（计算数学专业论文）仿射变换条件下newton型迭代算法的收敛性及其应用.pdf

摘要 本文研究几种n e w t o n 型迭代算法在两类仿射变换条件下的半局部收敛性，所得到 的结果弱化了一些现有相关结果的条件、推广或改进现有的相关结果具体阐明如下： 在第二章中，应用推递关系分析方法研究得到了两个主要结果第一个结果研究了 h a l l e y 法在弱的l i p s c h i t z 条件下的半局部收敛性并得到了相应的k a n t o r o v i c h 型收敛 判据、收敛速度及解的唯一性第二个结果研究了一种变形的h a l l e y - c h e b y s h e v 族迭代 在一个更一般的可微条件下的半局部收敛性，这种条件包含了l i p s c h i t z 条件和h 6 1 d e r 条件此外，亦得到了相应的k a n t o r o v i c h 型收敛判据、收敛速度及解的唯一性，推广并 改进现有的相关结果 在第三章，应用优序列分析法研究了h a l l e y 法在一个更一般的仿射共变条件下的 收敛性，这种仿射共变条件比目前应用于h a l l e y 法收敛性的最一般的l 一平均l i p s c h i t z 条件更弱，但在这样弱的一般的条件下同样能够保证h a l l e y 法的三阶收敛速度此外， 亦得到了新的误差估计及解的唯一性域特别地，所得到的主要结果推广并改进了相关 文献的相应结果 而在第四章，分别研究了n e w t o n 法和简化n e w t o n 法在仿射反变h 6 1 d e r 条件和仿 射反变l 一平均l i p s c h i t z 条件这两种新引入的仿射反变条件下的收敛性所得到的结果 推广并改进了有关文献的相应结果 最后在第五章中，将本文研究所得到的在仿射共变条件下的主要结果应用到非线 性h a m m e r s t e i n 积分方程的数值求解中，以验证所得结果推广及改进现有文献的有关 结果 关键词：n e w t o n 法；h a l l e y 法：仿射共变性；仿射反变性；半局部收敛 ， j _， ， j a b s t r a c t t h i st h e s i si sc o n c e r n e dw i t ht h es e m i l o c a lc o n v e r g e n c ep r o b l e m so fs o m en e w t o n - t y p ei t e r a t i v em e t h o d st os o l v en o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e s u n d e r t w oc l a s s e so fa f f i n et r a n s f o r m a t i o n sc o n d i t i o n s ，s o m ec o n v e r g e n c er e s u l t s ，w h i c hi n c l u d e a n d o ri m p r o v et h ee x i s t i n gr e l e v a n to n e s ，a r eo b t a i n e d i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gt h es o - c a l l e da n a l y s i sa p p r o a c ho fr e c u r r e n c er e l a t i o n s ，w e o b t a i nt w o c o n v e r g e n c er e s u l t s ，w h i c hi n c l u d ek a n t o r o v i c h - t y p ec o n v e r g e n c ec r i t e r i o n ，t h e r - o r d e ro fc o n v e r g e n c ea n dt h ef i e l do fu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n ，f o rh a l l e y sm e t h o da n d am o d i f i e df a m i l yo fh a l l e y - c h e b y s h e vi t e r a t i v e s ，r e s p e c t i v e l y f o rf i r s to n e ，t h es e m i l o c a l c o n v e r g e n c ep r o p e r t i e so fh a l l e y sm e t h o df o rn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n sa r es t u d i e d u n d e rt h eh y p o t h e s i st h a tt h es e c o n dd e r i v a t i v es a t i s f i e ss o m ew e a kl i p s c h i t zc o n d i t i o n a n df o rt h es e c o n do n e ，t h es e m i l o c a lc o n v e r g e n c eo faf a m i l yo fc h e b y s h e v - h a u e yl i k e i t e r a t i o n sf o rn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n si ss t u d i e du n d e rt h eh y p o t h e s i st h a tt h ef i r s t d e r i v a t i v es a t i s f i e sam i l dd i f f e r e n t i a b i l i t yc o n d i t i o n t h ec o n d i t i o ni n c l u d e st h eu s u a l l i p s c h i t zc o n d i t i o na n dt h eh s l d e rc o n d i t i o na ss p e c i a lc a s e s i nc h a p t e r3 ，u n d e rs o m em a j o r a n tc o n d i t i o n sw h i c ha r ew e a k e rt h a nt h el - a v e r a g e l i p s c h i t zc o n d i t i o n s ，an e ws e m i l o c a lc o n v e r g e n c ea n a l y s i sf o rh a l l e y sm e t h o di sp r e - s e n t e d t h i sa n a l y s i sp r o v i d e sac l e a rr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h em a j o r i z i n gf u n c t i o na n d t h en o n l i n e a ro p e r a t o r t h i sa p p r o a c he n a b l e su st od r o po u tt h ea s s u m p t i o no ft h e e x i s t e n c eo fas e c o n dr o o tf o rt h em a j o r i z i n gf u n c t i o n ，b u ts t i l lg u a r a n t e e sq - c u b i cc o n - v e r g e n c er a t ea n do b t a i nan e we s t i m a t eo ft h i sr a t eb a s e do nad i r e c t i o n a ld e r i v a t i v eo f t h et w i c ed e r i v a t i v eo ft h em a j o r i z i n gf u n c t i o n m o r e o v e r ，t h em a j o r i z i n gf u n c t i o nd o e s n o th a v et ob ed e f i n e db e y o n di t sf i r s tr o o tf o ro b t a i n i n gc o n v e r g e n c er a t er e s u l t s i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h es e m i l o c a lc o n v e r g e n c eo fn e w t o n 8m e t h o da n ds i m p l i - f l e dn e w t o nm e t h o du n d e rs o m ew e a ka f f i n ec o n t r a v a r i a n tc o n d i t i o n s t h er e s u l t sw e o b t a i n e dg e n e r a l i z et h eo n e sg i v e nb yd e u f l h a r da n dh o h m a n n ，r e s p e c t i v e l y a n df i n a l l yi nc h a p t e r5 ，s o m ea p p l i c a t i o n st oan o n l i n e a rh a m m e r s t e i ni n t e g r a l e q u a t i o no ft h es e c o n dk i n da r ep r o v i d e d a n ds o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e d t od e m o n s t r a t et h ea p p l i c a b i l i t ya n de f f i c i e n c yo ft h eo b t a i n e dc o n v e r g e n c er e s u l t s k e y w o r d s ：n e w t o nm e t h o d ；h a l l e ym e t h o d ；a f f i n ec o v a r i a n c e ；a f f i n ec o n t r a v a r i a n c e ； s e m i l o c a lc o n v e r g e n c e 目录 摘要 i a b s t r a c t - i i i 目录 v 第一章 1 1 1 - 2 1 3 绪论 1 研究背景及其现状 l 相关概念与仿射变换条件 5 论文的组织 8 第二章仿射共变条件下的收敛性：递推关系分析法 2 1 h a l l e y 法b - c h e b y r s h e v 法的仿射不变性 2 2 仿射其变中心l i p s c h i t z 条件下h a l l e y 法的一个收敛结果 2 2 1 递推关系 2 2 2 预备引理 2 2 3 半局部收敛结果- 2 3 仿射共变u 条件下h a l l e y c h e b y r s h e v 族迭代的收敛结果 2 3 1 预备引理 2 3 2 半局部收敛结果 2 3 3 特殊情形：h s l d e r 条件卜的收敛结果 第三章 3 1 3 2 3 3 3 哇 第四章 4 1 仿射共变条件下的收敛性：优序列分析法 优序列的收敛性 仿射共变优条件下的收敛性 两个重要的特殊情形 3 3 1 仿射共变l i p s c h i t z 条件下的收敛结果 3 3 21 条件下的收敛结果 进一步讨论 仿射反变条件下的收敛性 n e w t o n 法n ：新的f 厅射反变条f i ，l = 卜i ，内收敛悱 4 1 1 仿! ：| f 反变1 1 5 1 ( 1 ( ，r 条件卜的收敛陀 9 9 o 0 2 7 8 9 l 6 9 o 3 6 7 7 0 1 1 1 1 l 1 1 l 1 2 2 盈 3 3 3 3 3 4 4 4 4 1 2 仿射反变l 一平均l i p s c h i t z 条件下的收敛性4 3 4 2 简化n e w t o n 法在新的仿射反变条件下的收敛性4 4 4 2 1仿射反变中心h s l d e r 条件下的收敛性4 5 4 2 2仿射反变l 一平均中心l i p s c h i t z 条件一卜的收敛性4 6 ，1 3 关于n e r t o n 型迭代在仿射反变条件下的收敛性的进一步讨论4 7 第五章在非线性h a m m e r s t e i n 积分方程中的应用4 9 5 1 应用一4 9 5 2 应用二5 1 参考文献5 5 附录ab a n a c h 空间微分学的相关理论基础5 9 攻读学位期间取得的研究成果6 1 致谢6 3 浙江师范大学学位论文独创性声明6 5 学位论文使用授权声明6 5 第一章绪论 在求解非线性数学物理问题时，如常微分或偏微分方程边值问题、积分方程、极小 化问题等，经有限维离散化后可转化为对有限维的非线性方程组的求解( 具体例子可见 1 】) 另外，非线性优化、数理经济学问题也常常归结为求解非线性方程组因此，研究 非线性方程组的求解算法具有重要的实际意义 1 1研究背景及其现状 令x 和y 是欧氏空间或一般的b a n a c h 空间，d 是x 的一个开凸子集，设f ：dc x _ y 是一个f r 6 c h e t 可导的非线性算子，考虑如下一般的非线性算子方程： f ( x ) = 0 ( 1 1 ) 求解方程( 1 1 ) 的近似解是一个重要的数学问题有别于线性方程组的情形，求解方程 ( 1 1 ) 一般应用迭代方法目前，n e w t o n 法是求解非线性算子方程( 1 1 ) 的最有效方法， 其迭代格式定义为( 初始点；t o 给定) ： z n + l = z n f ，( z n ) 一1 f ( x n ) ，n = 0 ，1 ，2 ，( 1 2 ) 用迭代法求解算予方程( 1 1 ) ，基本的途径是构造一个有效的迭代格式( 如n e w t o n 法( 1 2 ) ) ，使得由给定的初始点出发，逐步逼近到方程( 1 1 ) 的一个解于是，迭代法的 收敛性成为研究的一个核心问题一般情况下，收敛性分析有以下三种类型： 局部收敛性：该类型首先假定方程( 1 1 ) 存在解矿，再根据f 在矿的局部条件 ( 例如，f 在z 是连续可微的) 来研究有关迭代法的收敛性质，其中包括收敛速度、 解的唯一性球及( 最重要的) 收敛球半径的最优性例如，关于n e w t o n 法( 1 2 ) ， 文献【2 - 8 】分别研究了该迭代法在不同条件下的最优半径及相应局部收敛结果1 半局部收敛性：这种类型在不知方程解矿存在的情形下，根据f 在某一近似初始 点z o 的局部条件来研究有关迭代法的收敛性质，一般包括收敛判据、收敛速度以 及以z o 为中心的收敛球和解的唯一性球2 全局收敛性：有别于前面两种，这种类型研究当f 满足某些适当的( 全局) 条件 时，可以保证取定义域内任意一点作为初始点时都可收敛到方程的某个解( 有解 存在时) 常用的方法有阻尼n e w t o n 型法、同伦延拓法、置信域法和l e v e n b e r g m a r q u a r d t 法。等，详见文献【1 ，9 】 1 其一f 一打i 腱了的结粜：【d 】的结粜是在解析条什下得到的：【6 l 的结果是在h 5 1 d e r 条件下得到的：而 5 ，7 ，8 】 分别红不l 丌j 的蜓。般的条件卜统一了1 2 - 4 1 的结果特圳地【5 l 和条件锋价但分析方法不i 口j 2 这i p 的收敛球f i l 解的咐一竹球j 局部收敛分析i f i 的 i ij 咀慨念小同义献【f ；】给出r 局弁f j 收敛分析的仃笑定义 3 小实上，该力浊办是一种喹彤的n e w t o n 法冈为它魁神：n e w t o n 法的坫础上褂到的。详细分析i i j 虻【9 1 2 本文丰要讨论有关迭代法的半局部收敛性事实上，式( 1 2 ) 只是一种形式记号，当 x 和y 是欧氏空间，并应用n e w t o n 法对( 1 1 ) 进行求解时，实际是求解线性方程组： f ，( z n ) a x t i = - f ( x n ) ，n = 0 ，1 ，2 ，( 1 3 ) 求得上述方程组的精确解a x n 后，由z n + l = z n + a x n 进行迭代修正从数值计算的 角度看，n e w t o n 法( 1 2 ) 具有收敛快的优点，在实际计算时每一步运算只与前一步有 关，误差不传播且是自校正的因此，在理论和实际应用上都是一种重要的方法但 是，n e w t o n 法亦有其不足，例如，在每步计算中都要计算n 2 个分量偏导数值和n 个分 量函数值，并求一次矩阵的逆，运算量较大为此，n e w t o n 法有不少改进的算法 这些修正的n e w t o n 法统称为n e w t o n 型迭代法4 ，常见的有以下几种类型： 一般的n e w t o n 法：尸( z 。) a x n = 一f ( s 竹) ，x n + 1 = z n + a x 住，亿= 0 ，1 简化n e w t o n 法：这种变形的n e w t o n 法将每步计算f ，( z n ) 改为固定的，( z o ) ： f ( x o ) a x = 一f ( s n ) ，z l = s n + z n ，n = 0 ，1 ， ( 1 4 ) 这样，每步只需要计算n 个分量函数，但这种迭代法只有线性收敛 n e w t o n 类法：当f ( z n ) 不易于求解时，通常可用其他算子来近似逼近它，例如用 一个差商矩阵逼近它的j a c o b i 矩阵基于这样的思想可得如下的变形n e w t o n 法： m ( x n ) a s n = - f ( x n ) ，z n + 1 = z n + z n ，n = 0 ，1 ，( 1 5 ) 其中m ( s 竹) 是近似于f ( z n ) 的矩阵 非精确n e w t o n 法：若f ( z n ) 已求得，但n e w t o n 方程( 1 3 ) 的精确解却是不易求 解的这时可以这样考虑，仅去求满足某种条件的( 1 3 ) 的近似解( 如用迭代法) 来 作为迭代修正a x 。这种方法即称为非精确n e w t o n 法： ，( z n ) a s n = - f ( x n ) + ，x n + l = s n + a s n ，n = 0 ，1 ，( 1 6 ) 其中r n y 一般应满足i i r 1 l l l l f ( s n ) 0 ，i i , = 0 ，1 ， ) 满足0 1 ， 可能与z 竹有关，为控制序列，用来控制求方程( 1 3 ) 的解的精确程度显然令 三0 时得到一般的n e w t o n 法 拟n e w t o n 法：基本思想是用通过计算函数值来代替导数以避免求导格式为： 厶a x n = - f ( x n ) ，厶+ 1 a s n = f ( s n + 1 ) 一f ( s n ) ，厶+ 1 = 厶+ 厶， ( 1 7 ) 其巾厶是近似于( z n ) 的矩阵 g a u s s n e w t o n 法：主要应用于求解非线性最小二乘( 约束无约束) 问题，格式为： ， 0 f ( z n ) a x n + f ( s 。) 0 = m i n ，x n + l = z 。+ a x n ，n = 0 ，1 ，( 1 8 )j 4 这里所讨论的n e 叭o n 型法与拿局收敛性i l l 的阻尼n e w t o n 型法一般是不同的，_ 者的区别i l 见义献【9 】 第一章绪论3 此外，还有几类高阶的变形n e w t o n 法如h a l l e y 法，迭代格式为： x n + l = z n 一【i l f ( x n ) 】一1 f 7 ( z n ) 一1 f ( x n ) ，n = 0 ，1 ，( 1 9 ) 及c h e b ) r s h e v 法，迭代格式为： x n + l = z n 一【i + l f ( x n ) i f 7 ( z n ) 一1 f ( x n ) ，n = 0 ，1 ，( 1 1 0 ) 其中l f ( x ) = f ( z ) 一1 f ( z ) f ( z ) 一1 f ( z ) 关于n e w t o n 法( 1 2 ) 收敛的性质研究主要有以下两个方向： k a n t o r o v i c h 型收敛理论：理论上，n e w t o n 法收敛性的一个最重要收敛结果是被 称为n e w t o n - k a n t o r o v i c h 半局部收敛定理【1 0 1 大量的收敛结果都是基于所谓的 k a n t o r o v i c h 型条件而得到的 s m a l e 点估计理论：该理论是由s m a l e 于1 9 8 6 年提出，他假设f 在初始点是解析 的，且给出了基于如下三个不变量的一个收敛判据 4 】： lq ( f x 0 ) = p ( e 黝) ，y ( e z o ) ， z c f , x 0 ) = i i f ( 知) f ( x o ) l l ， 。( 1 1 1 ) 【7 ( e , t o ) 2 麓( x 0 ) 。肚。1 i i 击 在1 9 4 8 年，k a n t o r o v i c h 应用b a n a c h 压缩映射原理得到了n e w t o n 法的一个半局部收 敛定理，称之为n e w t o n - k a n t o r o v i c h 定理，该定理在理论和应用上都是相当重要的，它 是解方程算法现代研究的起点 定理1 1 ( n e w t o n - k a n t o r o v i c h 定理【1 0 1 ) 假定f ：dcx y 是开凸子集d 上的一 个二次f r d c h e t 可导的非线性算子，且 i i f w ( z ) 0 m ，z d ( 1 1 2 ) 设存在初始点x 0 d 使得p ( z o ) _ 1 存在且i i f ( x o ) 一1 0 p ，l i f ( x o ) 一1 f ( x o ) i i f 7 并满 足h ：= m 砌 另外，令t = ( 1 一【_ = 砑) m 卢及t 。= ( 1 一f _ f 甄) m 卢，并设 b ( x o ，t ) cd 那z a n e w t o n 法( 1 2 ) 有意义，且对于所有的n n 有z n b ( x o ，t + ) ，并 收敛于方程( 1 1 ) 的一个解z 该解在b 上是唯一的，其中 豆： b ( ) n d , 若2 1 ， lb ( x o ，t ”) i 1d ，若2 h = 1 此外，下面的误差估计式成立： * - - x n i i i 志2 1 一n ( 2 ) 2 “一1 7 7 ，n = o ，1 ，2 ，( 1 1 3 ) 其中伽和h n 由如下递推关系式给出( 阮= p ，r o = ，7 ，h o = ，) ： 风：卑，：g 菩尘 七，h h n ：m 阮， n ：1 ，2 玩2 i _ 石2 可f i 五 2 朋，n21 z 一 4 1 9 5 1 年，k a n t o r o v i c h 引入了优序列法给出了上述定理的一个新证明【l 叫事实上， 他证明在相同的条件下，由n e w t o n 法( 1 2 ) 所产生的序列 z n ) 满足 i l z 州1 一x n 0 亡n + 1 一t 竹，i i z + 一x n 0 t 一t n ，n 0 ， ( 1 1 4 ) 其中，优序列 t 竹) 定义为 t o = o , 饥咄一怒，删 1 2 ， 优函数，( ) = m f l t 2 一t + r 1 注意到估计式( 1 1 4 ) 与( 1 1 3 ) 是相同的，因为由【1 1 】可知 厶+ - 一k = ，t 一k = 1 等- 、1 - 2 h , , = 丁志，矿一k = l 簪+ v f l - 2 h n 定理1 1 中的条件一般称为k a n t o r o v i c h 条件，其中条件h ：= m 砌j 1 称为 k a n t o r o v i c h 判据之后，有大量的文献对条件( 1 1 2 ) 进行改进弱化，例如，o r t e g a 1 】在 1 9 6 8 年将其弱化为f ，满足l i p s c h i t z 条件： i i f 7 ( z ) 一f ( 可) i i l i i x 一矽0 ，z ，y d 进一步，r o k n e 【1 2 】在1 9 7 2 年将l i p s c h i t z 条件推广为h s l d e r 条件： 0 f 7 ( z ) 一f ( 可) 0 g l l x 一可i l p ，p ( 0 ，l 】，z ，y d ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 其他重要的工作还有【3 ，1 3 - - 1 9 需要特别注意的是，n e w t o n 法( 1 2 ) 所产生的序列 z 。) 在仿射变换条件下具有不变性这一重要性质由d e u f l h a r d 和h e i n d l 【1 5 】在1 9 7 9 年首先给出明确论述，之后，在【2 0 ，2 l 】中得到进一步精细 定理1 2 ( 仿射共变n e w t o n k a n t o r o v i c h 定理 1 5 】) 设f ：dcx _ y 是开凸子 集d 上的连续f r 6 c h e t 可导的非线性算子设有初始点x o d 使得f ( z o ) 可逆且 i i f ( x o ) - 1 f ( z o ) l l q ，并假设如下l i p s c h i t z 条件成立 f ( z o ) 一1 ( f ，( z ) 一( y ) ) i i u i j z y 0 ，z ，y d ( 1 1 7 ) 如果h ：= 叫 且百石i 西cd ，p 一：= ( 1 一 两) 则由n e w t o n 法( 1 2 ) 所 产生的序歹q z n 有意义，z n 百瓦i 西，且收敛到方程( 1 1 ) 的一个解矿另外，当 h 1 2 时，迭代具有二阶收敛速虎 定理中的条件( 1 1 7 ) 称为仿射共变l i p s c h i t z 条件，该定理是n e w t o n - k a n t o r o v i c h 定理( 定理1 1 ) 的一个重要推广这是因为，对于给定的一个非线性方程，若它满足定 理1 1 ，那么一定满足定理1 2 但若满足定理1 2 ，则不一定满足定理1 1 例如5 ，令 x = y = r 2 ，d = z = ( x l ，z 2 ) 丁i 一1 0 ，且设0 r ：1 使 得b ( x o ，r ) cd 如果f ( x o ) 可逆且f 在b ( x o ，r ) 具有满足 愀知) - 1 f ( z ) 1 1 矿嘛丽 的二阶连续导数，则称算子f 在百丽上满足7 条件如果f 在b ( x o , r ) 具有满足 o(z。)一lf“)(xo)ll 0 ，f 都满足条件( 2 3 ) 2 2 1递推关系 本小节首先定义网个正实数序列，并分析其一些基本性质这一组实序列间存在着 一定的递推关系这组实序列及其性质对于h a l l e y 法( 1 9 ) 收敛性的论证起关键作用 设g ( s ) 是定义在 0 ，1 ) 上的连续函数，其解析式为 如，= 警孺( 1 + 击) 仁4 ， 显然，q ( s ) 在【0 ，1 ) 上是严格单调增加的，且满足q ( o ) = 0 及当z _ 1 一时g ( 8 ) _ + o o 于是，存在唯一的s + ( 0 ，1 ) ，8 = 0 8 0 0 5 7 6 使得g ( s + ) = 1 记 丁：丝型坚塑：o 1 3 4 0 6 5 (25)9 r = 二一= i - 一 iz hi s * 一1 、。7 设实数a ，b ，c 满足0 0 及2 b c 0 式( 2 1 0 ) 亦成立，则o l ( 1 一仃知) = 1 ，于是n 七+ 1 1 = 知+ 1 = 七+ l ( r 七+ 1 一毗+ 1 ) 即 口知+ l ( 1 一c “+ 1 ) = 1 一c a k + l d k + l ，从而得到( 2 1 0 ) 在n = 七+ 1 亦成立 另外，由递推关系( 2 7 ) 有 知如= 蛊= 惫，七_ 0 1 2 一 ( 2 1 1 ) 下面的几个引理是递推关系( 2 7 ) 的一些基本性质 引理2 1 设实数a ，b ，c 满足0 0 及2 6 c 2 一口，则 c 七 是一个有 界的严格递减的序列，且对所有的k 0 有( 0 ，1 - ) ，其中r 由式( 2 5 ) 给出此外， 2 南( + 2 ) ，七= o 1 2 一 ( 2 1 2 ) 证明由递推关系( 2 7 ) 及式( 2 1 1 ) 可得 = 三( 南) 2 ) d j l - ( 准) 2 南= 尚”2 ， 故式( 2 1 2 ) 得证定义实函数，0 ) = x 2 ( 2 + x ) ( 1 3 x ) 2 ，则对于任意的z ( 0 ，牮) 有，( z ) z 由于r 等产且c d = ，于是由式( 2 1 2 ) 即得( o ，下) 且 ) 是一个 有界的严格递减的序列证完 r l 引理2 2 假设引理2 1 的条件成立，若记，y = c l c o ，则 ( i ) ，y s ( i i ) 口七) ， k ) ， 及 以均为正序列 ( i i i ) 下列估计成立： + 1 瓦a ，y 2 川， 噍万b 中， 卜聪志；萎。7 2 i ， 其中7 由式( 2 9 ) 给出 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 也 七锄 = 以 +d+ 如 = 七 r 1 2 证明( i ) 注意到c o 丁，由式( 2 1 2 ) 有 e l c o ( 2 + c 0 1 7 2 一c o2 丌vx 习- 哥v # 。 【上一j c 0 j 在上式中解出c 0 ，得 c o = 盟单 r - - 堕等# 从而可知1 s ( i i ) 由递推关系( 2 7 ) 及 ，的单调性知，如果 口七) 是一个正序列，那么其他三个 序列也同为正的事实上，由a k 的定义( 2 7 ) 及关系( 2 i i ) 可知， o 七 是正序列当且仅 当c k 1 由引理2 1 知仉( 0 ，丁) 而丁= 0 1 3 4 0 6 5 ( i i i ) 对于估计式( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 及( 2 1 5 ) ，如果0 s 1 而c k 8 c k 一1 ，则由式( 2 1 2 ) 仇+ = 可= 焉瓦f ( 仇+ 2 ) 禹( o k - 1 - - 2 ) = s 2 于是由引理2 1 知0 ，y 1 且c l 7 c o 从而可得 + 1 7 2 仇7 矿7 2 一y 2 c l 7 ( 2 k + - + 2 1 ) 7 c o = 7 2 + 1 瓦a ， 也= 百c a k d k = ：1 五2 c 七一1 一1 五2 c k c ka k c1 南q 南c t l 彳。，吼= = 一_ 一一冬一_ 一 _ _ 弋q 冬_ ：_ - 一y 一， c n 奄 c 上一 一c 七c i 上一7 j一7 j 7 及 证完 r 一仇2 i - - - - 0d 一1 - - - - 0 d 2 i-萎-k1 吨赤i = 三k1 ，+ 、， + 口