陕西省西安市昆仑中学高考数学一轮复习讲义 第46课时 空间图形的基本关系和公理 理.doc

课题：空间图形的基本关系和公理考纲要求：理解空间直线、平面位置关系的定义；了解可以作为推理依据的公理和定理；理解两条异面直线所成的角；能证明一些空间图形的位置关系的简单命题教材复习平面的基本性质：名称图示文字表示符号表示公理 公理 公理 且且公理作用：作为判断和证明是否在平面内的依据；证明点在某平面内的依据；检验某面是否平面的依据.公理作用：作为判断和证明两平面是否相交；证明点在某直线上；证明三点共线；证明三线共点.公理及其推论作用：公理及其推论是空间里确定平面的依据，也是证明两个平面重合的依据，还为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法.直线与直线的位置关系：位置关系的分类:共面直线： 、 ；异面直线： .异面直线所成的角：定义：设，是两条异面直线，经过空间中任一点作直线，把与所成的 叫做异面直线与所成的角(或夹角)范围： .直线与平面的位置关系：位置关系图示符号表示公共点个数直线在平面内 个直线与平面相交 个直线与平面相交 个两个平面的位置关系:位置关系图示符号表示公共点个数两平面平行 个两平面相交 个平行公理：平行于 的两条直线 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角 .基本知识方法证明共线、共面、共点问题的方法：证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线.证明直线共面通常的方法：先由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内（纳入法）；分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合（同一法、重合法）；也可利用共面向量定理来证明.公理是证明直线共点的依据，应该这样理解：如果、是交点，那么是交线；如果两个不同平面有三个或者更多的交点，那么它们共面；如果，点是a、b的一个公共点，那么证明两直线为异面直线的方法：定义法(不易操作)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）证算-取舍”.注意，异面直线所成角的范围是；求异面直线所成角的方法：平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移.向量法：设、分别为异面直线、的方向向量,则两异面直线所成的角；补体法.典例分析：考点一 平面基本性质的应用问题1空间中不同的三点确定一个平面；有三个公共点的两个平面必重合；空间两两相交的三条直线确定一个平面；三角形是平面图形；平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的 命题是 （上海）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 充分非必要条件；必要非充分条件；充要条件；非充分非必要条件如图，、，且，直线，过、三点的平面记作，则与的交线必通过点； 点；点但不通过点； 点和点（湖南文）平面六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为 o.m （江苏）如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且.求证：四点共面；（分）略；略. 问题2 如图所示，空间四边形中，、分别在、上，且满足，过、的平面交于，连接.求；求证：、三线共点.空间四条直线，每两条都相交，每三条不共点，求证：这四条直线共面。考点二：空间图形的基本关系问题3 （安徽文）对于四面体，下列命题正确的是_ （写出所有正确命题的编号）.相对棱与所在的直线是异面直线；由顶点作四面体的高，其垂足是的三条高线的交点；若分别作和的边上的高，则这两条高的垂足重合；任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.（安徽文）若四面体的三组对棱分别相等，即，则 （写出所有正确结论编号) 四面体每组对棱相互垂直；四面体每个面的面积相等；从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于；连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分；从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.考点二：异面直线的判定 问题4 (辽宁文)如图，已知两个正方形和不在同一平面内，分别为，的中点.若，平面平面，求直线的长；用反证法证明：直线与是两条异面直线.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 问题5如图，在正方体中，棱长，求证：与是异面直线；考点三：异面直线所成的角 问题6(上海春)在棱长为的正方体中，、分别是、 的中点，求异面直线与所成的角( 要求用传统方法和向量法，注意书写的规范性).解法1（传统方法）：解法2（向量法）：课后作业：若直线与是异面直线，直线与是异面直线，则直线与的位置关系是 (年广东省湛江师范学院附中高考模拟)已知直线是异面直线，直线分别与都相交，则直线的位置关系可能是平行直线 一定是异面直线 可能是相交直线 平行、相交、异面直线都有可能 (年广东省湛江市实验中学高三第四次月考)给出下面四个命题：过平面外一点，作与该平面成角的直线一定有无穷多条一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 其中正确的命题序号为 (届安徽省皖南八校高三第一次联考)已知为长方体，对角线与平面相交于点，则为的 垂心 重心 内心 外心如图，、分别是空间四边形、上的点，且与相交于点.求证：三点共线.codabmb1c1d1a1正方体中，对角线与平面交于，、交于点求证：点、共线如图，在正方体中，、分别是、的中点，求证：、四点共面；、三线共点.如图，在空间四边形中，已知，且，对角线，求与所成的角.走向高考：（安徽）在下列命题中，不是公理的是平行于同一个平面的两个平面相互平行过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线（安徽）如图，正方体的棱长为，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为.则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.当时，为四边形；当时，为等腰梯形；当时，与的交点满足；当时，为六边形；当时，的面积为.（北京）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为 （江西）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线，相交的平面个数分别记为，那么 （北京）平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是 一条直线 一个圆 一个椭圆 双曲线的一支（北京文）设、是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是若与共面，则与共面若与是异面直线，则与是异面直线若，则若，则（重庆）对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与平行 相交 垂直 互为异面直线（全国）在正方形中，过对角线的一个平面交于，交于，则 四边形一定是平行四边形; 四边形有可能是正方形 四边形在底面内的投影一定是正方形 四边形有可能垂直于平面以上结论正确的为 (写出所