陕西省西安市西交大附中高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

陕西省西安市西交大附中2015届高三上学期期中数学 试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设全集u=1，2，3，4，5，6，集合a=1，3，5，b=2，4，则（）au=abbu=（ua）bcu=a（ub）du=（ua）（ub）2（5分）已知x，yr，i为虚数单位，且xiy=1+i，则（1+i）x+y的值为（）a2b2ic4d2i3（5分）函数y=（sinx+cosx）（sinxcosx）是（）a奇函数且在上单调递增b奇函数且在上单调递增c偶函数且在上单调递增d偶函数且在上单调递增4（5分）下列有关命题说法正确的是（）a命题p：“xr，sinx+cosx=”，则p是真命题b“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件c命题“xr，使得x2+x+10“的否定是：“xr，x2+x+10”d“al”是“y=logax（a0且a1）在（0，+）上为增函数”的充要条件5（5分）若变量a，b满足约束条件，n=2a+3b，则n取最小值时，二项展开式中的常数项为（）a80b80c40d206（5分）若f（2x0）=1，f（x0）=，y=f（2x），则y（x0）=（）a0bc3d27（5分）已知ab，二次三项式ax2+2x+b0对于一切实数x恒成立又x0r，使+2x0+b=0成立，则的最小值为（）a1bc2d28（5分）已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为l，动点p在正方体表面上且满足|pa|=|pc1|，则动点p的轨迹长度为（）a3b3c3d69（5分）过点m（2，0）作斜率为k1（k10）的直线与双曲线x2=1交于a、b两点，线段ab的中点为p，o为坐标原点，op的斜率为k2，则k1k2等于（）ab3cd310（5分）在区间0，2上随机取两个数x，y，则0xy2的概率是（）abcd二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分将答案填在答题卡的相应位置11（5分）已知向量=（2，4），=（1，1），若向量（+），则实数的值是12（5分）某校2015届高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则在8090分数段应抽取人数为13（5分）已知直线ax+by=1（a0，b0）与圆x2+y2=1相切，若，则|ab|的最小值为14（5分）已知a0，a1，函数若函数f（x）在0，2上的最大值比最小值大，则a的值为选考题（请考生在15、16、17三题中任选一题作答，如果全选，则按a题结果计分）15（5分）已知函数f（x）=|x3|2，g（x）=|x+1|+4若不等式f（x）g（x）m+1的解集为r，则m的取值范围是16已知c点在o直径be的延长线上，ca切o于a点，若ab=ac，则=17在直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c1的极坐标方程为sin（+）+1=0，曲线c2的参数方程为（为参数，0），则c1与c2有个不同公共点二、解答题：本大题共4小题，共75分写出详细的解答或证明过程18（12分）已知函数f（x）=asin（x+）（其中xr，a0，0）的最大值为2，最小正周期为8（）求函数f（x）的解析式及函数的增区间；（）若函数f（x）图象上的两点p，q的横坐标依次为2，4，o为坐标原点，求poq 的面积19（12分）已知数列an的前n项和sn=kcnk（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3（1）求an；（2）求数列nan的前n项和tn20（12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（3）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为，求的期望22（14分）如图，在三棱柱abca1b1c1中，abc是边长为2的等边三角形，aa1平面abc，d，e分别是cc1，ab的中点（1）求证：ce平面a1bd；（2）若h为a1b上的动点，当ch与平面a1ab所成最大角的正切值为时，求平面a1bd与平面abc所成二面角（锐角）的余弦值陕西省西安市西交大附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设全集u=1，2，3，4，5，6，集合a=1，3，5，b=2，4，则（）au=abbu=（ua）bcu=a（ub）du=（ua）（ub）考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：首先求出集合a，b在全集中的补集，利用并集概念即可得到结论解答：解：因为u=1，2，3，4，5，6，a=1，3，5，b=2，4，所以cua=2，4，6，cub=1，3，5，6所以（cua）（cub）=2，4，61，3，5，6=1，2，3，4，5，6所以u=（cua）（cub）故选d点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的概念题，也是会考题型2（5分）已知x，yr，i为虚数单位，且xiy=1+i，则（1+i）x+y的值为（）a2b2ic4d2i考点：复数相等的充要条件 专题：计算题分析：由复数相等的条件求出x，y，然后直接代入求值解答：解：由xiy=1+i，得：，所以，x=1，y=1，所以x+y=1+1=2，所以（1+i）x+y=（1+i）2=2i故选d点评：本题考查了复数相等的充要条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，此题是基础题3（5分）函数y=（sinx+cosx）（sinxcosx）是（）a奇函数且在上单调递增b奇函数且在上单调递增c偶函数且在上单调递增d偶函数且在上单调递增考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性；正弦函数的对称性 专题：三角函数的图像与性质分析：利用二倍角公式化简函数的解析式为cos2x，可得函数为偶函数，再求出函数的单调区间，从而得出结论解答：解：由于函数y=（sinx+cosx）（sinxcosx）=sin2xcos2x=cos2x，故函数为偶函数，故排除a、b令 2k2x2k，kz，求得 kxk，kz，故函数的减区间为k，k，kz令2k2x2k+，kz，求得 kxk+，kz，故函数的增区间为k，k+，kz，故选c点评：本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的奇偶性以及单调性，属于中档题4（5分）下列有关命题说法正确的是（）a命题p：“xr，sinx+cosx=”，则p是真命题b“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件c命题“xr，使得x2+x+10“的否定是：“xr，x2+x+10”d“al”是“y=logax（a0且a1）在（0，+）上为增函数”的充要条件考点：命题的真假判断与应用 专题：阅读型分析：a、判断出命题p的真假，即可得到p的真假；b、若pq，则p是q的充分不必要条件；c、特称命题的否定是全称命题；d、若，则p是q的充要条件解答：解：a、由于sinx+cosx=sin（x+），当x=时，sinx+cosx=，则命题p：“xr，sinx+cosx=”为真命题，则p是假命题；b、由于x25x6=0的解为：x=1或x=6，故“x=1”是“x25x6=0”的充分不必要条件；c、由于命题“xr，使得x2+x+10”则命题的否定是：“xr，x2+x+10”；d、若y=logax（a0且a1）在（0，+）上为增函数，则必有al，反之也成立故“al”是“y=logax（a0且a1）在（0，+）上为增函数”的充要条件故答案为d点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，我们需对四个结论逐一进行判断，方可得到正确的结论5（5分）若变量a，b满足约束条件，n=2a+3b，则n取最小值时，二项展开式中的常数项为（）a80b80c40d20考点：二项式定理；简单线性规划 专题：计算题分析：画出可行域，求出目标函数n=2a+3b 的最优解，求得n的最小值，在二项展开式通项公式中，令未知数的幂指数等于零，即可求得常数项解答：解：画出可行域，如图所示：三角形abc内部区域（包含边界）目标函数n=2a+3b，a（1，1）为最优解，故n取最小值为5二项展开式通项公式为tr+1= （1）r x2r =（1）r 25r，令55r=0，可得r=1，故二项展开式中的常数项为524=80，故选a点评：本题主要考查二项式定理的应用，简单的线性规划问题，体现了数形结合的数学思想，画出图形，是解题的关键，属于中档题6（5分）若f（2x0）=1，f（x0）=，y=f（2x），则y（x0）=（）a0bc3d2考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：根据复合函数的导数公式进行求解即可解答：解：y=f（2x），y（x）=f（2x）（2x）=2f（2x），则y（x0）=2f（2x0）=21=2，故选：d点评：本题主要考查导数的计算，根据复合函数的导数公式是解决本题的关键7（5分）已知ab，二次三项式ax2+2x+b0对于一切实数x恒成立又x0r，使+2x0+b=0成立，则的最小值为（）a1bc2d2考点：基本不等式 专题：函数的性质及应用分析：由条件求得a1，ab=1，由此把要求的式子化为化简为，令 =t2，则=（t2）+4+，利用基本不等式求得的最小值为8，可得的最小值解答：解：已知ab，二次三项式ax2+2x+b0对于一切实数x恒成立，a0，且=44ab0，ab1再由x0r，使+2x0+b=0成立，可得=0，ab=1，a1=0=令 =t2，则 =（t2）+4+4+4=8，故的最小值为8，故 的最小值为 =2，故选d点评：本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的难点和关键，属于中档题8（5分）已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为l，动点p在正方体表面上且满足|pa|=|pc1|，则动点p的轨迹长度为（）a3b3c3d6考点：棱柱的结构特征；轨迹方程 专题：立体几何分析：首先以边d1a1，d1c1，d1d所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，得到a（1，0，1），c1（0，1，0），由于动点p在正方体的表面上，所以可讨论p点在正方体各面上的情况这时候，可先来看一下p点在平面abcd上的情况，这样设p（x0，y0，1），根据条件|pa|=|pc1|得到，所以这时可建立平面直角坐标系，从而找出直线和正方体边的交点，从而找到p点在该平面上的轨迹为一条线段，并可求出该线段长度为，而同理p点在其它平面上时求法一样，且都为，这样便可求p点轨迹的长度解答：解：如图，分别以边d1a1，d1c1，d1d所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系；可以以下两点坐标：a（1，0，1），c1（0，1，0）；若p点在正方形abcd内，设p（x0，y0，1）；由|pa|=|pc1|得：；分别以边da，dc为x轴，y轴建立平面直角坐标系；直线就是直线ef，所以在该平面上的p点的轨迹是线段ef，且|ef|=；同理可求p点在其它平面上时p点的轨迹也是线段，且长度都为；动点p的轨迹长度为故选b点评：考查建立空间直角坐标系，平面直角坐标系解决问题的方法，会确定空间点的坐标，空间两点之间的距离公式，以及平面直角坐标系中的直线方程9（5分）过点m（2，0）作斜率为k1（k10）的直线与双曲线x2=1交于a、b两点，线段ab的中点为p，o为坐标原点，op的斜率为k2，则k1k2等于（）ab3cd3考点：直线与圆锥曲线的关系 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：设直线l的方程为y=k1（x+2），代入x2=1，得（1+2k12）x2+8k12x+8k122=0，然后由根与系数的关系求解能够得到k1k2的值解答：解：设直线l的方程为y=k1（x+2），代入x2=1，得（3k12）x24k12x4k123=0，所以x1+x2=，则k1=，即线段ab的中点为p的横坐标为，则纵坐标为y=k1（x+2）=k1（+2）=，所以op的斜率k2=，所以k1k2=3，故选b点评：本题主要考查直线和双曲线的位置关系，利用直线和双曲线联立转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键10（5分）在区间0，2上随机取两个数x，y，则0xy2的概率是（）abcd考点：定积分在求面积中的应用；几何概型 专题：概率与统计分析：先作出图象，由题意可设两个数为x，y，则有所有的基本事件满足，所研究的事件满足0y，再利用图形求概率解答：解：由题意可设两个数为x，y，则所有的基本事件满足，所研究的事件满足0y，如图总的区域是一个边长为2的正方形，它的面积是4，满足0y的区域的面积是4=4=4（42ln2）（22ln1）=2+2ln2，则0xy2的概率为p=，故选：c点评：本题考查几何概率模型，求解问题的关键是能将问题转化为几何概率模型求解，熟练掌握几何概率模型的特征利于本题的转化二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分将答案填在答题卡的相应位置11（5分）已知向量=（2，4），=（1，1），若向量（+），则实数的值是3考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量数乘的运算及其几何意义 专题：计算题分析：由向量=（2，4），=（1，1），我们易求出向量若向量+的坐标，再根据（+），则（+）=0，结合向量数量积的坐标运算公式，可以得到一个关于的方程，解方程即可得到答案解答：解：+=（2，4）+（1，1）=（2+，4+）（+），（+）=0，即（1，1）（2+，4+）=2+4+=6+2=0，=3故答案：3点评：本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，及向量数乘的运算，解答的关键是求出各向量的坐标，再根据两个向量垂直，对应相乘和为零，构造方程12（5分）某校2015届高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则在8090分数段应抽取人数为20考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分析：根据分层抽样知在各层抽取的比例是：，把条件代入，再由抽取人数，求出在8090分数段应抽取人数解答：解：根据题意和分层抽样的定义知，在8090分数段应抽取人数为50=20故答案为：20点评：本题考查了频率分布直方图，分层抽样方法的应用，即根根据题意求出抽取比例和在各层抽取的个体数13（5分）已知直线ax+by=1（a0，b0）与圆x2+y2=1相切，若，则|ab|的最小值为3考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题；直线与圆分析：直线ax+by=1（a0，b0）与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，求出|ab|，利用基本不等式求出最小值解答：解：直线ax+by=1（a0，b0）与圆x2+y2=1相切，a2+b2=1，|ab|=3|ab|的最小值为3，故答案为：3点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题14（5分）已知a0，a1，函数若函数f（x）在0，2上的最大值比最小值大，则a的值为或考点：函数最值的应用 专题：计算题；函数的性质及应用分析：分0a1和a1时两种情况加以讨论，根据指数函数的单调性和一次函数单调性，并结合分段函数在区间端点处函数值的大小比较，求出函数在0，2上的最大值和最小值，由此根据题意建立关于a的方程，解之即得满足条件的实数a的值解答：解：当0a1时，可得在0，1上，f（x）=ax是减函数；且在（1，2上，f（x）=x+a是减函数f（0）=a0=11+a，函数的最大值为f（0）=1；而f（2）=2+a1+a=f（1），所以函数的最小值为f（2）=2+a因此，2+a+=1，解之得a=（0，1）符合题意；当a1时，可得在0，1上，f（x）=ax是增函数；且在（1，2上，f（x）=x+a是减函数f（1）=a1+a，函数的最大值为f（1）=a而f（2）=2+a，f（0）=a0=1，可得i）当a（1，3时，2+a1，得f（2）=2+a为函数的最小值，因此，2+a+=a矛盾，找不出a的值ii）当a（3，+）时，2+a1，得f（0）=1为函数的最小值，因此，1+=a，解之得a=（3，+），符合题意综上所述，实数a的值为或故答案为：或点评：本题给出含有字母a的分段函数，在已知函数的最大最小值之差的情况下求参数a的值，着重考查了指数函数、一次函数的单调性和分段函数的理解等知识，考查了转化化归和分类讨论的数学思想，属于中档题选考题（请考生在15、16、17三题中任选一题作答，如果全选，则按a题结果计分）15（5分）已知函数f（x）=|x3|2，g（x）=|x+1|+4若不等式f（x）g（x）m+1的解集为r，则m的取值范围是（，3考点：绝对值不等式的解法；其他不等式的解法 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：由题意得，不等式|x3|+|x+1|6m+1恒成立，故左边的最小值大于或等于m+1，问题化为求左边的最小值，利用绝对值不等式的性质可得左边的最小值解答：解：由题意得，不等式f（x）g（x）m+1恒成立，即|x3|+|x+1|6m+1 恒成立|x3|+|x+1|6|（x3）（x+1）|6=2，2m+1，m3，故m的取值范围 （，3故答案为：（，3点评：本题考查绝对值不等式的性质的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题16已知c点在o直径be的延长线上，ca切o于a点，若ab=ac，则=考点：与圆有关的比例线段 专题：推理和证明分析：由已知得c=b=cae，从而aeb=2b=60，设圆半径为r，则ae=ce=r，bc=3r，ac=ab=r，由此能求出的值解答：解：c点在o直径be的延长线上，ca切o于点a，ab=ac，c=b=cae，aeb=2b=60，设圆半径为r，则ae=ce=r，bc=3r，ac=ab=r，=故答案为：点评：本题考查与圆相关的两数比值的求法，是中档题，解题时要注意弦切角定理、圆的简单性质的合理运用17在直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c1的极坐标方程为sin（+）+1=0，曲线c2的参数方程为（为参数，0），则c1与c2有1个不同公共点考点：参数方程化成普通方程 专题：选作题；坐标系和参数方程分析：曲线c1的极坐标方程为sin（+）+1=0，可化为y+x+1=0由曲线c2的参数方程为，消去参数可得（x+1）2+（y+1）2=1（1y0），求出圆心到直线的距离，即可得出结论解答：解：曲线c1的极坐标方程为sin（+）+1=0，可化为y+x+1=0由曲线c2的参数方程为，消去参数可得（x+1）2+（y+1）2=1（1y0）圆心到直线的距离d=1则曲线c1与曲线c2的交点个数只有1个故答案为：1点评：本题考查了把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的交点个数，属于基础题二、解答题：本大题共4小题，共75分写出详细的解答或证明过程18（12分）已知函数f（x）=asin（x+）（其中xr，a0，0）的最大值为2，最小正周期为8（）求函数f（x）的解析式及函数的增区间；（）若函数f（x）图象上的两点p，q的横坐标依次为2，4，o为坐标原点，求poq 的面积考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质；解三角形分析：（）由已知得a=2由周期公式可求得，即可确定解析式，由2kx+2k，kz即可解得函数的增区间（）先由已知可求得：p，q坐标，即可求得|op|，|oq|，|pq|的值，由余弦定理可得cospoq，可得sinpoq=，从而由面积公式即可求值解答：解：（）由已知得a=2由周期公式可求得：f（x）=2sin（x+）由2kx+2k，kz即可解得：x8k3，8k+1，kz，函数的增区间是8k3，8k+1，kz，（）函数f（x）图象上的两点p，q的横坐标依次为2，4，可求得：p（2，），q（4，）可求得：|op|=，|oq|=3，|pq|=2由余弦定理可得：cospoq=，sinpoq=，poq 的面积为s=opoqsinpoq=3点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理的应用，两点距离公式的应用，属于中档题19（12分）已知数列an的前n项和sn=kcnk（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3（1）求an；（2）求数列nan的前n项和tn考点：数列的求和；等比数列的通项公式 专题：计算题分析：（1）先根据前n项和求出数列的通项表达式；再结合a2=4，a6=8a3求出c，k，即可求出数列的通项；（2）直接利用错位相减法求和即可解答：解：（1）由sn=kcnk，得an=snsn1=kcnkcn1； （n2），由a2=4，a6=8a3得kc（c1）=4，kc5（c1）=8kc2（c1），解得；所以a1=s1=2；an=snsn1=kcnkcn1=2n，（n2），于是an=2n（2）：nan=n2n；tn=2+222+323+n2n； 2tn=22+223+324+（n1）2n+n2n+1；tn=2+22+23+2nn2n+1=n2n+1=2+2n+1n2n+1；即：tn=（n1）2n+1+2点评：本题主要考察数列求和的错位相减法数列求和的错位相减法适用于一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列数列求和的错位相减法也是这几年2015届高考的常考点20（12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（3）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为，求的期望考点：离散型随机变量的期望与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 专题：概率与统计分析：（1）利用古典概率计算公式结合排列组合知识，能求出至少两次试验成功的概率（2）根据乙小组在第四次成功前共有三次失败，可知乙小组共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，所以各种可能的情况数为=12种，由此能求出结果（3）由题意的取值为0，1，2，3，4，分别求出p（=0），p（=1），p（=2），p（=3），p（=4），由此能求出的期望解答：解：（1）甲小组做了三次试验，至少两次试验成功的概率为：p（a）=（2）根据乙小组在第四次成功前共有三次失败，可知乙小组共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，所以各种可能的情况数为=12种，所以所求的概率为p（b）=12=（3）由题意的取值为0，1，2，3，4，p（=0）=，p（=1）=+=，p（=2）=+=，p（=3）=+=，p（=4）=，的分布列为： 0 1 234 pe=点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型22（14分）如图，在三棱柱abca1b1c1中，abc是边长为2的等边三角形，aa1平面abc，d，e分别是cc1，ab的中点（1）求证：ce平面a1bd；（2）若h为a1b上的动点，当ch与平面a1ab所成最大角的正切值为时，求平面a1bd与平面abc所成二面角（锐角）的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法 专题：空间角；空间向量及应用分析：（1）通过补形，延长延长a1d交ac的延长线于点f，连接bf，从而可证明cebf，然后由线面平行的判定定理得证；（2）由已知找出c点在平面a1ab上的射影ce，ce为定值，要使直线ch与平面a1ab所成最大角的正切值为，则点h到e点的距离应