建构良好的数学认知结构的教学策略.pdf

第 11 卷第1 期 数 学 教 育 学 报 Vol 11 No 1 2002 年2 月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Feb 2002 收稿日期 2001 09 12 作者简介 何小亚 1964 男 硕士 华南师范大学副教授 主要从事数学课程与教学论研究 建构良好的数学认知结构的教学策略 何小亚 华南师范大学 数学系 广东 广州 510631 摘要 良好的数学认知结构的特征是 有足够多的观念 具备稳定而又灵活的产生式 具有层次分明的概念网络结构以及一定的问 题解决策略的观念 建构良好的数学认知结构的教学策略包括 熟悉学生原有的数学认知结构 创设良好的问题情境 突出数学思想方 法的教学 注意整体性教学 关键词 数学认知结构 特征 教学策略 问题解决 中图分类号 G424 文献标识码 A 文章编号 1004 9894 2002 01 0024 04 数学教学的本质是 学生在教师的引导下 能动地建构数学认知结构 并使自己得到全面 发展的过程 数学教学的根本任务就是要造就 学生良好的数学认知结构 以满足后继学习的 需要 最终提高学生的问题解决能力 那么 在数学教学中如何帮助学生建构良好的数学 认知结构呢 这是值得广大的数学教师和教 育研究人员去探讨的问题 在此 本文先指出 良好的数学认知结构的 4 个特征 然后提出建 构良好的数学认知结构的 4 条教学策略 1 良好的数学认知结构的特征 数学认知结构是数学知识结构在学习者 头脑里的反映 它是学习者在学习的过程中逐 步积累起来的在数学方面的观念系统 这些观 念可能包括 3 种类型 一是基本观念 言语信 息或表象信息 它是学习者通过学习一些数 学概念和数学命题之后形成的 二是数学具体 方法的观念 它是学习者在运用解决问题的过 程中形成的 三是数学问题解决策略的观念 就一个具体的新知识的学习而言 根据美 国教育心理学家奥苏伯尔的观点可知 良好的 数学认知结构有 3 个特征 一是可利用性 即 在学习者原有的数学认知结构中有适当的起 同化作用的观念可以利用 二是可辨别性 即 新知识与学习者原有的数学认知结构中的相 关观念是可辨别的 三是稳定性 即同化新知 识的原有的观念是清晰和稳定的 数学教学的目的不只是学习现存知识 其 最重要的目的是将习得的知识迁移到新情境中 去 也就是要学生学会创造性地解决问题 1 显然 奥苏伯尔提出的良好的认知结构的 3个特征侧 重于概念和原理的学习 并不完全适用于数学 问题解决学习 笔者认为 从数学问题解决的 角度来考察 良好的数学认知结构的特征包括 以下 4 个方面 1 1 足够多的观念 现代认知心理学关于 专家系统 的研究 表明 在某个领域内善于解决问题的专家必须 具备上万个知识组块 没有这些专门的知识 专家就不能解决该领域内的技术问题 在许多 专门领域 如工程学 计算机程序 社会科学 阅读理解 物理 数学和医疗诊断等 将 专 家 和 新手 作比较 都证明了解决问题的 能力取决于个人所获得的有关知识的多少及 其组织结构 根据笔者长期从事数学竞赛辅导 工作的经验 绝大多数 IMO 选手 除了具备 一定的数学天赋之外 他们必须系统接受过各 种专题知识的训练 在各种专家的辅导下 他 们的认知结构中积累了丰富的专门知识 例 如 在 IMO 中的数论这一专题中 我们要求 选手掌握的基本概念 原理达到五十余条 与 新手相比 专家解决自己领域内的问题时较为 出色 在不熟悉的领域 专家通常并不比新手 好 因为他在那一领域内的观念不够多 和 IMO 选手相比 绝大部分数学博士生导师就是 一个 新手 这就是为什么一个数学博士生 第 1 期 何小亚 建构良好的数学认知结构的教学策略 25 导师解不了 IMO 问题的原因 1 2 具备稳定而又灵活的产生式 足够多的观念仅仅是问题解决的必要条 件 也就是说 你头脑中的知识越多 并不意 味着你解决问题的能力越强 甚至问题解决者 已具备了解决某一问题所需的全部知识 但却 解决不了这个问题 例如 有的问题解决者在 解决一个问题时 百思不得其解 但一经旁人 指点 即刻恍然大悟 这说明他的认知结构中 已具备了解决这个问题所必需的概念 性质和 定理等知识 一些新手教师经常向笔者 诉 苦 自己备课十分认真 课也讲得头头是道 学生对知识的提问反应也不错 可一到自己作 业和考试就不行 恍然大悟的问题解决者与不 能独立作业 尤其是非模仿的作业 的学生 他们失败的原因不是缺乏所需的具体知识观 念 而是缺乏与具体知识相对应的稳定的产生 式 文 2 指出 学习者在学习的过程中 其头 脑里逐步贮存了一系列以 如果 那么 的形式表示的规则 这种规则称为产生式 产 生式是一种 条件 活动 规则 简记为 C A 只要条件信息一出现 活动就会自动产 生 这里所说的活动不仅是外显的行为反应 还包括内隐的心理活动或心理运算 例如 如果学生一识别出 ABC 是直角三 角形 他就能做出反应 斜边的平方等于 2 直 角边的平方和 那么我们就说该学生已习得了 这个产生式 假如被试是在被主试问到什么是 勾股定理的情形下复述出勾股定理 我们不能 肯定他已经习得这个产生式 因为他可能仅仅 是从长时记忆中检索出勾股定理的言语信息 并没有学会将其应用于实际情境 学生是否习 得产生式 关键是看他在问题情境中识别出条 件信息后能否做出活动 尚未习得勾股定理产 生式的学生当然不能解决与勾股定理相关的 问题 尽管他脑中贮存有勾股定理的言语观 念 条件 活动 式的产生式对解决一些简 单的由已知到结论的问题有效 但对一些复杂 的问题则不然 因为 有许多产生式的条件信 息是完全一样的 换句话说 由问题情境中的 同一条件信息可以引发许多活动 这样 如果 解决一个问题需要好几个产生式 而每一个产 生式的条件信息又可以引发几个活动 那么 问题解决者将面对几何级数般增长的解题思 路而不知如何选择 因此 除了 条件 活动 这样的正向产生式之外 问题解决者的认知结 构中还应该具备逆向产生式 逆向产生式是以 要 就要 的形式表示的规则 其含义 是 在当前情境之下 要使目标得以实现 就 要具备什么条件 例如 在不同的图形背景下证明 2 条线段 相等的逆向产生式可能有 要 AB AC 就要 B C 要 AB CD 就要 AB EF CD 要 AB CD 就要 ABC CDA 要 AB CD 就要弧 AB 弧 CD 要 AB CD 就要 AB EF CD EF 等等 除了正向产生式和逆向产生式之外 良好 的数学认知结构中还应该有一些与正向产生 式的数学模式对应的变形产生式 所谓变形产 生式是这样一种双反应产生式 即 学习者事 先已习得某一产生式 C A 只要一出现与产 生式 C A 相关的信息 学习者立刻检索出与 产生式 C A 对应的数学模式 然后根据目标 信息对这一数学模式进行变形 例如 学习者习得了有关匀速运动的产生 式 速度和时间 路程 速度 时间 他还 可以得出相关的变形产生式 速度 时间 路 程这些部分信息 数学模式 路程 速度 时 间 变形 1 3 层次分明的观念网络结构 解决问题的思路探索过程实质上由一连 串的产生式构成 在问题解决者具备相关稳定 的产生式的前提下 如何从问题情境中识别出 相关信息并与众多的产生式中的条件信息相 匹配是成功解决问题的关键 我们在前面已经 指出 某一领域内善于解决问题的专家的认知 结构中有上万个知识块 这些知识块不仅是具 体知识的观念 而且大多数是产生式 因此 如果这些数以万计的产生式组织得不好 那么 问题解决者是很难从中检索出与问题情境相 匹配的条件信息 就好比一座图书馆 如果里 面的书籍杂乱无章 乱堆乱放 那么 要找一 本书时就会困难重重 反之 如果里面的书籍 存放有序 类别分明 那么查找就很容易 3 所 26 数 学 教 育 学 报 第 11 卷 以 除了具备足够多的观念和稳定而又灵活的 产生式之外 要建构良好的数学认知结构 学 习者还必须对所习得的知识信息进行加工整 理 使之形成一个个的知识组块 并对这些知 识组块再进行组织 分类和概括 使之形成一 个有层次有条理的知识网络结构 这样 就可 以提高信息的检索效率 4 1 4 一定的问题解决策略的观念 某一问题领域内的专家解决问题的能力 之所以比新手强 主要的原因之一是专家的认 知结构中有着比新手多得多的问题解决策略 的观念 因此 良好的数学认知结构必须包括 一定的问题解决策略的观念 如表征问题的策 略 波利亚的策略 奥加涅相的策略 舍费尔 德的策略 化陌生为熟悉的观念 化繁为简的 观念 特殊与一般互化的观念 正难则反的观 念 顺推与逆推相结合的观念 动静转化的观 念等等 这些观念的形成不是一蹴而就的 要 靠长期的学习 反思和总结 2 教学策略 2 1 熟悉学生原有的数学认知结构 有意义学习的条件表明 要使学生有效地 接纳新知识 学习者认知结构中必须具备适当 的观念 因此 要发展学生良好的数学认知结 构 教师首先必须熟悉学生原有的数学认知结 构 这样才能知道选择教什么和怎样教 例如 在进行反正弦函数的教学时 教师可以通过提 问 作业 测验 个别谈话等方式去了解学生 是否已经具备相关的观念 比如他们是如何理 解函数与反函数的 是否真正领悟了函数的本 质 正 弦 函 数 的 概 念 和 性 质 掌 握 得 如 何 等 等 当教师对学生的数学认知结构有了全面而 又细致的认识之后 就可以通过适当的教学手 段帮助学生建构那些缺少的观念 明晰那些模 糊的观念 强化其稳定性 2 2 创设良好的问题情境 有意义学习的条件之一是学习者必须具 有有意义学习的心向 即学习者积极主动地把 符号所代表的新知识与他的认知结构中原有 的适当观念加以联系的倾向性 要使学习者具 有这种 心向 教师就要创设良好的问题情 境 良好的问题情境应具备以下条件 1 让学生明白自己将要学到什么或将要 具备什么能力 这是使学生自觉参与学习的最 好 诱惑 例如 对于初中数学中运用公式 法分解因式的第一节课 平方差公式 教师 可以这样来创设问题情境 师 在一次智力抢答竞赛中 主持人提供 了 2 道题 4654 8485 2222 主持人话音刚落 就立刻有一个学生刷地 站起来抢答说 第 1 题等于 169 第 2 题等于 800 其速度之快 简直给人以不假思索之感 同学们 你们知道他是如何计算的吗 生 师 学了今天的平方差公式 就可以揭开 这个谜底 如此来创设问题情境 就使学生产生了 我也要成为他那样的快速抢答者 的渴望 2 能造成认知冲突 这样就可以打破学 生的心理平衡 激发学生弥补 心理缺口 的 动力 例如 在 线段的垂直平分线 的教学中 教师可以如此创设问题情境 如图 1 所示 在 草原上有 A B C 3 个村庄 现在要为它们 设置一个物质供应站 P 使得 P 到 A B C 的距离都相等 那么 P 应该设在哪里呢 B P A C 图 1 供 应 站 地 址 然后教师用 3 条橡皮筋一端系在一起作为 P 点 另一端分别固定在 A B C 3 点 教师 一边移动点 P 一边问 PA PB PC 的长度 相等吗 通过几次尝试之后 学生体会到 单靠观察是不准确的 用测量的方法也不可 行 最后 教师再指出 只要我们掌握了线 段的垂直平分线的知识 这个问题易如反掌 这时 学生已产生了心理缺口 如何准确地 确定点 P 的位置呢 这样 学生就会积极地进 入新知识的建构学习 3 问题情境是学生熟悉的 最好是从学 生熟悉的生活情境和生产实际这些角度去创 设问题情境 这样才能保证学生有相关的观念 第 1 期 何小亚 建构良好的数学认知结构的教学策略 27 来理解问题 也才有可能使学生主动积极地建 构他们的数学认知结构 例如 为了使学生理 解数轴的意义 教师可以通过 线珠模型 或 水平放置的温度计模型 来创设问题情境 4 提出问题的方式和问题的难度是适宜 的 提出问题的方式极大地影响着学生解决问 题的积极性和成功率 问题过难 学生没法入 手 太容易 学生学不到新东西 没有兴趣 2 3 突出数学思想方法的教学 学校教学的目的就是要使学生能把习得 的内容迁移到新情境中去 知识越具体 应用 的范围越狭窄 只能用于非常具体的情境 也 容易遗忘 概括性越高 其应用的范围就越广 随时可用于任何情境中的类似问题 也有利于 保持 数学思想方法是数学中的一般性的原 理 它有高度的概括性 有助于学习的迁移 因 此 要发展学生良好的数学认知结构 就必须 要突出数学思想方法的教学 帮助学生建构思 想方法层次上的数学观念 例如 配方法 换 元法 待定系数法 判别式法 反证法 数学 归纳法这一类基本方法 实验 观察 猜想 类比 分析 综合 抽象 概括 分类 归纳 演绎这一类思维方法以及方程的思想 函数的 思想 极限的思想 化陌生为熟悉的思想 化 繁为简的思想 特殊与一般互化的思想 正难 则反的思想 顺推与逆推结合的思想 动静转 化的思想这一类高层次的思想观念 5 2 4 注意整体性教学 层次分明的观念网络结构是良好的数学 认知结构的特征之一 因此 要发展学生良好 的数学认知结构 教师就必须注意整体性教 学 1 注意知识组块的教学 孤立的知识教 学不可能建立起层次分明和联系紧密的观念 系统 因此 新知识的教学不能孤立进行 应 把新知识纳入原有的观念系统中进行整体考 虑 使新知识与原有的相关知识相联系 并把 这些有联系的知识点重新组织为一个大的知 识组块 这样 既有利于知识的保持又有利于 知识的检索与应用 例如 学完三角函数的 36 个诱导公式之后 如果不作进一步的组织加 工 那么这些孤立的知识是难以保持和应用 的 但如果教师引导学生把这些公式放在一起 进行观察 比较 分析 最后概括为新的知识 组块 奇变偶不变 符号看象限 那么学生 的数学认知结构就得到优化 在知识的巩固与应用中 集中且联系各个 知识点的 组块 练习比分散 孤立的练习效 果要好 例如 要复习巩固 三角形的内角和 等于 180 这一定理 教师可以让学生集中 练习下面的问题 在 ABC 中 若 60A 30B 则 C 在 ABC 中 若 60A CB 则 C 在 ABC 中 若CBA 则 C 在 ABC 中 若CBA 2 则 C 在 ABC 中 若4 3 2 CBA 则 C 在 ABC中 若 120A 20CB 则 C 这样练习 不仅巩固了定理 而且把它和 其它知识联系起来 提高了定理的应用功能 2 实施由整体到部分 再由部分到整体的 教学数学知识结构是由一些部分构成的有机 整 体 它 具 有 严 密 的 逻 辑 性 和 完 备 的 系 统 性 整体由部分构成 要把握整体 就要先揭 示整体的结构和掌握部分 因此 教学应首先 从整体到部分 在中学数学中 整体主要表现 为一个小单元 一小节 一章和一门学科 部 分则是一些具体的知识内容 教师可以就将要 学习的整体知识中一些关键和重要的内容 提 出相应的问题 造成学生认知上的冲突 接着 从这一整体知识的研究对象 研究方法和用途 等方面给学生一个全面的概述 使学生对这一 知识单元有一个整体的认识 然后逐个学习 仅仅掌握部分是不够的 系统论告诉我 们 任何系统的整体功能等于各个部分功能之 和 加 上 各 个 部 分 相 互 联 系 而 形 成 的 结 构 功 能 在部分功能不变的情况下 整体功能的大 小取决于各个部分的联系 因此 在掌握部分 之后 要根据各个部分之间的关系 如从属关 系 交叉关系 矛盾关系 对立关系 逻辑关 系等等 把这些部分联系起来 形成一个层次 分明 类别清楚和联系紧密的网络结构 下转第 85 页 第 1 期 鲍 曼 探索法教学的动态模型与控制策略 85 有这些工作的成败都有待于实践的考验 参考文献 1 孙连庆 数学学法及其教学 J 数学教育学报 2000 9 3 88 2 李诚忠 王序荪 教育控制教程 M 长春 东 北师范大学出版社 1986 31 37 Dynamic Model and Controlling Methods of Exploring Teaching Technique BAO Man Department of Mathematics Haerbin Normal University Heilongjiang Haerbin 150080 China Abstract This paper put forward that the mathematics education was in fact a closed controlled system and set up a dynamic model of mathematics education Based on this theory it proposed the way to explore the intricate methods to search for the best automatically by the students themselves under the situations of linking transfer function Key words closed dynamic system dynamic model seeking method 责任编校 周学智 上接第 27 页 例如 在学生学了关于空间的 2 条直线 直线和平面 平面与平面的垂直关系的性质定 理与判定定理之后 如果教师能引导学生将这 些分散的知识重新整理 组织 提炼为如图 2 所示的网络结构 那么就可以帮助学生建构良 好的数学认知结构 性质 性质 判定 判定 共面的线线垂直 异面的线线垂直 线线 垂直 线面 垂直 面面 垂直 共面的线线垂直 图 2 知识网络结构 参考文献 1 邵瑞珍 皮连生 吴庆麟 教育心理学 M 上 海 上海教育出版社 1997 88 89 2 何小亚 数学应用