深圳市光明新区中学数学教师 2011 年暑假培训资料目录.pdf

1 深圳市光明新区中学数学教师 2011 年暑假培训资料目录 第 1 讲 动态数学教学讲座 01 第 2 讲 数学实验教学讲座 08 附件 1 二次函数实验报告 19 附件 2 勾股定理实验报告 22 附件 3 DM Lab 函数曲线的基本作图和操作 25 第第 1 讲 讲 动态数学教学讲座动态数学教学讲座 韦辉樑 flwai126 目的 使教师初步了解何谓动态数学教学 时间 3 课时 内容 一 一般概念和方法 1 动态数学教学的基本理念 在此摘录国家数学课程标准中的一些片语 作为 动态数学教学 的基本理念 1 在全日制 九年 义务教育数学课程标准中的一些片语 数学教学是一种学生的学习活动 在这学习活动中 学生是数学学习的主人 教师是数学学习的组织者 引导者与合作者 学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的 主动的和富有个性的过程 动手实践 自主探索与交流合作是学生学习数学的重要方式 观察 实验 猜测 验证 推理 是动手实践 自主探索的重要方法 2 在普通高中数学课程标准中的一些片语 高中数学课程还应倡导自主探索 动手实践 合作交流 阅读自学等学习数学 的方式 使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程 高中数学课程 应力求通过不同形式的自主学习 探究活动 让学生体验数学发现和创造的历 程 发展他们的创新意识 高中数学课程应该返璞归真 努力揭示数学概念 法则 结论的发展过程和本 质 高中数学课程应提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的内容 鼓励学 生利用计算机 计算器等进行探索和发现 无论是义务教育数学课程标准还是普通高中数学课程标准 都在多处强调让学生 动手 动手 实践实践 自主探索 自主探索 合作交流 合作交流 发现创新发现创新 的数学教学理念 2 动态数学实验教学的基本方法 1 运用 Lab 系列的动态功能 引导学生观察 分析 思考 讨论 归纳 猜想 验 证 结论 2 2 不要预设结论 教材中结论性的地方 留以空白 获得结论后再填充 3 不要预制课件 即时操作即时操作 实时反馈实时反馈 临时尝试 临时尝试 随机应变 随机应变 是一切实验的基本 武功 不要把 实验 最精华的武功废去 Lab 系列的傻瓜型设计 实时反馈的功能 有助于你废去课件 3 动态数学实验教学的主要形式 1 学生数学实验 在电脑室或数学实验室上课 学生操作一定的数学软件或数学模 型 在操作中进行观察 测量 分析 归纳 同时完成实验报告 最后获取知识 2 教师演示实验 在普通课室上课 由教师操作 学生观察 教师引导学生进行分 析 思考 讨论 归纳 也可完成实验报告 3 数学实践活动 在课外时间 以源于教材而高于教材为原则选题 进行数学创意 设计活动 4 动态数学教学的选题 1 数学可以依据自身的符号定义和数理逻辑获得发展和用纸笔解决问题 不是所有数 学问题都可以或必需要通过 动态 来学习 2 Lab 系列提供的是可操控的 可实时测量的动态数学图形 具体地就是点 直线 圆 弧 多边形 锥 柱 台 球等几何元素和座标系 函数图形 与此有关的 数学教学内容都可以在 Lab 系列中找到应用 对于有关概念 定义 性质 判定等内容主要用于 来龙去脉 的探究和说明 用新课标的话语就是 数学课程应该返璞归真 努力揭示数学概念 法则 结 论的发展过程和本质 对于证明 解题等内容 则主要用于 思路 的探究 解决学生 从何着手 的疑虑 面对问题 学生最大的困难就是 从何着手 怎么会想到 对于一些较难问题的解题技巧的探索 可能更多要运用符号运算和逻辑 这要 靠教师的导引和平时的 训练 但是图形可以用于验证和扩展视野 课外用 Lab 系列可以引导学生 玩数学 从而获得具创意的 发现新大陆 3 符号运算 逻辑推理等 这样一些数学教学内容 还是要用纸笔 黑板 粉笔 解决 问题 而运用 Lab 系列帮助验证 以增强学生的信心和强化学生的记忆 下面我们用一些例子加以说明 二 DM Lab 与动态数学教学 1 DM Lab 几何教学的例 例例 1 等腰三角形的性质和判定定理的探索和发现等腰三角形的性质和判定定理的探索和发现 操作 移动 A 点 观察 三线的位置变化和 AB AC 长度的变化 发现 1 留心测量值表 当 AB AC ABC 是等腰三角 形 时 三线 发现 2 留心三线 当三线准确重合时 AB AC ABC 是等腰三角形 猜想 1 若 ABC 是等腰三角形 则顶角平分线 底边上 的高和中线三线重合 归纳 若三角形的顶角平分线 底边上的高和中线三线 重合 则该三角形是等腰三角形 3 例例 2 几何证明思路的探索几何证明思路的探索 已知 ABC 是任意三角形 ABD BCE CAF 是等边三 角形 求证 CD BF 思考 1 求证两条线段相等 方法之一是利用全等 2 与 CD BF 有关的三角形有 4 个 试寻找其中两个全等的证 据 实验一 发现有可能全等的三角形 操作 移动 A B C 发现 与 CD BF 有关的 4 个三角形中 有可能全等是 和 实验二 验证 ABF 和 ADC 是否真的 全等 操作 略 猜想 ABF ADC 思考 求证的思路 由等边三角形 显然有 AB AD AF AC 根据 sas 原理 只要 证 BAF DAC 2 DM Lab 与代数教学的例 例例 3 二次函数的极值问题二次函数的极值问题 已知 ABC 的底边 BC 8 高 AD 6 BD 6 求 ABC 内接矩形 EFGH 的最大面积 实验 1 依题意作图 此处略 2 测量 E 点的 x 座标 3 测量内接矩形 EFGH 的面积 4 选取描点座标 E 的 x 座标为 x EFGH 的面积为 y 5 在 B D 之间移动 E 点 作出函数图象 发现 1 图象是一条 经过 B 和 D 的抛物线 方 法一 几何 方 法二 代数 2 由图可知 当 E 为 BD 中 点时面积 s 最 大 2 由图可知 抛物线的方程是 y kx x 6 3 这时 F 为 AB 中 点 EF 是 ABD 的 中 位线 2 2 h AD EF 3 由测量值表可知 12 k 3 3 6 3 4 k 4 而 FG 是 ABC 的中位线 2 2 a BC FG 4 面积 6 3 4 x x y 5 最大面积 12 4 6 8 4 2 2 ah a h s 5 当 x 3 时 面积 y 最大 12 6 3 3 3 4 s 4 说明 1 本题为二次方程极值应用题 学生开始时 一般都感到 无从入手 2 在动态环境下 显见 E 的位置与面积之间存在函数关系 DM Lab 可以在还不知道函数关系 为何之前先作出其图象 由图象的形态 学生很容易猜想到该图象是一条抛物线 再根据抛 物线的性质顺理成章地很快得到方程 通常我们总是先有方程 再有图象 而这里是先有图 象再寻找方程 3 由函数图象知 FG 是 ABC 的中位线 由此对中位线的性质有了新的发现 中位线与底边所 夹内接矩形是三角形的所有内接矩形中面积最大 中位线的这一性质是前所未学的 此外 学生还不难发现 三角形内接矩形的最大面积等于三角形面积的一半 用动态数学实验教 学 学生不单学到预期的知识 而且学习到研究问题的方法 在探索学习中学得更多和更好 学生在实验中可能还会 发现新大陆 4 在函数输入栏输入 fy 4 x x 6 3 按 Enter 可以检验该方程是否正确 例例 4 初等函数的性质初等函数的性质 1 y ax 2 bx c 通过实时操作 适时启示 探索系数 a b c 对图象的影响 2 y a x 通过实时操作 适时启示 探索底数 a 对图象的影响 3 y asin bx c 通过实时操作 适时启示 探索系数 a b c 对图象的影响 y a x y 2cos 2 x sin x 例例 5 函数图象的生成函数图象的生成 用测量值表演示 1 cos 2 sin 3 2 3 x x y 函数图象的生成过程 方法一 5 例例 6 函数平移和拉伸函数平移和拉伸 由 y sin x 图象变换到 y 3sin 2x 1 图象的过程 y sin x 红 y 3sin 2x 1 黑 将 y sin x 向左平移 0 5 得 y sin x 0 5 将 y sin x 0 5 沿 x 方向压缩 1 2 得 y sin 2 x 0 5 将 y sin 2 x 0 5 沿 y方向拉伸 3 倍 得 y 3sin 2 x 0 5 例例 7 导函数的图象导函数的图象 已知 1 cos 2 sin 3 2 3 x x y 求作 y 的图象 根据导数的几何意义 通过实时操作 在未求出导函数之前先作 出导函数的图象 例 fy 3 sin x 3 2 cos x 2 1 方法一 根据导数的定义 fy1 y x h y h h 0 右图中蓝线是 1 cos 2 sin 3 2 3 x x y 的图象 红 线是 h x y h x y y h lim 0 1 的图象 h 0 0001 即 y 的图象 方法二 根据导数的几何意义 在曲线 y 蓝色 上取一点 P 过 P 作曲线的切线 测量 P 的 x 座标和切线的斜率 以 P 的 x 座标为 x 以切线的斜率为 y 作得 y 的图象 红线 验证 按微分公式有 y 9sin 2 x cos x 4cos x sin x 作函数图象 fy2 9 sin x 2 cos x 4 cos x sin x 发现 y2 与 y1 导函数的曲线 重合 6 3 DM Lab 与解析几何教学的例 例例 8 圆锥曲线的轨迹定义圆锥曲线的轨迹定义 到一点一直线的距离成比例的点的轨迹 到两点距离之和为常量的点的轨迹 到两点距离之差为常量的点的轨迹 例例 9 圆锥曲线的极座标方程圆锥曲线的极座标方程 cos 1 a s e ep 例例 10 轨迹问题的探究式学习轨迹问题的探究式学习 已知 园 O 是以 O 0 0 为心 半径为 R 的园 OA 是园的一条半径 AB x 轴 在 OA 上 截取 OC AB 1 求作点 C 的轨迹 2 求点 C 的轨迹方程 解 1 作轨迹 略 2 A R cos sin AB R sin C AB cos sin C 的轨迹方程 sin sin cos sin R y R x 0 2 3 用 DM Lab 验证 tf x R abs sin t cos t y R abs sin t sin t 三 SG Lab 与立体几何教学 例例 11 三维作图的例三维作图的例 互相垂直的两平面 一个阿基米德多面体 异面直线所成的角 平面与圆锥相截 3 sin 3 cos 1 sin 3 cos 1 cos u r z u t r y u t r x 由三维参数方程所得的弯管曲面 斜圆锥的侧面展开图 7 例例 12 平行六面体平行六面体 ABCD A B C D 对角线 对角线 AC 交截面交截面 A BD 于于 E 交截面 交截面 CB D 于于 F 操作操作 实验实验 1 用鼠标移动 O 点 S 点 2 用 Shift 鼠标 移动 B 点 C 点 改变平行六面体 的形态 大小 3 目测 选择测量项目并测量 可以发现可以发现 1 2 3 四 在在 玩玩 数学中的发现和创新 数学中的发现和创新 例例 13 函数函数 y a sinx 1 当 a 5 5 变化时 函数的图象是 2 如果把 a 看做自变量 x 看做参数 当 x 5 5 变化时 函数的图象是 例例 14 在平面极座标下在平面极座标下 6sin a 是一个动态的圆 学生将它直接放在在 3 维球座标 下 玩玩 适当修改定义域 发现 6sin a 变成了一个动态的 水母 2D 的极座标函数 6sin a 3D 的球座标函数 6sin a 3D 的球座标函数 6sin a 五 动画和试卷 文件 课件 1 动画的制作 2 将图形裁剪到 Word 上 3 文件的存取 4 文件的暂存 5 课件的编辑和播放 8 第第 2 讲 讲 数学实验教学讲座数学实验教学讲座 韦辉樑 flwai126 目的 使教师初步了解何谓数学实验教学 时间 3 课时 内容 一一 数学实验教学数学实验教学 数学实验类似于物理实验 通过对实验仪器 设备的操作 在观察现象 测量数据 分 析归纳中获得对事物的认知 数学实验教学的形式可以有三类 1 学生实验 1 数学实验课与物理实验课十分相似 物理实验课 数学实验课 说明 实验课的环境 1 实验室环境 2 操作一定的实验仪器或设备 1 电脑室或数学实验室 2 操作一定的软件或数学模型 要让学生亲自动手 操作 实验课的目的 1 体会或理解课堂学习的物理现 象和规律 2 验证课堂学习的物理定律 3 探索 发现新的物理知识 1 体会或理解课堂学习的数学概 念 定义 定理 2 验证课堂学习的数学知识 3 探索 发现新的数学知识 数学和物理实验课 目的一致 实验课的过程 1 学生操作仪器 设备 2 对现象或数据进行观察 分析 归纳 3 理解 验证 发现物理定律 从 而获得物理知识 1 操作软件或其他数学模型 2 对图象或数据进行观察 分析 归纳 3 理解 验证 发现数学定理或规 则 从而获得数学知识 过程是相同的 通过 操作 观察 分析 猜想 验证 归纳而 获得知识 实验课的形式 在实验室进行 学生自行操作并完 成实验报告 在实验室进行 学生自行操作并完 成实验报告 强调学生动手操作 和实验报告 实验课的地位 作为课堂教学的补充或延伸 实验 课没有取代课堂教学 作为课堂教学的补充或延伸 实验 课没有取代课堂教学 实验课不取代课堂 教学 2 数学实验环境不应该是包罗万有的 而应该像物理实验分为力学的 电学的 光学的 那样 数学实验环境可以分为小学的 中学平几的 函数的 解几的 立几的等等 这 些数学实验环境可以由电脑软件提供 也可以由实物模型或其他形式提供 这里有一个 广阔的研究和开发的天地 Lab 系列是一套电脑软件 它满足了数学实验环境的诸要素 Lab 系列提供一个适合 于中学数学特别是与图形有关的数学实验环境 包括平面几何 初等函数 三角函数 不等式 解析几何 立体几何等内容的学习 3 数学实验课的教学法要点 数学实验课的教学方法要点是 在实验过程中教师除了要适时启示之外尽量少讲 让 学生有充分的时间通过操作进行探索 试验 思考 分析 通过归纳形成猜想 实验报告 是数学实验课的教材 它包括几项基本内容 操作步骤 测量 观察 发 现 分析 猜想或结论 老师不要预设实验结果 实验报告中属于测量性 结论性的 地方留以空白 让学生填写 课堂上未能完成的实验 可以作为回家作业 并鼓励家 长与学生一道完成 学生的操作培训 可以配合资讯技术课 在电脑课学习 DM Lab 的有关操作 数学 实验课不要变成电脑操作课 9 不是书本上所有教学内容都适合实验教学 例如一些属于逻辑推理的课题 演译运算 的课题 对这些课题纸笔仍然是必须的工具 2 演示实验 1 在普通课堂上 教师操作 学生观察 教师启示 学生讨论 以师生互动的方式进行 分析 归纳和总结 这也是数学实验教学的一种模式 演示实验教学 教室具备电脑 及投影设备是必要的硬件条件 软件可以用 Lab 系列 也可以用其他适合的软件 2 作为实验教学 结论都不要预设 必须经过操作 观察 试验 分析 思考 归纳几 个步骤 最后才导至结论 探索式 发现式教学法是演示实验课的主要教学法 3 在现有教材中 结论是和盘托出的 甚至加上特别的标志 进行实验教学需要改革现 有教材 在要下结论的地方留以空白 让学生通过留心观察教师操作并经过讨论获得 共识之后再填写 这里 教材的改革将会有大量的工作要做 4 演示实验要充分利用 Lab 系列图形变换 平移 旋转 拉伸 缩放 动参等 的功能 对 克服印刷教材必然导至的图形定势 对培养学生灵活思考和创意发挥有着重要的作用 5 演示实验教学尽量不要把实验过程事先制作成课件 即时操作可以让学生看得到问题 的产生和解决的过程 现今大多数资讯技术教学 教师都是课前制作好课件 上课时打开课件 按预设的程 序向学生演示 一切都是预谋的 探索 发现失去了动力而流于 说教 即时操作 实 即时操作 实 时反馈 临时尝试时反馈 临时尝试 随机应变 随机应变 是一切实验的基本武功 是一切实验的基本武功 不要把实验最精华的武功废去 Lab 系列的傻瓜型设计 实时动态反馈的功能有助于你废去课件 3 课堂外的数学创意实践活动 源于教材而又高于教材 是课外数学实践 实验 活动的指导思想 例如 学习完基本图形之后可以进行 艺术创意设计 的设计比赛 学习完 四边形内角和等于 360 之后 可以进行 密铺图形设计 比赛 学习完对称图形之后进行 对称图形创意设计 比赛 特别是旋转对称 学完轨迹之后 进行 轨迹创意设计 比赛 还可以想出更多的创意设计比赛活动 这些活动都是源于教材而又高于教材 而且都具 有广阔的创意空间 Lab 系列对这些图形设计都有非凡的功能和非常成功的先例 二二 教师演示实验教师演示实验 动态数学教学设计动态数学教学设计 1 1 应用题 计算题 不等式应用题 计算题 不等式 证明题等的教学 证明题等的教学 表达问题表达问题 作图验证 作图验证 这类问题在教学中是大量的 他们的答案通常是确定的 重要的是要帮助学生理解问题 寻找解题的思路和验证结果的正确性 题目的附图或黑板作图只能作出示意图 可以达到帮 助理解和启发思路的目的 但难以验证结果的正确性 还要警惕 不正确的示意图会导至错 误的结论 用用 DM Lab 作图 表达问题 启发思路 验证答案 作图 表达问题 启发思路 验证答案 例 例 20102010 高考高考 广东广东 文文 已知 函数 f x 对任意实数x均有 2 f xkf x 其中常数k为负数 且 f x 在区间 0 2 上有表达式 2 f xx x 1 求 1 f 2 5 f 的值 2 写出 f x 在 3 3 上的表达式 并讨论函数 f x 在 3 3 上的单调性 10 3 求出 f x 在 3 3 上的最小值与最大值 并求出相应的自变量的取值 分析分析 略 可得 yi x k i y0 x 2i x 2i 2i 2 i 0 1 2 3 4 yi x k i x 2i x 2i 2 x 2i 2i 2 i 0 1 2 3 4 这是一个分段函数 每一段都是二次函数 分段节点是它的零点 在分段的中点 x 2i 1 函数达到它的极值 ym k i 在 DM Lab 函数输入栏输入函数 fy0 x x 2 x 3 5 sy k 4 y0 x 8 8 6 k 3 y0 x 6 6 4 k 2 y0 x 4 4 2 k y0 x 2 2 0 y0 x 0 2 y0 x 2 k 2 4 y0 x 4 k 2 4 6 y0 x 6 k 3 6 8 k 2 0 得函数图象如下 k 1 6 k 1 k 0 54 1 k loga 4x 1 的解的解 本题既要考虑不等的问题 还要考虑定义域问题 还要讨论 a 的情况 容易出错 解 1 先考虑定义域 2x 7 0 4x 1 0 x 1 4 2 当 0 a 2x 7 x 4 x 4 3 当 a 1 时 对数函数递增 2x 7 4x 1 x 1 4 x log 2 x 7 log a 粗线 3 设参数 a 0 3 4 在参数显示栏改写 a 0 5 5 在函数输入栏键入 fy2 log 4 x 1 log a 红色 粗线 6 用 作 y1 和 y2 的交点 7 用 在 x 轴上取一点 A 8 测量 A 的 x 座标 得变量 b 9 测量 A 的 y 座标 得变量 c 1 利用测量值表绘画点的 轨迹 x y1 是无条件的 而 x y2 是有条件的 当条 件成立时 才描出轨迹点 若条件带等号 则轨迹端点 用实心点表示 若条件不带 等号 则轨迹端点用空心点 表示 2 本题的条件是 函数 y1 y2 意思是对于同一个 自变量 x 的值 计算其函数 11 10 双击变量 b 栏 改 b 为 x 11 点选变量 x 爲 x 点选变量 c 爲 y2 12 轨迹条件栏键入 y1 y2 13 选择红色 点剔 y2 14 慢慢拖动点 A 在 x 轴上滑动 得解 x 4 15 在参数显示栏改写 a 3 16 点剔 y2 消除前次轨迹 17 再点剔 y2 慢慢拖动点 A 在 x 轴上滑动 得解 1 4 x y2 的比 较中 图中得到的 A 点轨迹的红 色线就是不等式的解 例例 20052005 高考 高考 江西江西 设抛物线 C y x 2 的焦点为 F 动点 P 在直线 l x y 2 0 上运动 过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA 和 PB 且与抛物线 C 分别相切与 A 和 B 两点 1 求 APB 的重心 G 的轨迹方程 2 证明 PFA PFB 作 图 图 形 说 明 1 1 开启背景格线 2 用 作抛物线 y x 2 3 隐藏 P1 P2 点 4 作函数 fy2 x 2 5 用 在 y2 上取一点 P 6 用 过 P 作 y2 的两条切线 PA 和 PB 7 用 作 PB 中点 C 8 用 连结 AC 9 用 3 等分 AC 得 APB 的重心 G 10 选择红色 用 跟踪 G 点 11 用鼠标慢慢拖动 P 在 y2 上滑动 得 G 点的轨迹 作图表达问题 1 2 经解题得 G 的轨迹方程是 2 4 3 1 2 x x y 验证 输入函数 fy3 4 x x x 2 3 作图验证 函数 fy3 4 x x x 2 3 与轨迹 红线 重合 3 1 撤消 G 的轨迹图线 2 隐藏 AC 及其分点 3 隐藏点 C 点 O 点 4 用 连结 AF BF PF 5 用 标示 PFB 和 AFP 6 测量 PFB 和 AFP 7 用鼠标慢慢拖动 P 在 y2 上滑动 8 监察测量值 12 发现 始终有 PFB AFP 探究 1 如果抛物线是任意的 点 P 也是任意 的 还有 PFB AFP 的结论吗 2 将抛物线换成椭圆 情况相同吗 3 换成双曲线 又怎样 作图测量一下 然后再 证明 2 2 概念的教学概念的教学 返璞归真 返璞归真 例例 相似三角形的定义 相似三角形的定义 教学设计教学设计 一 概念与定义 1 甚幺叫定义 定义是这样的词句 用数学语言精确地去描述一种数学概念 数学定义的一般形式是 如果如果 则则 例如 对应边成比例的两个三角形 叫做相似三角形 对数学定义的理解 常常表现在将定义中的 如果则 反过来运用 如果则 例如 如果两个三角形相似 则它们的对应边成比例 2 概念与定义的关系 在人类探索数学的长河中 先自生活和实践中形成概念 经数学家去芜求精 总结归纳 用精确的数学语言加以叙述 成为了今天教科书上的定义 先有概念 后有定义 概念 源于生活和实践 定义是概念的数学描述 3 定义的教学 传统教学多是先有定义 概念是对定义的解释 违反了人脑认识事物的自然规律 概念 顾名思义 只是一种 大概的意念 是来自生活实践的一些感悟 是定义的源头 国家数学课标 提倡 返朴归真 概念的教学不要从定义出发 而是要重温人类认识事 物的过程 在生活和实践中 从观察 测量开始获得猜想 形成概念性的感悟 然后进 一步用数学语言描述这种概念性的感悟 提升为数学的定义 建构一种数学思想或数学 的认知 4 相似概念的起源 人类最初认识 全等 不是从 ASA 或 SAS 来的 而是从 复制 而来的 人类最初认识 相 似 也不是从 对应边成比例 而来 而是从 缩放 而来的 相似概念的教学不要一来就讲 对应边成比例 而应从 缩放 着手 13 缩放 是一种图形变换 细心观察图形变换的 动态过程 对变换结果进行测量 分析 思 考 归纳 找出变换前后甚幺变了 甚幺不 变 从而得到相似图形的特征 进一步理解 相似的概念 5 图形的性质主要表现在 在动态过程中的不 在动态过程中的不 变性变性 动态数学教学设计的要点是 引导学生聚焦于动态过程中 甚麽变了 甚麽没变 没变 的就是图形的性质 变了的 再进一步探究它变化的规律 变化中的不变性 二 教学设计 1 从观察 测量开始 经过讨论思考 让学生获得 相似 的概念 序 教师 学生 图例 说明 1 1 作出 ABC 2 复制出 A B C 提问 1 这两个 有甚幺关系 2 为甚幺 3 全等 图形之间有甚幺关系 留心观看 全等 可以重合 形状相同 大小相等 学生目睹复制 过程易知 全 等 2 1 将 A B C 放大 提问 1 这时两个 关系如何 讨论 形状相同 大小不等 学生目睹放大 过程获得 形 状相同 的感 悟 3 1 引出概念 我们把形状相同 大小不等的两个图形叫做相似图 形 2 把 A B C 旋转一个角度 问 仍相似吗 为甚幺 仍相似 形状相同 大小不等 学生形成 相 似 的概念 形状相同 4 作图演示 要求学生 细心观察多边形缩放的过程 思 考 1 甚幺没有变 2 甚幺变化了 讨论 不变的 1 点 角 边数不变 2 角的大小不变 3 点角边的排序不变 变化了的 1 边长变了 2 面积变了 将 形状相同 进一步精确化 5 形状相同 有甚幺特征 归纳出相似的 概念 讨论 1 点 角 边数相同 2 对应角相等 3 对应点角边排序相同 向 定义 再进 一步靠拢 2 引导学生对相似概念进行深化 给 相似三角形 一个严格的数学定义 概念 只是一种大概的意念 并非定义 数学上还需对概念深化 抽象化 严格化 形成数学定义 我们从两方面进行深化 然后归纳出相似的数学定义 1 教师讲解寻找对应角 边的方法 学生的难点正在于 谁跟谁对应 谁跟谁相似 1 根据 对应角相等 找 看 出某一对相等的角 其顶点就是第 1 对对应点 2 根据 排序相同 依序可以指出其他对应点 14 3 两对应点所夹的边即为对应边 4 两对应边所夹的角即为对应角 看图的方法 2 通过测量 发现边长变化的特征 由缩放变换中的变化 我们知道对应边一般并不相等 放大或缩小了 我们尝试寻找 它的变化规律 以三角形为例 序 教师 学生 图例 说明 1 测量对应边的比值 A B AB 1 4653 B C BC 1 4653 C A CA 1 4653 注 意 测 量 值 表 发现 比值相同 1 4653 对应边成比例 是通过测量获得 的 比值相同 变 化中的不变性 2 将 A B C 平移 旋转 翻转 发现 比值相同 1 4653 平移 旋转 翻转 3 再缩放 A B AB 0 5457 B C BC 0 5457 C A CA 0 5457 提问 发现甚幺规律 发现 比值相同 0 5457 对应边的比例 相同 放大 比值 1 缩小 比值 1 b 3 c 2 fy a x x b x c 2 描图于右方格框上 3 设定参数为 a 3 3 取最小步长 作出动态图象 观察与发现观察与发现 系数 a 图象的状态 a 0 时 抛物线的开口向 a 在 3 0 内增加时 抛物线开口的大小变 a 在 0 3 内增加时 抛物线开口的大小变 a 增加时 抛物线开口的大小变 a 减少时 抛物线开口的大小变 注意 当 a 0 时 方程变为一次方程 图象变为直线 不在我们讨论范围内 4 在 a 的显示栏改写 a 1 5 作图象与 x 轴的交点 x1 和 x2 精确度调整为 0 0001 6 打开测量与参数监察表 1 在参数监察栏输入 b b 4 a c 得到变量 d 判别式 d b 2 4ac 2 让参数 a 3 3 变化 取最小步长 作出动态图象 20 观察与发现观察与发现 系数 a 判别式 的符号 图象的状态 a 1 1250 d 0 图象与 x 轴 有 个交点 注 若自动或手动控制都不能正好使a 1 1250 则可以在a的显示栏直接输入a 1 1250 归纳归纳 二次项系数 a a 0 的状况 图象的状况 a 0 开口向 a 0 时 抛物线与 x 轴相 有 交点 当 a 变动 使 b 2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴相 有 交点 当 a 变动 使 b 2 4ac 图象变时 有没有一点是不变的 这个不动点的座标是 2 请验证 由韦达定理 a c x x a b x x 2 1 2 1 知 若图象与 x 轴有交点 则 a 与 c 的符号 图象与 x 轴交点的分布 验证结果 当 a 与 c 同号时 x1 与 x2 同号 图象与 x 轴的交点分布在原点的同侧 对 不对 当 a 与 c 异号时 x1 与 x2 异号 图象与 x 轴的交点分布在原点的两侧 对 不对 实验实验二二 系数系数 b 对函数图象的影响对函数图象的影响 1 a 1 2 c 2 3 设定参数为 b 6 6 取最小步长 作出动态图象作出动态图象 观察与发现观察与发现 1 图象开口的方向 变 不变 2 图象开口的大小 变 不变 4 在参数监察栏输入在参数监察栏输入 1 b 2 a 得到 e a b 2 是图象顶点的 x 座标 21 2 d 4 a 得到 f a 4 是图象顶点的 y 座标 3 以 e 為 x f 為 y1 作出 e f 的軌跡 作頂點的軌跡 发现发现 1 当 b 变化时 图象沿一条 线作平移 2 当 b 变化时 图象顶点的轨迹是一条 线 实验实验三三 系数系数 c 对函数图象的影响对函数图象的影响 1 a 1 2 b 2 3 设定参数为 c 6 6 取最小步长 作出动态图象 观察与发现观察与发现 1 图象开口的方向 变 不变 2 图象开口的大小 变 不变 3 图象的 发生变化 4 当 c 变化时 图象顶点的轨迹是一条 线 5 当 c 变化时 图象沿一条 线作平移 进一步观察与发现进一步观察与发现 请验证 由韦达定理 a c x x a b x x 2 1 2 1 知 若图象与 x 轴有交点 则 a c 的符号 a b 的符号 图象与 x 轴交点的分布 验证结果 当 a 与 b 同号 x1 与 x2 同为负 同在原点左侧 对 不对 当 a 与 c 同号 当 a 与 b 异号 x1 与 x2 同为正 同在原点右侧 对 不对 当 a 与 b 同号 当 a 与 c 异号 当 a 与 b 异号 x1 与 x2 为一正一负 分布在原点的 两侧 x1 0 c b c a c a b 2 a b c b c a c a b 三 实验过程 实验一实验一 进一步进一步考察考察 a 2 b 2 c 2 的关系的关系 勾股定理 作图作图 1 用工具 作任意 ABC 2 用工具 标示出 C 3 用测量工具分别测量 BC BC AC AC 及 AB AB 并分别定名为 a2 b2 和 c2 4 用测量工具测量 C 的大小 5 在参数监察栏输入 a2 b2 得变量 a c2 a 得变量 b 23 操作操作 移动 A B C 各点 并记录 C 2 2 b a 变量a 2 c 变量c2 大小关系 1 2 2 b a 2 c 2 2 2 b a 2 c C 90 3 2 2 b a 2 c 注 DM Lab 的测量误差是百分位 即相差百分位的两个量可以认为是相等的 发现发现 1 当 C 90 时 有 2 c 2 2 b a 结论结论 勾股定理 当 ABC 为 三角形时 边的平方等于 边的平方和 表示为 2 c 2 2 b a 暂存该图为 Temp1 实验二实验二 教师演示 拼图验证教师演示 拼图验证 1 从 常用图形 直角三角形 中取出直角 ABC 以 BC a 为一边作正方形 BCHI 面积 a 2 以 AC b 为一边作正方形 ACFG 面积 b 2 以 AB c 为一边作正方形 ABDE 面积 c 2 2 如左图切割正方形 BCHI 和正方形 ACFG 3 重新拼图得右图 验证了验证了 正方形 ABDE 面积 正方形 BCHI 面积 正方形 ACFG 面积 即 c 2 a 2 b 2 四 演译证明 如右图 1 大正方形面积 2 一个小 面积 3 大正方形面积 4 个小 面积 4 小正方形面积 5 24 五 问题讨论 上面实验表明 当 ABC 为直角三角形时 有 2 2 2 b a c 反过来 我们能否由 2 2 2 b a c 来判断这个三角形是直角三角形呢 实验三实验三 发现发现勾股定理逆定理勾股定理逆定理 从 Temp1 中取出图形 操作操作 1 移动 A 点 使得当 b 0 05 时停下 注 长度的测量误差是 0 05 2 观察 C 的度数是 注 角度的测量误差是 30 发现发现 当 2 2 b a 2 c 时 则有 C 这时 ABC 是一个 三角形 结论结论 勾股定理逆定理 在 ABC 中 若一边的平方等于 边的平方和时 则 ABC 是一个 三角形 六 作业 思考并作实验验证 1 若 A BC 是一个直角三角形 分别以 AB BC CA 为一边 向外作三个 1 正三角形 测量它们的面积 发现它们之间的关系是 2 正五边形 测量它们的面积 发现它们之间的关系是 3 半圆 测量它们的面积 发现它们之间的关系是 2 你能否猜想到一个更一般的结论吗 请作图验证 参考上图右 33 DM Lab DM Lab 函数曲线的基本作图和操作函数曲线的基本作图和操作 DM Lab 的作图功能基本上可分为几何作图和函数作图两大部分 初一学生在学习平面几何 时还没有学到函数 这时不要打开函数作图工具 只有当学生学到函数概念以后 需要作函 数图象时 才打开函数作图工具 DM Lab 的函数类型 DM Lab 函数定义式的结构包含四部分 其格式规定如下 函数类型符 函数名称 函数表达式 可以含参数 例如 fy sin x 定义了一个显函数 y sin x 1 函数类型符 DM Lab 函数定义式中第一个字母是函数类型符 DM Lab 允许五种函数类型如下 f 显函数 函数形式是 y f x 内定自变量是 x p 极坐标函数 函数形式是 但是为避免希腊字母的不便 DM Lab 采用 r r s 的形