基于正交有限脊波变换的图像压缩.pdf

10 计算机与信息技术 开发与应用 基于正交有限脊波变换的图像压缩 刘晓山 付国兰 江西师范大学物理与通信电子学院 江西 南昌 330027 摘 要 对于纹理 线奇异性 丰富的图像 脊波可以获得比小波更加稀疏的表示 统计表明边缘表示了图像的主要 信息 利用脊波对 线奇异性 图像的最优逼近的思想 设计出基于正交有限脊波变换的图像压缩算法 通过对图像的脊波 系数进行量化和编码达到压缩图像的目的 实验结果表明 与基于小波的压缩算法相比 该算法能获得更高的压缩率 同时保持 较高的峰值信噪比和良好的重建图像视觉效果 关键词 图像压缩 脊波变换 稀疏表示 算术编码 0 引言 小波的出现在许多领域取得了广泛的应用 并迅速成为 诸多学科的重要分析工具之一 小波变换以其良好的时频局 域特性以及多分辨分析能力在数字信号处理和数字图像压缩 方面取得了巨大的成功 1 2 在新的静止图像压缩标准 ISO 15444 即 JPEG2000 中就是把小波变换作为其核心技术 但是小波变换只能反映信号的零维奇异性 对于具有二维分 段光滑的信号或一维直线奇异性的图像 小波变换却不是最 稀疏 的表示方法 3 4 自然图像中包含有大量的纹理特征 线奇异性表现比较突出 小波变换不能达到最优的逼近 5 为 了克服小波的这种不足 Cand s 等人提出了一种新的多尺 度变换 脊波变换 Ridgelet Transform 3 它特别适合于具 有直线或超平面奇性的高维信号的描述 能够有效地处理二 维图像的线奇异性 较好的对此类信号进行 逼近 是比小 波更好的稀疏表示图像的工具 5 本文利用正交有限脊波变换对图像进行分解 然后对变 换后的系数进行量化和熵编码 以达到图像压缩的目的 实 验表明 同基于小波变换的压缩算法相比 该算法能提高图像 的压缩比 同时保持较低的失真度 1 有限脊波变换 1 1 连续脊波变换 给定一个双变量可积的函数 xf 它在 2 R空间 二维 实空间 上的二维连续脊波变换 2D continuous ridgelet transform 3 4 定义为 dxxfxbaCRT R baf 2 1 其中 x ba 是二维的脊波函数 它的定义为 sincos 21 21 abxxax ba 2 式 2 中 x 是小波类的一维函数 参数 ba 满足如下 的条件 0 a R b 2 0 脊波逆变换可以通过 如下的公式完成 2 00 3 4 d db a da xbaCRTxf baf 3 考虑到在 2 R空间上小波变换可以写成如下式子 dxxfxbbaaCWT R bbaaf 2 2121 2121 4 式中二维小波函数是由一维小波所长成的 即满足 2 1 22112121 xxx bababbaa 5 其中一维小波 2 1 abtat ba 可以看出脊波变换和二维小波变换非常类似 只是脊波 用线参数来代替小波中的点参数 小波在处理具有孤立的点 奇异性图像时非常有效 而脊波变换在表示线奇异性图像时 表现更优 实际上 我们可以把脊波变换看成是在直线上的 一维小波变换 而在二维空间点和直线是通过 Radon 变换联 系在一起的 Radon 变换可以写作为 2 sincos 21 R f dxtxxxftR 6 由 6 式可见 xf 的 Radon 变换是 xf 沿不同 方向 的投影 而 xf 的脊波变换看作是先对 xf 进行 Radon 变 换 然后沿着每个积分方向做一维小波变换的结果 即 dttRtbaCRT fbaf 7 正因为脊波变换在 Radon 域上对各个方向进行一维小波 变换 将图像的线奇异性转换为点奇异性 充分利用小波变 换对点奇异性的良好表示特性来得到具有线奇异性图像的稀 开发与应用 计算机与信息技术 11 疏表示 脊波逆变换可以通过沿每一方向做一维小波逆变换 然后进行 Radon 逆变换得到 1 2 有限脊波变换 脊波变换离散化是通过离散 Randon 变换外加离散小波 变换得到 然而 Randon 变换的离散化是一个比较复杂的问 题 在众多的离散化算法中 有些存在大量的冗余 有些虽 然克服了大的冗余度 但是得到其所对应的逆变换又比较困 难 其中有限 Radon 变换 FRAT Finite Radon Transform 6 7 是其中比较好的离散化算法之一 有限 Radon 变换是有限大 小的二维离散图像实现 Radon 变换的离散化方法 一个 N N N 要求是一个素数 大小的图像 jif 其 中 ji 0 1 2 N 1 它的有限 Radon 变换 FRAT 定义为 lk Lji kk jif N lkFRATlr 1 8 其中 lk L 是满足斜率k和截距l的直线上的所有象素点的集 合 定义如下 1 N0 N mod ilkijjiL lk 当 k 0 1 2 N 1 1 N0 jjiL lk 当Nk 9 由式 8 9 可知 有限 Radon 变换是满足要求的直线上 的图像象素点灰度值的累加和 一个 N N 大小的图像经有 限 Radon 变换后 将得到 N 1 N 大小的矩阵 它有 N 1 个斜率方向 每个方向上有 N 个系数 有限 Radon 变换的逆变换可以通过有限逆投影变换 FBP Finite Back Projection 来得到 ji Plk kr lrjiFBPjif N 1 10 其中 ji P 指的是所有通过点 ji 的直线的斜率k和截距l的 集合 即 1 N 1 0 mod kNkijllkPj i N killk 11 为了获得更好的能量集中性 由式 8 和 10 所定义的有限 Radon 变换 FRAT 和反变换FBP 要求变换的图像均值为零 8 对于均值不为零的图像可以在变换前先减去均值 以保证变换前的 图像均值为零 反变换回来后再加上图像均值即可恢复原图像 可逆的脊波变换可以通过在 FRAT 每个方向上进行一维离散 小波变换得到 这种过程称作为有限脊波变换 FRIT 考虑到 FRAT系数的周期特性 所以小波变换也要选择周期性的小波 有 限脊波变换的示意图如 图 1所示 1 3 正交有限脊波变换 FRAT变换本身具有一定的冗余 这种冗余可以通过采用一维 小波变换来去除 由此可以获得正交有限脊波变换 当小波变换采 用正交树结构滤波器组 所有小波基函数具有零均值时 可以得到 正交FRIT变换 Minh N Do等在文献 8 中已经证明只要满足Z条 件 Condition Z 的基函数 pkZmw p k m 1 0 就可 以定义正交有限脊波变换如下 k mff wkFRATmkFRIT 12 在小波对FRAT的方向系数进行每一层分解过程中 将把系数 的冗余都放到尺度系数中 而当小波采用最大分解层数时 各个 不同的方向上的尺度系数是相同的 所以我们可以只保留一个系数 以去除这种冗余性 这样就得到了非冗余的正交FRIT变换 2 试验仿真 图像压缩在于对图像的量化和编码上 如果待压缩的矩 阵元素中小系数分布比较广泛 同时小系数所代表的内容为 整个图像的次要内容时 压缩效果就比较明显 由于 FRIT 对图像的稀疏表示 使其在图像矩阵分解后的系数矩阵中大 系数较少 大部分都是小系数 非常适合进行图像压缩 本 文采用正交有限脊波变换对图像进行分解 考虑到有限脊波 变换要求输入图像的尺寸为素数大小 所以先要对图像进行 预处理 算法描述 1 将图像转换为素数大小 2 提取图像的均值 3 用正交有限脊波变换对零均值矩阵进行分解 4 对系数进行标量量化 5 对量化后的矩阵进行扫描 算术编码 在使用正交有限脊波变换时 采用了正交小波 db9 7 量 化采用循环逐级量化 以此可以控制调节压缩率 扫描方式 为逐列扫描 对于许多测试的图像来看 算术编码一般比赫 夫曼编码有更高的压缩效率 所以在这里采用算术编码 在 对图像矩阵进行正交有限脊波变换之前提取出图像的均值 是为了使得变换矩阵有更好的能量集中性 8 为了证明压缩的有效性 本文用这种算法对标准图像 Lenna 256 256 8bit 和 House 256 256 8bit 进行的实验 并且同小波变换压缩算法进行了比较 为了使得比较有意义 小波也采用 db9 7 扫描方式用 zigzag 方式 并且采用相同的 算术编码方法 图 2 给出了 Lenna 标准测试图像用正交有限 脊波变换压缩时在不同压缩率下的重建图像 N N N N 1k N N 1k FRAT 1 D DWT 原始图像FRAT域示意 FRIT域示意 图1 有限脊波变换 FRIT 示意图 12 计算机与信息技术 开发与应用 表 1 给出了在不同的压缩比下 两种方法分别对两个标 准图像的进行压缩后重建图像的峰值信噪比 PSNR 图 3 给出了 Lenna 图像在这两种压缩算法下的压缩性能比较 很 明显可以看出 本文方法有比较好的压缩效果 在相同的压 缩比下 正交有限脊波变换可以获得比小波变换更高的峰值 信噪比 对于含有明显的直线奇异特征的图像 压缩性能更 好 表 1 两种方法重建图像的峰值信噪比 Lenna PSNR dB House PSNR dB 码率 bit pixel DWT OFRIT DWT OFRIT 0 10 25 1382 26 5658 26 7849 32 8749 0 25 28 1748 31 7269 30 6237 37 2470 0 50 31 4671 36 4826 34 4301 42 2857 0 75 34 0153 37 6903 36 3923 41 8291 1 00 35 4768 39 6726 37 6579 41 7492 3 结论 本文论述了正交有限脊波变换 OFRIT 理论及实现方 法 并将此变换理论应用于图像压缩领域 由于 FRIT 的描述 线奇异性的优势 在表征图像方面比小波有更紧密地支撑特 性 用其对图像进行压缩具有很好的效果 实验表明应用正 交有限脊波变换对图像进行压缩 可以正确地重建图像 并 且在比较高的压缩率下有较高的信噪比 其重建图像也有很 好的主观视觉效果 通过对比试验 我们完全可以看出本文 方法是比小波压缩更好的压缩算法 同小波压缩相比 它提 高了压缩性能和图像复原的质量 本文的后继工作就是找出 正交有限脊波系数的特点 利用其系数的一些相关性有效的 去除冗余 提高压缩效率 图 3 Lenna 图像在两种压缩算法下的压缩性能 参考文献 1 Mallat S A Theory for multiresolution signal decompositions The wavelet representation J IEEE Trans On PAMI 1989 7 11 674 693 2 Daubechies I Orthonormal baese of compactly supported wavelet J Comm On Pure and Appl Math 1998 4 31 532 540 3 Cand s E J Ridgelets Theory and Applications A Ph D Thesis Department of Statistics Stanford University 1998 4 Cand s E J Donoho D L Ridgelets a key to higher dimensional intermittency J Phil Trans R Soc Lond A 1999 357 2495 2509 5 焦李成 谭山 刘芳 脊波理论 从脊波变换到 Curvelet 变换 J 工程数学学报 2005 22 5 761 773 6 Beylkin G Discrete Radon transform J IEEE Trans ASSP 1987 35 1 162 172 7 Frantisek Mat s Jan Flusser Image 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