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物理中的向量 一 簡介 在自然界中 某些量可以數字和單位來表示 這種量稱為純量 但是 另外還有許多量卻都不能只用數字和單位來表示 例如相對的位置 移動 的速度等 除此之外 許多量的加法 合成 也不光是把這些量的值加起來 而已 例如在原點的正西方三公尺的正北方四公尺之處並不等於距原點七 公尺 而是在原點的西偏北53度 或北偏西37度 距原點五公尺的地方 物理學家發現 這種除了大小和單位之外還需要指定方向的量 和數學 數學是科學而非自然科學 但是自然界的定律往往可以用數學式來描 述 上的向量的其中一部份相同 在物理中應用到的向量只是數學裡所謂的 向量的很小一部份 但我們仍把這種量稱為向量 事實上 純量或實數 也是數學上向量的一種 也就是一維向量 但是平常我們並未特別強調此 點 二 物理中常見的向量 位移 速度 加速度 力 動量 角動量 力矩 角速度 角加速 度 重力場強度 電場強度 磁場強度 等 三 向量的表示法 若有一個向量是由空間中的A點到B點 則我們將此向量表示為 AB 或 另外我們通常也會用一個符號上加箭頭來表示其為一向量 如 rAB a 表示為向量 若以圖形表示時 則以由A到B的箭頭來表示或 a AB r AB 或是以指向某方的一段箭頭來代表 而在某些教科書中 如Benson的普 a 通物理 則以粗體的符號 如V r a和b來表示這些量是向量 但因中 文裡從來沒有分辨粗體文字和普通文字的習慣 所以請在自行閱讀時特別 注意向量和純量的區別 四 向量的性質 1 特殊的向量 物理中的向量 1 長度為 零 的向量 稱為零向量 以O表示 O是向量加法 合 成 的單位元素 就好像0和1分別是純量的加法及乘法的單位元 素 即 任何純量加0或乘1 其結果均不變 零向量沒有方向 長度為 壹 的向量 稱為單位向量 通常以 表示 是一個單位向aa 量 單位向量指定了一個方向 例如說東方可以用向東的單位向 量表示 而西南方則可用向西偏南 或南偏西 45度的單位向量表 示 2 向量的相等 若有兩向量 它們的長度或大小相等 而且指向相同的方 A B 向 則我們說此兩向量相等 並以或表示 B A A B 3 負向量 若兩向量 的長度或大小相等 但指向相反的方向 則我們 A B 以或表示 這時我們說 互為負向量 A B B A A B 4 向量的倍數 若兩向量 間 有的關係 則表示和所指的方 a b b c a b a 向相同或相反但是長度不同 除非或 1 c 0 c 0 c 1 b a c 是的長度比 此時我們稱是的倍數向量 若c不為零 b a b a 則反之亦然 故O是任何向量的倍數 而任何一個非零向量一 a 定可以用來表示 其中 表示向量的長度 而 則為向量 a aaa aaa 的方向 所以對於任意的一個非零向量 我們都一定可以用 d 造出與同方向的單位向量 出來 d d d dd 5 向量的合成 加法 由A點到B點的向量 加上由B點到C點的向量 就等於由A點到 C點的向量 即 或 AB BC AC BC AB rBC r AB r AC r AB r BC 我們可以用三角形法或平行四邊形法來作圖求兩個或兩個以上的 向量的加法 合成 而則是向量的減法 a b a b 物理中的向量 2 6 直角座標系中的向量 位置向量 在平面或空間中的任何一個點 都可以用一個向量來 表示其位置 這種向量就叫位置向量 例如已知A點在空間中相 對於原點的坐標可以用一組三個實數來表示 則A的 Ax Ay Az 位置向量即可用來表示 A A r A Ax Ay Az 若在平面上或空間中有任意兩點A和B 已知A和B的坐標分別是 及 那麼由A指到B的向量就可以想像將 Ax Ay Az Bx By Bz AB 座標系的原點移到A時 B點相對於新的原點 A 的位置向量 也 就是 AB B A r B r A r AB Bx Ax By Ay Bz Az 所以在平面或空間中的任意向量 一定有一個位置向量與其相 等 7 極座標系中的向量 所謂 平面上的 極座標系 就是將平面上的點的位置用此點和原 點的連線的長度及此連線與正X軸的夾角來表示 若某點 的直A 角坐標位置為 則 與原點 的連線長度為 x y AOOAr x2 y2 此連線與正X軸的夾角為 故 的位置的極坐標 tan 1y x A 為 r 像直角座標系的位置向量一樣的 極座標系中的點也可以以極 座標系的位置向量來表示 我們知道 點的位置向量的方向是A 由原點 指向 而這個方向就是由 指到 的連線方向 也就是OAOA 的方向 我們就把 點的位置向量寫成 所以我們可以將 點rA rA 的位置向量寫為 因為 的位置和 rA xA yA r r rA 有關 所以是的 向量 函數 r xA 2 yA 2 tan 1 yA xA rr 五 向量的分解和分量 若已知 則我們說是和的和為 或說可分解成 a b c a b c c 和兩個向量 而若不是的倍數 即不同向 則分別 a b a b a b a b 稱為在和的方向上的分向量 我們知道且 所以 c a b a aa b bb c 可以寫