二面角求法之面面观1.doc

二面角求法求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.1 定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！.DB1图1AOA1CBD1C1O1例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的大小为 .例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图2(2)，将AEF折起MAFA1QPBCECBPEF图2(2)图2(1)Q到A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连接A1B、A1P.()与()略；()求二面角B-A1P-F的余弦值2 三垂线法这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.A图3PBl此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角，过面内一点P作PA于A，作ABl于B，连接PB，由三垂线定理得PBl，则PBA为二面角的平面角，故称此法为三垂线法.图4B1AA1BlEF例3(2006年陕西试题)如图4，平面平面，=l，A，B，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：()略；()二面角A1ABB1的大小.3 垂面法P图5lCBA事实上，图1中的平面COC1、图2(2)中的平面QMF、图3中的平面PAB、图4中的平面A1FE都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果.例4空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小.4 面积法如图1，设二面角C-BD-C1的大小为，则在RtCOC1中，cos，在某些情况下用此法特别方便.DAM图6ECBC1A1B1HG例5 如图6，平面外的A1B1C1在内的射影是边长为1的正三角形ABC，且AA1=2，BB1=3，CC1=4，求A1B1C1所在的平面与平面所成锐二面角的大小.5 变式二面角的求法以上列举了求解二面角的四种基本方法，但在现实中，问题往往不是那么简单与单纯，而是有诸多的变化，“源于基本方法，适应各种变化”就是我们总的策略.5.1 “无棱”二面角的求法（讲解）DAM图6ECBC1A1B1HG5.2 平面图形折转后的二面角的求法CBAO1OD图7(2)FEAO1ODCB图7(1)E例6(2005年湖南试题)如图7(1)，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图7(2).()求证：ACBO1；()求二面角O-AC-O1的大小.5.3 求二面角转移法转化是重要的数学思想之一，当所求的二面角为钝角时，可先求其“补角”.转移也是一种转化，就是将待求的二面角转移到另一个简单的环境之中，从而得解.例7ADCBB1C1A1图8GE例2(2005年重庆高考试题)如图2，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB侧面BB1C1C