（电路与系统专业论文）直流电测深反演算法的研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 电测深是电法勘探中常用的一种方法，由于其适用范围广、探测成 本低，工作效率高、装备轻便等特点，在许多领域得到广泛的应用。为 此，对其核心技术一一电测深反演的研究，具有十分重要的意义。 本文针对传统反演算法所存在的某些缺陷，结合当前一些较新的理 论研究成果，在前人研究的基础之上，作了一点探索性研究工作。 针对快速模拟退火算法( v f s a a ) 在高温阶段扰动幅度总体上偏小 的不足，同时，为了更好的兼顾“确定性”搜索和“盲目性”搜索的有 机结合。提出了改进媳按速模拟退火方法( i v f s a m ) ，对v f s a a 作了 两方面的改进：1 采取了在高温阶段使用随机扰动方式，其余阶段扰动 方式不变的策略；2 在当前温度下，经指定次数的扰动后，找出所有被 接受状态中能量最低的状态，以其作为当前状态。通过数值试验仿真， 证实了其在电测镙反演应用中的有效性，并取得了良好的反演效果。 为进一步提高广义逆反演法的反演精度和速度，降低其反演结果对 初始参数的依赖性，结合m r a 的思想，提出了融合小波多分辨率分析 ( m r a ) 的多尺度广义逆反演方法( 简称多尺度广义逆反演法， m u l t is c a l eg e n e l i z a t i o ni n v e r s l o nm e t h o d ，m g i m ) 。通过对正则方程两端 进行不同级小波变换，从而将原问题分解在不同尺度下进行研究，并以 当前尺度下的反演结果作为下一级尺度下进一步反演的初值，这样经过 由粗至细的逐次反演，最终求得具有一定精度的反演结果。试验仿真结 果表明，m g i m 不仅提高了反演速度和精度，而且节省了存储资源，这 一优势在高维反演的应用中显得尤为有意义。 关键词：电测深；反演；广义逆：模拟退火；m r a 西北大学硕士学位论文 a b s t r a c t r e s i s t i v i t ys o u n d i n gi so n eo fm e t h o di ne l e c t r i cd e t e c tu s u a l l y ，i ti su s e d e x t e n s i v e l y ，b e c a u s e o fi t sm a n yc h a r a c t e r i s t i c ，s u c h a se x t e n s i v e a p p l i c a b i l i t y ，l o w c o s td e t e c t ，h i g he f f i c i e n c y ，p o r t a b l ee q u i p m e n te t c i ti s v e r ys i g n i f i c a n tt os t u d yt h ei n v e r s i o no fr e s i s t i v i t ys o u n d i n g b a s e do nt h ef o r m e rf r u i ta n dn e wt h e o r y , d i s c u s s i b l er e s e a r c hi sd o n ef o r t h es h o r t c o m i n go ft r a d i t i o n a li n v e r s i o no fr e s i s t i v i t ys o u n d i n g i v f s a mi sp r e s e n t e di no r d e rt oc o m b i n et h er e s e a r c ho fc e r t a i na n d b l i n d n e s sa n dm e n dt h es m a l l e re x t e n td u r i n gt h eh i g ht e m p e r a t u r e v f s a ai si m p r o v e di nt w oa s p e c t s o n ei st h a tt h er a n d o md i s t u r bi su s e d d u r i n gt h eh i g ht e m p e r a t u r ew h i l et h eo t h e rp h a s ei s n td o n e a n o t h e ri st o f i n dt h el o w e s tp o w e rf r o mt h ea c c e p t e ds t a t e sa f t e rd i s t u r b i n gi nd e s i g n e d t i m e sa n dt a k ei ta st h ec u r r e n ts t a t e t h ev a l i da n de f f e c to ft h i sa p p r o a c hi s p r o v e di nt h ea p p l i c a t i o no fi n v e r s i o no fr e s i s t i v i t ys o u n d i n gb ys i m u l a t i o n t oi m p r o v et h es p e e da n da c c u r a c yo ft h eg e n e r a l i z e di n v e r s i o no f r e s i s t i v i t ys o u n d i n ga n dd e c r e a s et h ed e p e n d e n c eo ft h er e s u l t t ot h e o r i g i n a lp a r a m e t e r ，m u l t i s c a l eg e n e r a l i z e di n v e r s i o no fr e s i s t i v i t ys o u n d i n g c o m b i n e dw i t hm r ai sp r e s e n t e d t h r o u g ht r a n s f o r mo fd i f f e r e n tg r a d e w a v e l e tt ot h et w os i d e so fn o r m a le q u a t i o n ，t h ep r o b l e mi ss e p a r a t e di n d i f f e r e n ts c a l e t h er e s u l ti nc u r r e n ts c a l ec a nb e e nt a k e na st h eo r i g i n a l p a r a m e t e rt ot h en e x ts c a l e t h ef i n a lr e s u l ti sa c c u r a t ei ns o m ed e g r e eb y g r a d u a lp r o c e s sf r o mr o u g ht od e t a i l t h ep cr e s u l tp r o v et h a tm g ic a nn o t o n l yi m p r o v et h es p e e da n da c c u r a c yo fi n v e r s i o no fr e s i s t i v i t ys o u n d i n g b u ta l s os a v et h em e m o r yw h i c hi sv e r ys i g n i f i c a n ti nt h eh i g h - d i m e n s i o n a p p l i c a t i o n k e yw o r d s ：r e s i s t i v i t ys o u n d i n g ；i n v e r s i o n ；g e n e r a l i z e di n v e r s e ； s i m u l a t e da n n e a l i n g ；m r a 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：兰垒丛 指导教师签名：量牢兰三至 孑o 。s 辱占弱b捌j 年占月? 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：j “式 一e y 年6 只e l 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 课题研究的背景和意义 一课题研究的背景 电法勘测是勘探地球物理学的重要分支之一，而直流电测深法则是 电法勘测中普遍应用的一种方法。它以地下探测介质电阻率为基础，根 据电场在不同电阻率介质中的分布规律，来研究探测对象在不同深度上 的地质构造情况1 1 , 2 1 。由于其适用范围广、探测成本低，工作效率高、装 备轻便等特点，因而在地质构造探测、地下水、能源( 石油、天然气、 地热、煤田) 及矿产资源勘探等领域得到广泛的应用，近年来其应用又 扩展到考古、工程勘查、环境监测等领域。 电测深从实现方法的角度可分为正演和反演。所谓正演是指由理论 模型参数计算观测数据( 视电阻率) 的理论值。而反演是指由实际观测 数据推测可能的模型参数。反演是相对于正演而提出来的，正演又是反 演的前提和基础，二者是相辅相成的，其关系如图1 1 所示。一般来说， 由于正演模型是确定的，模型参数是完备和无噪的，因此，正演问题的 解是唯一的，其理论也是比较成熟的。而在反演问题中，实际数据总是 含有噪声，并且在多数情况下难以观测到全部的信息，往往会造成反演 问题的多解性，所以对反演问题的研究，无论在理论上，还是在实际应 用中，始终是研究的焦点。 图1 1正、反演关系图 过去对电测深数据的反演解释主要依据曲线版图，所以对复杂的地 下介质难以得出正确的解释结果。随着电子技术和计算机技术的发展， 西北大学硕士学位论文 电测深数据的采集、处理及解释技术也得到了飞速的发展，使大量高质 量的野外测量数据的快速自动解释成为现实。再加之广义逆理论、现代 非线性优化理论以及小波理论的发展和广泛应用，为电测深自动反演解 释技术的进一步发展提供了可能。 二课题研究的意义 尽管传统电测深反演技术( 一维反演) 相对于目前研究较热的r t ( r e s i s t i v i t yt o m o g r a p h y 。电阻率层析成像) 技术已经非常成熟。但是 r t 技术的基础仍是电测深反演方法，所以通过结合当前最新的一些理论 成果，从原始创新的角度来进一步研究电测深反演方法，不论对于r t 技术的发展，还是对电法勘探的其他分支，乃至其它物探( 磁法勘探、 重力勘探、化探等) 反演方法的研究都有定的促进作用。 另外，从应用价值的角度讲，由于电测深法的高效率、低成本是其 它勘探技术无法相比的，所以通过对其反演机理和算法的研究，若能够 做一定创新性改进，克服其反演结果精度不够高，分辨率低的缺陷，无 疑会使其在一些场合更具广阔的应用前景。 1 2 电测深反演的研究现状及存在的问题 一， 研究现状 早在二十世纪三十年代，国外就有人提出了电测深反演的思想。但 当时由于观测手段和计算技术的落后，一般对观测数据只能进行定性或 粗糙的定量解释，因此也就没有在实际工作中发挥其应有的作用。直到 1 9 6 8 年荷兰的凯福德( k o c f o e d ) 根据核函数丑( 兄) 的性质作了一些变换之 后，给出了任意层水平介质的电阻率转换函数t 和各层参数( 电阻率和厚 度) 之间的递推关系式，以及1 9 7 1 年荷兰的戈什( g h o s h ) 提出了用线性滤 波的方法，使电测深反演具备了应用电子计算机来解释的基本条件，进 而使其由定性变为定量，由手动变为自动，而且反演解释速度和精度也 得到极大提高，从此拉开了电测深数据自动反演的序幕。 二十世纪七十年代，g h o s h ，i n m a n 首先发表了一维构造解释方法； 后来，p e l t o n ，s a s a k i ，t r i p p 等相继对二维反演方法作了卓有成效 的研究；自二十世纪八十年代以来，相对于最优算法提出来的启发式算 两北大学碗t 学位论文 法被逐步应用于一些反演问题中，它是一种在可接受的计算费用内寻找 最好的解，但并不保证所有解的可行性和最优性的一种技术，随着计算 机技术的发展，启发式算法越来越受到人们的关注；1 9 8 7 年t a r a n t o l a 又从概率的角度提出了广义反演方法，该方法把表示先验的模型协方差 矩阵和数据协方差等先验信息直接引入到反演公式中；1 9 9 4 年s a s a k i 又发表了三维反演解释方法，这些研究成果的发表推动了电测深反演的 巨大发展”“。 总结当前已成功应用于实践，且具有代表性的各种电测深反演算法， 主要可分两大类：( 1 ) 基于梯度的线性化算法，如最陡下降法( k o e f o e d ， 1 9 7 9 ) ，马夸特法，广义逆反演法等；( 2 ) 基于现代非线性最优化思想的 算法，如模拟退火算法，遗传算法，蚁群算法，禁忌算法，神经网络算 法。 二存在的问题 电测深反演的各种算法，各有利弊，其中存在的问题概括起来有如 下几点： ( 1 ) 精度问题：由于基于梯度的线性化算法其实质是将非线性问题转化 为线性问题：而基于现代非线性最优化思想的算法，其机理是一种在可 接受的计算费用内寻找最好的解，但并不保证所有解的可行性和最优性， 所以它们都势必会造成反演结果的一定误差； ( 2 ) 稳定性问题：基于梯度的线性化反演算法，基本都要涉及解线性方 程组。而当模型参数较多时，方程组的条件数很大，从丽造成求解不稳 定，致使迭代发散； ( 3 ) 初始模型的选择问题：一方面有些反演方法本身是属于局部方法的， 即它们利用的是局部信息( 如目标函数的梯度) ：另一方面由于反演问题 的非线性。要求初始模型接近真实模型，才能达到可靠的结果，即反演 结果强烈依赖于初始模型的选择，但是，在实际应用中，通常给出一个 好的初始模型是较为困难的，所以若对其选择不当，易使反演结果陷入 局部最优解。 另外，由于电测深曲线的等值性，以及受复杂地形的影响，容易造 成反演结果的多解性和假异常，从而严重的影响反演结果的正确性和精 西北大学硕士学位论文 度。 于是研究和解决这些问题就显得十分有意义。 1 3 本论文的主要工作 本文的工作主要分以下五个方面： 1 调研了国内外有关本课题的研究现状、分析了存在的问题：构架了本 文工作的研究思路； 2 对电测深的机理和传统经典反演算法作了一定研究： 3 对模拟退火算法在电测深反演中的应用，作了探索性尝试和改进； 4 将小波多分辩率分析( m r a ) 思想融合到广义逆反演中，提出了融 合小波多分辩率分析的广义逆反演方法，并尝试将该方法应用到电测 深反演中； 5 基于m a t l a b 6 5 平台开发了直流电测深反演数值试验系统。 西北大学硕士学位论文 第二章电测深法基本理论及正演模型 自1 9 1 2 年施伦贝尔热( s c h l u m b e r g e r ) 首次进行电测深工作以来， 直流电测深法的理论和技术在不断发展和完善。7 0 年代初，戈什( g h a s h ) 将数字滤波理论引入到电测深领域，引起电测深数值计算和解释方法的 重大变革，促进了电测深方法的发展。这种新的数值计算和解释方法于 7 0 年代末引入我国，立即引起了广大地球物理勘探工作者的关注，并取 的了可喜的进展【1 ，2 1 。 2 1 电测深法基础 2 1 1v e s 工作基本原理“- 2 v e s + ( v e r t i c a le l e c t r i cs o u n d i n g ，垂向电阻率测深法) 是通过探测视电阻 率这个参数来解决不同的探测问题，其工作过程主要分为数据采集和数 据处理解释两个阶段。 amon b 图2 1 四极对称装置 焱数据采集除段，使用专用黪装置采榘到测点处的一系列援电嫩率 值，文本主要以对称四极装置为例进行讨论。 怼称霆极装置是瞧测涤孛最霉瘸戆一耱装置，该装嚣示_ ；蠹圈如图2 。1 所示。供电电极a ，b 和测鼯电极m ，n 对称排列于测嫩点0 的两侧， 基在瓣一条煮线主。逶常掰说瓣瓣稼鬻辍装置楚獾m n 运枣予a b 豹对 称四极装置，国外称之为施伦贝尔热( s e h l u m b e r g e r ) 装霞。工作时首先 在遥甏上由纛流电源通过供电电极( a ；簸b ) 囱缝下供电( 电流为i ) ， 形成了人工直流电场，由于直流电场中电荷的分布不随时间耐变化，所 + 文中所提电测深若不作特殊说明，均指v e s 西北大学硕士学位论文 以它为稳定电流场：其次通过测量电极( m 和n ) 测出当前电位差a v ， 记录供电极距a b 的当前距离，并根据公式： p ：k 兰 ( 2 1 1 ) 。 求得当前电极距a b 下的视电阻率值( 式中k 为装置系数，对称四极装 置的的装置系数为：k ：万! 二垒，r 为o a 间的距离，b 为o m 之间的距 2 6 离) ；然后保持测量极距m 和n 的位置，以测点。为对称中心沿测线逐 步扩大供电电极a 和b 之间的距离，从而采集到测点0 处的一系列视电 阻率值与相应的电极距。把每一测点的一组测量结果绘在双对数坐标系 ( 横坐标以a b 2 为变量，纵坐标以视电阻率a 为变量) 中，就得到该测 点的电测深曲线( 又称n 曲线) 。 在数据处理解释阶段，先对采集到的数据作一定的预处理，然后对 其作相应的解释，也就是对p 。曲线作反演，推测可能的模型参数。 数据处理解释的主要目的是反演出引起各种异常的原因，但是因为 能引起异常的因素不只是探测目标体本身，其它各种因素也能引起异常， 这些异常迭加在有用异常上，便形成干扰 7 , 8 1 。而归化是剔除于扰、突 出有用异常的常用方法。另外，由于在解释过程中，常常需要对采样数 据进行内插和外延，从而估算出非采样点的值。 2 1 2 数据预处理” 一归一化 为了突出采集数据中的有用异常，需要对采集到的数据进行归一化 处理。 所谓归一化就是将所有的采集数据值均除以所采集数据的最大值， 这样处理后的b 曲线图就可以更好地反映出异常峰值。 设采集数据中最大值为b ，进行归一化就是对所有采集数据砖；按 下式处理： 几：且 ( 2 1 2 ) 西北大学硕士学位论文 这样处理后的数据，异常峰值为1 。 二 内插和外延 在电测深数据的反演中，需要对采集到的数据进行加密，以便同正 演得到的理论数据进行拟合，这就需要对原始数据进行内插和外延处理。 插值法实质就是寻求简单、易求的插值函数o ( x ) 。使它在n + 1 个己 知节点，五，矗处的值等于己知的观测值，即中( 薯) = z ，( f = 0 , 1 ，n ) ， 这样就可由它在x 点的函数值西( 曲来近似待求值，( 曲。一般根据插值点 和已知节点的位置关系，可将插值法分为内插和外延( 或外推) 。 常用的插值法有拉格朗日插值、三次样条函数插值、多项式插值以 及加权法插值。本文仅给出加权插值的有关公式，其它插值方法可参考 文献54 1 。采用加权法进行插值时，可以用距离的倒数或距离平方的倒数 作权系数，一般公式为： 厂( 工) = z ( 2 1 3 ) i = 0 式中= ( 1 ) 1 ，+ l r 2 + + l r , 】或心= ( 1 r 2 1 ) t 1 r l + l r ：+ + l r ，】 在进行电测深反演前，对实测视电阻率经过插值和外延操作，使视 电阻率值采样点在以a b 2 为变量的横坐标上呈指数分布且向左有一定 延伸。 2 。1 。3 电测深曲线类型 在对称四级装置中，一般勘探深度和供电极距a b 的大小成正比。 用小的a b 测量，主要反映浅部岩层的性质；用大的a b 测量，可以反 映深部岩层的性质。而电测深曲线则大致反映了测点下岩层电阻率随深 度的变化规律，通常对不同的地电断面，电测深曲线呈现不同的类型， ( 一) 二层断面的视电阻率曲线类型 地面断面由两个电性层组成：上层电阻率为p l ，厚度为i l i ；下层电 阻率为岛，厚度为无限大。这种地层断面上测得的视电阻率曲线为二层 曲线。二层电测深曲线有两种类型：当n b 时，表现为右支下降的d 型曲线。如图2 3 所示。 殛靶大学颁 ：学位论文 了7 _ 了厂7 了7 7 丁 p lh l 图2 。3二层电测深曲线类型 ( 二) 三层曲线类型 地面断蘧由两个电性层组成：第一层电阻率为反，厚度为趣；第二 层电阻率为岛，厚度为j j l 2 ：第三层电阻率为岛，厚度为无限大a 三层电 测深益线的基本形态出p t 、岛和岛三者豹大小关系决定，如图2 ，4 所示， 三层曲线共有四种类型： h 翟：a 见 p 3a 型：角 岛 见 p 3 7 7 7 7 7 7 丌 p 1h l 湛 2 图2 4三层电测深曲线类型 ( 三) 四层及多层照线类型 决定四层电测深曲线形状的是n 、 曲线共有八种类型，如图2 5 所示； h a 型：n p 2 见 p 2 ak q 型 a a 型：日 见 见 nq h 型： a k 型：一 p 4 p 、 p t p l 岛 见 n 西北大学硕士学位论文 _ 7 7 7 7 7 7 丌 p lh i 如h 2 p 3h 3 图2 5四层电测深曲线类型 可见每多一层，曲线类型就增加一倍，所以可用类似方法考虑更多 层曲线的类型。例如地电断面的电阻率关系为：一 , 0 3 凤 7 时，它是严重病态的“。因而，高斯法迭代解的稳 定较差，同时由于每步所求解都有很大的误差，再加上误差的传播与不 断积累，致使校正结果x m 比更远离，从而会使迭代发散。 综上所述，高斯法的收敛性和稳定性均不理想，因而没有实用价值， 但它的最优化思想是恰当的，而且它的迭代步长大，只要改善了稳定性， 西北大学顼舞位论文 就会使其成为优秀的最优化方法。 马奎特( 1 9 6 3 ) 正是针对高斯法迭代解的稳定较差的不足，提出了 一种的改进方案，被称为阻尼最小二乘法1 。该方法综合了最小二乘法 和最速下降法两者的优点。 二，算法的描述： ( 一) 阻尼最小二乘法法方程 定理：具有正对角元的对称优势阵a 一定是正定的，且只要实数a 充 分大，就能使由实对称优势阵a 构成的新阵4 + ，必为正定的，良态的“。 阻尼最小二乘法正是基于以上结论，为改善高斯法的数值稳定性和 收敛性，给系数阵a 的对角线元素加上一阻尼因子a ，从而使方程 ( 3 2 8 ) 改写成： 【a + ，】r = g ( 3 2 1 1 ) 式中i 是单位矩阵，方程( 3 2 1 1 ) 也称阻尼最小二乘法的正则方程。 另外，可以证明方程( 3 2 1 1 ) 的右端项就是目标函数的梯度乘以 一号，从而正则方程( 3 - 2 1 2 ) 可以改写成： 【4 + j t i a x = 一詈删击 由于一个向量和一个单位矩阵相乘不改变向量的大小和方向，所以 不难看出方程( 3 2 1 2 ) 左端第二项相当于最速下降方向。当旯值选择 较小时，蚜的方向靠近最小二乘方向，这时硝的步长较大，收敛速度 较快。而当这一方向不收敛时，就增大a 值，旯值越大，a x 的方向就越 靠近最速下降方向，同时i x 的步长越小，就越能保证迭代过程稳定地收 敛。可见阻尼最小二乘法是在最小二乘方向和最速下降方向之间取某种 插值”“1 。 理论已证明”“”1 ，在相同步长条件下，阻尼最小二乘法的修正方向 最好。只要选取适当阻尼系数旯，就可使每次迭代的结果数值稳定，从 而保证迭代收敛。所以阻尼最小二乘法的关键在于如何选择适当的阻尼 系数且，使迭代在保证稳定收敛的前提下，提高收敛速度。 ( 二) 利用阻尼最小二乘法进行电测深反演的步骤 西北大学硕士学位论文 1 给定模型参数x 初值x 0 = ( 爿”，o ，) ，计算目标函数 ( x o ) ； 2 给定初始阻尼系数a 和常数v ( 一般取2 1 0 ) ： 3 解方程 a + a i a x = g ，求得a x ，进而得修正后的参数x ( 1 ) = z o + a x ： 4 由新参数1 计算目标函数( x ( 1 ) ； 5 比较o ( z ) 和m ( z 1 ) 的大小，当中( x ( 1 ) 巾( x o ) 时，表明本次迭代收 敛，可以继续向最小二乘方向靠拢，转到第6 步；当o ( x ( 1 ) m ( z ( o ) 时， 表明迭代不收敛，需增大五值，向最速下降方向靠拢，令 ：m ，转 到第3 步； 6 令x o = x ”，a = i v ，转到第3 步继续下一次的迭代，直到取得满足 要求的结果为止。 3 。2 。2 改进静爨怒纛枣二乘法 ( 一) 隧尼最小二乘法的缺陷 1 阻尼最小二乘法仅以中( x 1 ) 和似x ) 的大小关系作为迭代收敛和确 定z 德的依撰，这使褥探索曩据灏数极夺僮懿过程带蠢缀大黥喜基 性，从而影响运算执行的效率； 2 。由于v 蓬是搴先固定鲍，获鼓，懿莱常数y 镶选择太小，囊遗臻 中1 ) o ) 而需增大 值时，a 值却增加不大，从而会重复出现 骰x 秭) 瓤x 辞) 静谤况；强群翔采y 谴逡择太大，当出瑷 o ( 爿( ”) e ( x ( o ) 而需减小a 值时，可能会使五值取得太小。这两种情 凝都会造成在每次遮筏辩骚计算两次醵上强标涵数和解两次潋上方 程1 3 1 1 “。 ( 二) 其体的改进播施 针对阻尼二暴法的上述不足之处，可进行以下改进哺”1 ： 1 线性化指标r ，作为每次迭代怒否收敛判断依据： 霄= 筹稿器 沲跷。， 西北大学硕士学位论文 $ ( x o ) 和击( x 1 ) 则是依线性化后的函数求出的目标函数的值，公式的分 母可由下式计算： 圣( x ( o ) 一击( z ( 1 ) = 2 a x 7 9 a z 7 a a x = 2 艺a x i g i 一i 缸( 缸) 1 f = li = l i - i 式中是矩阵a 的i 行j 列元素。 这样在具体应用时，首先根据具体问题设定常数p 和盯 ( 0 p 盯 盯时，说明目标函数的线性化程度好，这次迭代收敛，可以缩 小五，向最小二乘方向靠拢，以加速收敛，取 = 旯v ； ( 2 ) r p 时，说明目标函数的线性化程度较差，本次迭代不收敛，应 该增大a ，向最速下降方向靠拢，以保证收敛，取a = 以； ( 3 ) 当p s r 口时，说明目标函数的线性化程度般，本次迭代收敛， 应保持原a 值不变。 2 截止阻尼系数的选取 可依公式计算截止阻尼系数丸“”，本文为便于计算直接取五= 1 0 - 4 ， 并令当a n 。各电极距下的理论视电阻率值是模型参数x 的 函数，记为厂( x ) = ( z ( x ) ，五( x ) ，厶( x ) ) 7 。取目标函数： 巾( x ) - - z ( y , 一z ( 爿) ) 2 = ( m z ( 葺，乇，) ) 2 ：l l 中 l l ： i m li = l 在高斯法中，将求该目标函数最优解的问题转换成求解正则化迭代求解 法方程组 j 7 ，x = ，7 e( 3 3 2 ) 从而间接求得参数修正量的最小二乘解。由于系数矩阵，7 ，常含有小的 特征值，使其条件数很大，所以系数矩阵j 7 ，是严重病态的1 6 l ，从而导 致解不能稳定收敛。而阻尼最小二乘法不失为提高稳定性的可取之法， 但对阻尼因子的选取始终找不到一个很好的方法。为此我们另辟途径， 采用数值稳定性较强的算法，直接解超定方程 j a x = e( 3 3 3 ) 这就是广义逆反演法。 ( 二) 广义逆反演算法描述 广义逆反演算法是在迭代过程中，用奇异值分解法求解超定方程 ( 3 3 3 ) 。由于奇异值的稳定性，理论上不论系数矩阵是否病态，甚至 a 不满秩，都能得到数值稳定的解。 算法步骤描述： 1 对超定方程( 3 3 3 ) 的系数矩阵( 雅可比矩阵) j 进行l a n c z o s 奇 异值分解： ，= u y 7 ( 3 3 4 ) 式中u 是i n 阶正定矩阵，矿是n 阶正定矩阵，为完成奇异值分解后的 聊一对角阵，当秩r a n k ( j ) = ，时，有r 个递减的非零对角元素，它们是j 的奇异值。 2 求矩阵j 的p e n r o s e 广义逆 j + = y 一u 7 ( 3 3 5 ) 西北大学硬士学位论文 式中一是的广义逆矩阵，是n x m x 寸角矩阵，其左上角也有r 个非零对 角元素，它们是的对应元素的倒数。 3 求解超定方程( 3 3 3 ) 得 x ：j + b = y 一u 7 e ( 3 3 6 ) 该解为残差范数最小意义下的最小二乘解 4 由所求参数修正量修正本次迭代的初始参数x ，得： 彳( 1 ) = x ( o + a x( 3 ，3 7 ) 5 再以x ( 1 作为下次迭代的初值，求得新的超定方程( 3 3 3 ) ，然后重 复以上步骤，直到满足给定的精度要求，并以当前参数值彳o 作为最终的 反演结果。 3 3 2 广义逆反演算法的有关辅助信息”5 _ 1 ” 根据3 3 1 节广义逆反演法，超定方程，脯= e 的解可表示为： 麟“= j + e = v z u e ( 3 3 8 ) 式中心“为模型参数的估计值。由于广义逆矩阵，+ 不依赖于e ，故估计 值硝“与e 之间呈线性关系，这样估计值簖“也可视为矩阵j + 将e 变换 而得。因而我们在进行算法分析时，将注意力集中到矩阵j 上，而不在 解估计值硝“，并且期望通过对矩阵，+ 的研究，能够了解更多有关反演 的性质。 为便于分析，以上标“p r e ”、“o b s ”分别表示预测值( 模型的理论 值) 和测量值。由超定方程和参数模型估计式可得如下三个矩阵： ( 一) 数据分辩矩阵 e ”= ，“= j ( j + e “) = ( i j + ) e “= l 腰“ ( 3 3 9 ) 式中n = + 为m 阶方阵，称为数据分辩矩阵( d a t ar e s o l u t i o nm a t r i x ) 或称为信息密度矩阵( i n f o r m a t i o nd e n s i t ym a t r i x ) 。它描述了电测深 数据的理论值和实测值的拟合程度。如果= ，则e ”= e “，即数据相 互独立，理论值与实测值完全拟合；否则，对应的理论值是实测值的加 权和，这时实测数据之间存在相关性，说明有多余信息存在，同时理论 值不会与实测值完全拟合。所以，数据分辩矩阵n 趋近于单位矩阵i 的 程度可作为理论值拟合实测值的标志；还可以根据其对角线元素的大小 西北大学硕士学位论文 衡量对应数据的重要性，主对角线元素大者，对应的数据是重要的，在 野外观测和资料处理时应优先考虑。同时可以证明，n = j j + 是在最小二 乘意义上逼近单位矩阵的最佳数据分辩矩阵。 ( 二) 模型分辩矩阵 a x 廿= j + e 如= j + ( j x 恤) = ( j + j ) x 帅。= 丑x 船 ( 3 3 1 0 ) 式中用a x 表示未知的真实模型参数向量，r = j + ，被称为模型参数分辩 矩阵，或称为模型分辩矩阵( m o d e lr e s o l u t i o nm a t r i x ) 。r 是将真实 解映射成为反演估计解的一个变换。如果r 是单位矩阵，则躺“和硝 完全一致，即反演结果是唯一的，否则，如果r 近似于个单位矩阵， 则模型参数的反演估计值就是真实模型参数的加权平均值。 ( 三) 协方差矩阵 假设实测数据是统计独立的，且其均值为零，方差为盯2 则有 【c o y a x 】_ 盯2 j j ( 3 3 1 1 ) 称其为模型参数的协方差矩阵，可用如下无偏估计式计算盯2 仃2 = m 。( 埘一月) = l i e j r “1 1 2 ( 掰一) ( 3 3 1 2 ) 3 3 3 改进的广义逆反演算法 理论上，广义逆反演算法即使在包含零奇异值的情况下，也能得到 唯一的解。但是，在计算机上进行自动反演时，遇到的奇异值大多数都 很小，它们会导致迭代运算不收敛。因此，在反演过程中，必须设法压 制小奇异值的不利影响。j u p p 和v o z o f f 提出的改进的广义逆反演算法， 通过两种途径有效的解决了这一问题。一是将小的奇异值舍去，并在反 演过程中不修改相应的参数；二是引入阻尼因子，阻尼小奇异值的不利 影响，控制相应的参数修正量。 j u p p 和v o z o f f 提出了改进的广义逆矩阵，于是超定方程，趟= e 的解可以表示成： a x = b + - e ( 3 3 1 3 ) 式中b + = 互，一e ，= r a n k ( j ) ；u r = 瓯霉= v 一。，分别为对j 进行 西北大学硕士学位论文 l a n c z o s 奇异值分解所得的正交阵u 、v 的前r 列子矩阵：，为r 阶对角 阵，一：，。1 成为普通逆；i 为r 阶对角阵，其对角线元素为： t i = 仃p 怕j n + 妒、 盯，是j 的奇异值，兄是阻尼系数，是一个小的正数，n 为正整数。 当n 一。0 时，相当于奇异值截断法。截去小于a 的奇异值q ；当n = 1 时，这种改进的广义逆反演法与阻尼最小二乘法相当，故有时也称其为 阻尼广义逆反演法；当a = o 时，即为前述的普通广义逆反演法。 改进的广义逆反演算法的其它步骤同3 3 1 节广义逆反演算法的步 骤。 3 4 数值试验 一般在实际反演中常采用两种不同的途径：一是直接在视电阻率 域内拟合电测深p s 曲线；另一种是在视电阻率转换域内拟合电阻率转换 函数曲线。 10 。c ： ：j 1 t n 玎= - = 3 ：= 丁l 丁工口瓢= ：l ：i 了= 1 了蕊 拟奇培鼎 【- - - j - ：i = ! i ：崔：士：j ：j 土j ：j ：l 毒一 卜- - - - - ：- ； 荆_ ：- - - 一 x ； ；一 h 1 e 盔1 0 三蔷曲拽 筻 ! 一一嚣一j 柠m r 汁；删，r h 捌排辩? ； h i l i i i l l l ：! 鞫 曼蠹旺爱量曩嘲 4 - - ：- i + i - ：- 一 一+ + ：- h + ：1 7 ：? ：? ：。：= ：r ：? _ x 们：导 鬻冀薰耄嚣i 1 0 1 n 2 1 0 31 0 41 0 6 ( n 2 1 0 ，啊= l ，岛= 1 ，= 4 ，岛= 2 5 ) 图3 1利用改进的阻尼最小= 乘法对h 型曲线反演的结果 在视电阻率域内拟合电测深p s 曲线的过程如前面章节所述。而拟合 视电阻率转换函数曲线的过程为：先把实测的a 曲线经卷积运算转换成 电阻率转换函数于曲线，然后根据给定层参数的初值，利用电阻率转换 函数递推公式计算理论电阻率转换函数亍，再用于和于分别表示目标函数 ( 3 2 1 ) 中的于和，其余过程同视电阻率域中所作的反演。 1 0 0 委0 扯自一 i 舞 h - h ： h 一： h - ：- 一t 佃：导 1 0 0 主1 0 一 4 - 一 一：- ； i 一- ： - - f = 4 - - i m - - r ： - ：- ： 翊 一 - _ 一 - - - e 3 - 墨鎏塑堕堕垫 ； 一 - ： 蒸篓鍪黧：i 囊釜：誉三 噔：蝣：强 i - 一- ：一 一 ： - + p 十 一 i - 1 q z 1 酽 1 0 4 ( a = 1 0 ， = 1 ，, 0 2 = 1 ，吃。4 ，p 3 22 5 ) 图3 2利用改进的广义逆反演法对h 型曲线反演的结果 粕t 自自鲁0 1 0 6 - - ：一i - * ：- - - ：一 ： - p - ： - ： h - ：- 一 - - - ：- ： - r i 佃。：导 - + - 一 + * 怵偎型瞄璃 善耕嘉墓羹理论曲线 初始参数理论曲线 醚黼誊赞； 齐搴枣焉= = = = ；| = ：瀚 ：? ：。? = ? ：? ? = 。：。：? j = = ： 一”州黔o i皤强卜。- i - 弱：；- i 1 0 1 0 i 1 0 31 酽1 酽 ( p l = 1 0 ，啊= 1 ，岛= 3 ，心2 4 ，见2 1 4 ，镌2 2 3 ，, 0 4 。2 ) 图3 3 利用改进的阻尼最小二乘法对h k 型曲线反演的结果 - 2 8 台始 袋爱薄臣= = i 薹j一 羟= i ：群k盐捌能 -rl，。r-鞲臻心j：，- 西北大学硕士学位论文 m ( n = 1 0 ，噍= 1 ，, 0 2 = 3 ，吃= 4 ，, 0 3 = 1 4 ，呜= 2 3 ，, 0 4 = 2 ) 图3 4 利用改进的广义逆反演法对h k 型曲线反演的结果 我们在数值试验仿真中所用的实测视电阻率值，都是通过对正演结 果进行采样而得到的，采样间隔与将其转换成电阻率转换函数所用的滤 波器的间隔是一致的。 为验证阻尼最小二乘反演法和广义逆反演法在电测深反演中的应用 效果，我们对1 5 0 条正演曲线进行了反演解释。图3 1 一图3 4 给出部 分解释结果，表3 1 给出了两种反演方法解释结果的比较。 从图3 卜一3 4 可以看出，两种方法都能得到较为理想的解释结果， 相对而言广义逆反演法的解释精度稍高一点。需要说明的是，为了有可 比性，其结果都是在相同的初值下得到的，并且这些初值都与最终结果 比较接近，图3 1 和图3 2 中取的初始参数值为：p i = 9 5 ， = 0 8 ，岛 = o 7 ，如= 7 ，p 3 = 2 3 ；图3 3 和图3 4 中取的初始参数值为：n = 8 9 ， 。o 7 ，岛= 3 2 ，吗= 6 ，, 0 3 = 1 6 ，吩= 1 9 ，, 0 4 = 1 6 。另外，我们在试 验仿真中利用了几组不同的初始参数值，尽管当所取初始值远离实际理 论曲线时，它们反演的结果都有较差的精度，但是，阻尼最小二乘法的 反演结果对不同的初始参数值反映灵敏，而广义逆反演法就表现的不那 么灵敏，究其原因，主要是因为广义逆反演法的稳定性要优于阻尼最小 二乘法，这一点从表3 1 也可得到很好的说明。 在表3 1 中我们给出了在三组不同的初值下，两种方法的反演结果比 西北大学硕士学位论文 较。初始参数值1 比较接近理论值，所以它们的反演结果都比较理想， 而初始参数值2 和初始参数值3 就与理论值相差甚远，这时它们反演的 结果精度都较差，相对而言，利用广义逆反演法解释的结果都稳定在初 值参数附近，而利用阻尼最小二乘法解释的结果就不那么稳定，比较在 初始参数2 和初始参数3 下的反演结果，就会不难看出这一点的。 表3 1k h a 型曲线在不同初值下反演的结果比较 n 嘎岛琏a吃 成 红 风 理论参数值 1 022 58 01 634 061 2 0 初始参数l 8 8l 。51 3 88 l1 72 53 851 1 5 m i19 31 82 4 87 9 61 6 12 83 9 25 81 1 8 9 g il9 51 82 4 88 0 0 l1 5 83 o3 9 45 71 1 9 4 初始参数2 8 51 23 61 07 5 6 1 08 0 m i28 44 11 4 64 1 71 1 87 35 4 28 98 5 6 g i28 74 21 6 54 2 31 2 35 75 3 18 48 6 6 初始参数3 1 5 8 1 6 1711 02 585 0 m i31 9 40 71 2 62 95 41 7 32 2 51 4 11 5 7 g i31 4 16 91 82 lo 97 82 97 36 1 4 注：表3 1 中m i1 表示在初始参数l 下利用改进的阻尼最小二乘法进行反演，g i l 表示在初始参数1 下利用改进的广义逆进行反演，其余依此类推。 综合分析试验仿真结果，