《直角三角形》.doc

课 题直角三角形教学目的1.掌握直角三角形的性质与判定2.会运用直角三角形的性质解决应用问题教学内容一：课前检测 1、填空题： （1）在ABC中，若A=B+C，则ABC是 。 （2）在ABC中，C=90，A =2B，则A= ，B= 。 （3）在ABC中，若ABC=123，则ABC是 三角形。 （4）直角三角形两锐角之差是12度，则较大的一个锐角是 度。 2、选择题： （1）如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、以上都错 （2）如果三角形的三个内角的比是347，那么这个三角形是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形 （3）ABC中，如果两条直角边分别为3，4，则斜边上的高线是（ ）ABCDE A、 B、 C、5 D、不能确定（4）如图，ABC中，ACB=Rt，在AB上截取AE=AC， BD=BC，则DCE等于（ ） A、45 B、60 C、50 D、65二：知识梳理 1. 重点：直角三角形的性质定理及其推论：直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，则它所对的直角边等于斜边的一半; （2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30度 2. 难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理及其推论在解题中的应用.3.定义 1、直角三角形：有一个角是直角和三角形叫做直角三角形. 直角三角形表示方法：Rt. 2、 直角三角形的两个锐角互余；反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形。 例一：如图，CD是RtABC斜边上的高.请找出图中各对互余的角. 解：ABC是Rt. A+B90 CDAB（已知） ACD，BCD是Rt. A+ACD90，B+BCD90. ACBRt， ACD+BCD90. 图中一共有4对互余的角，分别是A与B；A与ACD， B与BCDACD与BCD. 特别的，当直角三角形中的两条直角边相等（如图AB=AC，A=90）时，我们称这个三角形为等腰直角三角形 思考：等腰直角三角形的2个底角为多少度？说明理由 例二：如图，在等腰直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，则ADBDCD.请说明理由。 【解】：ABC是等腰直角三角形，故B=C=45 因为ADC=90，所以RtABC中，DAC=90-C=45=C 所以AD=DC，同理AD=BD 所以ADBDCD变式： （1）已知，如上图，ADBDCD，AD是斜边BC上的高，则ABAC.请说明理由. （2）已知，如上图，ADBDCD，B45，则ABC是等腰直角三角形.请说明理由. 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 例三：如图，已知ADBD，ACBC，E为AB的中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。 【解】RtABC中，CE为AB边上的中线，所以CE=0.5AB 同理RtABD中，DE=0.5AB 所以DE=CE 点拨：证明两条线段相等，有时还可以通过第三条线段进行等量代换。 4、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 例四：如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30 的斜坡，从滑至已知AB=200m，问这名滑雪运动员的高度下降了多少？CD 解：如图作ADBC于D点，去AB的中点E，连接CE 则RtABD中，A=90-30=60 AE=BE=DE 所以ADE为等边三角形 所以AD=AE=0.5AB=100M 即这名滑雪运动员的高度下降了多少100 思考：在直角三角形中如果一条直角边长度是斜边的一半，那么这条直角边的对角多少度？为什么？ 变式： 如图，它是人字屋架设计图，其中AB=AC=5米。D是AB的中点，AEBC。如果BAC=120, 求AE和DE的长度。三：课堂小结 1、直角三角形的性质和判定: 直角三角形的两个锐角互余. 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形. 2、两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形. 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。四：课堂检测1：已知，RtABC中，ACB=90，AB=8cm，D为AB中点，DEAC于E，A=30，求BC，CD和DE的长分析：由30的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD.在RtADE中，有A=30，则DE可求.解：在RtABC中ACB=90 A=30AB=8 BC=4D为AB中点，CD为中线DEAC，AED=90在RtADE中， 2：已知：ABC中，AB=AC=BC （ABC为等边三角形）D为BC边上的中点，DEAC于E.求证：.分析：CE在RtDEC中，可知是CD的一半，又D为中点，故CD为BC上的一半，因此可证.证明：DEAC于E，DEC=90(垂直定义)ABC为等边三角形，AC=BC C=60在RtEDC中，C=60，EDC=90-60=30 D为BC中点， .3：已知：如图ADBC，且BDCD，BD=CD，AC=BC.求证：AB=BO.分析：证AB=BD只需证明BAO=BOA由已知中等腰直角三角形的性质，可知。由此，建立起AE与AC之间的关系，故可求题目中的角度，利用角度相等得证.证明：作DFBC于F，AEBC于EBDC中，BDC=90，BD=CD BC=AC DF=AE ACB=30CAB=ABC，CAB=ABC=75OBA=30AOB=75BAO=BOA AB=BO 五、课后作业1.ABC中，BAC=2B，AB=2AC，AE平分CAB。求证：AE=2CE。2.已知，RtABC中，ACB=90，CDAB，CE为AB边上的中线，且BCD=3DCA。求证：DE=DC。3.如图：AB=AC，ADBC于D，AF=FD，AEBC且交BF的延长线于E，若AD=9，BC=12，求BE的长。4.在ABC中，ACB=90，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。求证：AE=DF。5.已知，如图，在ABC中，B=C，ADBC于D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长。参考答案1.取AB中点M，连接EMAE平分CAB （角平分线意义）BAC=2B 2=B AE=EBEMABEMA=90AB=2AC AB=2AM AC=AM在ACE与AME中 ACEAME（SAS）EMA=C=90在RtACB中，1+2+B=90 1=2=B 1=30即AE=2CE。2.BCD=3DCA且BCA=90DCA=22. 5BCD=67.5B=22.5CEA=45ECD=67.5-22.5=45 DE=DC3.AD=9 BC=12 BD=CD=6BFD=EF