福建省漳浦县道周中学高考数学专题复习 三角函数与向量模块教案 文(1).doc

1 福建省漳浦县道周中学福建省漳浦县道周中学 20142014 年高考数学专题复习年高考数学专题复习 三角函数与向量模块教案三角函数与向量模块教案 文文 三角 一 重点突破 1 关于任意角的概念 角的概念推广后 任意角包括 正角 负角 零角 象限角 轴上角 区间角及终边相同的角 2 角的概念推广后 注意 0 到 90 的角 第一象限角 钝角 和 小于 90 的角 这四个概念 的区别 3 两个实用公式 弧度公式 l r 扇形面积公式 s r2 2 1 4 三角函数曲线即三角函数的图像 与三角函数线是不同的概念 5 利用任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式 诱导公式可以解决证明 化简 求值问题 而 求值有 给角求值 给值求值 给值求角 三类 6 应用两角和与差的三角函数公式应注意 当 中有一个角为的整数倍时 利用诱导公式较为简便 2 善于利用角的变形 如 2 2 2 等 2 4 倍角公式的变形 降幂公式 sin2 cos2 sin cos sin2 应用十 2 2cos1 2 2cos1 2 1 分广泛 7 三角函数的图像和 性质 重点掌握 周期性的概念 y asin x 的图像是由 y sinx 的图像经过怎样的变换得到 五点法作图 8 三角求值问题的解题思路 三种基本变换 角度变换 名称变换 运算结构的变换 给值求角问题的基本思路 先求出该角的一个三角函数值 再根据角的范围与函数值定角 要注意角的范围对三角函数值的影 响 9 注意活用数学思想方法 方程思想 数形结合 整体思想 向量方法 10 正弦定理及余弦定理 1 11 3 福质 已知函数 31 sincos 22 f xxx p n m o 1 1 y x 2 xr 求函数f x 的最大值和最小值 如图 函数f x 在 1 1 上的图象与x轴的交点从左到右 分别为m n 图象的最高点为p 求与pn 的夹角的余弦 pm 解 sin 6 x 2 分 31 sincos 22 f xxx 1sin 1 6 x 函数的最大值和最小值分别为 1 1 4 分xr f x 解法 1 令 sin 0 6 f xx 得 6 xkkz 1 1 x 或 5 6 x 6 分 1 6 x 15 0 0 66 mn 由sin 1 6 x 且得 1 3 x 8 分 1 1 x 1 1 3 p 11 1 1 22 pmpn 10 分 3 5 12 分cos pm pn pm pn pmpn 解法 2 过点p作轴于a 则由三角函数的性质知 1 1 2 mnt 6 分pax 1 pa 8 分 22 15 1 22 pmpn 由余弦定理得 222 cos 2 pmpnmn pm pn pmpn 10 分 12 分 5 2 1 3 4 5 5 2 4 解法 3 过点 p 作pax 轴于 则 1 pa 由三角函数的性质知 6 分a 1 1 2 mnt 22 15 1 22 pmpn 8 分 在中 12 5 cos 55 2 pa mpa pm 10 分rt pam pa平分 2 coscos22cos1mpnmpampa 12mpn 2 2 53 2 1 55 3 分 2 11 3 龙质 已知函数 2 2cos2 3sincos1f xxxx 求函数的最小正周期和单调递增区间 f x 当时 求函数的值域 0 4 x yf x 命题意图 本小题考查三角函数性质及简单的三角变换 要求学生能正确运用三角函数的概念和公式 对已知的三角函数进行化简求值 解析 2 2cos2 3sin cos1f xxxx 3 分cos23sin22xx 2sin 2 2 6 x 4 分 2 2 t 令 5 分zkkxk 2 2 6 2 2 2 6 分zkkxk 63 函数的单调递增区间为 7 分 yf x zkkk 6 3 8 分 4 0 x 3 2 6 2 6 x 9 分1 6 2sin 2 1 x 10 分2 6 2sin 21 x 11 分32sin 2 24 6 x 函数的值域为 12 分 yf x 3 4 3 11 3 莆质 4 4 11 3 泉质 5 11 5 龙质 5 6 11 5 南质 已知向量 函数 xxasin cos xxbcos2 cos2 baxf 求及的值 k s5 ua 24 f 在锐角 abc中 a b c分别是角a b c的对边 且 求 abc的周长 3 4 1 24 abccf 解 2 分1sincos 22 xxa 4 分 1 4 2sin22sin2cos1cossin2cos2 2 xxxxxxbaxf 6 分1 2 6 1 3 sin21 412 sin2 24 f 由得 9 分1 24 cf0 3 2sin c 3 c 由余弦定理得 abbacabbac3cos2 2 222 5 ba abc的周长 12 分9 cba 7 11 5 宁德质 已知函数 2 2sin 2 2cos1 4 f xxx 求的最大值及其取得最大值时的集合 f xx 在中 分别是角的对边 已知 求的面积 abc a b c a b c 35 4312 aabf abc 本题主要考查两角和与差的正 余弦公式 三角函数的图象和性质 正余弦定理等基础知识 考查运算本题主要考查两角和与差的正 余弦公式 三角函数的图象和性质 正余弦定理等基础知识 考查运算 求解能力 考查数形结合思想 满分求解能力 考查数形结合思想 满分 1212 分分 解法一 22 2 sin2cos2 cos2 22 f xxxx 4 分sin2cos2cos2xxx sin2x 6 分 max 1f x 4 xx xkk z 7 分 551 sin 1262 bf 6 由正弦定理 得 10 分 sinsin ab ab sin1b 2 b 1 4 c 12 分 13 232 abc sac 解法二 同解法一 7 分 551 sin 1262 bf 由余弦定理 得 10 分 222 2cosabcbca 2 311 1642 cc 1 4 c 12 分 13 sin 232 abc sbca 8 11 5 泉质 已知函数的最小正周期为 当时 sin 0 0 0 f xaxa 2 x 取得最小值 f x2 求 f x的解析式 在abc 中 若 求边的最小值 1f a 6ab ac bc 解 依题意得 函数 f x的周期为 2a 3 分0 2 2 又 2sin 2 2 2 2 kk z 5 分0 2 6 分 sin 2 cos2 2 f xxx 1 cos2 2 f aa 022a 或 8 分 3 a 2 3 a 又 即 6ab ac cos60abaca 9 分 3 a 12abac 22222 2cos12bcabacabacaabacabacabac 的最小值为 12 分bc2 3 9 11 5 厦门质 7 本题考查三角函数的图像和性质 图像的平移伸缩等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 考 查方程与函数 数形结合数学思想方法 满分 12 分 解 由函数图象及函数模型知 1 分 sin f xax 2a 由 得 213 4 33 t 1 2 3 分 由最高点得 又 5 4 2 3 14 2 232 k 2 6 k 22 6 分 所求函数解析式为 6 分 1 2sin 0 26 yf xxx 解法一 将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 得到 62 1 sin 2 xxfy 2 1 8 分 6 sin 2 xxgy 9 分 x 26 5 63 x 当 即时 有最大值 2 26 x 3 2 x g x 当 即时 有最小值 1 12 分 6 5 6 x x g x 解法二 将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 得到 62 1 sin 2 xxfy 2 1 8 6 sin 2 xxgy 分 令 函数的单调递增区间是 6 tx 2sinyt 2 2 22 kk zk 由 得 kxk2 26 2 2 kxk2 3 2 2 3 zk 8 设 则 a 2 2 3 2 2 3 zkkxkxb ab 3 2 2 函数在区间上单调递增 10 yg x 3 2 2 分 同理可得 函数在区间上单调递减 11 分 yg x 3 2 又 3 2 g2 3 2 g1 g 函数在上的最大值为 2 最小值为 1 12 分 yg x 2 10 11 5 漳州质 已知和是函数的相邻的两个零点 4 4 sin 0 0 f xx 求 f x的解析式 ii 在 abc中 若 求函数的值域 2 sinsincossinbcaa f a 解 依题意得 函数 f x的周期 2 44 t 2 分0 2 2 又 sin 2 0 4 2 kk z 5 分0 2 6 分 sin 2 cos2 2 f xxx ii 2 sinsincossin bcaa 由正弦定理和余弦定理得 即 8 分 222 2 2 bca bca bc 222 3bca 2222 22222 1 22 3 cos 22323 bcbc bcabc a bcbcbc 10 分 2 cos1 3 a 故的值域为 12 分 2 1 2cos1 1 9 f aa f a 1 1 9 11 11 福建终极压轴 解 9 12 11 石光模拟二 已知 x r 2 1 cos2sin 2 3 2 xxxf 求函数的最小值和最小正周期 k s 5uk s 5uk s 5u xf 设abc的内角a b c的对边分别为a b c 且c f c 0 若向量m 1 sina 与 3 向量n 2 sinb 共线 求a b的值 解 f x sin2x sin 2x 1 3 分 2 3 2 2cos1x 2 1 6 则f x 的最小值是 2 最小正周期是 t 2 2 f c sin 2c 1 0 则 sin 2c 1 6 6 0 c 0 2c 2 2c 6 6 6 11 2c c 8 分 6 2 3 向量m 1 sina 与向量n 2 sinb 共线 10 分 2 1 b a sin sin 由正弦定理得 b a 2 1 由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcos 即 3 a2 b2 ab 3 10 由 解得a 1 b 2 12 分 13 11 石光模拟三 在锐角中 边是方程abc 2sincos32sincosabba a b 的两个实根 求 求角的值 三角形面积及边的长 2 2 320 xx csc 解 1 由已知 3 分2 sincos 3acosbasinb 2sin 3ab 又 在锐角中 7分abc 3 sin 2 c abc 60c 2 由韦达定理 10 分2 3 2abab 13 sin 22 sabc 由余弦定理 12 分 2222 2cos 31266cababcabab 6c 14 11 石光模拟一 如图 设 a 是单位圆和 x 轴正半轴的交点 p q 是单位圆上两点 是坐标原点 o 且 6 aop 0 aoq 若点 q 的坐标是 求的值 3 4 5 5 6 cos 设函数 求的值域 fop oq f 解 由已知可得 2 分 5 4 sin 5 3 cos 所以 6 分 6 sinsin 6 coscos 6 cos 33413 34 525210 9 分 fop oq cos sin cos sin 66 sin 2 1 cos 2 3 sin 3 因为 则 所以 0 4 333 3 sin 1 23 故的值域是 12 分 f 3 1 2 15 11 泉一模拟二 已知向量 1 cos2 3 cos 2 sin nmxfrxxnxxm 1 求的单调递增区间 xf 2 在 abc 中 角 a b c 的对边为 求的值 cba 4 3 2 baaf b 2 1 13sin22cos1 3sin2cos2 2sin 2 2 6 f xm nxx xx x 解 分 63 2 2 6 2 2 2zkkxkzkkxk 得由4 分 的单调递增区间为 xf zkkk 6 3 6 分 y xao q p 11 2 2sin 2 2 6 sin 2 1 2 9 6626 abcf aa aaa 在中 分 由正弦定理得 2 3 sin 2 6 612 1 sin 2 ab bb a 分 16 11 四地六校模拟 已知向量 1 sin 1 3cos 2 axbx 函数 2f xaba 求函数 f x的最小正周期t 已知a b c分别为abc 内角a b c的对边 其中a为锐角 2 3 4ac 且 1f a 求 a b和abc 的面积s 解 2 22f xabaaa b 2 1 sin13sin cos2 2 xxx 2 分 1 cos231 sin2 222 x x 31 sin2cos2 22 xx sin 2 6 x 4 分 因为2 所以 2 2 t 6 分 sin 2 1 6 f aa 因为 5 0 2 2666 aa 所以2 62 a 3 a 8 分 则 222 2cosabcbca 所以 2 1 12162 4 2 bb 即 2 440bb 则2b 10 分 12 分32 3 sin42 2 1 sin 2 1 abcs 17 11 厦门双十模拟 在abc 中 内角 a b c 的对边分别是 2 cos cos 442 a b ccc i 求角 c 的大小 ii 若2 3 sin2sin cab 求 ab 解 i 由已知 3 分 222221 cossincossincos 222222 ccccc 6 分 0 3 cc ii 由正弦定理得 8 分sin2sinab 2ab 12 10 分 222222 2cos523cababcbbb 12 分 2 4 2bb 4a 18 11 永一模拟 已知函数的最小正周期为 0 2 sin2sin3 x xxf 3 1 当时 求函数最小值 2 3 0 x xf 2 在 abc 中 若且 c 2 试求 abc 面积的最大值 并判断当面积取最大值时 abc 的形 1 cf 状 解 1 cos 3sin 2 2 x f xx 3sin cos 1xx 2sin 1 6 x 依题意函数的最小正周期为 即 解得 所以 xf 3 2 3 2 3 1 63 2 sin 2 xxf min 3277 0 2sin 12 263666 x xf x 6 分 由及 得 1 63 2 sin 2 c cf 1 cf 1 63 2 sin c 而 所以 解得 8 分 25 6366 c 263 2 c 2 c 在中 abcrt 2 11 sin cossincossin210 22 0022 22 12 4 abc abc aca bcasabcaaa aaa as 分 当时 即时取最大值1 此时为等腰直角三角形分 19 11 师大附中模拟 设函数的最大值为 最小正周期为 cossin322cos rxxxxxf mt 求 mt 若有 10 个互不相等的正数满足 i x 10 2 1 10 ixmxf ii 且 求的值 1210 xxx 解 4 分 6 2sin 22cos2sin3 xxxxf m 2 t 6 分 2 2 即 9 分 2 2 6 2 2 kxxf ii 6 zkkxi 13 又 11 分9 1 0 100 kxi 12 分 1210 129 10 6 xxx 140 3 20 11 福三中模拟 已知向量 若 1 cossin3 xxm 2 1 cosxn nmxf 1 求函数 xf的最小正周期 2 已知的三内角的对边分别为 且abc abc abc 3 3 2122 a af a 为锐角 求 a 的值 2sinsincb cb 解 1 nmxf 2 1 coscossin3 2 xxx 31 cos21 sin2 222 x x 31 sin2cos2 22 xx sin 2 6 x 的最小正周期为 f x 2 3 sin 0 212223 a faaa 由正弦定理得 2sinsincb 2 bc 由余弦定理 得 3a 22 92cos 3 bcbc 解 组成的方程组 得 3 2 3 c b 21 11 福一中模拟 设函数其中 2 cosf xx 02 i 设 求的单调增区间 1 2 xf ii 若函数的图象的一条对称轴为 求的值 xf 3 x 解 i 时 2 分 1 2 21 1 cos cos 22 x f xx 的单调增区间是 5 分 f x 2 2 kkkz ii 函数的图象的一条对称轴为 1 cos2 2 x f x xf 3 x 取最值 8 分 2 1 cos 3 32 f 2 cos1 3 10 分 23 32 kk 12 分 3 02 2 22 11 龙岩市联考 在中 分别是内角 a b c 所对的边 若向量abc abc 3 3 ca 14 且 sin 1 am sin 2 bn mn i 求 的值 bc ii 求角 a 的大小及的面积 abc 23 11 龙一中模拟 15 24 11 泉五中模拟 在锐角abc 中 a b c分别是角 a b c的对边 5 cos 5 a 3 10 sin 10 b 1 求cos ab 的值 2 若4a 求abc 的面积 解 1 5 5 cos a 又a为锐角 5 52 cos1sin 2 aa 10 103 sin b 又b为锐角 10 10 sin1cos 2 bb 2 2 10 103 5 52 10 10 5 5 sinsincoscos cos bababa 6 分 2 由正弦定理得 b b a a sinsin 23 10 103 5 52 4 b b 由 1 知 4 3 ba 4 c 6 2 2 234 2 1 sin 2 1 cabs abc 12 分 25 11 5 厦门质 下图是某简谐运动的一段图象 它的函数模型是 sin 0 f xaxx 其中 0 a 0 22 i 根据图象求函数 yf x 的解析式 ii 将函数 yf x 图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 得到函数 yg x 的图 16 象 求函数 yg x 在 2 上的最大值和最小值 本题考查三角函数的图像和性质 图像的平移伸缩等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 考查方程与函数 数形结合数学思想方法 满分 12 分 解 由函数图象及函数模型 sin f xax 知2a 1 分 由 213 4 33 t 得 1 2 3 分 由最高点 4 2 3 得 14 2 232 k 2 6 k 又 22 6 5 分 所求函数解析式为 1 2sin 0 26 yf xxx 6 分 解法一 将 62 1 sin 2 xxfy图象上各点的横坐标缩短到原来的 2 1 倍 纵坐标不变 得到 6 sin 2 xxgy 8 分 x 2 6 5 63 x 9 分 当 26 x 即 3 2 x时 g x有最大值 2 当 6 5 6 x 即 x时 g x有最小值 1 12 分 解法二 将 62 1 sin 2 xxfy图象上各点的横坐标缩短到原来的 2 1 倍 纵坐标不变 得到 6 sin 2 xxgy 8 分 令 6 tx 函数2sinyt 的单调递增区间是 2 2 22 kk zk 由 kxk2 26 2 2 得 kxk2 3 2 2 3 zk 设a 2 2 3 2 2 3 zkkxkxb 则ab 3 2 2 学 函数 yg x 在区间 3 2 2 上单调递增 10 分 同理可得 函数 yg x 在区间 3 2 上单调递减 11 分 17 又 3 2 g 2 3 2 g 1 g 函数 yg x 在 2 上的最大值为 2 最小值为 1 12 分 26 11 厦门外国语学校模拟 在 abc 中 已知三边 成等比数列 abc 1 求角的最大值 b 2 若 求的值 4 b 4