福建省福州三中高考数学模拟最后一卷 理（含解析）.doc

2015年福建省福州三中高考数学模拟最后一卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1“ab，c0”是“acbc”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件2已知m=（x，y）|y=2x，n=（x，y）|y=a，若mn=，则实数a的取值范围为（）a（，1）b（，1c（，0）d（，03执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2，则输出的结果是（）a9b11c13d154已知角的终边经过点p（4，m），且sin=，则m等于（）a3b3cd35复数z=（mr，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限6设f1，f2为椭圆=1的两个焦点，点p在椭圆上，若线段pf1的中点在y轴上，则的值为（）abcd7在如图55的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z的值为（）120.51xyza1b2c3d48若定义在r上的函数f（x）满足：对任意x1，x2r有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）af（x）为奇函数bf（x）为偶函数cf（x）+1为奇函数df（x）+1为偶函数9若等式（2x1）2014=a0+a1x+a2x2+a2014x2014对于一切实数x都成立，则a0+1+a2+a2014=（）abcd010在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点若a为无理数，则在过点p（a，）的所有直线中（）a有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点b恰有n（n2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点c有且仅有一条直线至少过两个有理点d每条直线至多过一个有理点二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置11一个总体分为a，b，c三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若b层中每个个体被抽到的概率都为，则总体的个数为12在abc中，若角a为锐角，且=（2，3），=（3，m），则实数m的取值范围是13如图所示22方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复若填入a方格的数字大于b方格的数字，则不同的填法共有种（用数字作答）abcd14如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab=5，bc=4，aa1=3，沿该长方体对角面abc1d1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为15为了近似估计的值，用计算机分别产生90个在1，1的均匀随机数x1，x2，x90和y1，y2，y90，在90组数对（xi，yi）（1i90，in*）中，经统计有25组数对满足，则以此估计的值为三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为（）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；（）设x表示决出冠军时比赛的场数，求x的分布列及数学期望17某同学用“五点法”画函数f（x）=asin（x+）+b（a0，0，|）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表： xx1x2x3x+02asin（x+）+b000（）请求出表中的x1，x2，x3的值，并写出函数f（x）的解析式；（）将f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间0，m（3m4）上的图象的最高点和最低点分别为m，n，求向量与夹角的大小18在平面直角坐标系xoy中，点b与点a（1，1）关于原点o对称，p是动点，且直线ap与bp的斜率之积等于（）求动点p的轨迹方程；（）设直线ap和bp分别与直线x=3交于点m，n，问：是否存在点p使得pab与pmn的面积相等？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由19如图，菱形abcd的边长为2，现将acd沿对角线ac折起至acp位置，并使平面pac平面abc （）求证：acpb；（）在菱形abcd中，若abc=60，求直线ab与平面pbc所成角的正弦值；（）求四面体pabc体积的最大值20已知函数f（x）=x2ax+（a1）lnx（a1）（） 讨论函数f（x）的单调性；（） 若a=2，数列an满足an+1=f（an）（1）若首项a1=10，证明数列an为递增数列；（2）若首项为正整数，且数列an为递增数列，求首项a1的最小值选做题：本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分如果多做，则按所做的前两题计分【选修4-2：矩阵与变换】21在平面直角坐标系中，矩阵m对应的变换将平面上的任意一点p（x，y）变换为点p（x2y，x+y）（）求矩阵m的逆矩阵m1；（）求圆x2+y2=1在矩阵m对应的变换作用后得到的曲线c的方程【选修4-4：坐标系与参数方程】22在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系已知直线l过点p（1，0），斜率为，曲线c：=cos2+8cos（）写出直线l的一个参数方程及曲线c的直角坐标方程；（）若直线l与曲线c交于a，b两点，求|pa|pb|的值【选修4-5：不等式选讲】23已知m0，函数f（x）=2|x1|2x+m|的最大值为3（）求实数m的值；（）若实数a，b，c满足a2b+c=m，求a2+b2+c2的最小值2015年福建省福州三中高考数学模拟最后一卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1“ab，c0”是“acbc”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分必要条件的定义，举例说明，从而得到答案【解答】解：由“ab，c0”能推出“acbc”，是充分条件，由“acbc”推不出“ab，c0”不是必要条件，例如a=1，c=1，b=1，显然acbc，但是ab，c0，故选：a【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题2已知m=（x，y）|y=2x，n=（x，y）|y=a，若mn=，则实数a的取值范围为（）a（，1）b（，1c（，0）d（，0【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】由题意画出图形，数形结合即可得到实数a的取值范围【解答】解：如图，m=（x，y）|y=2x，n=（x，y）|y=a，若mn=，则a0实数a的取值范围为（，0故选：d【点评】本题考查交集及其运算，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题3执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2，则输出的结果是（）a9b11c13d15【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当a=1时，不满足退出循环的条件，故a=5，当a=5时，不满足退出循环的条件，故a=9，当a=9时，不满足退出循环的条件，故a=13，当a=13时，满足退出循环的条件，故输出的结果为13，故选：c【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答4已知角的终边经过点p（4，m），且sin=，则m等于（）a3b3cd3【考点】任意角的三角函数的定义【专题】三角函数的求值【分析】利用任意角的三角函数的定义，求解即可【解答】解：角的终边经过点p（4，m），且sin=，可得，（m0）解得m=3故选：b【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查5复数z=（mr，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【专题】数系的扩充和复数【分析】通过化简复数z，比较即可【解答】解：z=+i，当1+m0且1m0时，有解：1m1；当1+m0且1m0时，有解：m1；当1+m0且1m0时，有解：m1；当1+m0且1m0时，无解；故选：c【点评】本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题6设f1，f2为椭圆=1的两个焦点，点p在椭圆上，若线段pf1的中点在y轴上，则的值为（）abcd【考点】椭圆的简单性质【专题】坐标系和参数方程【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用已知条件直接求解距离，然后得到比值【解答】解：f1，f2为椭圆=1的两个焦点，可得f1（，0），f2（）a=2，b=1点p在椭圆上，若线段pf1的中点在y轴上，pf1f1f2，|pf2|=，由勾股定理可得：|pf1|=故选：c【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力7在如图55的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z的值为（）120.51xyza1b2c3d4【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】等差数列与等比数列【分析】根据每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，利用等差数列、等比数列的通项，即可得到结论【解答】解：因为每一纵列成等比数列，所以第一列的第3，4，5个数分别是，第三列的第3，4，5个数分别是，又因为每一横行成等差数列，第四行的第1、3个数分别为，所以y=，第5行的第1、3个数分别为，所以z=所以x+y+z=+=1故选：a【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力8若定义在r上的函数f（x）满足：对任意x1，x2r有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）af（x）为奇函数bf（x）为偶函数cf（x）+1为奇函数df（x）+1为偶函数【考点】函数奇偶性的判断【专题】计算题【分析】对任意x1，x2r有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2r有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可【解答】解：对任意x1，x2r有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，令x1=x2=0，得f（0）=1令x1=x，x2=x，得f（0）=f（x）+f（x）+1，f（x）+1=f（x）1=f（x）+1，f（x）+1为奇函数故选c【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答9若等式（2x1）2014=a0+a1x+a2x2+a2014x2014对于一切实数x都成立，则a0+1+a2+a2014=（）abcd0【考点】二项式定理的应用【专题】二项式定理【分析】解法一：利用赋值法，x=1，x=0，然后求解就解法二：利用定积分直接求解即可【解答】解法一：，（c为常数），取x=1得，再取x=0得，即得，故选b解法二：，故选b【点评】本题考查二项式定理的应用，定积分的求法，考查转化思想的应用10在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点若a为无理数，则在过点p（a，）的所有直线中（）a有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点b恰有n（n2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点c有且仅有一条直线至少过两个有理点d每条直线至多过一个有理点【考点】直线的斜率【专题】新定义；对应思想；定义法；直线与圆【分析】根据题意，假设一条直线上存在两个有理点，由此推断满足条件的直线有多少即可【解答】解：设一条直线上存在两个有理点a（x1，y1），b（x2，y2），由于也在此直线上，所以，当x1=x2时，有x1=x2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；当x1x2时，直线的斜率存在，且有，又x2a为无理数，而为有理数，所以只能是，且y2y1=0，即；所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是；所以，正确的选项为c故选：c【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置11一个总体分为a，b，c三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若b层中每个个体被抽到的概率都为，则总体的个数为300【考点】分层抽样方法【专题】概率与统计【分析】根据抽样方法的特征是每个个体被抽到的概率相等，利用样本容量，求出总体是多少即可【解答】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等，所以总体中的个体的个数为15=300故答案为：300【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目12在abc中，若角a为锐角，且=（2，3），=（3，m），则实数m的取值范围是【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】由角a为锐角，可得且不共线，代入坐标表示得到关于m的不等式，则m的范围可求【解答】解：由于角a为锐角，且不共线，6+3m0且2m9，解得m2且m实数m的取值范围是故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题13如图所示22方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复若填入a方格的数字大于b方格的数字，则不同的填法共有27种（用数字作答）abcd【考点】排列、组合及简单计数问题【专题】排列组合【分析】根据题意，先分析a、b两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3中的任选2个，大的放进a方格，小的放进b方格根据分类计数原理可得【解答】解：若a方格填3，则排法有232=18种，若a方格填2，则排法有132=9种，根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种故答案为：27【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题14如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab=5，bc=4，aa1=3，沿该长方体对角面abc1d1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为114【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【专题】空间位置关系与距离【分析】根据题目要求，拼成一个新的四棱柱，只能是重合前后，或上下的面，再根据边长得出拼接的几何体，当53的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大求解面积即可【解答】解：根据题目要求得出：当53的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为（54+55+34）2=114故答案为：114【点评】本题考查了空间几何体的性质，运算公式，学生的空间想象能力，属于中档题，难度不大，学会分析判断解决问题15为了近似估计的值，用计算机分别产生90个在1，1的均匀随机数x1，x2，x90和y1，y2，y90，在90组数对（xi，yi）（1i90，in*）中，经统计有25组数对满足，则以此估计的值为【考点】随机数的含义与应用【专题】数系的扩充和复数【分析】设a（1，1），b（1，1），且阴影面积等于直线ab与圆弧所围成的弓形面积s1，表示出面积s1，又，可求出【解答】设a（1，1），b（1，1），则直线ab过原点，且阴影面积等于直线ab与圆弧所围成的弓形面积s1，由图知，又，所以【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为（）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；（）设x表示决出冠军时比赛的场数，求x的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】概率与统计【分析】（）设甲队以4：2，4：3获胜的事件分别为a，b，甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为，利用相互独立事件的概率乘法公式求解了即可、（）随机变量x的可能取值为5，6，7，求出概率，列出随机变量x的分布列，然后求解期望即可【解答】解：（）设甲队以4：2，4：3获胜的事件分别为a，b，甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为，甲队以4：2，4：3获胜的概率分别为和（）随机变量x的可能取值为5，6，7，p（x=6）=，p（x=7）=，随机变量x的分布列为 x 5 6 7p【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，独立重复试验概率的乘法公式的应用，考查分析问题解决问题的能力17某同学用“五点法”画函数f（x）=asin（x+）+b（a0，0，|）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表： xx1x2x3x+02asin（x+）+b000（）请求出表中的x1，x2，x3的值，并写出函数f（x）的解析式；（）将f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间0，m（3m4）上的图象的最高点和最低点分别为m，n，求向量与夹角的大小【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】（）由条件知，从而解得，即可解得表中的x1，x2，x3的值及函数f（x）的解析式（）由函数y=asin（x+）的图象变换规律可得g（x）解析式，由题意可求最高点为，最低点为，解得，由向量的夹角公式结合角的范围即可得解【解答】解：（）由条件知，（）函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，函数g（x）在区间0，m（m（3，4）上的图象的最高点和最低点分别为m，n，最高点为，最低点为，又0，【点评】本题主要考查了由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，函数y=asin（x+）的图象变换，向量夹角公式的应用，属于基本知识的考查18在平面直角坐标系xoy中，点b与点a（1，1）关于原点o对称，p是动点，且直线ap与bp的斜率之积等于（）求动点p的轨迹方程；（）设直线ap和bp分别与直线x=3交于点m，n，问：是否存在点p使得pab与pmn的面积相等？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由【考点】轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）设点p的坐标为（x，y），先分别求出直线ap与bp的斜率，再利用直线ap与bp的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点p的轨迹方程；（）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点p的纵坐标的方程，解之即得【解答】解：（）因为点b与a（1，1）关于原点o对称，所以点b得坐标为（1，1）设点p的坐标为（x，y）化简得x2+3y2=4（x1）故动点p轨迹方程为x2+3y2=4（x1）（）解：若存在点p使得pab与pmn的面积相等，设点p的坐标为（x0，y0）则因为sinapb=sinmpn，所以所以=即（3x0）2=|x021|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点p使得pab与pmn的面积相等，此时点p的坐标为【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题19如图，菱形abcd的边长为2，现将acd沿对角线ac折起至acp位置，并使平面pac平面abc （）求证：acpb；（）在菱形abcd中，若abc=60，求直线ab与平面pbc所成角的正弦值；（）求四面体pabc体积的最大值【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）取ac中点o，连接po，bo，证明poac，boac，得到ac平面pob，acpb（）以o为原点，以方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面pbc的法向量，然后求解直线ab与平面pbc成角的正弦值（）法一：设abc=apc=，（0，），求出体积的表达式，利用基本不等式求解四面体pabc体积的最大值法二：设abc=apc=，（0，），求出体积的表达式，利用函数的导数求解四面体pabc体积的最大值法三：设po=x，则bo=x，（0x2），求出体积的表达式，利用均值不等式求解四面体pabc体积的最大值【解答】解：（）证明：取ac中点o，连接po，bo，由于四边形abcd为菱形，pa=pc，ba=bc，poac，boac，又pobo=o，ac平面pob，又pb平面pob，acpb（）平面pac平面abc，平面pac平面abc=ac，po平面pac，poac，po面abc，ob，oc，op两两垂直，故以o为原点，以方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，abc=60，菱形abcd的边长为2，设平面pbc的法向量，直线ab与平面pbc成角为，取x=1，则，于是，直线ab与平面pbc成角的正弦值为（）法一：设abc=apc=，（0，），又po平面abc， =（），当且仅当，即时取等号，四面体pabc体积的最大值为法二：设abc=apc=，（0，），又po平面abc，=（），设，则，且0t1，当时，vpabc0，当时，vpabc0，当时，vpabc取得最大值，四面体pabc体积的最大值为法三：设po=x，则bo=x，（0x2）又po平面abc，当且仅当x2=82x2，即时取等号，四面体pabc体积的最大值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养20已知函数f（x）=x2ax+（a1）lnx（a1）（） 讨论函数f（x）的单调性；（） 若a=2，数列an满足an+1=f（an）（1）若首项a1=10，证明数列an为递增数列；（2）若首项为正整数，且数列an为递增数列，求首项a1的最小值【考点】数列与函数的综合；数列的函数特性【专题】导数的综合应用；等差数列与等比数列【分析】（）求出函数的导数，并分解因式，对a讨论，当a=2，当1a2时，当a2时，解不等式即可得到单调区间；（）若a=2，则，由（）知函数f（x）在区间（0，+）上单调递增，（1）运用数学归纳法即可证得；（2）由（1）知：当且仅当0a1a2，数列an为递增数列，f（a1）a1，即（a1为正整数），设（x1），求出导数，运用函数的零点存在定理，即可得到首项的最小值【解答】解：（），（x0），当a=2时，则在（0，+）上恒成立，当1a2时，若x（a1，1），则f（x）0，若x（0，a1）或x（1，+），则f（x）0，当a2时，若x（1，a1），则f（x）0，若x（0，1）或x（a1，+），则f（x）0，综上所述：当1a2时，函数f（x）在区间（a1，1）上单调递减，在区间（0，a1）和（1，+）上单调递增；当a=2时，函数（0，+）在（0，+）上单调递增；当a2时，函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（0，1）和（a1，+）上单调递增（）若a=2，则，由（）知函数f（x）在区间（0，+）上单调递增，（1）因为a1=10，所以a2=f（a1）=f（10）=30+ln10，可知a2a10，假设0akak+1（k1），因为函数f（x）在区间（0，+）上单调递增，f（ak+1）f（ak），即得ak+2ak+10，由数学归纳法原理知，an+1an对于一切正整数n都成立，数列an为递增数列（2）由（1）知：当且仅当0a1a2，数列an为递增数列，f（a1）a1，即（a1为正整数），设（x1），则，函数g（x）在区间上递增，由于，g（6）=ln60，又a1为正整数，首项a1的最小值为6【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，同时考查函数的零点存在定理和数学归纳法的运用，考查运算能力，属于中档题选做题：本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分如果多做，则按所做的前两题计分【选修4-2：矩阵与变换】21在平面直角坐标系中，矩阵m对应的变换将平面上的任意一点p（x，y）变换为点p（x2y，x+y）（）求矩阵m的逆矩阵m1；（）求圆x2+y2=1在矩阵m对应的变换作用后得到的曲线c的方程【考点】逆变换与逆矩阵【专题】矩阵和变换【分析