河北省唐山一中—学高三数学第一学期期中试题 理.doc

唐山一中20132014学年度第一学期期中考试 高三年级数学（理科）试卷本试卷分为第i卷（选择题）和第ii卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1平面向量与的夹角为60，则（ ）（a） （b） （c）4 （d）122若集合则“”是“”的（ ）（a）充分不必要条件（b）必要不充分条件（c）充要条件（d）既不充分也不必要条件24侧视图 6正视图俯视图453已知平面向量的夹角为且，在中， ，为中点，则( )a.2 b.4 c.6 d.84某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（ ）（a） （b）（c） （d）5已知等差数列中，记，s13=( )a78 b68 c56 d526已知双曲线 的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（ ）a b c d7在中,角所对的边分别为,且满足,则的最大值是( )a b. c. d. 28若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（ ）（a）4 （b）（c）2 （d）9. 在椭圆中，分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点p使得，则该椭圆离心率的取值范围是( ) a b c d10已知a、b、c是球o的球面上三点，三棱锥oabc的高为2且abc=60，ab=2，bc=4，则球o的表面积为（） a b. c. d. 11已知定义在r上的函数对任意的都满足，当 时，若函数至少6个零点，则取值范围是（ ）（a） （b） （c） （d）12对于定义域为的函数和常数，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛函数”现给出如下函数：； ； ； . 其中为“敛1函数”的有 a b c d 卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13. 过点的直线与圆截得的弦长为，则该直线的方程为 。14已知动圆的圆心c在抛物线x2=2py（p0）上，该圆经过点a（0，p），且与x轴交于两点m、n，则sinmcn的最大值为 15.如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围_.16已知函数定义在r上的奇函数，当时，给出下列命题：当时， 函数有2个零点的解集为 ，都有其中正确的命题是 三、解答题（共7个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17如图所示，扇形aob,圆心角aob的大小等于，半径为2，在半径oa上有一动点c，过点c作平行于ob的直线交弧ab于点p.（1）若c是半径oa的中点，求线段pc的长；（2）设,求面积的最大值及此时的值。18. 数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，.（1）求数列、的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.19（12分）如图，四边形pcbm是直角梯形，pcb=90，pmbc，pm=1，bc=2又ac=1，acb=120，abpc，直线am与直线pc所成的角为60（1）求证：pcac；（2）求二面角macb的余弦值；（3）求点b到平面mac的距离20在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆c上一点到点q的距离最大值为4，过点的直线交椭圆于点（）求椭圆c的方程；（）设p为椭圆上一点，且满足（o为坐标原点），当时，求实数的取值范围.21已知函数f（x）=alnx+（a0）在（0，）内有极值（i）求实数a的取值范围；（ii）若x1（0，），x2（2，+）且a，2时，求证：f（x1）f（x2）ln2+请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22. 如图，已知o的半径为1，mn是o的直径，过m点作o的切线am，c是am的中点，an交o于b点，若四边形bcon是平行四边形.（）求am的长；（）求sinanc23.已知函数。（1）若的解集为，求实数的值。（2）当且时，解关于的不等式。20132014学年度上学期期中考试 高三年级数学（理科）答案一、选择题baaad cadbc ac11. 由得，因此，函数周期为2.因函数至少6个零点，可转化成与两函数图象交点至少有6个，需对底数进行分类讨论.当时：得，即.当时：得，即.所以取值范围是.12. ；由于函数递增，那么不会存在一个正数，满足不等式。；当x0,c=2,那么存在x，满足题意，成立。 ；对于1x1,c=3，则可知满足题意。故选c.二、填空题13、 14、1 15、 16. 14. 由题意，设c（x0，y0），则c的方程（xx0）2+（yy0）2=x02+（y0p）2把y=0和x02=2py0代入整理得x22x0x+x02+p2=0设m、n的横坐标分别为x1、x2，则x1=x0p，x2=x0+p|mn|=|x1x2|=2p|cm|=|cn|=11cosmcn1，0mcn0sinmcn1，sinmcn的最大值为1故答案为：116. 设，则，故，所以，故错；因为定义在r上的奇函数，所以，又，故有个零点，错；当时，令，解得，当时，令解得，综上的解集为，正确；当时，在处取最小值为，当时，在处取最大值为，由此可知函数在定义域上的最小值为，最大值为，而，所以对任意的，都有，正确三、解答题17、18、（1）是和的等差中项， 当时， 当时， ，即 3分数列是以为首项，为公比的等比数列， 5分设的公差为， 6分（2） 7分 9分, 10分数列是一个递增数列 . 综上所述， 12分19、解：方法1：（1）证明：pcbc，pcab，pc平面abc，pcac（2分）（2）取bc的中点n，连mnpm=cn，mn=pc，mn平面abc作nhac，交ac的延长线于h，连接mh由三垂线定理得acmh，mhn为二面角macb的平面角直线am与直线pc所成的角为60，在rtamn中，amn=60在acn中，在rtamn中，在rtnch中，在rtmnh中，故二面角macb的余弦值为（8分）（3）作nemh于eac平面mnh，acne，ne平面mac，点n到平面mac的距离为点n是线段bc的中点，点b到平面mac的距离是点n到平面mac的距离的两倍为（12分）方法2：（1）证明：pcbc，pcab，pc平面abc，pcac（2分）（2）在平面abc内，过c作bc的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示设p（0，0，z），则，且z0，得z=1，设平面mac的一个法向量为=（x，y，1），则由得得平面abc的一个法向量为显然，二面角macb为锐二面角，二面角macb的余弦值为（8分）（3）点b到平面mac的距离（12分）20、解析：（） （1分）则椭圆方程为即设则 当时，有最大值为 解得，椭圆方程是 （4分）（）设方程为由 整理得. 由，得. （6分） 则, 由点p在椭圆上，得化简得 （8分）又由即将，代入得 化简，得则, （10分）由，得联立，解得或 （12分）21解：（i）由f（x）=alnx+（a0），得：，a0，令，g（0）=10令或， 则0a2(ii）由（i）得：，设ax2（2a+1）x+a=0（0a2）的两根为，则，得当x（0，）和（，+）时，函数f（x）单调递增；当x和（2，）时，函数f（x）单调递减，则f（x1）f（a），f（x2）f（），则f（x2）f（x1）f（）f（）=alnaln=（利用）令，x2则，则函数h（x）单调递增， h（x）h（2）=2ln2+，则，f（x1）f（x2）ln2+22、（）连接，则，因为四边形是平行四边形，所以，因为是的切线，所以，可得，又因为