（新课标）高考数学一轮总复习 第七章 第7节 立体几何中的向量方法练习.doc

【创新大课堂】（新课标）2016高考数学一轮总复习 第七章 第7节 立体几何中的向量方法练习一、选择题1已知平面内有一点m(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点p中，在平面内的是( )ap(2,3,3)bp(2,0,1)cp(4,4,0) dp(3，3,4)解析逐一验证法，对于选项a，(1,4,1)，n61260，n，点p在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内答案a2(2015辽宁大连一模)长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为( )a. b.c. d.解析建立坐标系如图，则a(1,0,0)，e(0,2,1)，b(1,2,0)，c1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线bc1与ae所成角的余弦值为.答案b3在正三棱柱abca1b1c1中，abaa1，则ac1与平面bb1c1c所成角的正弦值为( )a. b.c. d.解析建立如图所示的空间直角坐标系，设ab2，则c1(，1,0)、a(0,0,2)，(，1，2)，平面bb1c1c的一个法向量为n(1,0,0)，所以ac1与平面bb1c1c所成角的正弦值为.答案c4如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab2，aa1，ad2，p为c1d1的中点，m为bc的中点则am与pm的位置关系为( )a平行 b异面c垂直 d以上都不对解析以d点为原点，分别以da，dc，dd1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，依题意，可得，d(0,0,0)，p(0,1，)，c(0,2,0)，a(2，0,0)，m(，2,0)(，2,0)(0,1，)(，1，)，(，2,0)(2，0,0)(，2,0)，(，1，)(，2,0)0，即，ampm.答案c5如图，正方形abcd与矩形acef所在平面互相垂直，ab，af1，m在ef上且am平面bde.则m点的坐标为() a(1,1,1)b.c. d.解析m在ef上，设mex，m，a(，0)，d(，0,0)，e(0,0,1)，b(0，0)，(，0，1)，(0，1)，.设平面bde的法向量n(a，b，c)，由得abc.故可取一个法向量n(1,1，)n0，x1，m.答案c6(2015昆明模拟)如图，在四棱锥pabcd中，四边形abcd为平行四边形，且bc平面pab，paab，m为pb的中点，paad2.若ab1，则二面角bacm的余弦值为( )a.b.c. d.解析bc平面pab，adbc，ad平面pab，paad，又paab，且adaba，pa平面abcd.以点a为坐标原点，分别以ad，ab，ap所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系axyz.则a(0,0,0)，c(2,1,0)，p(0,0,2)，b(0,1,0)，m，(2,1,0)，求得平面amc的一个法向量为n(1，2,1)，又平面abc的一个法向量(0,0,2)，cosn，.二面角bacm的余弦值为.答案a二、填空题7如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，点e、f分别是棱ab、bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是_解析以bc为x轴，ba为y轴，bb1为z轴，建立空间直角坐标系设abbcaa12，则c1(2,0,2)，e(0,1,0)，f(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，ef和bc1所成的角为60.答案608如图，在正方体abcda1b1c1d1中，棱长为a，m、n分别为a1b和ac上的点，a1man，则mn与平面bb1c1c的位置关系是_解析正方体棱长为a，a1man，().又是平面b1bcc1的法向量，0，.又mn平面b1bcc1，mn平面b1bcc1.答案平行9设正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，则点d1到平面a1bd的距离是_解析如图建立空间直角坐标系，则d1(0,0,2)，a1(2,0,2)，d(0,0,0)，b(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，设平面a1bd的一个法向量n(x，y，z)，则.令x1，则n(1，1，1)，点d1到平面a1bd的距离d.答案三、解答题10(2014山东高考)如图所示，在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是等腰梯形，dab60，ab2cd2，m是线段ab的中点(1)求证：c1m平面a1add1；(2)若cd1垂直于平面abcd且cd1，求平面c1d1m和平面abcd所成的角(锐角)的余弦值(1)证明因为四边形abcd是等腰梯形，且ab2cd，所以abdc，又m是ab的中点，所以cdma且cdma.连接ad1.因为在四棱柱abcda1b1c1d1中，cdc1d1，cdc1d1，所以c1d1ma，c1d1ma，所以四边形amc1d1为平行四边形，因此，c1md1a.又c1m平面a1add1，d1a平面a1add1，所以c1m平面a1add1.(2) 解：法一连接ac，mc.由(1)知，cdam且cdam，所以四边形amcd为平行四边形，所以bcadmc.由题意abcdab60，所以mbc为正三角形，因此ab2bc2，ca，因此cacb.设c为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.所以a(，0,0)，b(0,1,0)，d1(0,0，)因此m，所以，.设平面c1d1m的一个法向量n(x，y，z)，由得可得平面c1d1m的一个法向量n(1，1)又(0,0，)为平面abcd的一个法向量因此cos，n，所以平面c1d1m和平面abcd所成的角(锐角)的余弦值为.法二由(1)知，平面d1c1m平面abcdab，点过c向ab引垂线交ab于点n，连接d1n.由cd1平面abcd，可得d1nab，因此d1nc为二面角c1abc的平面角在rtbnc中，bc1，nbc60，可得cn，所以nd1.在rtd1cn中，cosd1nc，所以平面c1d1m和平面abcd所成的角(锐角)的余弦值为.11(2015山东潍坊一模)如图所示，在梯形abcd中，abcd，adcdcb1，abc60，四边形acfe为矩形，平面acfe平面abcd，cf1.(1)求证bc平面acfe；(2)点m在线段ef上运动，设平面mab与平面fcb所成二面角的平面角为(90)，试求cos 的取值范围(1)证明在梯形abcd中，因为abcd，所以adcdcb1，abc60，所以ab2，所以ac2ab2bc22abbccos 603，所以ab2ac2bc2，所以acb90，即bcac.因为平面acfe平面abcd，平面acfe平面abcdac，bc平面abcd，所以bc平面acfe.(2)解分别以直线ca，cb，cf为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系令fm(0)，则c(0,0,0)，a(，0,0)，b(0,1,0)，m(，0,1)，所以(，1,0)，(，1,1)设n1(x，y，z)为平面mab的一个法向量由n10，n10联立得取x1，则n1(1，)是平面mab的一个法向量因为n2(1,0,0)是平面fcb的一个法向量，所以cos .因为0，所以当0时，cos 有最小值，最小值为；当时，cos 有最大值，最大值为.所以cos .12(2015陕西榆林4月模拟)如图，e是矩形abcd中ad边上的点，f为cd边的中点，abaead，现将abe沿be边折至pbe的位置，且平面pbe平面bcde.(1)求证：平面pbe平面pef；(2)求二面角epfc的大小解析(1)证明efbe.平面pbe平面pef.(2)以d为原点，的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向，平面bcde向上的法线方向为z轴的正方向，建立空间直角坐标