08级数学物理方法习题.pdf

数学物理方法 B 习题 数学物理方法 B 习题 一 利用分离变量法求解偏微分方程 一 利用分离变量法求解偏微分方程 1 利用分离变量法将球坐标系下拉普拉斯方程 0 111 2 2 222 2 2 u sinr u sin sinrr u r rr 分解成三个独立的常微分方程 2 利用分离变量法将柱坐标系下拉普拉斯方程 0 11 2 2 2 2 2 z uuu 分解成三个独立的常微分方程 3 利用分离变量法将球坐标系下亥姆赫兹方程 0 111 2 2 2 222 2 2 uk u sinr u sin sinrr u r rr 分解成三个独立的常微分方程 4 利用分离变量法将柱坐标系下亥姆赫兹方程 0 11 2 2 2 2 2 2 uk z uuu 分解成三个独立的常微分方程 二 勒让德函数的性质及其应用 二 勒让德函数的性质及其应用 1 在11 x上 将下列函数展开为 L 2 1 0 lxPl的广义傅里叶级数 1 3 x 2 x 3 xxPm 2 将下列函数在 0 20 上展开为 Ylm为基的广义傅里叶级数 1 13 22 sinsin 2 22 sinsin 3 sinsincos31 4 xzxyzx r 432 1 22 2 其中 2222 zyxr 3 利用勒让德多项式递推公式计算定积分 1 1 dxxPxxP lk 4 半径为 0 r的球形区域内部没有电荷 球面上电势为 2 0sin u 0 u为常数 求 球形区域内部的电势分布 5 一 半 径 为 1 的 空 心 球 以 球 心 为 坐 标 原 点 当 表 面 充 电 至 电 势 为 2 0 321coscosV 时 0 V为常量 求球内各点电势 6 半径为 R 的半球 其球面保持恒温 0 u 而底面温度为零度 求半球内的稳定温 度分布 7 在电场强度为 0 E的均匀电场中放置一个接地导体球 球半径为a 求球外任意 一点电势 8 真空中存在一电场强度为 0 E的匀强电场 将一个半径为a 相对介电常数为 的 介质球放置匀强电场中 求球内外电势分布 9 求解如下定解问题 1 2 00 2 cos 0 uuuu brau brar 2 0 1 0 sin sin 1 1 0 cos 2 2 2 1 r u r r u r r r u r 3 n x 是一阶 Bessel 方程的第 n 个零点即0 1 1 n xJ 计算 积分 d a x J n a 1 0 3 0 0 a为常数 5 半径为 R 的圆形膜 边缘固定 初始形状 2 2 0 1 R Htu t 初始速度为 0 求膜振动情况 6 一半径为R高为H的均匀圆柱体 上底有均匀分布的恒定热流 面积热流量为 0 q 垂直进入 下底则有同样的热流垂直流出 圆柱的侧面保持零度 求柱体内 稳定温度分布 7 匀质圆柱 半径为R 高为L 柱侧面有均匀分布的热流进入 其强度为 0 q 圆柱上下两底面保持恒定温度 0 u 求柱内温度分布 四 Green 函数法习题四 Green 函数法习题 1 试计算如下的积分 1 试计算如下的积分 1 dxxxf 1 2 2 dxxxxf 1 3 dxxx dx d xf 1 4 dxx dx d xf 1 2 其中 xf是足够光滑的函数 2 用镜像法确定如下方程的 Green 函数 2 用镜像法确定如下方程的 Green 函数 1 三维半无限空间的 Laplace 方程 Green 函数 0 0 2 z zyxG zyxzyxzyxG 其中 0 zyxzyx 2 二维半无限空间 Laplace 方程 Green 函数 0 0 2 z yxG DDyxyxyxG 其中 0 yxyxD 3 三维半无限空间 Helmholtz 方程的 Green 函数 0 0 22 z zyxG zyxzyxzyxGk 其中 0 zyxzyx 4 二维半无限空间 Helmholtz 方程的 Green 函数 0 0 22 z yxG DDyxyxyxGk 其中 0 yxyxD 3 用适当方法确定如下方程的 Green 函数 3 用适当方法确定如下方程的 Green 函数 1 一维无限区域上 Helmholtz 方程的 Green 函数 2 2 2 xxxGxk 其中 xk xk xk 0 0 2 1 xG有界 1 k和 2 k均为虚部大于零的常数 2 一维有限区间上 Helmholtz 方程在第一类齐次边界条件下的 Green 函数 试验证如下定解问题的解 0 0 2 2 2 bxax xGxG bxaxxGk 可以表示成 kieBeeAeexG axikaikxbikbik xik 2 并根据 边界条件确定系数A和B 3 一维有限区间上 Helmholtz 方程在第二类齐次边界条件下的 Green 函数 试验证如下定解问题的解 0 0 2 2 2 bxxaxx xGxG bxaxxGk 可以表示成 kieBeeAeexG axikaikxbikbik xik 2 并根据 边界条件确定系数A和B 4 三维带状区域上 Laplace 方程 Green 函数 0 0 0 2 Hzz zyxGzyxG zyxzyxzyxG 其中 0 Hzyxzyx 5 二维带状区域上 Laplace 方程 Green 函数 0 0 0 2 Hzz yxGyxG DDyxyxyxG 其中 0 HyxyxD 6 二维带状区域上 Helmholtz 方程的 Green 函数 0 0 0 22 Hzz yxGyxG DDyxyxyxGk 其中 0 HyxyxD 7 三维带状区域上 Helmholtz 方程的 Green 函数 0 0 0 22 Hzz zyxGzyxG zyxzyxzyxGk 其中 0 Hzyxzyx 4 用 Green 函数法确定如下边值问题的解 4 用 Green 函数法确定如下边值问题的解 1 三维半无限空间的 Laplace 方程的第一类边值问题 0 2 yxzyxu zyxzyxfzyxu z 其中 0 zyxzyx 2 三维带状区域上 Laplace 方程第一类边值问题 210 2 yxzyxGyxzyxu zyxzyxfzyxu Hzz 其中 0 Hzyxzyx 3 二维半无限空间的 Laplace 方程的第一类边值问题 0 2 xyxu Dyxyxfyxu y 其中 0 yxyxD 4 二维带状区域上 Laplace 方程的第一类边值问题 210 2 xyxuxyxu Dyxyxfyxu Hzy 其中 0 HyxyxD xp baCxfxq 且0 xq和0 xf 2 泛函 b a dxxyxfxyxqxyxpyJ 2 2 泛函的定义域 0 2 aybaCxyyJD 此外 1 baCxp 且0 xp baCxfxq 且0 xq和0 xf 3 泛函 a dufuk uu yJ 0 22 2 2 2 泛函的 定义域 0 2 aCuuJD 此外 f为已知函数 k为已知常数 4 泛函 dS n u dVfuuuuJ 2 2 泛函的定义域 2 CzyxuuJD 此外 1 Czyx 和 Czyxf均 为已知函数 为已知常数 2 用 Rayleigh Ritz 方法求解如下定解问题 1 0 1 0 0 10 3 2 2 yy xxy dx yd Ly 设 M k k kxAxy 1 sin 试确定近似解的系数 2 1 MkAkL 2 0 2