（全国通用版）2018-2019高中数学 第二章 平面向量检测B 新人教B版必修4.doc

第二章平面向量检测(b)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出下列命题:零向量的长度为零,方向是任意的;若a,b都是单位向量,则a与b共线;向量ab与ba相等;若非零向量ab与cd是共线向量,则a,b,c,d四点共线.则所有正确命题的序号是()a.b.c.d.解析:根据零向量的定义可知正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同或相反,故两个单位向量不一定共线,故错误;向量ab与ba互为相反向量,故错误;由于方向相同或相反的向量为共线向量,故ab与cd也可能平行,即a,b,c,d四点不一定共线,故错误.故选a.答案:a2.已知向量a=(sin x,cos x),向量b=(1,3),若ab,则tan x等于()a.-3b.3c.33d.-33解析:由ab可得ab=0,即sin x+3cos x=0,于是tan x=-3.答案:a3.若点m是abc的重心,则下列各向量中与ab共线的是()a.ab+bc+acb.am+mb+bcc.am+bm+cmd.3am+ac解析:a中,ab+bc+ac=2ac,与ab不共线;b中,am+mb+bc=ab+bc=ac,与ab不共线;d中,3am+ac显然与ab不共线;c中,am+bm+cm=0,0ab,故选c.答案:c4.已知a,b是不共线的向量,ab=a+b,ac=a+b,r,若a,b,c三点共线,则()a.+=2b.-=1c.=-1d.=1解析:a,b,c三点共线,abac,存在mr,使得ab=mac,=m,1=m,=1,故选d.答案:d5.在abc中,点p在bc上,且bp=2pc,点q是ac的中点,若pa=(4,3),pq=(1,5),则bc等于()a.(-6,21)b.(-2,7)c.(6,-21)d.(2,-7)解析:如图,qc=aq=pq-pa=(1,5)-(4,3)=(-3,2),pc=pq+qc=(1,5)+(-3,2)=(-2,7),bc=3pc=(-6,21),故选a.答案:a6.已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mr),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m等于()a.-2b.-1c.1d.2解析:由已知得c=(m+4,2m+2).因为cos=ca|c|a|,cos=cb|c|b|,所以ca|c|a|=cb|c|b|.又由已知得|b|=2|a|,所以2ca=cb,即2(m+4)+2(2m+2)=4(m+4)+2(2m+2),解得m=2.故选d.答案:d7.已知直线ax+by+c=0与圆o:x2+y2=1相交于a,b两点,且ab=3,则oaob等于()a.b.-c.d.-解析:设ab的中点为p.ab=3,ap=32.又oa=1,aop=3.aob=23.oaob=|oa|ob|cos23=-12.答案:b8.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,则ab等于()a.12b.8c.-8d.2解析:由已知得|a|cos=ab|b|=4,于是ab=43=12.答案:a9.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则a,b的夹角为()a.150b.120c.60d.30解析:设|a|=m(m0),a,b的夹角为.由题设,知(a+b)2=c2,即2m2+2m2cos =m2,得cos =-12.又0180,所以=120,即a,b的夹角为120,故选b.答案:b10.如图,在直角梯形abcd中,abad,ad=dc=1,ab=3,点p是bc的中点,设ap=ad+ab(,r),则+等于()a.b.c.d.76解析:建立如图所示的坐标系,b(3,0),d(0,1),c(1,1).点p为bc的中点,p2,12.ap=ad+ab,2,12=(0,1)+(3,0)=(3,),3=2,=12,+=76.故选d.答案:d二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)b,则k=.解析:a-c=(3-k,-6).由(a-c)b,得3(3-k)=-6,解得k=5.答案:512.在abcd中,对角线ac与bd交于点o,若ab+ad=ao,则=.解析:由已知得ab+ad=ac=2ao,即=2.答案:213.已知正方形abcd的边长为2,e为cd的中点,则aebd=.解析:aebd=(ad+de)(ad-ab)=|ad|2-adab+dead-deab=4-0+0-2=2.答案:214.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=a+b(,r),则=.解析:建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1),则a(1,-1),b(6,2),c(5,-1),a=ao=(-1,1),b=ob=(6,2),c=bc=(-1,-3).c=a+b,(-1,-3)=(-1,1)+(6,2),即-+6=-1,+2=-3,解得=-2,=-12,=4.答案:415.已知向量ab与ac的夹角为120,且|ab|=3,|ac|=2.若ap=ab+ac,且apbc,则实数的值为.解析:apbc,apbc=0,(ab+ac)bc=0,即(ab+ac)(ac-ab)=abac-ab2+ac2-acab=0.向量ab与ac的夹角为120,|ab|=3,|ac|=2,(-1)|ab|ac|cos 120-9+4=0,解得=712.答案:712三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,在oadb中,设oa=a,ob=b,bm=13bc,cn=13cd.试用a,b表示om,on及mn.解:由题意知,在oadb中,bm=13bc=16ba=16(oa-ob)= (a-b)= a-b,则om=ob+bm=b+16a-16b=16a+56b,on=23od=23(oa+ob)=23(a+b),则mn=on-om=23(a+b)-16a-56b=12a-16b.17.(8分)已知a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),0.(1)求|a|的值;(2)求证:a+b与a-b互相垂直.(1)解:a=(cos ,sin ),|a|=cos2+sin2=1.(2)证明(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0,a+b与a-b互相垂直.18.(9分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=25,且ca,求c的坐标;(2)若|b|=52,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角.解:(1)因为ca,a=(1,2),所以可设c=a=(,2).又|c|=25,所以2+42=20,解得=2.所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)依题意,得(a+2b)(2a-b)=0,即2|a|2+3ab-2|b|2=0.又|a|2=5,|b|2=54,所以ab=-52,所以cos =ab|a|b|=-52552=-1,而0,所以=.19.(10分)在abc中,abac,m是bc的中点.(1)若|ab|=|ac|,求向量ab+2ac与向量2ab+ac的夹角的余弦值;(2)若o是线段am上任意一点,且|ab|=|ac|=2,求oaob+ocoa的最小值.解:(1)设向量ab+2ac与向量2ab+ac的夹角为,|ab|=|ac|=a,abac,abac=0,(ab+2ac)(2ab+ac)=2ab2+5abac+2ac2=4a2,|ab+2ac|=(ab+2ac)2=ab2+4abac+4ac2=5a,同理可得|2ab+ac|=5a,cos =(ab+2ac)(2ab+ac)|ab+2ac|2ab+ac|=4a25a2=45.(2)abac,|ab|=|ac|=2,|am|=1.设|oa|=x(0x1),则|om|=1-x,而ob+oc=2om,oaob+ocoa=oa(ob+oc)=2oaom=2|oa|om|cos =-2x(1-x)=2x2-2x=2x-122-12,当且仅当x=12时,oaob+ocoa取得最小值-12.20.(10分)在平面直角坐标系中,o为坐标原点,a,b,c三点满足oc=13oa+23ob.(1)求证:a,b,c三点共线;(2)求|ac|cb|的值;(3)已知a(1,cos x),b(1+cos x,cos x),x0,2,f(x)=oaoc-2m+23|ab|的最小值为-,求实数m的值.(1)证明oc=13oa+23ob,oc-oa=23(ob-oa),即ac=23ab.acab.又ac,ab有公共点a,a,b,c三点共线.(2)解:由(1)得ac=23ab=23(ac+cb),13ac=23cb,ac=2cb,|ac|cb|=2.(3)解:ab=(1+cos x,cos x)-(1,cos x)=(cos x,0).x0,2,cos x0,1.|ab|=|cos x|=cos x.ac=2cb,oc-oa=2(ob-oc).3oc=2ob+oa=2(1+cos x,cos x)+(1,cos x)=(3+2cos x,3co