福建省三明一中高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系系统化单元综合检测（含解析）新人教A版必修2(1).doc

第二章第二章 点 直线 平面之间的位置关系点 直线 平面之间的位置关系 一 选择题 1 垂直于同一条直线的两条直线一定 a 平行b 相交c 异面d 以上都有可能 2 正四棱柱 1111 dcbaabcd 中 abaa2 1 则异面直线 11 adba与 所成角的余弦值为 a 5 1 b 5 2 c 5 3 d 5 4 3 经过平面外两点与这个平面平行的平面 a 可能没有b 至少有一个c 只有一个d 有无数个 4 点 e f g h 分别为空间四边形 abcd 中 ab bc cd ad 的中点 若 ac bd 且 ac 与 bd 所成角的大小为 90 则四边形 efgh 是 a 菱形b 梯形c 正方形d 空间四边形 5 已知 m n 为异面直线 m 平面 n 平面 l 则 a l 与 m n 都相交b l 与 m n 中至少一条相交 c l 与 m n 都不相交d l 只与 m n 中一条相交 6 在长方体 abcd a1b1c1d1 中 ab ad 2 3 cc1 2 则二面角 c1 bd c 的大小为 a 30 b 45 c 60 d 90 7 如果平面 外有两点 a b 它们到平面 的距离都是 a 则直线 ab 和平面 的 位置关系一定是 a 平行b 相交c 平行或相交d ab 8 设 m n 是 两条不同的直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是 a m n m nb m n m n c m n m n d m n m n 9 平面 平面 ab cd 是夹在 和 之间的两条线段 e f 分别为 ab cd 的中点 则 ef 与 的关系是 a 平行b 相交c 垂直d 不能确定 10 平面 平面 a b ab 与两平面 所成的角 分别为4 和6 过 a b 分别作两平面交线的垂线 垂足为 a b 则 ab a b 等于 a 2 1b 3 1 c 3 2d 4 3 二 填空题 11 下图是无盖正方体纸盒的展开图 在原正方体中直线 ab cd 所成 角的大小为 第 10 题 d c a b 第 11 题 12 正三棱柱 abc a1b1c1 的各棱长均为 2 e f 分别是 ab a1c1 的中点 则 ef 的长 是 第 12 题 a b c a1 b1 c1 e f 13 如图 ac 是平面 的斜线 且 ao a ao 与 成 60 角 oc aa 于 a a oc 45 则点 a 到直线 oc 的距离是 第 13 题 14 已知正四棱锥的底面边长为 2 侧棱长为 5 则侧面与底面所成二面角的大小为 15 已知 a b 为直线 为平面 a b 对于 a b 的位置关系有下面五个结 论 平行 垂直不相交 垂直相交 相交 不垂直且不相交 其中可能成立的有 个 三 解答题 16 正方体 ac1 的棱长为 a 1 求证 bd 平面 acc1a1 2 设 p 为 d1d 中点 求点 p 到平面 acc1a1 的距离 17 如图 abcd 是正方形 o 是该正方形的中心 p 是平面 abcd 外一点 po 底面 abcd e 是 pc 的中点 求证 1 pa 平面 bde 2 bd 平面 pac 18 如图 在四棱锥 p abcd 中 pd 平面 abcd pd dc bc 1 ab 2 ab dc bcd 90 1 求证 pc bc 2 求点 a 到平面 pbc 的距离 19 如图 棱长为 1 的正方体 abcd a1b1c1d1 中 1 求证 ac 平面 b1d1db 2 求证 bd1 平面 acb1 3 求三棱锥 b acb1 体积 20 已知 bcd 中 bcd 90 bc cd 1 ab 平面 bcd adb 60 e f 分别是 ac ad 上的动点 且 ac ae ad af 0 1 1 求证 不论 为何值 总有平面 bef 平面 abc 2 当 为何值时 平面 bef 平面 acd p o e c d b a 第 17 题 d1 c1 b1 a1 c d b a 第 19 题 第 18 题 第 20 题 参考答案 一 选择题 1 d 解析 当垂直于直线 l 的两条直线与 l 共面时 两条直线平行 当这两条直线与 l 不共面 时 两条直线平行或相交或异面 2 d 解析 当将 ad1 平移至 bc1 连接 a1c1 a1bc1 是异面直线 a1b 与 ad1 所成的角 在 a1bc1 中 容易计算 a1b bc1 5 a1c1 2 由余弦定理得 cos a1bc1 5 4 3 a 解析 当平面外两点的连线与此平面垂直时 经过这两点与这个平面平行的平面不存在 4 c 解析 依条件得 ef 2 1 ac gh 2 1 ac ef gh 又 eh 2 1 bd fg 2 1 bd eh fg ab bc ef eh ac 与 bd 所成角的大小为 90 ef 与 eh 所成角的大小为 90 四边形 efgh 是正方形 5 b 解析 对于 a 满足条件的直线 l 可以与 m n 中一条相交 对于 c 若 l 与 m n 都不相交 l 分别与 m n 共面 l m l n m n 矛盾 对于 d 满足条件的直线可以与 m n 都相交 6 a 解析 若设 ac bd 交于点 o 连接 c1o 则 bd co bd c1o coc1 是二面角 c1 bd c 的平面角 tan coc1 bc cc1 3 3 coc1 30 7 c 解析 当 a b 两点在 同侧时 直线 ab 和平面 平行 当 a b 两点在 异侧时 直线 ab 和平面 相交 8 b 解析 对于 a m n m n 可以不垂直 对于 c m n m n 可以不垂直 对于 d m n m n 可以不垂直 9 a 解析 设 a c b d 若 ab cd 共面 ac bd e f 分别为 ab cd 的中点 ef ac 且 ef ac ef 若 ab cd 为异面直线 则过点 f 做直线 mn ab mn 交 于 m 交 于 n 则 mc nd f 为的 mn 中点 ef am 且 ef am ef 10 a 解析 连接 ab a b 于是 aba 6 bab 4 设 ab a a b acos6 3 2 a bb acos4 2 2 a a b 1 2a ab a b 2 1 二 填空题 11 60 解析 将展开图恢复为正方体时 点 b d 重合 ab cd ac 三条面对角线构成等边三 角形 直线 ab cd 所成角的大小为 60 12 5 如图 取 a1b1 的中点 g 连接 fg eg fg 1 eg 2 ef 5 13 4 14 a 解析 如图过点 a 作 ab oc 垂足为 b 连接 a b 点 a 到直线 oc 距离是 ab 依条件得 aa 2 3 a a o 2 1 a a b 4 2 a ab 16 2 4 3 a 4 14 a 14 60 解析 依条件可知正四棱锥底面中心到一边的距离为 1 侧面等腰三角形底边上的高为 2 侧面与底面所成的二面角的余弦值是2 1 侧面与底面所成的二面角的大小是 60 15 5 解析 依条件可知当 a b 时 以上五种情况都有可能出现 因此五个结论都有 可能成立 三 解答题 16 证明 1 aa1 ab aa1 ad 且 ab ad a aa1 平面 abcd 又 bd 平面 abcd aa1 bd a b c o a 第 13 题 ab c a1b1 c1 p d d1 o 第 16 题 第 10 题 a b c a1 b1 c1 e f g 第 12 题 又 ac bd aa1 ac a bd 平面 acc1a1 2 dd1 aa1 aa1 平面 acc1a1 dd1 平面 acc1a1 点 p 到平面 acc1a1 的距离即为直线 dd1 到面 acc1a1 的距离 也就是点 d 到平面 ac c1a1 的距离 设 ac bd o 则 do 的长度是点 d 到平面 acc1a1 的距离 容易求出 do 2 2 a p 到平面 acc1a1 的距离为 2 2 a 17 证明 1 连接 eo 四边形 abcd 为正方形 o 为 ac 的中点 e 是 pc 的中点 oe 是 apc 的中位线 eo pa eo 平面 bde pa 平面 bde pa 平面 bde 2 po 平面 abcd bd 平面 abcd po bd 四边形 abcd 是正方形 ac bd po ac o ac 平面 pac po 平面 pac bd 平面 pac 18 1 证明 pd 平面 abcd bc 平面 abcd pd bc 由 bcd 90 得 cd bc 又 pd dc d pd dc 平面 pcd bc 平面 pcd pc 平面 pcd 故 pc bc 2 解 方法一 分别取 ab pc 的中点 e f 连 de df 则易证 de cb de 平面 pbc 点 d e 到平面 pbc 的 距离相等 又点 a 到平面 pbc 的距离等于点 e 到平面 pbc 的距离的 2 倍 由 1 知 bc 平面 pcd 平面 pbc 平面 pcd pd dc pf fc df pc 又 平面 pbc 平面 pcd pc df 平面 pbc 于 f 易知 df 2 2 故点 a 到平面 pbc 的距离等于 2 方法二 连接 ac 设点 a 到平面 pbc 的距离为 h ab dc bcd 90 abc 90 由 ab 2 bc 1 得 abc 的面积 s abc 1 由 pd 平面 abcd 及 pd 1 得三棱锥 p abc 的体积 p o e c d b a 第 17 题 第 18 题 第 18 题 v 3 1 s abc pd 3 1 pd 平面 abcd dc 平面 abcd pd dc 又 pd dc 1 pc 22 dcpd 2 由 pc bc bc 1 得 pbc 的面积 s pbc 2 2 va pbc vp abc 3 1 s pbc h v 3 1 得 h 2 故点 a 到平面 pbc 的距离等于 2 19 1 证明 ac bd 又 bb1 平面 abcd 且 ac 平面 abcd bb1 ac bd bb1 b ac 平面 b1 d1db 2 证明 由 1 知 ac 平面 b1d1db bd1 平面 b1d1db ac bd1 a1d1 平面 a1b1ba ab1 平面 a1b1ba a1d1 ab1 又 a1b ab1 且 a1b a1d1 于 a1 ab1 平面 a1d1b bd1 平面 a1d1b bd1 ab1 又 ac ab1 a bd1 平面 acb1 3 解 方法 1 cbbaacbb vv 11 3 1 1 2 1 1 1 6 1 方法 2 1 acbb v 2 1 3 1 v 正方体 6 1 20 1 证明 ab 平面 bcd ab cd cd bc 且 ab bc b cd