福建省福州市10月高中数学学科会议专题讲座 高考应用题专题复习 新人教版.doc

福建省福州市2012年10月高中数学学科会议专题讲座 高考应用题专题复习 我们先来看看近几年来我省高考应用题的考查情况12012福建理科16。 （本小题满分13分） 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下： 将频率视为概率，解答下列问题：（i）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（ii）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；（iii）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。本小题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想。解答：（i）首次出现故障发生在保修期内的概率为（ii）随机变量的分布列为 随机变量的分布列为 （iii）(万元) (万元) 所以应该生产甲品牌汽车。2。2011福建理科18.（本小题满分13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3x0, 0) x0,4的图象，且图象的最高点为s(3，2)；赛道的后一部分为折线段mnp，为保证参赛运动员的安全，限定mnp=120（i）求a , 的值和m，p两点间的距离；（ii）应如何设计，才能使折线段赛道mnp最长？ 18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，解法一（）依题意，有，又，。当 是， 又（）在mnp中mnp=120，mp=5，设pmn=，则060由正弦定理得,故060，当=30时，折线段赛道mnp最长亦即，将pmn设计为30时，折线段道mnp最长解法二：（）同解法一（）在mnp中，mnp=120，mp=5，由余弦定理得mnp=即故从而，即当且仅当时，折线段道mnp最长注：本题第（）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：；点n在线段mp的垂直平分线上等福建省2012年高考数学考试说明指出：五、强化应用意识，关注应用能力加强应用意识的培养与考查是时代的需要，是教育改革的需要，同时也是数学科的特点所决定的。应用性问题主要是考查数学知识的实际应用。应用题的设计应贴近生活，联系实际，具有强烈的现实意义。应用问题考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，要切合福建省中学数学教学的实际，让数学应用问题的难度更加符合考生的水平，引导考生自觉地置身于现实社会的大环境，关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识。以上内容均选自2012年福建高考数学考试说明数学应用题是指能利用数学知识解决的非数学领域中的问题，数学应用是数学最终价值的体现。数学应用题在数学教育中有其重要的地位，数学应用题是高考中必考的题型。国家考试中心评价报告对应用题给予了充分的关注，要求试题要体现数学的应用价值，要真正使数学服务于生产生活实际，就必须具有建立数学模型的能力。数学教育目标也要求学生从实际问题中抽象出数学问题，并解决问题。培养和提高学生的数学应用意识,是高中数学教学的迫切要求,数学教师在教学中应高度重视应用题教学,根据高中学生的认知规律和思维特点进行应用问题的教学,培养学生的应用意识和应用能力,让数学真正成为对每一学生都具有实用性价值的科学。自1995年数学应用题进入高考以来，每年不论数学应用题的题目难或易，其得分率都是比较低的。究其原因，一是考生对数学应用题有一种恐惧感；二是考生没有掌握数学应用题求解的一般分析方法；三是考生的应试策略与表述方面还存在一些问题。在高考复习与冲刺阶段如何能在数学应用题方面有所突破呢？下面谈谈我个人的看法，供参考。（一）学会数学建模分析的步骤 一、数学建模分析的步骤： 1. 读懂题目。应包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质。 “整体理解”就是弄清题目所述的事件和研究对象；明白问题说了什么事，学会数学应用的建模分析。“局部理解”是指抓住题目中的关键字句，正确把握其含义；一般数学应用题的文字阅读时事刊物较大，通过审题找出关键词和句，并理解其意义。 “分析关系”就是根据题意，弄清题中各有关量的数量关系；题设材料呈现的文字语言、图形语言转化为符号语言。“领悟实质”是指抓住题目中的主要问题、正确识别其类型；用恰当的数学方法去解数学模型。 2、建立数学模型，将实际问题抽象为数学问题，从各种关系中找出最关键的数量关系，将这些关系用有关的量及数字、符号表示出来。3、求解数学模型，根据建立的数学模型，选择合适的方法，设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解。4、检验，既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求。二、注意具体的建模分析法：1、关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法。2、列表分析法：对于数据较多，较复杂的应用性问题通过列表的方式探索问题的数学模型的方法。3、图象分析法：通过图象中的数量关系分析建立数学模型的方法。三、注意语言表达的完整性数学应用题的求解不同于一般的数学运算题，有人比喻它是数学中的小作文，因此解数学应用题要做到“有头有尾”，把问题中的普通语言转化为数学语言，引入变量与字母，画出图形，将数学建模的过程详细地写出来，建立数学模型后，要准确地求解，并注意计量单位的一致，最后对于所得数据不仅要思考或检验是否与实际吻合，而且要给出完整的答案。 （二）2012全国各地高考应用题考查的典型试题一、排列组合应用题：1、2012安徽（10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为（ ） 或 或 或 或【解析】选设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到份纪念品的同学人数为人2、2012福建文科16.某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为_3、2012江西文科5. 观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4 ， |x|+|y|=2的不同整数解（x，,y）的个数为8， |x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 ，.，则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为a.76 b.80 c.86 d.92二、解析几何应用题：2012全国理科卷（12）正方形abcd的边长为1，点e在边ab上，点f在边bc上，aebf。动点p从e出发沿直线喜爱那个f运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点p第一次碰到e时，p与正方形的边碰撞的次数为（a）16（b）14（c）12(d)102012湖北文科5.过点p（1,1）的直线，将圆形区域（x，y）|x2+y24分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）a.x+y-2=0 b.y-1=0 c.x-y=0 d.x+3y-4=0三、概率统计应用题：1、2012福建理科16.（本小题满分13分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（i）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；(ii)若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为x1，生产一辆乙品牌轿车的利润为x2，分别求x1，x2的分布列；（iii）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。2、2012北京理科17（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（）试估计生活垃圾投放错误额概率；（）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a0，=600。当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值。（注：，其中为数据的平均数）解：（1）由题意可知：。（2）由题意可知：。（3）由题意可知：，因此有当，时，有3、2012福建文科18.(本题满分12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（i）求回归直线方程=bx+a，其中b=-20，a=-b；（ii）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（i）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）4、2012辽宁文科（19）(本小题满分12分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性。 ()根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计 ()将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。附52012江西文科6.小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为a.30 b.10 c.3 d.不能确定四、三角函数应用题：1、2012福建理科17文科20（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin213+cos217-sin13cos17（2）sin215+cos215-sin15cos15（3）sin218+cos212-sin18cos12（4）sin2（-18）+cos248- sin2（-18）cos248（5）sin2（-25）+cos255- sin2（-25）cos255 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 根据（）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。2、2012上海理科21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海xoypa里a处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当时，写出失事船所在位置p的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）解（1）时，p的横坐标xp=，代入抛物线方程 中，得p的纵坐标yp=3. 2分 由|ap|=，得救援船速度的大小为海里/时. 4分 由tanoap=，得oap=arctan，故救援船速度的方向 为北偏东arctan弧度. 6分 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为. 由，整理得.10分 因为，当且仅当=1时等号成立， 所以，即. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 14分五、立体几何应用题：2012湖北理科10.我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积v，求其直径d的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式。根据x=3.14159.判断，下列近似公式中最精确的一个是六、数列应用题：1、2012湖北理科13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33，99。 3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999。则（）4位回文数有_个；（）2n1（nn+）位回文数有_个。2、2012湖南理科16.设n=2n（nn*，n2），将n个数x1,x2,，xn依次放入编号为1,2，n的n个位置，得到排列p0=x1x2xn。将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前个数和后个位置，得到排列p1=x1x3xn-1x2x4xn，将此操作称为c变换，将p1分成两段，每段个数，并对每段作c变换，得到p2当2in-2时，将pi分成2i段，每段个数，并对每段c变换，得到pi+1，例如，当n=8时，p2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于p2中的第4个位置。（1）当n=16时，x7位于p2中的第_个位置；（2）当n=2n（n8）时，x173位于p4中的第_个位置。3、2012湖南文科20.（本小题满分13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产。该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50。预计以后每年资金年增长率与第一年的相同。公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产。设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元。（）用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；（）若公司希望经过m（m3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）七、函数与方程应用题1、2012湖南理科20.（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的a，b，三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为,（单位：件）。已知每个工人每天可生产部件件，或部件件，或部件件。该企业计划安排名工人分成三组分别生产这三种部件，生产部件的人数与生产部件的人数成正比，比例系数为（为正整数）。（）设生产部件的人数为，分别写出完成，三种部件生产需要的时间；（）假