复习题一.pdf

1 第三章作业第三章作业 3 1 试证明平面三角形单元内任一点的形函数之和恒等于 1 证明 1 设单元发生 X 方向的刚体位移 0 u 则单元内到处应有位移 0 u 有 0 uuuu mji 00 uuNNNuNuNuNu mjimmjjii 1 mji NNN 若位移函数不满足此要求 则不能反映单元的刚体位移 不能得到正确的结果 证明 2 设 P 是三角形内任一点 可用面积坐标表示为 mji LLLP 由面积坐标的定义 和性质知1 mji LLL 且三节点三角形的一点的面积坐标即为其形函数 故平面三角 形单元内任一点的形函数之和恒等于 1 3 2 试证明三角形单元的任一边上的一点的三个形函数与第三个顶点的坐标无关 证明 1 设 k 是三角形 ij 边上的任一点 点 k 面积坐标得 0 mm LN 证明 2 三角形单元是协调单元 必须在单元边界上保持连续性 所以在单元边界上的点的 位移只能由边上两个节点的形函数来贡献 否则就会撕裂和重叠 即 如在 ij 边上的点 jjii jjii vNvNv uNuNu 故三角形的三边上的点的形函数只与边上节点的坐标有关 而与第三点无关 3 3 证明三角形单元是常应变单元 证明 yxu 321 yxv 654 2 x u x 6 y v y 2 53 x v y u xy 即三角形单元是常应变单元 3 4 已知单元刚度矩阵 tdxdyBDBk T A e 试说明 DB 分别是什么矩阵 与单 元的那些特性有关 若厚度为 t 的平面三角形常应变单元 ijm 的单元刚度矩阵记为 mm jmjj imijii k kk kkk k 说明子块 ij k的物理意义 并证明 k为对称矩阵 解 B是应变矩阵又称几何矩阵 与单元节点坐标有关 D为弹性矩阵 与材料的弹性 常数 E 有关 ij k表示当节点 j 处产生单位位移 其余节点完全被约束时 在节点 i 处引起的节点力 利用矩阵的运算关系 tABDBtABDBk T TTT T TT 由于 D是对称矩阵 DD T 所以 ktABDBk TT 即 k为对称矩阵 3 5 图示平面等腰三角形单元 若3 0 弹性模量为 E 厚度为 t 求形函数矩阵 N 应变矩阵 B及单元刚度矩阵 K 补充题意 平面应力情况 解 对平面等腰直角三角形建立图示坐标系 x y 3 mji mji jmmji xxc yyb yxyxa 0 0 iii caba acabaaacba mmmjjj 0 0 2 2 2 1 aA 形函数 a x ycxba A yxN iiii 2 1 a y ycxba A yxN jjjj 2 1 a y a x yxNm 1 形函数矩阵 62 10 0 0 0 10 0 ayaxayax ayaxayax N 求应变矩阵 10 00 01 1 0 0 2 1 a bc c b A B ii i i i 01 10 00 1 a Bj 11 10 01 1 a Bm 则 63 110110 101000 010001 1 a BBBB mji 应力矩阵 63 2 2 1 2 1 0 2 1 2 1 0 1100 1001 1 a E SSSS mji 三角形单元的刚度矩阵 4 66 2 2 3 2 1 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 1 100 2 1 2 1 0 2 1 0 1 12 称 对 Et DBtABk T e 等腰直角三角形的单元刚度矩阵与三角形的面积和节点坐标无关 请同学们记住这个结论 解题时会方便 等边三角形的单元刚度矩阵也有此性质 自行推导 代入已知数据得 66 35 165 0135 035 03 35 13 035 035 01 1003 0 35 035 00 35 00 1 82 1 称 对 Et k e 3 6 验证矩形单元的位移模式是否满足位移连续性条件 解 矩形单元如图示 矩形单元的位移模式取为 xyyxv xyyxu 8765 4321 在单元的边界ax 及by 上 位移是按线性变化的 而在公共边界上有两个节点相 连 这两个公共节点有共同的节点位移值 从而保证了两个相邻单元在其公共边界上位移的 连续性 故四节点矩形单元满足位移连续性条件 3 7 求以下受力单元的等效节点载荷 R 已知 mjimij lll q P 厚度 t P 点作用在 jm 中点处 沿 x 方向 三角形分布 载荷垂直于 ij 边 5 解 q 的单元 2 N m 设厚度为 t 如图示 tqltqlX ijiji 6 3 30cos 3 1 tqltqlY ijiji 6 1 30sin 3 1 tql PP tqlX ijijj 12 3 22 30cos 6 1 tqltqlY ijijj 12 1 30sin 6 1 2 P Xm 0 m Y 等效节点载荷 T ijijijij P tqltql P tqltqlR 0 212 1 12 3 26 1 6 3 3 8 如图 a b c 所示的半带宽各是多少 从带宽优化的角度出发 那种节点编号最好 202 19 102 14 82 13 c b a B B B 考虑带宽优化即要求半带宽尽可能的小 故 a 图节点 编号最好 3 9 写出图 3 8 题 a 图网格剖分方案用单元矩阵子块 组集成的整体刚度矩阵 标出整体刚度矩阵的阶数 子块编号如下图 a 解 结构离散为 12 个单元 12 个节点 故总体刚度 6 矩阵的阶数为 24 24 用单元矩阵子块表示的整体刚度矩阵为 12 1212 12 1112 121110 1111 11 1011 118 1010 12 912 1210 911 12109 99 1110 811 118 810 109 89 11109876 88 8 710 87 78 874 77 9 69 96 68 965 66 76 58 74 57 65 56 765432 55 4 47 43 45 431 44 5 36 52 35 52 33 32 25 31 24 2 23 321 22 1 14 1 12 1 11 0 0 0 000 0000 0000 000000 0000000 0000000 000000000 k kk kk kkk kkkk kkk kkk kkkk kkk kkk kkkk kkk K 称 对 3 10 图示的正方形薄板 在对角线顶点作用有沿厚度均匀分布的载荷 其合力为 2kN 板 厚为 1mm 为简单起见令0 1 根据结构特点和受力特点 确定该结构是平面应力问题还是 平面应变问题 2 画出平板的有限元计算模型 包括单元类型选择 网格划分 单元 节点编号 载荷和约束的处理等 3 写出上述有限元计算模型的节点载荷向量 R和节点位移向 量 4 按对称性 画出简化的有限元模型 写出由单元刚度矩阵子 块组集而成的整体刚度矩阵 并确定整体刚度矩阵的阶数 5 写出整体刚度方程 求解方板的变形 解 解 1 根据薄板的结构特点与受力情况 确定该问题属于 平面应力问题 2 对平板用 4 个单元 5 个节点进行结构离散 结构离散 及约束和载荷的情况见有限元计算模型如右图所示 3 图示有限元模型的节点载荷向量 R和节点位移向量 为 7 TR2000000002000000 Tvuvuvuvuvu 5544332211 4 按对称性 简化的有限元计算模型如右图所示 由单元刚度矩阵子块组集而成的整体刚度矩阵 1212 4 66 4 65 4 63 4 56 432 55 2 54 43 53 32 52 2 45 2 44 2 42 4 36 43 35 431 33 31 32 1 31 32 25 2 24 31 23 321 22 1 21 1 13 1 12 1 11 000 0 000 0 0 000 kkk kkkkk kkk kkkkk kkkkk kkk K 5 单元节点编码 i j m 如果按上图 则各个单元刚度矩阵相同 等腰直角三角形的单元 刚度矩阵为 题 3 5 结果 66 2 2 3 2 1 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 1 100 2 1 2 1 0 2 1 0 1 12 称 对 Et k e 8 0 66 5 15 015 05 00 5 05 105 05 01 101000 5 05 005 05 00 5 05 005 05 00 010001 2 Et k e 总体刚度矩阵 1212 5 005 05 00005 00000 010100000000 5 0035 05 05 025 005 000 5 015 03015 015 0000 005 005 15 00015 000 005 015 05 10005 000 0025 00035 015 005 0 5 005 01005 035 0200 0005 01015 035 015 0 005 005 05 05 025 0305 0 000000001010 0000005 005 05 005 0 2 Et K 边界条件 0 654421 vvvuuu 0 0 0 0 0 0 5 005 05 00005 00000 010100000000 5 0035 05 05 025 005 000 5 015 03015 015 0000 005 005 15 00015 000 005 015 05 10005 000 0025 00035 015 005 0 5 005 01005 035 0200 0005 01015 035 015 0 005 005 05 05 025 0305 0 000000001010 0000005 005 05 005 0 2 0 0 0 0 0 1000 6 5 3 3 2 1 6 5 4 4 2 1 u u v u v v Et Y Y Y X X X 上式利用降阶后解得 9 E E E E E E u u v u v v 176 0 176 0 37 0 088 0 25 1 25 3 6 5 3 3 2 1 本题没有验证 仅供参考 3 11 题意 略 解 单元节点编码 i j m 如果按上图 则各个单元刚度矩阵相同 等腰直角三角形的单元 刚度矩阵为 题 3 5 结果 66 2 2 3 2 1 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 1 100 2 1 2 1 0 2 1 0 1 12 称 对 Et k e 0 10 66 5 15 015 05 00 5 05 105 05 01 101000 5 05 005 05 00 5 05 005 05 00 010001 2 Et k e 总体刚度矩阵 88 1 44 1 34 21 33 1 24 21 23 21 22 2 13 2 12 2 11 0 k kk kkk kkk K 称 对 5 15 05 001000 5 05 15 015 05 000 5 05 05 1005 010 0105 15 005 05 0 1005 05 105 05 0 5 05 05 0005 101 0015 05 005 15 0 0005 05 015 05 1 2 Et K 边界条件 0 442211 vuvuvu