儿童数学知识的建构.pdf

2006 年 4 月 第 18 卷 第 2期 中华女子学院学报 Journal of China Women sUniversity Apr 2006 Vol 18 No 2 儿童数学知识的建构 池丽萍 1 辛自强 2 1 中华女子学院 学前教育系 北京 100101 2 北京师范大学 发展心理研究所 北京 100875 摘 要 基于天赋的 快速确认 数量的能力 较小的婴儿对数字就很敏感 以此为起点他们获得了丰富 的前语言的数量知识 在幼儿早期建构了多种数量图式 到幼儿期末形成了数量守恒概念 除了这些概 念性知识之外 儿童的数数等认知技能在幼儿到小学初期也获得了发展 关键词 逻辑 数学知识 数量概念 认知技能 建构 中图分类号 G613 4 文献标识码 A 文章编号 1007 3698 2006 02 0072 06 一 数学知识获得的建构性质 我们通常认为 新生儿的大脑是一块 白板 他们的大部分时间都在为了满足睡眠等基本生理 需要的过程中被 浪费 了 他们只能被动地接受某 些刺激 不可能获得复杂的技能和知识 在 20 世 纪初期 很多研究者也都认同英国哲学家洛克坚持 的这种 白板说 然而 从 20 世纪 20 年代开始 瑞 士心理学家皮亚杰的开创性研究打破了这种白板 说的束缚 皮亚杰通过对婴幼儿的观察和访谈 发 现儿童可以在与客体的相互作用中 形成比较复杂 的认知结构 建构关于世界的个人理解 在这些研 究基础上 从儿童到青少年的认知发展被划分成感 知运动思维 前运算思维 具体运算思维 形式运算 思维等一系列阶段 1 P21 57 这种阶段论深刻影响 了后来人们对于儿童知识建构的理解 由于这种理 论已经为几乎每一位儿童教育研究者熟知 这里不 再赘述 皮亚杰的另一个重大贡献 那就是基于最终来 源和结构方式的不同区分了三类知识 物理知识 Physical knowledge 社会或习俗知识 Social Conv entional knowledge 逻辑 数学知识 Logico math ematical knowledge 1 2 这种区分对于理解知识的 个体建构性质 具有重要的理论意义 物理知识是 关于外部现实中客体的知识 一块积木的颜色 重 量就是例子 这些物理特性存在于外部现实里的物 体中 可以通过观察经验地知道 物理知识的最终 源泉 部分地 在于客体 而社会或习俗知识主要来 源于人为的传统和习俗 2 社会知识的例子有很 多 如假期 口头和书面语言 在特定环境下的问候 语等 逻辑 数学知识由个体发现的关系组成 这 种知识来源于儿童的思维 逻辑 数学知识是通 过从先前发现的关系中产生出新的关系而建构起 来的 是最难理解的知识 当我们看见一块红色积 木和一块蓝色积木时 我们认为它们是相似的 这 种相似性就是逻辑 数学知识的例子 几乎每个 人都认为积木间的这种相似性是可以观察到的 但 这是不对的 积木本身是可以观察的 但它们之间 的相似性则不然 相似性既不存在于红色积木中 也不存在于蓝色积木中 如果一个人不能把它们 放在这种关系中 这种相似性对他们而言就不存 在 因此逻辑 数学知识的源泉在每一个儿童的 思维中 例如 2 3 5 5 4 20 这样的 数学知识 就是儿童从先前创造的关系中建立起来 的新的关系 上述三类知识中 逻辑 数学知识尤其重要 它是建构物理知识和社会知识的基础 1 前面提到 物理知识的源泉 部分地 在于客体 皮亚杰强调 收稿日期 2005 12 07 作者简介 池丽萍 1976 女 河北石家庄人 中华女子学院学前教育系讲师 辛自强 1975 男 山东费县人 北京师范大学发展心理研究所副教授 博士 研究方向为儿童认知发展 基金项目 全国教育科学 十五 规划重点课题国家青年基金课题 CBA030045 部分地 原因是 逻辑数学知识框架 或分类框架 是非常必要的 即使对于识别一块积木或鉴别出水 是液体这样简单的任务也是如此 由此可以说 物 理知识不完全在于客体 它还受到逻辑 数学知识 的制约 分类对于识别出一个物体的颜色或辨认 出它是蓝色的来 都是需要的 如果进一步讲 像 我们熟知的经典的守恒 液体的守恒 质量的守恒 数字的守恒 实验所探讨的儿童的 守恒 概念 表 面上好像是单纯的物理知识 而实际上已经不完全 如此 准确地说 它是 逻辑 数学化的物理知识 守恒是对两种物理状态下存在的某一事物本质不 变性的判断 或者说是对事物之间关系的逻辑 数 学判断 可见 没有逻辑 数学知识框架的帮助 连基本的物理知识也是很难被理解的 这就是为 什么我们说认识到 守恒 是一种逻辑演绎 而不 是经验知识 2 同样 没有逻辑 数学知识 也难以 建构社会或习俗知识 比如 儿童认为某些词汇是 好的 可以用于表扬别人 而有些是 坏的 是对 别人的羞辱 这样他们就知道了应该在何种场合下 使用那些词汇 这种关于语言表达的社会习俗知 识 必须建立在事先具有的关于 好的 和 坏的 分 类框架基础上 也就是必须以相应的逻辑 数学知 识作为前提 皮亚杰关于三类知识的区分 显然对于我们理 解知识获得的建构性质 对于确定学科教学的目标 有重要意义 例如 物理和其他一些科学分支都涉及到可观 察物体方面知识的逻辑 数学化 教育者理解了 科学的性质就能把科学教育的目标定位于儿童对 可观察现象的推理上 而不仅仅是传递科学事实和 术语 再比如数学 它包含的知识基本上属于逻辑 数学知识的范围 以基本的算术应用题为例 问题 的理解和解决有赖于正确表征其中包含的集合关 系 如部分 整体关系 这种关于集合关系图式的 知识 实际上正是一种逻辑 数学知识 这种知识 的建构在相当程度上遵循皮亚杰的建构主义理论 实际上 皮亚杰区分的三类知识中 逻辑 数学知 识最典型地体现了知识的建构性质 这是皮亚杰倾 其一生心血研究的核心问题 根据皮亚杰关于逻辑 数学知识性质的理论 儿童的数学知识获得是个体的建构过程 比如 Kamii 的研究发现 儿童能够为加减乘除四种算术 运算发现他们自己的程序 而不用教他们通常的规 则 2 比如 解决9 2 这样的减法问题 有的 学生会数9 8 7 得到答案7 而对于9 7 有的 学生发明出这样的策略 7 8 9 得 2 这充分说明 知识获得的个体建构性质 近年来 在认知发展心理学中 关于儿童数学 知识发展和学习的研究一直非常活跃 这方面的 研究者包括认知的 发展的 教育心理学等方面的 专家以及数学教育家 关于如何学习数学他们基本 上都接受一个建构主义假定 认为如同所有的知识 一样 数学知识并不是被直接吸收的 而是个体建 构的 3 数学知识是丰富多样的 它大体可以区分成程 序性知识 陈述性知识 主要是概念性知识 两大 类 陈述性知识是关于 是什么 的知识 包括概 念 命题 事实等等都属于陈述性知识 在数学知 识中 数学概念是最重要的陈述性知识 下面我们 将探讨几种主要的数量概念 如各种图式 的建构 过程 除了数学概念性知识之外 我们通常强调要发 展学生的数学技能 当被问及 什么是数学技能 我们就认为 能够熟练高效地进行各种数学认知操 作 就是具有数学技能的表现 这个认识是正确 的 但是过于笼统和粗略 现代认知心理学 认为 认知技能建立在程序性知识熟练应用的基础上 所谓程序性知识 就是关于操作步骤的知识 关于 如何做的知识 当这种知识被熟练运用 就转化成 比较稳定的认知技能 因此 有时我们在使用 程 序性知识 和 认知技能 这两个概念时 并不做严 格区分 虽然二者看问题的角度不完全一致 前者 就知识类型而言 后者就能力品质而言 具体到儿 童数学 数量计算方面的程序性知识和技能是最为 重要的 下文将讨论其建构过程 二 概念性知识的建构 一 数量概念发展的起点 建构主义认为 儿童是在已有经验或知识的基 础上建构新的理解 那现在的问题就来了 数 量概念建构的起点是什么 目前的研究表明 儿童很早就对数有了敏感 性 Starkey Spelke 和Gelman 在 1990 年发表的一项 73 第 2 期 池丽萍 辛自强 儿童数学知识的建构 研究提供了有力的证据 4 P172 该研究使用习惯化 和去习惯化的范式 这一方式的逻辑是 婴儿对于 初次呈现的新异刺激 会表现出一定持续时间的注 意 但如果反复呈现这个刺激 由于已十分熟悉 他 们就不再注意或者注意的时间缩短 这就是 习惯 化 的过程 这时 如果对刺激加以改变 他们又会 对这个 新奇的 刺激增加注意 也就是说儿童出现 了 去习惯化 很显然 从习惯化到去习惯化的转 变 说明婴儿注意到了事物的变化 根据这种范 式 研究者先给 6 9 个月的婴儿反复呈现包含 3 个项目 如梳子 备忘簿等日常物品 的幻灯片 在 他们习惯化后 再呈现包含 2 个项目的幻灯片 结 果发现儿童表现出去习惯化 他们对这个新刺激给 予了更长时间的注意 两种幻灯片除了包含的物 体的数目不同之外 所有其他特征都是相同的 由 此可以推论 6 9 个月的婴儿对事物的数量已经 很敏感 其他研究甚至表明 4 个月的婴儿就能辨 别出包含 4 个项目的和 5 个项目的集合的不同 不仅能识别物体数量的差异 儿童还能区分动作的 数量 4 P174 例如 知道一个木偶跳两下和三下是不 同的 婴儿为什么具有这种对数量的敏感性 现在 比较公认的解释是 这在于一种 快速确认 Sub itization 能力 它指我们能通过简单地看一眼就可 以弄清楚一组较少的物体 一般不超过 3个或 4 个 项目 数量的能力 5 P149 199 这就是儿童为什么知 道两张幻灯片上物体数量不同的原因 在上述研 究中涉及的物体数量均较小 儿童只要通过快速辨 认就可以确定物体的数量 而不必进行具体计数 进一步的问题是 快速确认能力是儿童天生 的 还是后天学会的 现在的一般看法是 它是天 赋的用于加工领域专门信息的框架 即只负责数量 的快速辨认 例如 塞浦路斯大学教授 Demetriou 等人就坚持这种看法 他认为这种快速确认能力是 在种系进化中形成的 是个体生来就有的 是以后 获得数量知识的起点 5 由此可见 这种快速确认 数量的能力 有利于提高生存的几率 从而在进化 中具有适应意义 事实上 现实中所有元素都可能 经历着数量的变化 比如 由于不同的原因 事物 聚合或分开 以至于增加 减少 分裂或积累 理解 现实的这些方面 对于人类进化而言具有重要的适 应性价值 对环境中这些数量的变化保持一定的敏 感性的个体得到了更好的生存和发展机会 二 婴儿期前语言的数量知识 在入学之前很早的时候 儿童数学知识的建构 过程就开始了 前面提到 6 个月 甚至仅有 4 个 月 的婴儿就能区分用视觉方式呈现的较小的集合 里的数量 此外 婴儿还能区别大小差异 他们能 在比较的基础上而不是根据绝对规模做出大小差 异的区别 这意味着他们已经有了比较物体数量 的图式 婴儿不仅对数量大小很敏感 他们甚至能进行 简单的加减运算 也就是说 能进行数 学推理 Karen Wynn 1992 1998 采用 违背预期 范式进行 的研究提供了证据 4 研究者首先让婴儿看到台子 上放着1 只玩具 然后用幕布挡住台子上的玩具 这时让婴儿看见一位实验人员拿着 1 只玩具走到 台子那里并放上去 然后空手离开 后面的结果分 两种情况 一是可能的结果 幕布去掉后 台子上出 现了 2 只玩具 一是不可能的结果 比如台子上还 是1 只玩具 如果婴儿理解了其中包含的算术运 算 应该预期到可能的结果 如果出现了不可能的 结果 他们应该觉得很奇怪 因此表现出更长的注 视或关注时间 研究发现 5 个月的婴儿均对不可 能的结果有更长的注视时间 4 P 175 这说明婴儿可 能已经能进行简单的算术运算 通过这些精巧的研究 基本可以说明 1 岁之内 的婴儿的数量知识已经很丰富 可以确认数量的大 小 比较其差异 甚至进行简单算术运算 但是 婴 儿的数量知识还不能用他们自己的语言表达 因而 被Resnick 称为前语言的数量知识 Preverbal quanti tative knowledge 3 三 原始数量图式的建构 儿童一般在 1 岁后逐渐掌握了口头语言 随着 语言的发展 出现了另外两种知识 用以对数量作 没有准确数值表达的原始数量图式 Protoquantita tive schemas 以数数作为基本机制的数值定量 Numerical quantification 3 我们首先来看原始数 量图式的建构过程 在幼儿期 儿童首先形成了一批非数值性的数 量知识 Nonnumerical quantity knowledge 他们用 大的 小的 许多 一点 等表示规模的词语 作数量判断 还用 较少 较多 等词语 在简单的 维度上做比较 由此 在婴儿期就会的大小比较 74 中华女子学院学报 2006 年 这时也可以用语言表示 例如 他们能说 一个圆 圈比另一个大 一棵树比另一棵小 这杯牛奶比那 杯多 这就是一种原始的 数量比较图式 大约在三四岁的时候 儿童形成了另外两个重 要的图式 3 一个是 数量变换图式 它用以解释 因为某种基本的数量操作 比如从一组物体中增加 或移出部分元素 导致的数量上的增加或减少 从 而使三四岁的孩子就可以对数量的变化做出推理 比如 如果他们有一些物体 又得到了一些同样的 物体 比如 儿童的手里有两块糖 妈妈又给他一 块 他们就知道比以前更多了 如果有些被拿走 了 他就觉得少了 儿童也知道 如果什么也不增 加也不拿走 他就有与原来一样数量的东西 另外 在日常经验中 幼儿还形成了 整体 部 分图式 他们知道周围的物体如果从两个地方放 到一起 就是 加和性 的 一个人可以把两个数量 放在一起组成更大的数量 这种原始的数量图式 使他们可以对整体与部分的关系做出判断 比如儿 童知道整个蛋糕比其中任何一块都大 儿童能不通 过实际查看就可以做出逻辑上的判断 但是较小的幼儿 三四岁 的数量知识有局限 性 缺少某些基本的计量规则 比如 他们可能不 知道比较两根棍的长短时需要把它们的一端对齐 进而 他们看到一排较长 就断定有更多的物体 而 没有达到数量守恒 然而 这种知识却是很重要 的 是此后数学发展的基础 除了原始的数量图式 外 这时儿童还形成了数数的技能 这个问题后面 会详细介绍 在儿童会数数后 其数字概念仍在发展 其中 重要的一步是数字名称序列与原始的 数量比较图 式 的整合 这大约发生在 4 岁 这时好像有一条 心理数字线 构成了计数词汇的序列 儿童可以迅 速确定这条线上的哪个数字更大 而不用从头再数 一遍以便知道哪个数字在后面 在随后的发展中 儿童的数数技能作为确定集 合数量的手段与原始的 部分 整体图式 和 数量 变换图式 结合起来 这为数量守恒概念的出现奠 定了基础 从此 数值性数量在儿童的数量思维中 将占据支配地位 他们不再受知觉和语言线索的驱 动或干扰 四 数的守恒 前面已经提到 各种守恒概念是典型的逻辑 数学知识 是皮亚杰研究的重要内容 其中 数的 守恒 是守恒概念中较重要的一个 也是儿童较早 获得的守恒概念之一 皮亚杰在其认知发展阶段论 的指导下对这个问题进行了研究 在研究中给儿 童两排纽扣 每排 10 个 两排中的每个纽扣一一 对应 因此 它们排列出的长度相等 这时 儿童认 为这两排纽扣数量相等 然后 实验员把其中一排 拉长 使得排列较为稀疏 儿童要理解数的守恒 即必须不为两排纽扣排列上的表面特征不同所迷 惑 而认识到物体的数目仍然相等 然而 研究发 现 大多数处于前运算阶段的儿童 即 3 6 岁的幼 儿 不能达到数的守恒 到了具体运算阶段 也就是 6 岁之后的儿童 才能完全理解数的守恒问题 为什么前运算阶段的儿童难以理解数的守恒 因为这个年龄的孩子容易为事物的知觉特征 比如 纽扣排列的方式 所迷惑 于是通常判断排列得更 长的一排纽扣的数量多 如果从 认识论 的角度 讲 这个年龄的儿童基本上是 经验论者 而不是 理性论者 他们的知识是建立在知觉经验的基础 上 而不是理性推理的层次上 达到具体运算阶段 之后 儿童就能依赖理性推理建构起关于数的守恒 以及其他各种守恒概念的正确理解 而不为知觉经 验迷惑 甚至不需要实际的知觉 因为一组事物 的数量不管以什么样的物理摆放方式存在 数量都 是不变的 这是一个很容易判断的逻辑问题 理性 问题 而根本不需要知觉经验帮助这种判断 皮亚杰认为 6 岁的儿童才开始掌握数的守恒 这一看法实际上低估了儿童的理解能力 因而被后 来的研究修正 4 P165 皮亚杰对前运算阶段儿童能 力的描绘十分消极 数的研究也不例外 后来的研 究认为 儿童获得数的守恒概念的年龄更早一些 比如 4 5 岁就可以 而且处于前运算阶段的幼儿的 数学知识以及其他能力远比我们过去认为的要多 三 程序性知识的建构 儿童的数量知识 并不只停留在原始的数量图 式这种陈述性知识的水平上 他们还会发展出 数 数 这种认知技能 从而开始真正形成 量化 的思 维能力 与天赋的 快速确认 能力相比 数数 能 力的获得是向着做出准确的数量判断发展过程中 更重要的一步 因为幼儿主要靠数数获得关于各种 数目的准确表征 75 第 2 期 池丽萍 辛自强 儿童数学知识的建构 一 数数的基本原则 儿童学习数数时 首先要掌握数数的规则 大 约在 2 4 岁期间 他们就逐步内隐地掌握了数数 的基本原则 这些原则包括知道数字名称必须与 集合中的物体一一对应 但是与所数物体的顺序无 关 儿童还须知道 数数完成时最后的数字就是集 合中物体 的数 量 关 于数 数的 基本 原则 R Gelman 1982 做了系统的概括 她认为幼儿的数 数活动受到五个原则的支配 4 P167 1 一对一原则 根据这一原则 要求儿童对 于要计算的每一个项目 必须逐次给予一个而且只 能是一个区别性的数字名称 把第一个项目记为 1 下一个为 2 以此类推 数数的时候 不应该 跳过任何一个应当计数的项目 对任何一个项目的 计数不能超过一次 相同的数字名称也只能使用一 次 这样 数完所有项目时最后一次使用的数字就 是所有项目的个数 研究表明 二三岁的孩子已经 能内隐地掌握并使用这一原则 虽然他们自己不能 说清楚为什么这么数数 2 稳定次序原则 即儿童数数时使用的数字 表示系统 应该有稳定的次序 比如 像我们成人 这样 按照 1 2 3 这样的自然数从小到大的 顺序排列 研究还发现 儿童并不仅仅使用自然数 列来计数 他们中有的人也用字母顺序来计数 比 如用 A B 表示两个物体的数量 但是这种情况很 少见 3 基数原则 这一原则是说 某个计数序列 最后说出的数值名称 就是该组物体的总数目或曰 基数值 4 抽象原则 前面讨论的三个原则 是关于 如何数数的原则 这个原则涉及对什么可以计数的 问题 研究表明 儿童会对各种各样的物体都加以 计数 如生物体 非生物体等 而且儿童还常常不考 虑物体的异质性 将根本不同类型的物体数在一 起 例如 一个三四岁的孩子乐于数他房间里的每 一个物体 根本不管物体的具体特征 而只是把它 们作为抽象的一个数的代表 5 次序无关原则 数数的时候 从哪一个项 目开始数 以什么次序数都是无关的 只要每一个 项目都数且只数一遍 就能得到项目的总数 幼儿 大多能理解这一原则 这就是数数要遵循的五个原则 其中前三个原 则告诉儿童应当如何计数 第四个原则告诉儿童对 什么可加以计数 而第五个原则是对前面的四个原 则的综合 4 二 量化能力的发展 从数数到数字事实 在小学阶段 儿童要学习有关加减乘除方面的 算术计算 这种计算能力是以幼儿期确定数量的能 力 或者说 量化 能力的发展作为基础的 婴儿就 可以通过快速辨认确定事物的数量 在幼儿期 量 化 能力的发展首先表现为数数技能的发展 然后 达到能直接提取数字事实 Number facts 的水平 比 如直接说出 8 9 17 而不用思考 更不需要掰 手指头数数 关于数数技能的发展 有很多研究 并且积累了比较成熟的结论 对此 美国数学心理 学家Mayer 进行了总结 6 P127 154 研究者比较一致 地认为 儿童有关简单加法的数数技能要经历四个 阶段 1 数所有的数 Counting all 这是儿童使用 最早的数数策略 要解决 m n 这样的问 题 儿童使用这种策略时 从 0 开始 增加 m 次 再 增加 n 次 比如 对于3 4 这样的问题 儿 童数数时的口语报告可能是 1 2 3 停顿 4 5 6 7 答案是 7 另外 儿童可能同时用手指头帮助 数数 2 在一个数的基础上数 Counting on 这是 一种更高级的数数策略 儿童使用这种策略解决 m n 这样的问题时 从 m 开始 再增加 n 次 比如 3 4 这样的问题 儿童可能报告 3 停顿 4 5 6 7 答案是 7 另外 儿童可能同 时用手指头数数 说 3 的时候伸出 3 个指头 加一 个是 4 再加一个是 5 再加一个是 6 再加一个是 7 该策略还有一个改进版 称为 小数策略 Min model 即儿童从较大的加数开始 再数上较小的 加数 上面的题可以这样数 4 停顿 5 6 7 说 4的时候同时伸出 4 个手指 然后逐一加到 7 就 可以了 3 已知事实阶段 Known facts 在这个阶段 儿童记住了对每个简单加法问题的反应 从而达到 直接提取数字事实的水平 比如 听见问题 4 9 就立即回答 13 4 衍生事实阶段 Derived facts 它指儿童运 用一些加法事实方面的知识发现相关问题的答案 比如 计算 6 8 这样的问题 有的儿童报 76 中华女子学院学报 2006 年 告 6 6等于 12 再加 2 是 14 或者 我从 8 上 拿出 1 给 6 7 7 14 幼儿基本上要靠数数 数所有的数 在一个数 的基础上数 才能确定两个数字相加的结果 到 5 6 岁时开始表现出一些事实提取 但还只限于较小 数字的简单运算 当问题难度增加时 他们又求助 于数手指头等方法 事实上 儿童到小学一二年级 时才真正达到直接提取数字事实的水平 综上所述 儿童的数数技能从借助于实物 如 手指头 小木棒等 逐个数所有的数开始 然后经过 了一系列发展阶段 最后达到了直接提取数字事实 的水平 从而逐渐提高了计数效率 为学习各种算 术运算打下了基础 当然 此后各种算术运算的发 展情况可能不一样 例如 乘法技能往往是建立在 背诵乘法表的基础上 然而最初理解乘法的时候 也通常是从加法规则开始的 目前 教育者已经普遍意识到数学能力培养不 能从小学阶段才开始 于是很多幼儿园也在 上数 学课 实际情况往往是把小学低年级的教学任务 转移到幼儿教育阶段 这样简单的 提前 教育致使 学习内容未必适合幼儿发展特点 这种做法好像 是有助于 幼小衔接 结果却是 幼小重复 早期 教育中之所以出现这种情况 很大程度上是因为教 育者 教师 家长 把儿童数学的目标简单地等同于 培养 数数 能力 认为不教孩子数数就无事可干 实际上 早期数学教育的内容很多 如本文分析的 数量概念的发展 数的守恒等等 关键的问题是要 理解儿童数学知识的发展规律和建构性质 用合适 的方式渗透数学能力的培养 例如 幼儿常玩的跷 跷板游戏 就包含了 深奥 的数学意义 老师可以 引导孩子注意 玩游戏的双方如何根据对方体重和 所处位置相应地调整自己所处的位置 这样才能让 跷跷板大致保持平衡 这里边的数学原理是 一个 变量如何随另一个变量的变化而按照某种规则相 应变化 这实际上是一种 函数 思想 当然 教育 者不可能让幼儿从完全形式运算意义上掌握函数 概念的本质 但至少可以让其深入体会 这种直接 经验对学龄期相应内容的学习将大有裨益 参 考 文 献 1 皮亚杰 发生认识论原理 M 王宪钿 等译 北京 商 务印书馆 1995 2 Kamii C Ewing J K Basing Teaching on Piaget s Con structivism J Childhood Education 1996 72 3 Resnick L B Developing Mathematical Knowledge J American Psychologist 1989 44 2 4 弗拉维尔 Flavell J H 米勒 Miller P H 米勒 Miller S A 认知发展 M 邓赐平 刘明译 上海 华东师 范大学大学出版社 2002 5 Demetriou A Valanides N A Three level Theory of the Developing