福建省漳州市八校高三数学第四次联考试题 理（含解析）新人教A版.doc

2014届高三年漳州八校第四次联考理科数学试题【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，使用时间是5月初，可作为高考前的模拟考试，也是一次摸底考试，故命题模式与高考一致，考查了高考考纲上的诸多热点问题，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生基本数学素养的考查。知识考查注重基础、注重常规，也有综合性较强的问题，试题必做部分重点考查：函数、三角函数、数列、立体几何、概率、解析几何等，选做部分考查矩阵、极坐标与参数方程、不等式，涉及到的基本数学思想有数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论等，试题难度适中，兼达到高考关于区分度的要求，适合即将参加高考的高三学生使用。一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设复数满足，则（ ）a b c d【知识点】复数的除法【答案解析】a 解析：，故选：a【思路点拨】由已知可得：，根据复数的除法法则，分子分母同时乘以化简即可。2已知随机变量x服从正态分布n（3，1），且p（lx5）=0682 6，则p（x5）=（ ）a0158 8 b0158 7 c0158 6 d0158 5【知识点】正态分布曲线的特点及意义【答案解析】b 解析：随机变量x服从正态分布n（3，1），且p（lx5）=0682 6 p（3x5）=p（lx5）=0.3413 p（x5）=0.5-0.3413=0.1587，故选：b【思路点拨】对应的正态分布曲线关于对称，由p（3x5）的概率即可求出p（x5）。3已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入 的的值为（ ） a1或1 b2或0 c2或1 d1或0 【知识点】含判断结构的程序框图【答案解析】c 解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数的函数值，当时，令，则，当时，令，则，故选：c【思路点拨】该程序的作用是计算并输出分段函数的值，输出的结果为0即，分情况求的值即可。 4已知f（x）是定义在r上的奇函数，且在（0，+）内有1 006个零点，则f（x）的零点共有（ ）a1 006个 b.100个c2 012个 d2 013个【知识点】函数奇偶性的性质；零点的存在性及意义【答案解析】d 解析：因为已知f（x）是定义域为r的奇函数，故函数的图象关于原点对称再由函数在（0，+）内有1006个零点，可得函数在（-，0）内也有1006个零点，再根据f（0）=0，可得函数的零点个数为 1006+1006+1=2013，故选：d【思路点拨】根据奇函数的性质、函数的零点的定义，以及f（0）=0、函数在（0，+）内有1003个零点，即可求得函数的零点的总个数5在abc中内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若b= 2ccos a，c=2bcos a，则abc的形状为（ ） a直角三角形 b锐角三角形 c等边三角形 d等腰直角三角形【知识点】正弦定理的应用；三角形内角和性质；和差角公式【答案解析】c 解析：由b= 2ccos a，根据正弦定理得：，因为在三角形中，,代入上式可得：，即又，所以，即，同理，所以abc的为等边三角形，故选：c【思路点拨】6设an是等比数列，则“a1a2 a4”是“数列an是递增数列”的（ ） a充分而不必要条件 b必要而不充分条件 c充分必要条件 d既不充分也不必要条件【知识点】数列的分类；充分、必要条件的判定【答案解析】b 解析：当时，满足a1a2 a4，但此时的数列，是摆动数列，所以a1a2 a4时，数列an不一定是递增数列，充分性不成立；若数列an是递增数列，则一定有a1a2 a4，必要性成立，故选：b【思路点拨】结合递增数列的定义和充分条件和必要条件的定义进行判断即可。7 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ） a4 b12 c2 d4【知识点】三视图；几何体的外接球【答案解析】a 解析：三视图复原的几何体如图，它是底面为等腰直角三角形，底边长为，底边上的高是，所以腰长是2，一条长为2 的侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是将其扩展为正方体的外接球，球的直径为，所以体积为， 故选：a 【思路点拨】判断三视图复原的几何体的形状，底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，将其扩展为正方体，结合数据求出外接球的半径，然后求其体积。8 用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足 1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数 相邻，则这样的六位数的个数为（ ） a432 b288 c216 d144【知识点】计数原理；排列组合【答案解析】b 解析：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有种,先排3个奇数：若1排在左端，方法有种,则将“整体”和另一个偶数中选出一个插在1的左边，方法有种，另一个偶数插在3个奇数形成的3个空中，方法有种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有种;若1排在右端，同理求得满足条件的六位数也有72种;若1排在中间，方法有种，则将“整体”和另一个偶数插入3个奇数形成的4个空中，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有种综上，满足条件的六位数共有 72+72+144=288种，故选：b【思路点拨】从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，先排3个奇数：分1在左边、1在右边、1在中间三种情况，分别用插空法求得结果，再把这3个结果相加，即得所求。9已知函数则与两函数的图像的交点个数为（ ）a1 b2 c3 d4【知识点】分段函数；数形结合法【答案解析】c 解析：在同一个坐标系中，分别做出两个函数的图像，如图：由图可知，与两函数的图像的交点个数为3个，故选：c【思路点拨】在同一坐标系中，分别做出两个函数的图象，其中的图像是分段的，要分两段来画，再由图象判断交点的个数10.函数的定义域为a,若且时总有,则称为单函数.例如:函数是单函数.给出下列命题:函数是单函数;指数函数是单函数;若为单函数,且,则;在定义域上具有单调性的函数一定是单函数,其中正确命题的个数是 ( )a3b2cd0 【知识点】函数的单调性；基本初等函数【答案解析】a 解析：对于，若，则时，或，故错误；对于，f（x）=2x是r上的增函数，当f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，故正确；对于，对于f（x）为单函数，则f（x1）=f（x2）时，有x1=x2，逆否命题是x1x2时，有f（x1）f（x2），故正确；对于，假如f（x1）=f（x2）时有x1x2，这与单调函数矛盾，故正确，所以正确命题的个数为3个，故选：a【思路点拨】根据函数的定义及单函数的定义，我们易得单函数即一一对应的函数，进而逐一分析四个答案，即可得到答案二、填空题（本题5小题，每小题4分,共20分。 请将正确答案填入答题卷中。）11由曲线所围成的图形面积是 . 【知识点】定积分求面积【答案解析】e-2 解析：画出草图，图中阴影部分就是所围成的图形， ，故答案为：e-2【思路点拨】画出图象确定所求区域，用定积分表示区域的面积，解出定积分的值就是所求面积。12、已知，则的值= 。【知识点】和差角公式；倍角公式；同角三角函数基本关系式【答案解析】 解析：， ， ，故答案为：【思路点拨】由已知以及同角三角函数关系式可求得的值，化简后也等于，即得答案。13若实数x，y满足且的最小值为4，则实数b的值为 【知识点】线性规划【答案解析】3 解析：画出x，y满足的可行域如下图： 由图可知：当目标函数经过可行域内的点，即直线和的交点时取得最小值，由 得， 带入目标函数，有：，所以，故答案为：3【思路点拨】画出满足条件的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数的方程，解方程即可得到的值。14设f1，f2分别是双曲线的左、右焦点若双曲线上存在点a，使f1af2=90，且|af1|=3|af2|，则双曲线离心率为 【知识点】双曲线的定义及简单几何性质【答案解析】 解析：设，则,所以， 又因为f1af2=90，所以， 所以双曲线的离心率，故答案为：【思路点拨】可设，则，根据已知条件和双曲线的定义，可以用表示出，代入离心率的计算公式中即可。15.已知函数，设，且函数的零点均在区间内，则圆的面积的最小值是 . 【知识点】函数的零点；导数的应用【答案解析】 解析：，当时，当时，所以恒成立，所以是r上的增函数，函数f（x）在（-1，0）上有且只有一个零点，又，在内有且只有一个零点，即得的最小值是1，所以圆的面积的最小值为，故答案为：【思路点拨】利用导数求出函数f（x）的零点所在的区间，由于，所以是r上的增函数，且，再根据和的关系，即可得到a，b的值，继而求出面积的最小值三解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16 . （本小题满分13分）小明打算从组和组两组花样滑冰动作中选择一组参加比赛已知小明选择组动作的概率是选择组动作的概率的3倍，若小明选择组动作并正常发挥可获得10分，没有正常发挥只能获得6分；若小明选择组动作则一定能正常发挥并获得8分据平时训练成绩统计，小明能正常发挥组动作的概率是（）求小明选择组动作的概率；（）设表示小明比赛时获得的分数，求的分布列与期望【知识点】概率的性质；离散型随机变量的分布列、数学期望【答案解析】解：（）设小明选择组动作的概率为，则小明选择组动作的概率为，依题意得即，所以小明选择组动作的概率为0.75（）依题意得=10、6、8的分布列为：1068【思路点拨】（）已知小明选择组动作的概率是选择组动作的概率的3倍，可得，解出p即可。（）由题知，的取值为10,6,8，分别对应选择组动作并正常发挥、选择组动作没有正常发挥、选择组动作三种不同的结果，分析每种结果得到对应的的概率，列出表格，再代入期望的计算公式即可解得期望。 17（本题满分13分）如图，四边形是矩形，平面， 四边形是梯形， 点是的中点，.（）求证：平面；（）求二面角的余弦值. 【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法【答案解析】解：（）证明：连结，交于点，点是的中点. 点是的中点，是的中位线. 平面，平面，平面.（）解：四边形 是梯形，又四边形是矩形，又，又，在中，由可求得 以为原点，以，分别为， ，轴建立空间直角坐标系，. 设平面的法向量， ，. 令，则，. . 又是平面的法向量， 如图所示，二面角为锐角. 二面角的余弦值是【思路点拨】（）连接bd，交ac于点g，利用三角形中位线的性质，可得bfmg，利用线面平行的判定，可得bf平面amc；（）以a为原点，以af，ab，ad分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，确定平面ace的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角b-ac-e的余弦值。18. （本小题满分13分）已知，且.（）在锐角中，分别是角的对边，且,的面积为，当时，,求的值. （）若时，的最大值为（为数列的通项公式），又数列满足，求数列的前项和【知识点】【答案解析】解（）， ，当时，由得：，又是锐角三角形，即，又由得：，由余弦定理得：（）由（）知：由，可得：， 当即时，此时，取最大值为，又 【思路点拨】（）利用向量的数量积运算得到的解析式并化简，由，得，由，得，再利用余弦定理即可得到；（）由的范围得的范围，进而求出的最大值，即，把代入中，并裂项，用裂项相消法即可求得。19（本小题满分13分）如图，轴，点m在dp的延长线上，且当点p在圆上运动时。（i）求点m的轨迹c的方程；（）过点的切线交曲线c于a，b两点，求aob面积s的最大值和相应的点t的坐标。【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；直线与圆相交的性质【答案解析】解: （i） 设点的坐标为，点的坐标为，则，所以， 因为在圆上，所以 将代入，得点的轨迹方程c的方程为 （）由题意知，当时，切线的方程为，点a、b的坐标分别为此时，当时，同理可得；当时，设切线的方程为由得设a、b两点的坐标分别为，则由得：又由l与圆相切，得即 且当时，|ab|=2，|ab|的最大值为2， 依题意，圆心到直线ab的距离为圆的半径，所以面积 ，当且仅当时，面积s的最大值为1，相应的的坐标为或者【思路点拨】（i）设出m的坐标和点p的坐标，由题意找出两个点的坐标之间的关系，根据p在圆上，将p的坐标代入圆的方程，化简即可得到点m的轨迹方程；（）由题意知，分两种情况考虑：（i）当时，可以确定切线的方程，与联立，求出a和b的坐标，进而求出的面积；（ii）当时，设切线方程，与圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，设出和的坐标，由与圆相切，得到切线方程中参数的关系，代入公式中，利用韦达定理和基本不等式变形，得到的最大值，进而求出的面积的最大值，以及此时t的坐标即可20（本小题满分14分）已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）设定义在d上的函数在点处的切线方程为.当时，若在d内恒成立，则称p为函数的“转点”.当时，问函数是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由。【知识点】用导数求函数的极值；【答案解析】（i）当时，当，当 ，所以函数在和单调递增，在单调递减，所以当时，函数取到极大值为，当时，函数取到极小值为-2. （ii）当时，由函数在其图像上一点处的切线方程，得设且 当时，在上单调递减，所以当时，；当时，在上单调递减，所以当时，；所以在不存在 “转点”. 当时，即在上是增函数.当时，当时，即点为“转点”.故函数存在“转点”，且2是“转点”的横坐标.【思路点拨】（i）利用函数的求导公式和法则求出，令，解出，观察左右两侧的导数符号，判断其是否极值点，是什么极值点，代入求出极值即可；（ii）先用点斜式求出在点处的切线方程，即的解析式，令讨论的单调性，通过判断与即0的关系，得到与0的关系，进而判断点p是否满足“转点”的定义，通过讨论，只有当时，即在定义域上是增函数，在上恒成立，满足“转点”的定义，即可得到答案。21本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选两题做答，满分14分.若多做，则按所做的前两题计分.请用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中（1）（本小题满分7分）选修42：矩阵与变换已知矩阵有特征值及对应特征向量，且矩阵对应的变换将点变换成（）求矩阵；（）若直线在矩阵所对应的线性变换作用下得到直线，求直线方程.【知识点】特征值与特征向量的计算；【答案解析】解：（）设，则，故 又矩阵对应的变换将点变换成 ，故 联立以上两方程组，解得：，故. （）设是直线上任意一点，它在矩阵对应的变换下变为点， 则，即 又因为点在直线上，所以有:, 把代人 得：| 故所求直线的方程为：.【思路点拨】（）先设出矩阵，由的特征值及特征向量及矩阵对应的变换将点（-1，2）换成（-2，4）得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵；（）设出点（x，y）是直线上的任一点，其在矩阵的变换下对应的点的坐标为（x，y），根据变换前后写出关系式，整理出要求的直线的方程（2）（本小题满分7分）选修44：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）（）判断直线圆的位置关系；（）若椭