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二维i i r 数字滤波器的v l s i 实现 专业：检测技术与自动化装置 硕士：邱世阳 指导老师：杨然副教授，王国利教授 摘要 流水线技术是一种获得更快的采样频率，并同时提高数字系统的硬件处理速 度的有效方法。同时，需要引入l o o k a h e a d 这种形式到我们提出的流水线系统中。 由于一维系统相对来说简单，并且在稳定性方面有较为完善的判据，所以在过去 的二十几年，流水线系统算法仅用于一维i i r ( 无限冲激响应) 系统中，而对于 二维系统则一直没有合适的算法。 在本文，我们首先提出一些基于二维滤波系统的稳定性判据，并且对这些判 据做简单的分析，以求选出一种合适的稳定性判据。然后与一维系统类似，我们 推导出二维l o o k a h e a di i p 滤波器一般形式，但是在某些情况下，我们设计出的 滤波器并不是稳定的。设计一个稳定的线性时不变的二维l o o k - a h e a di i r 滤波器 成为了其中一个难点。为了解决这个难点，我们提出了一种周期的方法，使得我 们可以求出满足二维l o o k - a h e a di i r 滤波器稳定的解析解。并且可以使我们设计 一个稳定的最小阶系统相对来说容易一些。文章最后，提出了一种基于周期的流 水线技术的二维l o o k a h e a di i r 滤波器的实现。这种方法可以应用到各种形式的 二维i i r 滤波器以获得较小的硬件损耗和更高的处理速度 关键词：i i r ，v l s i ，二维系统，流水线，l o o k - a h e a d ，周期时变 t h e p i p e l i n i n gi m p l e m e n t a t i o no f 2 - d r r d i g i t a lf i l t e r s m a j o r ：m e a s u r i n gt e c h n o l o g ya n da u t o m a t e de q u i p m e n t n a m e ：s l l i y a n gq i u s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f r a ny a n g ，p r o f g u o l iw a n g a b s t r a c t p i p e l i n i n g i sa l le f f i c i e n c ym e s n so f o b t a i n i n gf a s t e rs a m p l i n g r a t ea n d i m p r o v i n gt h e 舯o c e s s m gs p e e di nh a f d w a r oi m p l e m e n t a t i o no fd i g i t a ls y s t e m s a l o o k - a h e a ds c h e m ei s r e q u i r e df o rt h ep i p e l i n e ds y s t e m s e r i a lm c = t h o d sa n d a l g o r i t h m sf o rp i p e l i n i n go n e - d i m e n s i o n a l ( 1 - d ) i i r ( i n f i n i t ei m p m s cr e s p o n s e ) f i l t e r h a v eb e e nd e v e l o p e di nt h ep a s tt w e n t yy e a r s ，b u tt h e r eh a v eb e e nf e wr e s u l t so n p i p e l i n i n gt w o - d i m e n s i o n a l ( 2 d ) i i rf i l t e r sb t 娥m o f t h es t a b i l i t yp r o b l e m mt h i st h e s i s w of i r s ti n t r o d u c es o m ec o n d i t i o n so ft h es t a b i l i t yo f t w o - d i m e n s i o n a ls y s t e ma n dd i s c u s st h ep r o b l e mo fs e l e c t i n ga l la p p r o p r i a t et e s t t h e nw oc o n s t r u c ta g e n e r a ll o o k - a h e a ds c h e m ef o r2 - di i rf i l t e r s b u tt h ep i p e l i n e d f i l t e ri sn o tn e c e s s a r i l ys t a b l e i no r d e rt od e a lw i 也t h i sd i f f i c u l t yi nd e s i g n i n gas t a b l e l t i ( 1 i n e a rt i m e - i n v a r i a n t ) 2 - dl o o ka h e a df i l t e r s ，ap e r i o d i cm e t h o di sd e v e l o p e d s u c ht h a ts t a b l ep i p d i n c d2 - dr rf i l t e r s nb eo b t a i n e da n a l y t i c a u y b a s e do nt h i s p e r i o d i cs t a b i l i z a t i o nm e t h o d , as t a b l ep e r i o d i cp i p e l i n e df i l t e rw i t l ip o s s i b l em i n i m u m c o m p u t a t i o nc o m p l e x i t yi sc o r r e s p o n d i n g l ye a s y t od e s i g n f i n a l l y , a l li m p l e m e n t a t i o n o f 2 - di i rd i g i t a lf i l t e r sb a s e do nt h ep i p e l i n i n ga l g o r i t h mw i t hp e r i o d i ct e c h n i q u ei s p r o p o s e d t h i sm e t h o dc a nb ea p p l i e dt ot h ep i p e l i n i n go f a l lk i n d so f 2 一di i rd i g i t a l o p e r a t o r sw i t hl o w e rc o s to f c h i p sa n dm o r ee f f i c i e n tc o m p u t a t i o na b i l i t y k e y w o r d s ：t m , v l s i ，t w o - d i m e m s i o n a l ，p i p e l i n e ，l o o k - a h e a d , p e r i o d i cs y s t e m s 中山大学硕士学位论文 二维l i p 数字滤波器的v l s ! 实现 第1 章绪论 数字信号处理是近三十年快速发展起来的科学和工程领域。导致它快速发展 的直接原因就是数字计算机技术的突破和集成电路制造技术的兴起。三十几年前 的数字计算机和与之对应的硬件设备体积非常之大，价格也非常昂贵，这就使它 的应用局限于一般的非实时的科学计算和商业领域。随着中规模集成电路 ( m s i ) ，大规模集成电路( l s i ) ，现在是超大规模集成电路( v l s i ) 的发展， 导致了数字计算机专用性数字硬件的革命性进步，现在计算机变得强大、小巧、 廉价、快速。这些廉价的高速的数字电路能够构造出执行更复杂的数字信号处理 功能和任务的数字系统。 随着计算机技术特别是多媒体技术的飞速发展，多媒体信息处理技术以及控 制技术经历着飞速的发展并且成为了人们生活、生产过程中不可或缺的技术。但 是究其技术本质仍然是数字信号处理的范畴。因此设计一种能够以较小的硬件芯 片代价，且能在较短的时间内对数字信号进行快速处理的算法成为了当前研究所 追求的目标。 i i 二维系统简介 信息的飞速发展，我们研究的信号已经不简单的局限于单一的一维信号。首 先，一维信号的研究已经比较成熟，第二，现在大量的信号充斥着我们的生活空 间，很多东西都不是一维信号可以表达清楚的，而是有多个变量共同作用产生的 结果。所以多维信号将成为今后研究的热点。然而二维系统作为多维数字信号处 理的一个代表系统，更加成为了研究的关注点。可以说二维信号处理广泛应用于 多媒体技术、通信、医学、经济学等许多领域中。 i i 1 数字图像的处理 图像信号作为空间两个独立坐标变量的函数，就是二维信号。而二维系统就 可以解决图像方面的很多问题。举个常见的例子，比如图像的识别，此领域就有 中山大学硕士学位论文 二维i i r 数字滤波器的v l s i 实现 非常广泛的应用背景。它可以是机械加工中某些零部件的识别、分类；也可以是 邮政系统中自动分拣信函、银行现金识别、身份证识别、人脸识别、指纹识别等 等。在识别之前我们经常要对图像做一些相关的处理，比如我们拍摄到的图像可 能含有的杂噪信息比较多，重要信息并不突出，这就需要对图像进行除噪、增强 处理等。而线性滤波是一种常用的图像增强技术，它是通过对图像的某些特征信 息进行增强，去除其不感兴趣的特性信息，其中线性滤波可以说是一种邻域操作， 即输出图像的某一像素值由输入图像相应的像素值及其邻域的像素的值决定，在 图像处理技术中，这种线性的二维滤波被用来去除图像中的噪声 1 1 2 新一代无线通信领域中的多媒体信号滤波 新一代无线通信主要以图像通信和视频信号通信为特点。由于无线信道的复 杂性，通信信号常常会被各种噪声干扰因此，如何对接收的多媒体信号进行高 效的滤波处理是新一代无线通信领域面临的挑战性课题之一，因此可以利用二维 滤波器对已知通信信号( 图像和视频信号) 进行滤波除噪以提高信噪比。 1 1 3 现代医学领域中的图像分析和滤波 现代医学的先进性在很大程度上是依靠先进的检测工具，其中代表性的工具 有x 光( x - r a y ) 、c t 、m r i ( m a g n e t i cr e s o n a n c e i m a g i n g ) 等。这些工具中都 包含一个重要的环节，那就是如何排除仪器噪声和人体内部其他噪声的干扰，将 有用的信息提取出来，这就是对所获得图像的分析和滤波。 1 1 4 宏观和微观经济领域中大量多维信号的分析和滤波 宏观和微观经济的复杂性决定了其领域中大量二维信号的存在。例如资产按 役龄的折旧率是时间和资产役龄的函数，因此这些变量都可以看作是二维的经济 信号。对这些信号的估计和处理需要运用二维滤波的方法，特别是对离散统计信 号进行的滤波方法。 中山大学硕士学位论文二维l i l t 致字滤波嚣的v l s i 实现 1 2 硬件基础v l s i 众所周知，v l s i ( 超大规模集成电路) 实现是目前硬件设计的趋势和主流。 自二十世纪七十年代以来，随着m o s 制造技术的飞速发展，电子器件从电子管 时代进入了晶体管时代，极大地促进了v l s i 在人类生活中的广泛应用【”。目前， 大多数的家用电器都使用微处理器进行控制；汽车工业中使用专用的处理芯片实 现安全警报和数据( 胎压) 检测；工业生产和节能领域的工业机器人的控制以及 数字通信信号的处理，智能终端的信息处理都将采用到v l s i 芯片。特别是一些 媒体的信息处理和重复控制系统更要使用v l s i 来实现某些数据的滤波操作和 传统的以真空管为单位，体积非常庞大的电路相比，现在的大规模集成电路在很 多方面都有以前分立元件无法比拟的优点，具体如下： ( 1 ) 降低成本：v l s i 由几十个l s i 组装在一个晶片中，从而减少了面积，减 轻了重量降低了成本。 ( 2 ) 低功耗：一般额定电压3 3 v ，同时也解决了散热问题。 ( 3 ) 提高了工作速度：由于影响电路工作速度主要有两个方面，一是逻辑电 路的时延，一是信号传递的时延。由于v l s i 的尺寸小，所以接线和电 路间的距离大为缩短。而提高了工作速度。 ( 4 ) 提高了系统可靠性：以前的电路由于灰尘而引起的虚焊，焊接点的松动， 以及接触不良而引起了系统不稳定，而v l s i 减少了与外界的接触部分， 从而使得系统更可靠。 鉴于上述的优点，v l s i 成为了我们首选的硬件设备。 1 3p i p e l i n e 技术简介 如何能够在v l s i 上以较小的硬件代价实现加速滤波器的处理数据的速度 呢? 我们可以选择用流水线( p i p e l i n e ) 这一方法达到目的。 我们都知道，当我们处理某一项事务的时候可以把这项事务分成几个阶段来 做。比如去医院看病这件事情，它由挂号、诊断、化验、取药四个环节组成，每 个环节都是以前一个环节为基础才能运作。那么如果要将上面的四个“环节”循环 中山大学硕士学位论文二维i i r 数字滤波器的v l s i 实现 多次，如何才能加速处理速度呢? 显然我们可以采用流水线2 】【3 】【4 1 的作业方法， 就像我们开出了四个窗口，每个窗口提供一项服务。假使原先完成整个任务时间 是z ，每个单项服务的时间一样长都为4 ，那么每隔艺4 的时间，就有一个 病人看完病，医院的效率大幅度地提高了四倍。同样我们可以把这种方法应用到 v i s i 的实现中去。我们知道v l s i 的数字滤波器的运算单元是由加法器，全加 器，乘法器，r a m ，r o m 等等组成。但是这里面乘法器是最重要的。因为它决 定了v l s i 芯片的大小，以及芯片的运算速度。 首先我们可以假定两个乘数采用二进制的方式表示，彳= ：口z ， b - 。弋- , , 。- i b ，2 j 其中扭0 ，l m l ，j = o ，1 开一l 那么两个数的乘积为则可表示为 z - - z = 一气2 i = 彳口= ( 厶一，m 。- | 。2 1 ) ( ：! = ：屯) = ：( q ) 2 2 j 下面两张 图片分别是两种乘法器的结构示意图，其中m = 辟= 4 。在图1 - 1 中( b r a u d a r r a y 算法的乘法结构图) ，实现了4 x 4 b i t 的乘法操作，其中f a 为全加器，每个全加 嘲b oo p z b lo a 2 b o0a l b t oq 1 6 0 a o b t a o b o i ；7p 6粥mp 3 p 2 p lp o i z l - 1b r a u d a r r a y m u l t i p l i e r ( c 表示进位，s 表示和) 器都有三个输入两个输出，两个输出分别是b i t 和以及b “进位，低一级的b i t 进 一o - | _ o 口t # m口囊 日口t*口m口纛 中山大学硕士学位论文二维f i r 数字滤波器的v l s i 实现 位将成为高一级的一个加数。倘若每一个f a 运算需要耗时7 i ，那么整个的加 法过程下来就需要6 x 毛再如图1 2 ( w a l l a c e 缸算法的乘法结构图) ，也是 实现4 x 4 b i t 的乘法，其中f a 同样为全加器，h a 为半加器，最后一个为快速加 法单元，可以看出这种结构的乘法运算过程可以分为三个阶段。总耗时为 2 m 缸( ，z 0 ) + 其中( 为全加器运算时间，删为半加器运算时间， 为快速加法单元所耗的时间。) 如果我们按照流水线的操作，那么整个的操作时 间为r a i n ( m a x s t a g e ( i ) ) ，i = 1 20 ，其中d 为所分得s t a g e ( 阶段) 数，s t a g e ( i ) 为 第i 个阶段中每个运算器所消耗的时间的一个集合。可见流水线方法在一定程度 上提高了数据的处理速度。 p r 抛璐p 4您班p tp o 图1 - 2w a l l a c et r e em u l t i p l i e r ( c 表示进位，8 表示和) 1 4 问题描述 i 一 萋 菇 l 流水线方法已经广泛应用于一维数字信号处理器和一维控制器的v l s i 实现 中嗍，然而在二维数字信号处理器的v l s i 实现问题中，流水线方法却还没有得 到成功的应用。其难度主要在于二维i r ( i n f i n i t ei m p u l s er e s p o n s e ) 滤波器的流 中山大学硕士学位论文 二维i i r 数字滤波器的v l s i 实现 水线算法的设计。目前这一问题世界上还没有有效的解决方案。因此，本论文以 此为研究课题，讨论对任意给定的一个稳定的二维i i r 系统，设计一个流水线的 算法，并且使得其在v l s i 芯片上实现。 1 4 1 提出问题 通过上面乘法器的结构我们可以看出，其实乘法就是多个加法的顺序操作， 因此我们可以通过在整个的乘法过程中插入若干个时间延迟，即把所耗时间长的 乘法运算分割成d 个s t a g e ( 阶段) ，从而达到增加每个s t a s o 的抽样频率。因为 每次的采样时间由原来瓦减小为瓦e ，通过这种并行的流水线结构达到了提高 效率的目的。这种思路可以应用到二维滤波系统。 1 4 2 设计二维p i p e l i n e 滤波器使用方法 当我们设计二维滤波器的时候，首先提出的p i p e l i n e 的方法跟一维系统类似， 也是通过插入若干个时间延迟，来分割消耗时间长的乘法运算。但是不同的是二 维系统中涉及到两个参变量一，考，这时在插入时问延迟的时候就有几种思路。 方案l ：仅仅对单一的参变量彳1 或者乏1 做p i p e l i n e 处理。乘以的因子比较简单， 为f ( 一) 或者f ( 掣) 的形式。 方案2 ：根据传递函数的特征，把一，石1 等同看成是不同的平移因子，从而决定 要乘的因子f ( 一，乏) 的形式。 方案3 ：不失一般性，我们可以把彳1 ，乏1 等同看成是同样的平移因子，于是加入 的时间延迟可以简单的考虑为两个参变量共同的结果彳石7 。也即平移 了d = “- _ ，个单位。要乘的因子同样也为f ( 一，掣) 的形式，但是这种方 式处理更为灵活。 中山大学硬士学位论文二雏i i r 数字滤波嚣的v l s i 实现 1 4 3 设计二维p i p e l i n e 滤波器要注意的问题 ( 1 ) 设计的滤波器要满足新滤波器的阶数最小原则，否则耗费的硬件代价将会 增大，消耗的时间也会增多。 ( 2 ) 设计的滤波器应该维持原来的基本输入输出特性。 ( 3 ) 设计的滤波器要满足稳定性，因为本身系统是稳定性的，如果经过 p i p e l i n e 分割成d 个s t a g e 以后得到的滤波器不收敛，那么就改变了滤波器 的本身特性。 1 a 4 设计二维p i p e l i n e 滤波器的难点 二维系统稳定性问题。这已经在我们前期的背景情况中已经介绍，因为一 维系统研究的时间长，而且相对来说比较容易，所以一维系统稳定性的解决相对 来说比较容易。但是由于二维系统的研究是近几十年才开始，有关稳定性的判据 并不多，而且很多都是充分非必要条件，所以在寻求满足二维系统稳定的解析解 的过程非常麻烦，所以寻求满足稳定性的合适的解成为了本课题研究的难点之一 6 1 1 7 1 。其次，如何选择合适的公因子，对原滤波器进行p i p e l i n e 处理，使得滤波 器的最高阶的阶数最小，即满足最小阶原则。第三，在滤波器的实现的时候，要 想办法考虑滤波器的实现结构，减少乘法器的数量以及计算量，从而减小滤波器 硬件实现的芯片大小。最后，由于我们讨论的是周期的系统，所以乘法器系数的 协调，也即同步问题也将是需要考虑的一方面。因为在我们的p i p e l i n e 操作中， 每个操作单元在每一个周期只是处理乘法的一部分。因此要完全得出乘法结果， 需要耗费多个周期，多个乘法处理单元，那么几个数据单元的通信，数据的协调， 时钟顺序的协调成为了我们研究问题的又一个难点。但是我们本文着重处理第一 个难点，并对后面几个难点做简单分析、介绍、处理，鉴于时间有限，其处理方 法并没有傲优化处理，这也是此篇论文的不足之处，同时也构成了后续论文的研 究点。 中山大学硕士学位论文 二维i i r 数字滤波器的v l s i 实现 1 5 文章结构 本文结构安排如下：第二章介绍了二维滤波器的实现，以及通过一些常用的 模型引入了二维滤波器的稳定性判据。第三章着重介绍二维滤波器的流水线实 现，并且指出了传统的方法很难使得滤波器稳定，即便能够满足滤波器的稳定， 但也将因为附加项的系数高而非常消耗硬件资源。因此在第四章提出了一种新的 方法，周期的流水线的方法，进而较为容易的解决了二维滤波器稳定性的问题， 然后在第五章提出了二维i i r 滤波器流水线方法的周期实现问题，并给出了硬件 实现的方案。文章第六章总结了全文提出了文章的不足，并且提出了后续工作的 着手点。 中山大学硬士学位论文二维i i r 数字滤波器的v l s i 实现 第2 章二维系统的实现及其稳定性探讨 本章首先介绍二维系统研究状况以及薄弱环节，然后引出二维系统的一般定 义，然后分别在频域和状态空间中给出相应的描述，继而介绍几种状态空间的实 现，最后给出基于传递函数和状态空间描述的稳定性判据，从而选出合适的稳定 性判据，作为我们设计二维滤波器的稳定性判据。 本论文的主要研究对象是二维数字信号处理器的v l s i 流水线的算法以及实 现问题。但是与二维数字信号处理的日益广泛的应用所不相称的是：目前对其研 究的相对薄弱。究其原因可归纳为： ( 1 ) 目前大多数的研究还是集中在相对简单的一维滤波上，由于二维系统的 两个参数之间并不是相互独立，所以两个参数之间有一定的耦合，并且取值也不 在线性范围内，因此并没有简单的办法判断其稳定性。但是对于一些特殊的二维 系统，其两个方向的参数相互独立，则可以把它们简化为在不同方向上的两个一 维系统的乘积。但其本质仍属于一维系统的范畴。 ( 2 ) 二维系统的计算和分析比一维系统要复杂。一维系统的状态空间理论目 前已经非常完善，在此理论框架下的一系列系统分析工具( 如l y a p u n o v 稳定性 理论，r o u t h - h u r w i t z 判据) 都有很完美的充分且必要性结论，然而对于二维系 统，目前在状态空间理论框架下的研究还只集中在二维离散系统上，而且所得到 的包括l y a p u n o v 稳定性判据、h u a n g s 判据，j u r r y 稳定性判据等在内的结论都 还只是充分性的结论，这就使得在要求满足稳定性的滤波器设计非常困难。下面 我们将分节介绍二维系统及其稳定性。 2 1 二维系统的定义和描述 定义2 1 ：二维系统的定义，即g ：”卜y ，其中，y ：z + x z + 寸r ， z + = 扛l 工z ，x o ) ，z 和r 分别代表整数域和实数域。 二维系统可以从两个方面分别描述，一种是在频域中描述，采用的是传递函 数的形式，另外一种就是用状态空间描述，而状态空间的表示又有多种表示形式。 中山大学硕士学位论文二维i i r 数字滤波器的v l s i 实现 ( 1 ) 基于频域传递函数的描述【6 】川如下：首先令工( m ，开)y ( m ，刀) 分别代表滤波 器的输入输出，那么输入输出关系式为： mm 可膨一一，) = 吻y ( 膨一i ，一力 ( 2 - 1 ) 1 - 0 - ol - oy o 那么二维的数字滤波器的传递函数可以表示成如下形式： 胁，、b ，, z 。i z i ， 叫z - 一卜筹。嚣 q - 2 ) ( 2 ) 基于状态空间模型的描述2 2 1 有多种模型，下面我们介绍最常用的两种： 端牝：墟跚褂g 力c 砌， j ，c 力= 【c t g 】 耄芝完 + 。“c d c 2 一s b ， 其中j ，分别代表水平方向和垂直方向上的坐标值。毛以d ，( f 力分别代表 水平方向和垂直方向上的状态向量。“( f ，) ，) ，o ，) 分别代表输入向量和输出向 量。4 ，4 ：，如，如，置，岛，c l ，c 2 ，d 分别是合适维数的实矩阵。为 了表达方便，引入一些矩阵和向量： 彳= 乏：2 ，口= 主 ，c = t c ：g 】 l = 耄黔蝌，= 窿坍c 协纠 此时我们状态空间模型可以表示成如下形式： l = a x + b u 工= c x + d ” ( 2 3 a ) ( 2 3 b ) 中山大学硕士学位论文 二维腿数字滤波器的v l s i 实现 模型2 ：f o m a s i n i m a r c h e s i n i 模型 x ( + l ，j + 1 ) = 4 地d + 4 “l ，d + 4 m ，+ 1 ) + b o u ( t ，d ( 2 - 4 a ) y g ) = c o f ，_ ，) ( 2 - - 4 b ) 其中f ，_ ，分别代表水平方向和垂直方向上的坐标值。x r “代表状态向量， y ，“r “1 分别代表输出和输入。b o r “，厶，4 ，如e r “，c o r i x d 分别是合 适维数的实矩阵。 无论以哪一种形式表示，状态空间的表达式都是可以相互映射的。只是选择 不同的模型可能更利于我们进行计算或者进行数据处理。鉴于篇幅有限，具体的 相互表示关系参看文献 2 2 1 。 2 2 二维系统的状态空间模型的实现 前一节我们介绍了频域的传递函数，同时也介绍几种状态空间模型。这一节， 我们将给出状态模型的实现。 2 2 1r o e s s e r 模型的实现 如何求出相应的4 。，4 ：，4 。，如，最，岛，c i ，g ，d 这将是实现的 具体结果。考虑到边界条件为毛( o ，) = o ，x a j , 0 ) = 0 ，其中满足_ ，= o ，i ，2 ，3 ， 通过z 域变换，得到传递函数矩阵是日( 毛，z 0 = q z - a - 1 b + d ，其中 z = 弦0 根据文献瞄l 我们可以得到r o e s s e r 模型的传递函数； 日( 毛，乏) = c ( 乞) 【l 。毛一彳( z 2 ) r 1 曰( 乞) + d ( z 2 ) ( 2 5 ) 其中爿( 乞) ，b ( z z ) ，c ( 毛) ，d ( z o 分别满足式( 2 - 5 a ) ( 2 5 b ) ( 2 5 c ) ( 2 5 d ) ： a ( z ：) - - 4 。+ 4 ：【：一如r 1 如 ( 2 5 a ) 量型坐塑兰! ! 堕苎 三丝坚塾! 堂垫墨箜! 笪! 塞墨 曰( z 2 ) = 墨+ 4 ：【l ：一如r 1 最 ( 2 s b ) c ( z 2 ) = c l + c 2 【l 2 一彳2 2 r a 2 i ( 2 5 e ) d ( z z ) = d + c 2 1 , 2 一如r 1 吃 ( 2 5 d ) 同样的我们的传递函数也可以按照毛的降幂写成( 2 6 ) 的形式： 眠咖制= 锱+ 舞翳善等潦c z 击， 其中口( 毛，毛) ，彳( 毛，乞) 分别为： b ( z i ，z 2 ) = m ( ：2 ) 毛7 + - i ( z 2 ) z i ，1 + + i ( 乞) 五+ n o ( z o ( 2 - 6 a ) 4 ( 五，z j ) = t ( 乞) 毛+ 4 q ( z 2 ) z l ，- 1 + + 西( 乃) 毛+ d o ( z o ( 2 - 6 b ) 由此我们通过传递函数( 2 , - 6 ) 可以得出关于h ( z l ，乞) 的第一阶实现 爿( 乞) ，口( 乞) ，c ( z o ，d ( 乞) ，其中：a c z 2 ) ，占也) ，c ( z 2 ) ，d ( 乃) 可以如下表示： 4 ( 乞) = 00 0 0 0 0 o 0 0 0 0 o 0 咆( 乞m 0 - d , ( z o l , 0 畋( 乞) 0 - 4 一：亿) ，l 4 ( ：2 ) ，i ，b ( 乞) = 如) i 如) 2 ( 乞) r 。( z o 一。包) 蚴= 【。o 。】，d ( z 2 ) = 器 由于当乇趋近于无穷的时候，。l i m 【厶：一如】- 1 = o 眙鲁k 篙黝b ( z o 因此可以得出矩阵4 。，墨，c l ，d 。同时再用使用关于z 2 的一维传递函数 ) = 恸铲“岛】 像7 ) 从而可以得到矩阵4 ：，4 。，如，岛，c 2 。此时我们就完全得出了4 。，4 ：， 中山大学硕士学位论文二雏i i r 数字滤波器的v l s i 实现 4 l ，如，马，垦，q ，c 2 ，d 即求解出了r o 髑s e r 模型的实现 2 2 2f - m 模型的实现 状态空间的表达式都是可以相互映射相互表示：其关系如下： 如a l l 射乏4 捌，蹦孙q 啪钏。 此时我们只需要求出相应矩阵就可以得到f m 模型的实现。 目前，我们已经介绍了几种二维系统的模型以及实现，但是相应的稳定性的 判据并不多，而且如我们前面所说，很多结论都是充分非必要，这使得我们在寻 求稳定解的过程中将会遇到很大的困难。下面我们分别从频率域和状态空间两方 面介绍几种滤波器稳定的判据，并分析其优缺点，最后选择出适合我们p i p e l i n e 算法的稳定性判据。 2 3 基于频域传递函数的稳定性判据 2 3 1s h a n k s 理论以及h u a n g 的判据 经常在数字图像等一些二维的数字信号处理的时候，我们会使用i i r 滤波器 来代謦f i r 滤波器，从而达到减少滤波器的阶数以提高效率的目的。但是随之而 来的就是滤波器的稳定性问题。 如果给定i i r 滤波器( 2 1 ) ，其中x ( m ，n ) 和y ( m ，月) 分别代表滤波器的输入输 出，那么二维的数字滤波器的传递函数如式( 2 2 ) ，此时我们可以把传递函数改 写成如下的形式： 日( z 。，z ：) = 嘞z ：z ： ( 2 - 2 a ) i - - - 0 ，t 0 于是为了满足滤波器的稳定性，系数表示冲激响应的滤波器的系数，其应该满 足二二k i o o ，于是可以得出s h a n k 8 定理。 中山大学硕士学位论文 二维i i r 数字滤波器的v l s i 实现 定理2 1 ( 蛐) ；一个递归滤波器，其传递函数为日( ：。疋) = 号兽暑且。， b 是z 。，z ：的多项式，当且仅当没有任何的l ：l l l 与k i l ，满足式子 彳( z ，：) = o 。 矾蜘弘2 ) - 矧= 喜静z ： 我们的目的就是证明当且仅当日( z 。，z ：) 在区域d = ( z 。，z ，) l l z , i , - n l z , l l 内是解析的时候，乙二阮1 充分性：如果日( ，z 。) 在区域d = ( z 。，z , ) l l z , i s l n l z , l l 内是解析，则可以 找到一4 - 1 e 数6 ，满足在区域d l = ( z ，z 。) i i ：。i s l + s n i z ：i l + g q a h ( z , z ) 仍然 是解析的。那么也就是说。- 。，- 。嘞z ：在区域d i 内是绝对收敛，即 ，。，。m 必要性：。，l 。陌l o o ，通过推导我们可以得出，。舢z ：z ：在区域d 中绝对收敛，也就是说，h ( z , z z ) 在区域d = ( z ，z ，) 1 1 zi 王l f l i z ：l s l ) 内是解析嘲。 证毕。 很显然，从s h a n k s 定理，我们很难把此判据运用到实际中。因此，后来人们 把s h a l l k s 定理做了相应的简化。 定理2 2 ：的s h a n k s 定理【6 】( h u a n g 算法) ：一个递归滤波器，其传递函数为 日( z t ) z ：t ) = 锱肌朋z t , z 够赋一腴当 1 ) 线o d , ；翻i i 毛i = 1 ) 以爿( z 。，z ，) = o 的约束映射在z 2 平面上的图像在区域 0 2 ； z 2 忆l 1 ) 的外部。 2 ) 区域d l - - - z 。i i z , l o 。其中，恰好是此表2 1 中第一列所有的元素。 首先，图表( 2 1 ) 中的，分别是s c h u r - c o h nh c r m i t i a n 矩阵【2 3 】【2 4 】【2 5 f 2 6 的子 式假设，( z ) = 二q ，其中q o ，那么与之相关的以n 的h e r m i t i a n 矩阵表 示为：c = ( 均) 其中巧= 二( 吒。+ ，z - l + p q 一，吐，) ，i o 上面的条件并不需要我们对所有的k l - l ，都满足c ( 毛) 的所有主子式都是正 定的。在验证c ( 1 ) 的时候，我们只需要把毛= 1 或者在单位圆上的任何一个点的 值代入表2 - 1 的第一列即可。因为c ( 1 ) 表示是s c h u r - c o h nh c r m i t i a n 矩阵的子式， 并且d 吱f c 瓴) 】从表中的最后一行的第一列可以得出即a 。= f 2 4 基于状态空间的稳定性判据 2 4 1 李亚普诺夫判据 如果我们的系统可以用r o e s s e r 状态空间模型表示，即可以用式予( 2 3 a ) ， ( 2 - 3 b ) 表示，且其中r ”，er ”分别表示水平和垂直状态，扯代表输入j ， 代表输出。那么李亚普诺夫判据可以描述成如下形式【5 】阴2 9 】唧l 【3 l 】。 需要建立一个零点在u 2 ： ( 毛，乞) fl z l i l ，k l 1 ) 外的特征多项式： c ( z z 2 ) = d e t 匕i n - - z l 。1 篇卜州楠渺中 定理2 3 ：如果存在矩阵嵋伽胛) ，( m 历) = w l o 呒，0 表示矩阵的直和， 中山大学硕士学位论文二维l i p 数字滤波嚣的v l s i 实现 q 是对称正定矩阵，并且满足 a 7 w a 一矽= _ q 则二维系统( 2 3 a ) ( 2 3 b ) 是稳定的二维系统。 2 4 2 使用r o e s s e r 模型的实现满足二维系统的稳定性 ( 2 9 ) 根据文献刎【2 1 】吲我们可以知道r o e s s e r 模型如( 2 3 a ) ( 2 3 b ) 所示，其中i ， _ ，分别代表水平方向和垂直方向上的坐标值。矗o ，j ) ，x , ( , 2 3 分别代表水平方向 和垂直方向上的状态向量。o ，力，y o ，) 分别代表输入向量和输出向量。4 。， 屯，4 ，如，马，易，q ，c 2 ，d 分别是合适维数的实矩阵。其中4 。，4 ：， 4 l ，如，e ，易，q ，c 2 ，d 称为r o e s 蝌模型( 2 3 a ) ( 2 3 b ) 的实现。 此时，r o e s s e r 模型的稳定性只需满足下列两个条件即可： 条件l ：4 是稳定的。 条件2 ：如+ 4 。【l 广4 。r 1 4 ：在= 1 的情况下稳定。 2 4 3 基于f - m 模型的t a r n a lb o s e 判据 t a m a lb o s e 所使用的判据也是针对的状态空间的。首先将二维系统的时域表 达式转化成f o m a s i n i - m a r c h e s i n i 状态空间模型【翊。f - m 状态空间模型如式子 ( 2 - 4 a ) ，( 2 - 4 b ) 所示，其中工( f ，_ ，) ，y o ，d ，u ( f 力分别代表中间状态变量，输 出变量和输入变量。为了找到一个条件满足上面的系统是渐进稳定的，不妨假设 为零输入。为了满足稳定条件，需要满足条件以4 ) l ，以4 ) l ，以4 ) 1 其 中p 表示矩阵的谱半径。然后上面的条件并不是判断稳定性的充分条件， 因此 下面提出了一个稳定性的充分条件。 定理2 4 ：线性f m 状态空间模型稳定的充分条件如下，假设一个二维线性 中山大学硕士学位论文 二维f i r 数字滤波器的v l s i 实现 系统x ( i + l ，j + 1 ) = a o x ( i , j ) + x ( i + l ，力+ 4 f ，+ 1 )其中 毒r “， 4 ，4 ，4 足6 若矩阵彳= 【】，那么令h = 4 l 】就像我们用求向量的范数 一样，m 叫i i 表示矩阵的范数。则如果0 4 + 0 4 0 + 0 4 茎， l 且那么 蛳，n - - i + j 畸o o 中山大学硕士学位论文二维f i r 数字滤波器的v l s i 实现 第3 章基于流水线技术的二维i i r 滤波器的设计 3 1 流水线技术的引入 前面我们已经提及到，多媒体信息处理技术以及控制技术经历着飞速的发展 并且成为了人们生活、生产过程中不可或缺的技术。但是究其技术本质仍然是数 字信号处理的范畴。因此设计一种能够以较小的硬件芯片代价，且能在较短的时 间内对数字信号进行处理的算法成为了当前研究所追求的目标。如何能够在 v l s i 上以较小的硬件代价实现加速滤波器的处理数据的速度昵? 我们可以选择 用流水线【2 1 【3 1 1 4 1 5 1 这一方法达到目的。其精华思想就是把一件事情或者一个处理 过程分成若干个阶段，然后采用不同的处理窗口分别处理一项任务的不同阶段。 就好像现代工厂中的流水线工作一样，这样以来处理效率显然就增加了。那么我 们可以把这项技术应用到我们的二维滤波器中，以提高硬件的处理能力。 首先，引入我们要处理的二维滤波器，令五，乞分别代表水平平移算子和垂 直平移算子，所以我们可以用五一u ( i ，j ) = o 一1 ，力和z 2 一u ( i ，) = ”( f ，j - 1 ) 分别表 示不同方向的平移。同时我们令m ，n 分别代表线性时不变( l t i ) i i r 滤波器的 阶数。因此，l t i 的1 1 r 滤波器可以写成如下的多项式的形式： 彳( 彳1 ，乏1 ) y ( f ，_ ，) = 曰( 百，乏1 如( f 力 ( 3 - 1 ) 其中“( f ，力r ，j ，g 力r 分别代表输入和输出， 爿( 百1 ，乏1 ) = 口oo + 吒。彳1 + + 口辨。彳”乏4 ( 3 一l a ) 占( 彳，乏) = 6 0o + i 乏+ + 6 卅。彳4 ：， ( 3 - l b ) 这里。e r ，。r ，l f 埘，1 _ ，n ，a oo = l ，r 。 3 1 1 二维一阶f i r 滤波器的流水线算法 前面我们介绍过，对于硬件实现，消耗时间最多的就是乘法单元。为了加快 中山大学硕士学位论文 二维f i r 敦字滤波器的v l s i 实现 处理速度，我们就把乘法的过程看成是一项任务，而我们的职责就是把乘法过程 分成几个s t a g e ( 阶段) ，相邻两个s t a g e 之间插入一个平移单元。在一维的情况 下就相当于一个延时。而在二维的情况下则相当于向某一个方向做平行的推移。 我们在( 图3 - 1 ) 中举个简单的f i r 的例子。 贴_ f ) 以歹) i 囱 i _ 1 i 竺生! ! i i j ，o 。_ ，) 漉水线操作前 图3 - i a 流水线操作后 图3 i b 因为f i r 滤波器没有反馈，实现起来相对简单。假如要处理的f i r 滤波器 表示成如下形式：y ( ，) = b o 。乏1 u ( ，_ ，) ，其中m ( b o ) 表示乘以数字6 0 。所以f i r 的形式可以用( 图3 - i a ) 表示，但是为了加快硬件的处理速度。于是我们对乘 法m ( b o ) 进行处理，把它分成d 个s t a g e ，每两个阶段之间插入一个平移算子。 如( 图3 - 1 b ) 所示。因此在分割成d 个s t a g e 之前，乘法运算的操作时间为瓦秒， 然而在分割了d 个s t a g e 之后，每一个阶段的操作变成了原来的l d ，即巧弦秒。 所以可以看出，通过分割成d 个s t a g e 以后，其采样的频率变成了原来的d 倍， 而输入输出的关系变成了y ( i ，d = b o 乏。”o ，) 。同样，d 个s t a g e 的延时仍然跟分 割之前相同为乙秒。因此，实质上输入输出的关系与分成d 个s t a g e 之前的关系 相同。我们就把分割乘法成d 个s t a g e 的操作称为流水线操作。同时把m ( 6 0 。) 表 2 1 壹l虽 中山大学硕士学位论文二维i i r 数字滤波器的v i s i 实现 示成如下的形式： m ( b o1 ) = 肘d