有一个数为零 2 2 模型的求解及改进 假设口表示付息日至下次样本日占两个样本日期间的百分比 表示观察日至 下次样本日占两个样本日期间的百分比 0 职 1 f 表示债券面值 则 1 当口 时 表示观察日至下次样本日之间不存在付息日 利用线性插值 v 缸 为t 期贴现因子 和t l 期贴现因子v o 1 的线性组合 如下 r o t v t 1 一a v t 1 t l 2 丁一l 2 2 债券的现值满足 1 0 第二章基于线性规划法的拟合分析 p v c 7 1 v 1 c t 1 丁一1 c d 1 1 一功1 2 c 及桫 丁一2 1 一a v t 一1 c f f f v t 1 1 口 1 丁 a c v 1 c y 2 c v t 一2 c c t f v t 1 1 一功 c f 丁 只 口一p c 2 3 其中 只表债券的市场净价 口一p c 表债券的累积利息 2 当口 时 表示观察日至下次样本日之间存在着付息日 利用线性插值 1 7 f 为t 期贴现因子 f 和t l 期贴现因子v t 1 的线性组合 如下 邶 2 芳 等硼 仁4 当t 1 时 债券的现值满足下式 一弘小等 n 亿5 当t 2 时 债券的现值满足下式 秘等c 州c m 州毗一 亿6 经过递归 可得如下通式 弘 等 刎删m 和 c o t f m n 1 一口 c f y 丁 p c 1 一口一 c 2 7 其中 1 一口一p c 为累积利息 在方程式中 当口 0 1 时 观察日与样本日重合 下一个息票支付日与下 一个样本日重合 可得 c y f c f v r 忙1 2 8 将式 2 3 2 7 的各期调整后的现金流量代入式 2 i 进行规划求解 可得 各样本日的现值 即为到期期限为t 年的零息票债券面值的价格 利用贴现因子与 零息票利率之间的关系式 可得到离散的零息票债券利率尺 f r f 一二l i l v f t 2 9 由于线性规划法所得到的利率期限结构只是一些间断点 为了拟合出连续光滑 北京化工大学顾i 学位论文 的利率期限结构 本文在此基础上应用三次多项式插值法拟合出连续的即期利率曲 线 步骤如下 1 在上海证券市场上取得样本资料 2 将不同的围债样本付息日调成一致 样本日 3 利用l i n g o 求解线性规划模型 可得到各样本日的折现值 再将折现值转换为 即期利率 4 把所得离散即期利率利用一次插值拟合得到连续的即期利率曲线 5 在 3 所得离散即期利率的基础上应用三次多项式插值法得到光滑即期利率 曲线 并使之与 4 中所得间断的即期利率曲线进行比较 2 3 算例 考虑样本证券的一致性以及可获得性 经过数据甄选 具体的数据处理步骤可参 照第六章 以2 0 0 8 年4 月3 日为观察日 2 0 0 8 年至2 0 1 6 年的5 月9 日为样本日 的前提下 本文选取了上海证券交易所2 3 只债券进行实证 模型 2 1 中 据有关学者论证 f t 取值0 0 0 3 不影响解的准确度 即目 标函数的值差异不大 故本文在实证的过程中取厂 f 0 0 1 将样本国债信息代入 模型 2 1 利用l i n g o 软件解 所得结果如下 图2 1 为利用线性规划模型以及 改进之后所得到的利率期限结构 表2 1 为所得贴现冈子 表2 1 线性规划法的贴现因子 t a b l e21t h ed i s c o u n tr a t eo f1 i n e a rp r o g r a m m i n gm e t h o d l 到期年限 l23456789 i 贴现率 0 9 8 5 00 9 6 0 7 0 9 0 3 1 0 8 8 9 00 8 2 8 0 0 7 6 0 60 7 4 7 60 7 4 0 20 7 3 2 9 l 即期利率 0 0 1 5 30 0 2 0 30 0 3 0 60 0 3 8 00 0 3 8 30 0 4 7 0o 0 4 1 60 0 3 8 30 0 3 5 1 1 2 第二章基于线性规划法的拟合分析 m 童 金 m a t u r i t yd a t e 图三 间断u 日期利率 童 豆 o o 童 一 o 图二 即期利率 木 苄 矗丰 51 0 m a t u r i t yd a t e 图四 连续即期利率 图2 1 线性规划法的利率期限结构 f i g2 1t h e t e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t eb a s e do i ll i n e a rp r o g r a m m i n gm e t h o d 如图 图一是根据线性规划模型所得到的样本目的折现因子 具有逐渐递减的 特性 且小于1 这是与现实经济意义相符的 图二是由折现因子所得的离散的即 期利率 图三是将上述即期利率利用线性插值变换得到的间断的即期利率曲线 即 为间断的利率期限结构 图四是通过三次多项式插值法来适配由线性规划模型所求 出的即期利率得到连续光滑的利率期限结构 故在图像分析上 线性规划法得到的 利率期限结构形势表现良好 与现实经济意义相符 在精度上 线性规划模型的实证中 得到债券价格总的绝对误差为1 6 8 9 7 8 7 而所选的2 6 只国债在观察日的价格总和为2 2 6 0 3 9 故相对误差仅为0 7 4 由此 可见 用线性规划法进行求解利率期限结构是具有相对比较好的拟合效果 1 3 llll i 10llill lll 0 舛 舱 们 0 0 0 0 0 第二三章幕于样条函数的拟合分析 第三章基于样条函数的拟合分析 估算即期利率曲线的方法可分为两大类 即息票剥离法和平滑函数法 其中 息票剥离法需要引入一组到期日间隔相同的国债样本 并采用线性外推的方法弥补 利率曲线的期限断档 然后在应用息票剥离法构建理论即期利率曲线 但由于我国 国债市场的品种相对有限 期限也相对集中 使得息票剥离法在应用上存存较大局 限 而平滑函数法则不同 其以市场上不同剩余期限附息国债的价格为基础 采用 优化算法构造国债即期利率曲线 而在平滑函数法当中 样条函数拟合是最早引进 的方法 它主要思想足将利率期限结构分成若干区间 不同区间上的贴现函数设定 为形式一样但参数不同的样条函数 根据不同的到期期限的债券 计算得出相应参 数进而得到不同区间上的贴现函数 3 1 模型解析 在样条函数拟合当中 多项式样条函数以其相对简单而得到广泛的应用 m c c u l l o c h 是多项式样条利率期限结构的启蒙人 他以w e i e s t r a s s 定理为基础尝试了利 率曲线的样条逼近 随后s h e a 讨论了多项式样条函数分界点问题 在众多的利率期限结构样条函数拟合研究当中 一般将多项式样条函数阶数设 定为3 这是因为多项式样条函数为二阶时 它的二阶导数在分段节点处是离散的 但是当其阶数人于3 时 虽然理论上 样条函数的阶数越高 曲线的拟合程度越高 但是过高的阶数会导致验证其导数是否连续有一定的困难 同时会增加待估参数的 数目 使得验证难度越大 因此 本文所涉及到的多项式样条函数阶数亦均设为3 样条函数的数目的确定也是非常重要的问题 它决定了利率曲线的光滑性 样 条函数的数目越少 也就是节点越少 曲线越光滑 虽如此 曲线拟合的精度也相 应的越差 如果增加节点的数目 那么待估参数的数目也会相应增加 使得计算难 度加大 验证的难度也相应的增大 对于这个问题 至今也没有一个确定性的计算 方法解决 在前人研究中 对于三次样条函数的分界点 一般是先根据所选数据期 限长短的不同分类 尽可能使每个样条函数包含大致一样的样本数 这样估计出来 的每个样条函数中的参数才更具准确性 贴现函数一般选用的三次样条函数如下 lv l f q b l t c t t 2 d l t 3 t o t l v t v 2 t 口2 吃f c 2 t d 2 t 3 f t 1 t 2 l v 3 t 口3 婶 c 3 t 2 d 3 t 3 t t 2 t 1 5 北京化工人学硕 上学位论文 从以上式子可看出 贴现函数中一共有1 2 个未知参数 根据三次样条函数的定 义 它必须要满足如下的函数甲滑度以及可导性的约束条件 f 1 v i i u f 2 v 2 气乞 v o 0 1 3 2 其中v 是v 的第f 阶导数 f 0 1 2 经过化简计算 贴现函数最终可以化为 ih o 1 熟 q t 2 d z t s t o f l v t v 2 t v l t 口2 一q f f 1 3 t e t l f 2 v 3 t v 2 t a 3 一a z x 一如 3 乞 丁1 3 3 故多项式样条函数拟合的约束条件如下 只 只 岛 彳 c f f v f t l e 鬈 0 v a r e i 仃2 啦2 c o y e j o i 考虑使得债券的理论价格与目标价格的误差平方和最小的目标函数 条函数拟合模型可以写为 其中 3 4 整个多项式样 m i n i m i z e p i p j 2 i l s 1 p i p i 彳 c i t v t t l e 0 坛 乞 仃2 嘭2 c d l 乞 巳 o f j f 3 5 1 6 第 三章基于样条函数的拟合分析 1 1 l f l a l t a 2 f 2 口3 f 3 t e o t 1 v t v 2 t k i f 口4 一a 3 f t 1 3 t e t i t 2 屹 2 屹 a 5 a 4 一f 2 3 2 f 3 1 3 6 1 f 是表示每个分段区间上的贴现函数 g f 表示第f 只债券的现金流 0 表示债券样本数 t 表示付息期 是表示第f 只债券的市场价格 巧是表示第f 只债券的理论价格 仃 r 乞 氏分别为满足均值为0 方差为t 7 2 璐2 的随机变量 3 2 模型的求解 以上模型是一个线性回归模型 若转换为矩阵形式 则为 p a b 3 7 其中 p 是一个n x l 的向量 q 是一个n k 的向量 b 是一个n x l 的向量 p 是一个 z k 的向最 r l 与债券的数日相同 k 与所选择的样条函数的未知参数数目相同 若令4 f d f d k t 为贴现函数的基函数 根据模型的第二个约束条件 则 上述方程式 3 7 可以写为 扔 p 2 以 c l f 吐 f q t d 2 f c i t d k t t l f i l lll c 2 r 盔 f 乞o d o c 2 f 畋 f 至巳 r m d 兰乞 f d d 至巳 f m o 运用广义最小二乘法 得到各时间段的贴现函数系数b 1 7 q 口2 吼 毛 岛 乞 3 8 北京化t 大学硕 学位论文 贴现函数系数如下 其中 b a i a 2 a 3 a 4 口5 q r q 一1 q 一1q 7 q 一1 p 3 9 q d i a g a 2 嘎2 2 扰口g 互2 疋2 氏2 3 1 0 然后根据所求出来的贴现函数 则即期利率可以通过以下公式计算 尺 f 一三l n v f t 3 1 1 3 3 指数样条函数法 另一种应用比较多的样条函数法是指数样条函数法 指数样条法是l a n g e t i e g 和s m o o t 于 1 9 8 1 年提出来的 由丁 指数函数具有的衰减特性与利率期限结构理论有 很多相近之处 所以用指数函数来拟合利率期限结构要比三次样条获得的收益率曲 线更加平坦 这就相应的避免了拟合曲线的远端不稳定性 c h a m b e r s c a r l e t o n 和 w a l d m a n 1 9 8 4 认为 以分段的方式估计贴现函数不仅程序复杂 而且忽视了各拟合 区间的相互影响 往往造成在整个范围内的过度拟合 他们结合前人所提出的多项 式样条函数以及指数样条函数法提出了以指数多项式来拟合贴现函数 并利用最大 似然法估计回归式中的参数 与三次多项式样条函数模型不同的在于贴现函数的构造 在指数样条函数模型 当中 贴现函数形式一般设定为 lv f o q 魄p 一时 q e 2 w d i e 3 埘 t 0 v f y 2 f 口2 b 2 e 一埘 c 2 p 2 埘 d 2 p 3 时 f 乞 b 9 a 3 b 3 e w q e 屯肼十4 9 3 m f 乞 丁1 3 1 2 根据三次样条函数的定义 在满足函数平滑度以及可导性的约束条件下 经过 化简计算 贴现函数最终可以化为 1 8 第三章基十样条函数的拟合分析 f v i f 1 包p 一 q e 2 d i e 3 w t e 0 t 1 1 v 2 t l b l e 一埘 q e 2 d t e 3 w 一 p 叫一p 一埘1 3 d 2 p 一珊一p 一嵋 3 t ei t t 2 f l b l e 一 c l e 也珊 d l e 3 一 p 一埘一e t t l 3 3 1 3 d 2 p 一 一e 一 3 一 p 一 一e 峨 3 以 p 一一p 啦 3 t e t l t 指数样条函数模型与多项式样条函数模型的约束条件相同 这里可看出 该模型 的未知参数比一般的i 次样条函数多出一个参数u 凶此 运用指数样条函数估计 零息票债券的价格 需要在计算的过程中事先确定好u u 虽然仅仅是一个参数 但是在经济含义上 它却代表着是起息日为未来无限远时的瞬时远期利率 通常可 以通过确定一个范围 然后针对该范围中的u 取值 计算出对应情况下的贴现函数 系数 3 4 算例 在实证中 依然选用2 0 0 8 年4 月3 日做为观察日 2 0 0 8 年至2 0 1 5 年的5 月9 日为样本r 为了尽可能提高模型拟合的精度 在考虑样本一致性的基础上 本文 选取上海证券交易所2 2 只固定息票债券进行实证分析 其中1 3 只债券用于模型的 最小化决策过程 另外的9 只用于验证过程 根据数据处理的结果以及投资者惯例选择 论文将在以下的实证中选择2 个时 间节点分别为t l 1 t 2 3 故贴现函数如下 iy i f 1