2010年数学建模赛区A题一等奖论文16.pdf

储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要 本文研究的是储油罐的变位识别与罐容表标定的问题 利用定积分 微元法 拟合 法 均值 搜索等方法 从罐体有无变位两个方面建立了六个模型 解决了题中两个问 题 模型一 无变位积分模型模型一 无变位积分模型 首先给出并证明了两个定理 定理 1 见 P6 用来求解椭圆 截面内油的面积 定理 2 见 P6 用来求解椭圆型储油罐的储油量V 利用定理 1 确 定罐体无变位时储油量V与油位高度的关系 建立了模型一 见 P7 对模型一进行 精确计算 得到无变位时的罐容表 见附表 1 S h 模型二 变位积分模型 模型二 变位积分模型 首先对变位的两种情况分别进行讨论 将两种情况统一为一种 情况 确定了实际高度与油位高度hH及倾斜角 之间的关系 如下 tantan 1 zlHh 其中 出油端纵向逆时针倾斜时 0 出油端纵向顺时针倾斜时 0 纵向顺时针倾斜时 0 当纵向顺时针倾斜时 0 o 1 4 时的一般结论 1 变位时的斜率k比无变位时大 这是符合实际的 正是由于 的影响 才使得罐容 表发生变化 即变化H 的变化更加剧烈 V 2 变位时的截距比无变位时小 即曲线右移 表明 在相同储油量V时 由于 的影 响使得油面高度上升 产生误差 2 预测法 分 别 取 时 用 均 值 法 求 解 后 绘 制 出 对 比 图 形 o 1 3 o 1 4 o 1 5 把所得到的数据进行拟合得到方程 4 0023745 27Vh o 1 3 时 4 0333825 69Vh 4 1 o 时 13 4 11002 8Vh 5 1 o时 从函数我们可以看出 随着 的增大 斜率略有增加 这是符合实际的 V 的变化越大 或相同V时 1 HH 越大 其对罐容表的影响越大 即在相同时 的变化越大 2 由于 变化范围相对较小 故对罐容表的影响小 3 影响因子 定量分析法 对积分求解结果进行拟合得到 33 3 933325 05Vh 无变位时的拟合函数 44 4 18919 96Vh 变位后的拟合函数 由两个拟合函数的图形可以看出 两个图形的整体走势很接近 但两者之间斜率和截距 存在较小差距 而无变位与变位的最主要差别在于倾斜角度 因此我们认为相对于 的变化最主要是由 4 V 3 V引起的 因此 截距的变化可归入斜率的变化 下面讨论 较为一般的情况 33 Vkhb3 4 tanVkhb 44 式中 在相同高度时 即 34 hhh 433 tan1 VVkhbb4 tan1 Vkhb 即 11 我们定义影响因子tan1 代入时及无变位的实验数据 得到4 0019 0 115 k o 1 4 b 11 式的意义在于若已知倾斜角 和油位高度 我们可计算出hV 即变位后同 一标定高度 V 对应的储油量的变化量 即VV HH就是变位后标定高度为的储油量 式即反映了罐体变化后储油量的影响 7 2 问题二 1 搜索法求解 由于已知罐体变位后在进 出油过程中的实际检测数据 我们利用建立的数学模型 和实际检测数据就可以确定变位参数 求解变位参数 和的过程中 我们运用搜索法 进行求解 1 结合实际情况与对问题一的分析 我们设定和 允许的范围分别为和 0 6 o 0 10 o 2 假定模型的相对误差为 5 以此来确定 和的值 3 根据问题中的精度要求设定搜索步长为 0 1o 4 判断 和 是否是满足要求 当 和代入模型六中得到模型求解值 与实际检测 数据计算得出相对误差 当相对误差小于 5 时 和满足要求 5 我们选取了附件 2 中的实际检测数据中流水号从 201 到 450 的 250 组数据分别搜索 出满足相对误差要求的 和 的值 然后对这 250 组 和的值求均值得 5 1 o 2 8 o 变位参数确定之后 代入我们所建立的模型六 解出罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值 如下表 3 所示 表 3 罐体变位后罐容表标定值 储油量 L 高度 mm 储油量 L 高度 mm 14 1186 2 30984 8 200 1500 2471 9 31845 2300 1600 4040 2 38499 8 400 1700 5841 3 41075 0 500 1800 7839 9 43615 4 600 1900 10007 6 42049 5 700 2000 12320 7 44479 4 800 2100 14757 9 46832 2 900 2200 17299 9 49092 2 1000 2300 19929 0 55300 2 1100 2400 22628 0 57320 9 1200 2500 25380 8 55132 0 1300 2600 28171 5 60881 1 1400 2700 2 模型分析 模型六中 变位参数 和的值确定以后 就可以将油位高度代入即可求得储油量 我们用一次性补充进油后的三百组数据验证模型的正确性与方法的可靠性 由于数据量 大 见附表 2 我们没有在此处列出全部数据 但为了更直观地反映相对误差值 我们 选取油位高度近似均匀分布在200 3000毫米上的模型的计算值与对应的实际检测数据 计算相对误差 得到相对误差散点图 变位参数 纵向倾斜角度 和横向偏转角度 的求解过程中我们确定了模型的相对误差上限值 5 从而确定了变位参数的值 现在 我们通过计算得到的变位参数的值计算相对误差 经过计算求得相对误差的均值为 3 4 从而证明模型的正确性与方法的可靠性 八 模型优缺点 8 1 模型优点 8 1 模型优点 15 1 均值简化分析模型 三 中 把变位时油高的不均匀均匀化 从而使计算大为简 便 同时 对比积分法求解的结果显示 均值法与积分法有着同样高的精度 h V 2 定量分析变位影响模型 四 中 得到了与h的定量关系 从而为工程校正提供 方便 8 2 模型缺点 8 2 模型缺点 在讨论中 忽略了油罐体厚度的影响 认为油罐的内壁是光滑的 不考虑油罐内壁的凹 凸对油的容量的影响 降低了精度 九 参考文献 1 姜启源 数学模型 第三版 北京 高等教育出版社 2003 2 杨启帆 数学建模 北京 高等教育出版社 2005 3 叶其孝 大学生数学建模竞赛辅导教材 北京 湖南教育出版社 1993 4 何坚勇 运筹学基础 北京 清华大学出版社 1999 16 附录 附表 1 储油量 L 高 度 mm 储油量 L 高度 mm 储油量 L 高度 mm 325 8 160 1664 1 510 3152 4 860 355 8 170 1707 2 520 3191 5 870 386 6 180 1750 5 530 3230 3 880 418 1 190 1793 8 540 3268 6 890 450 3 200 1837 3 550 3306 6 900 483 1 210 1880 8 560 3344 2 910 516 5 220 1924 3 570 3381 3 920 550 6 230 1967 9 580 3417 9 930 585 2 240 2011 5 590 3454 1 940 620 4 250 2055 1 600 3489 8 950 656 0 260 2098 7 610 3524 9 960 692 2 270 2142 3 620 3559 6 970 728 9 280 2185 8 630 3593 6 980 766 0 290 2229 4 640 3627 0 990 803 5 300 2272 9 650 3659 9 1000 841 5 310 2316 3 660 3692 0 1010 879 9 320 2359 6 670 3723 5 1020 918 6 330 2402 9 680 3754 3 1030 957 8 340 2446 1 690 3784 4 1040 997 2 350 2489 1 700 3813 6 1050 1037 1 360 2532 1 710 3842 0 1060 1077 2 370 2574 9 720 3869 6 1070 1117 6 380 2617 5 730 3896 2 1080 1158 3 390 2660 0 740 3921 9 1090 1199 3 400 2702 3 750 3946 6 1100 1240 5 410 2744 5 760 3970 1 1110 1282 0 420 2786 4 770 3992 5 1120 1323 7 430 2828 1 780 4013 6 1130 1365 7 440 2869 6 790 4033 3 1140 1407 8 450 2910 8 800 4051 5 1150 1450 1 460 2951 8 810 4068 1 1160 1492 6 470 2992 5 820 4082 8 1170 1535 3 480 3033 0 830 4095 2 1180 1578 1 490 3073 1 840 4104 9 1190 1621 0 500 3112 9 850 4110 1 1200 17 附表 2 油 高 2486 21 2486 21 2486 21 2486 21 2486 21 2486 21 2486 21 2486 21 57 0564 57 0024 56 8183 56 767656 710756 558456 4955 56 2788 储 油 量 油 高 2429 89 2429 89 2429 89 2429 89 2429 89 2429 89 2429 89 2429 89 56 0605 55 8612 55 7853 55 598055 440355 181554 9928 54 7692 储 油 量 油 高 2367 52 2367 52 2367 52 2367 52 2367 52 2367 52 2367 52 2367 52 54 6221 54 4792 54 2466 54 182154 106154 020553 8848 53 6471 储 油 量 油 高 2318 51 2318 51 2318 51 2318 51 2318 51 2318 51 2318 51 2318 51 53 4142 53 3536 53 2138 53 043552 898452 696052 4996 52 3825 储 油 量 油 高 2268 84 2268 84 2268 84 2268 84 2268 84 2268 84 2268 84 2268 84 52 2319 52 1802 51 8959 51 807451 733551 594951 4983 51 3305 储 油 量 油 高 2216 75 2216 75 2216 75 2216 75 2216 75 2216 75 2216 75 2216 75 51 1991 50 9169 50 6412 50 578850 346550 230150 0750 49 8885 储 油 量 油 高 2157 64 2157 64 2157 64 2157 64 2157 64 2157 64 2157 64 2157 64 49 6020 49 4465 49 1478 49 020948 792048 571048 3821 48 1518 储 油 量 油 高 2094 30 2094 30 2094 30 2094 30 2094 30 2094 30 2094 30 2094 30 47 9288 47 8314 47 7467 47 436447 340147 279647 0816 46 7992 储 油 量 油 高 2041 97 2041 97 2041 97 2041 97 2041 97 2041 97 2041 97 2041 97 46 5717 46 4694 46 3199 46 146045 834345 739845 4602 45 2356 储 18 油 量 油 高 1985 62 1985 62 1985 62 1985 62 1985 62 1985 62 1985 62 1985 62 45 0822 44 9780 44 8100 44 627644 541944 330044 2156 44 0583 储 油 量 油 高 1938 96 1938 96 1938 96 1938 96 1938 96 1938 96 1938 96 1938 96 43 8473 43 7256 43 5930 43 372043 246042 967842 6463 42 3927 储 油 量 油 高 1876 58 1876 58 1876 58 1876 58 1876 58 1876 58 1876 58 1876 58 42 3245 42 2442 42 0298 41 945541 642441 345841 0656 40 9386 储 油 量 油 高 1820 43 1820 43 1820 43 1820 43 1820 43 1820 43 1820 43 1820 43 40 6580 40 4854 40 3438 40 243640 138739 966139 8845 39 6631 储 油 量 油 高 1775 08 1775 08 1775 08 1775 08 1775 08 1775 08 1775 08 1775 08 39 4767 39 2275 38 9769 38 743038 678038 602938 4577 38 2535 储 油 量 油 高 1725 54 1725 54 1725 54 1725 54 1725 54 1725 54 1725 54 1725 54 38 0147 37 8445 37 5588 37 301436 973336 767936 6204 36 5344 储 油 量 油 高 1660 96 1660 96 1660 96 1660 96 1660 96 1660 96 1660 96 1660 96 36 3062 36 0309 35 8552 35 773235 641935 542135 4065 35 2260 储 油 量 油 高 1618 55 1618 55 1618 55 1618 55 1618 55 1618 55 1618 55 1618 55 35 0208 34 8351 34 5316 34 328734 005533 768933 4415 33 3168 储 油 量 油 高 1551 17 1551 17 1551 17 1551 17 1551 17 1551 17 1551 17 1551 17 19 33 0690 32 9307 32 6840 32 430832 355032 226332 1064 31 8611 储 油 量 油 高 1497 47 1497 47 1497 47 1497 47 1497 47 1497 47 1497 47 1497 47 31 0702 30 8777 30 7061 30 665530 508230 393130 1743 30 1349 储 油 量 油 高 1443 16 1443 16 1443 16 1443 16 1443 16 1443 16 1443 16 1443 16 30 0052 29 8827 29 7531 29 563129 460829 267929 1365 29 0903 储 油 量 油 高 1392 70 1392 70 1392 70 1392 70 1392 70 1392 70 1392 70 1392 70 29 0167 28 8362 28 7045 28 635428 529628 371528 2951 28 1115 储 油 量 油 高 1342 00 1342 00 1342 00 1342 00 1342 00 1342 00 1342 00 1342 00 28 0249 27 8066 27 7149 27 526227 450427 355127 2983 27 1468 储 油 量 油 高 1288 22 1288 22 1288 22 1288 22 1288 22 1288 22 1288 22 1288 22 26 9745 26 8287 26 7066 26 542026 376626 205326 0424 25 8193 储 油 量 油 高 1224 88 1224 88 1224 88 1224 88 1224 88 1224 88 1224 88 1224 88 25 7397 25 5626 25 4778 25 415525 258425 131925 0037 24 8360 储 油 量 油 高 1168 75 1168 75 1168 75 1168 75 1168 75 1168 75 1168 75 1168 75 24 6473 24 5404 24 3728 24 253024 050423 849723 7609 23 6030 储 油 量 油 高 1107 20 1107 20 1107 20 1107 20 1107 20 1107 20 1107 20 1107 20 23 4510 23 3071 23 0993 23 008922 908322 846422 6249 22 4606 储 油 量 1049 42 1049 42 1049 42 1049 42 1049 42 1049 42 1049 42 1049 42 油 20 高 22 3287 22 1657 22 0211 21 856621 711921 533121 3925 21 1606 储 油 量 油 高 985 11 985 11 985 11 985 11 985 11 985 11 985 11 985 11 21 0791 21 0197 20 9594 20 908220 790620 664520 5543 20 3669 储 油 量 油 高 940 22 940 22 940 22 940 22 940 22 940 22 940 22 940 22 20 2057 20 0164 19 7954 19 566719 490219 424119 2489 19 1915 储 油 量 油 高 888 23 888 23 888 23 888 23 888 23 888 23 888 23 888 23 19 0498 18 9068 18 6991 18 565018 448918 277618 0929 17 9515 储 油 量 油 高 824 95 824 9