福建省福州八中高三数学下学期第九次月考试卷 文（含解析）.doc

福建省福州八中2015届高三下学 期第九次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，满分60分）1已知集合，则ab=（）a1，2）b（2，2）c（1，3）d（2，32已知i为虚数单位，若复数（1+ai）（2+i）是纯虚数，则实数a等于（）a2bcd23已知直线m、n、l不重合，平面、不重合，下列命题正确的是（）a若m，n，m，n，则b若m，n，lm，ln，则lc若，m，n，则mnd若m，mn，则n4函数y=2sin（）sin（+）的一个单调递减区间为（）a，b0，c，d，25若如图的程序框图输出的s是126，则应为（）an5bn6cn7dn86设变量x，y满足，则目标函数z=3xy的最小值为（）a1b2c3d47已知数列an的前n项和为sn，且，则sn取最小值时，n的值是（）a3b4c5d68抛物线y2=2px与直线ax+y4=0交于a、b两点，其中点a的坐标为（1，2），设抛物线的焦点为f，则|fa|+|fb|等于（）a7bc6d59已知向量=（2cos，2sin），=（3cos，3sin），与的夹角为60，则直线与圆的位置关系是（）a相切b相交c相离d随，的值而定10若函数在上单调递增，则实数a的取值范围（）a（0，1b（0，1）c1，+）d（0，+）11已知定义在r上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x），且f（x+1）=f（x+3），f（4）=1，则不等式f（x）ex的解集为（）a（，e4）b（e4，+）c（，0）d（0，+）12p为椭圆+=1上任意一点，ef为圆n：（x1）2+y2=4的任意一条直径，则的取值范围是（）a0，15b5，15c5，21d（5，21）二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为（从小到大排列）14棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是15设正项等比数列an，已知前n项积为tn，若t10=9t6，则a5a12的值为16对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，有下列命题：若f（p）=f（q）（pq），则f（p+q）=c；若f（p）=q，f（q）=p，（pq），则f（p+q）=（p+q）；若f（p+q）=c（pq），则p+q=0或f（p）=f（q）其中一定正确的命题是（写出所有正确命题的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共74分）17如图a、b是单位圆o上的动点，且a、b分别在第一、二象限，c是圆与x轴正半轴的交点，aob为正三角形，若a点的坐标为（x，y），计coa=（1）若a点的坐标为（，），求的值；（2）求|bc|2的取值范围18如图，在以ae=2为直径的半圆周上，b、c，d分别为弧ae的四等分点（）在弧ae上随机取一点p，求满足在上的投影大于的概率；（）在以o为起点，再从a，b，c，d，e这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两向量数量积为x，则x=的概率19在四棱柱abcda1b1c1d1中，aa1底面abcd，底面abcd为菱形，o为a1c1与b1d1交点，已知aa1=ab=1，bad=60（）求证：a1c1平面b1bdd1；（）求证：ao平面bc1d；（）设点m在bc1d内（含边界），且omb1d1，说明满足条件的点m的轨迹，并求om的最小值20数列an中，a1=1，当n2时，其前n项和为sn，满足sn2=an（sn）（1）求sn的表达式；（2）设bn=，数列bn的前n项和为tn，不等式tn（m25m）对所有的nn*恒成立，求正整数m的最大值21已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，点（1，）在椭圆c上（）求椭圆c的方程；（）若椭圆c的两条切线交于点m（4，t），其中tr，切点分别是a、b，试利用结论：在椭圆+=1上的点（x0，y0）处的椭圆切线方程是+=1，证明直线ab恒过椭圆的右焦点f2；（）试探究+的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由22已知函数（）当x1时，求函数f（x）的极值；（）求函数f（x）在1，e（e为自然对数的底数）上的最大值；（）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点p，q，使得poq是以o为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？福建省福州八中2015届高三下学期第九次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，满分60分）1已知集合，则ab=（）a1，2）b（2，2）c（1，3）d（2，3考点：交集及其运算 专题：集合分析：求解一元二次不等式化简集合a，求解函数的定义域化简集合b，然后直接由交集运算得答案解答：解：由x22x30，解得：1x3a=x|x22x30=x|1x3由，解得：2x2b=x|=x|2x2ab=x|1x3x|2x2=1，2）故选：a点评：本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题2已知i为虚数单位，若复数（1+ai）（2+i）是纯虚数，则实数a等于（）a2bcd2考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：计算题分析：利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出解答：解：复数（1+ai）（2+i）=2a+（1+2a）i是纯虚数，解得a=2故选a点评：熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键3已知直线m、n、l不重合，平面、不重合，下列命题正确的是（）a若m，n，m，n，则b若m，n，lm，ln，则lc若，m，n，则mnd若m，mn，则n考点：平面的基本性质及推论 专题：综合题分析：根据题意对各个选项分别加以判断：利用平面与平面平行的判定定理，得出a错；线面垂直的判定定理判断b；根据面面垂直的性质定理判断c平行和垂直转化的结论判断d解答：解：对于a，题意并没有注明直线m，n的位置是相交、异面还是平行，也没有注明它们是否为平面内的直线，所以不能判定，故a错；b不对，由线面垂直的判定定理知少相交条件；c不对，两平面垂直时，两平面内的直线可以平行，相交，异面；d对，满足平行和垂直转化的结论即正确的命题只有d故选：d点评：本题考查了平面与平面的位置关系以及直线与平面的位置关系的判断，着重考查了平行与垂直位置关系的判断，属于基础题4函数y=2sin（）sin（+）的一个单调递减区间为（）a，b0，c，d，2考点：二倍角的正弦 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：先化简函数，可得函数的单调递减区间，即可得出结论解答：解：y=2sin（）sin（+）=2sin（）cos（）=sin（x）=cosx，函数的单调递减区间为2k，2k+（kz），0，是函数y=2sin（）sin（+）的一个单调递减区间，故选b点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，属于基础题5若如图的程序框图输出的s是126，则应为（）an5bn6cn7dn8考点：程序框图 专题：操作型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加s=2+22+2n的值，并输出满足循环的条件解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加s=2+22+2n的值，并输出满足循环的条件s=2+22+26=126，故中应填n6故选b点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误6设变量x，y满足，则目标函数z=3xy的最小值为（）a1b2c3d4考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3xy得y=3xz，平移直线y=3xz，由图象可知当直线y=3xz，经过点a时，直线的截距最大，此时z最小由，解得，即a（1，0），此时zmin=31+0=3，故选：c点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键7已知数列an的前n项和为sn，且，则sn取最小值时，n的值是（）a3b4c5d6考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由递推式得到给出的数列是公差为3的递增等差数列，利用通项公式求出数列从第五项开始为正值，则sn取最小值时的n的值可求解答：解：在数列an中，由an+1=an+3，得an+1an=3（nn*），数列an是公差为3的等差数列又a1=10，数列an是公差为3的递增等差数列由an=a1+（n1）d=10+3（n1）=3n130，解得nn*，数列an中从第五项开始为正值当n=4时，sn取最小值故选：b点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式及数列的和，是中档题8抛物线y2=2px与直线ax+y4=0交于a、b两点，其中点a的坐标为（1，2），设抛物线的焦点为f，则|fa|+|fb|等于（）a7bc6d5考点：抛物线的应用；抛物线的简单性质 专题：计算题分析：把点（1，2），代入抛物线和直线方程，分别求得p和a，得到直线和抛物线方程，联立消去y，可分别求得a和b的横坐标，再根据抛物线的定义求得答案解答：解：把点（1，2），代入抛物线和直线方程，分别求得p=2，a=2抛物线方程为y2=4x，直线方程为2x+y4=0，联立消去y整理得x25x+4=0解得x和1或4，a的横坐标为1，b点横坐标为4，根据抛物线定义可知|fa|+|fb|=xa+1+xb+1=7故选a点评：本题主要考查抛物线的应用属基础题9已知向量=（2cos，2sin），=（3cos，3sin），与的夹角为60，则直线与圆的位置关系是（）a相切b相交c相离d随，的值而定考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用；直线与圆分析：只要求出圆心到直线的距离，与半径比较，可以判断直线与圆的位置关系解答：解：由已知得到|=2，|=3，=6coscos+6sinsin=6cos（）=6cos60=3，所以cos（）=，圆心到直线的距离为：=|cos（）+|=1，圆的半径为，1，所以直线与圆相离；故选c点评：本题考查了平面向量的数量积、两角差的三角函数公式，点到直线的距离，直线与圆位置关系的判断等知识点；比较综合，但是难度不大10若函数在上单调递增，则实数a的取值范围（）a（0，1b（0，1）c1，+）d（0，+）考点：函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据分段函数的单调性确定a的取值范围解答：解：当时，y=tanx，单调递增，要使f（x）在（）上单调递增，如图的示意图则，即，解得0a1故实数a的取值范围是（0，1故选a点评：本题主要考查分段函数的单调性的应用，要保证分段函数满足单调递增，同时两个函数在端点处的函数值也存在一定的大小关系，利用数形结合的思想去解决11已知定义在r上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x），且f（x+1）=f（x+3），f（4）=1，则不等式f（x）ex的解集为（）a（，e4）b（e4，+）c（，0）d（0，+）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：综合题；导数的综合应用分析：确定y=f（x）的图象关于x=2对称，构造函数g（x）=（xr），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：f（x+1）=f（x+3），f（x+2）=f（x+2），y=f（x）的图象关于x=2对称f（4）=f（0）又f（4）=1，f（0）=1设g（x）=（xr），则g（x）=又f（x）f（x），f（x）f（x）0g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递减f（x）exg（x）1又g（0）=1g（x）g（0）x0故选：d点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键12p为椭圆+=1上任意一点，ef为圆n：（x1）2+y2=4的任意一条直径，则的取值范围是（）a0，15b5，15c5，21d（5，21）考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用=化简可知=4，通过ac|a+c，计算即得结论解答：解：=（+）（+）=（+）（）=4，ac|a+c，即3|5，的范围是5，21，故选：c点评：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为1，1，3，3（从小到大排列）考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数 专题：概率与统计分析：由题意，可设x1x2x3x4，根据题设条件得出x1+x2+x3+x4=8，再结合中位数是2，即可得出这组数据的值解答：解：不妨设x1x2x3x4，依题意得x1+x2+x3+x4=8，即，所以（x42）24，则x44，结合x1+x2+x3+x4=8，及中位数是2，只能x1=x2=1，x3=x4=3，则这组数据为1，1，3，3故答案为：1，1，3，3点评：本题考查中位数，平均数，标准差，解题的关键是利用相关公式建立方程，作了正确判断14棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是32考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征是什么从而求出它的体积解答：解：由三视图知余下的几何体如图示；b、d都是侧棱的中点，上、下两部分的几何体相同，即上、下两部分的体积相等，该几何体的体积为v=43=32故答案为：32点评：本题考查了几何体的三视图的应用问题，是基础题目15设正项等比数列an，已知前n项积为tn，若t10=9t6，则a5a12的值为3考点：等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由已知条件推导出=a7a8a9a10=（a5a12）2=9，由此能求出的值解答：解：正项等比数列an，前n项积为tn，t10=9t6，=a7a8a9a10=（a5a12）2=9，=3故答案为：3点评：本题考查等比数列的两项积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的合理运用16对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，有下列命题：若f（p）=f（q）（pq），则f（p+q）=c；若f（p）=q，f（q）=p，（pq），则f（p+q）=（p+q）；若f（p+q）=c（pq），则p+q=0或f（p）=f（q）其中一定正确的命题是（写出所有正确命题的序号）考点：命题的真假判断与应用 专题：应用题分析：若f（p）=f（q）（pq），说明对称轴为x=则f（p+q）=f（0）=c说明对称轴为x=则f（p+q）=f（0）=c解答：解：若f（p）=f（q）（pq），则说明对称轴为x=则f（p+q）=f（0）=c，正确若f（p）=q，f（q）=p，即并整理得出a（p+q）+b+1=0f（p+q）=a（p+q）2+b（p+q）+c=（p+q）a（p+q）+b+c=）=（p+q）+c；当且仅当c=0时f（p+q）=（p+q）；错误若f（p+q）=c（pq），即a（p+q）2+b（p+q）+c=c，整理（p+q）a（p+q）+b=0，所以p+q=0或a（p+q）+b=0，此时p+q=，对称轴为x=所以f（p）=f（q） 正确综上所述一定正确的命题是故答案为：点评：本题主要考查二次函数的对称性二次函数的对称性主要研究的是，到对称轴距离相等的点对应函数值相等，反之也成立三、解答题：（本大题共6小题，共74分）17如图a、b是单位圆o上的动点，且a、b分别在第一、二象限，c是圆与x轴正半轴的交点，aob为正三角形，若a点的坐标为（x，y），计coa=（1）若a点的坐标为（，），求的值；（2）求|bc|2的取值范围考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数 专题：综合题；三角函数的求值分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得所求式子的值（2）设a点的坐标为（cos，sin），可得b点的坐标为（cos（+），sin（+），且c（1，0），|bc|2 =22cos（+）再根据（，），利用余弦函数的定义域和值域求得|bc|2的取值范围解答：解：（1）a点的坐标为（，），0sin=，cos=，=20（2）设a点的坐标为（cos，sin），aob为正三角形，b点的坐标为（cos（+），sin（+），且c（1，0），|bc|2=cos（+）12+sin2（+）=22cos（+）而a、b分别在第一、二象限，（，），+（，），cos（+）（，0）|bc|2的取值范围是（2，2+）点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、余弦函数的定义域和值域，属于基础题18如图，在以ae=2为直径的半圆周上，b、c，d分别为弧ae的四等分点（）在弧ae上随机取一点p，求满足在上的投影大于的概率；（）在以o为起点，再从a，b，c，d，e这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两向量数量积为x，则x=的概率考点：平面向量数量积的含义与物理意义；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：（1）根据概率定义，计算即可，（2）通过列举法，列出所有满足条件的向的基本事件量，然后观察符合条件的基本事件，计算即可解答：解：（）由题知，则，使得在上的射影大于的概率p=，（）以o点为起点，从a，b，c，d，e，这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量所有的基本事件有：，其中数量积x=的有：，则点评：本题主要考查了概率的求法以及向量的有关知识，属于基础题19在四棱柱abcda1b1c1d1中，aa1底面abcd，底面abcd为菱形，o为a1c1与b1d1交点，已知aa1=ab=1，bad=60（）求证：a1c1平面b1bdd1；（）求证：ao平面bc1d；（）设点m在bc1d内（含边界），且omb1d1，说明满足条件的点m的轨迹，并求om的最小值考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质 专题：空间位置关系与距离分析：（）先根据线面垂直的性质证明出bb1a1c1进而根据菱形的性质证明出a1c1b1d1最后根据线面垂直的判定定理证明出a1c1平面b1bdd1（）连接ac，交bd于点e，连接c1e先证明oc1ae和oc1=ae，推断出aoc1e为平行四边形，进而推断aoc1e，最后利用线面平行的判定定理证明出ao平面bc1d（）先由e为bd中点，推断出bdc1e，进而根据c1d=c1b，推断出mebd，进而根据ombd，推断出bdb1d1直角三角形oc1e中利用射影定理求得om解答：解：（）依题意，因为四棱柱abcda1b1c1d1中，aa1底面abcd，所以bb1底面a1b1c1d1又a1c1底面a1b1c1d1，所以bb1a1c1因为a1b1c1d1为菱形，所以a1c1b1d1而bb1b1d1=b1，所以a1c1平面b1bdd1（）连接ac，交bd于点e，连接c1e依题意，aa1cc1，且aa1=cc1，aa1ac，所以a1acc1为矩形所以oc1ae又，a1c1=ac，所以oc1=ae，所以aoc1e为平行四边形，则aoc1e又ao平面bc1d，c1e平面bc1d，所以ao平面bc1d（）在bc1d内，满足omb1d1的点m的轨迹是线段c1e，包括端点分析如下：连接oe，则bdoe由于bdb1d1，故欲使omb1d1，只需ombd，从而需mebd又在bc1d中，c1d=c1b，又e为bd中点，所以bdc1e故m点一定在线段c1e上当omc1e时，om取最小值在直角三角形oc1e中，oe=1，所以点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用考查了学生基础知识的综合运用20数列an中，a1=1，当n2时，其前n项和为sn，满足sn2=an（sn）（1）求sn的表达式；（2）设bn=，数列bn的前n项和为tn，不等式tn（m25m）对所有的nn*恒成立，求正整数m的最大值考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）当n2时，an=snsn1，代入利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“裂项求和”、一元二次不等式的解法即可得出解答：解：（1）sn2=an（sn）=化为，数列是首项为=1，公差为2的等差数列故=1+2（n1）=2n1，sn=（2）bn=，故tn=+=又不等式tn（m25m）对所有的nn*恒成立，（m25m），化简得：m25m60，解得：1m6正整数m的最大值为6点评：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，点（1，）在椭圆c上（）求椭圆c的方程；（）若椭圆c的两条切线交于点m（4，t），其中tr，切点分别是a、b，试利用结论：在椭圆+=1上的点（x0，y0）处的椭圆切线方程是+=1，证明直线ab恒过椭圆的右焦点f2；（）试探究+的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由已知条件推导出，由此能求出椭圆c的方程（）设切点坐标a（x1，y1），b（x2，y2），切线方程分别为，由已知条件推导出点a、b的坐标都适合方程x+=1，由此能证明直线ab恒过椭圆的右焦点f2（）将直线ab的方程x=，代入椭圆方程，得（）y22ty9=0，由此利用韦达定理能证明的值恒为常数解答：（）解：椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，点（1，）在椭圆c上，由得：，椭圆c的方程为（）证明：设切点坐标a（x1，y1），b（x2，y2），则切线方程分别为，又两条切线交于点m（4，t），即，即点a、b的坐标都适合方程x+=1，由题意知对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，故直线ab恒过椭圆的右焦点f2（1，0）（）解：将直线ab的方程x=，代入椭圆方程，得，即（）y22ty9=0，不妨设y10，y20，|af2|=，同理|bf2|=，=（）=，的值恒为常数点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过椭圆右焦点的证明，考查两数和恒为常数的探究与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用22已知函数（）当x1时，求函数f（x）的极值；（）求函数f（x）在1，e（e为自然对数的底数）上的最大值；（）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点p，q，使得poq是以o为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题；压轴题分析：（i）先求出导数