浙江省杭州二中高二数学第二学期期中试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年浙江省杭州二中高 二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1展开式中的常数项是（） a 6 b 4 c 4 d 62用数学归纳法证明1+2+3+（3n+1）=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（） a （3k+2） b （3k+4） c （3k+2）+（3k+3） d （3k+2）+（3k+3）+（3k+4）3设函数f（x）=xex，则（） a x=1为f（x）的极大值点 b x=1为f（x）的极小值点 c x=1为f（x）的极大值点 d x=1为f（x）的极小值点4用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（nn*）能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开（） a （k+3）3 b （k+2）3 c （k+1）3 d （k+1）3+（k+2）35四张卡片上分别标有数字“2”、“3”、“3”、“9”，其中“9”可以当“6”使用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为（） a 18 b 12 c 24 d 66设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1）处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处切线的斜率为（） a 2 b 4 c d 7学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（） a 36种 b 30种 c 24种 d 6种8若函数f（x）=|ax+x2xlnam|3（a0且a1）有两个零点，则m的取值范围（） a （2，4） b （4，2） c （1，3） d （3，1）二.填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9计算13+927+39+310=10函数f（x）=x33x极大值为11航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为12函数f（x）=+lnx的导函数是f（x），则f（1）=13设（2x1）5+（x+2）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则|a0|+|a2|+|a4|=14函数f（x）=x33x1，若对于区间上的任意x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|t，则实数t的最小值是15设m、n、t为整数，集合a|a=3m+3n+3t，0mnt中的数由小到大组成数列an：13，31，37，39，则a21=三解答题（本大题共4题，共48分）16求下列函数的导数：（1）f（x）=xtanx；（2）f（x）=（x1）（x2）（x3）；（3）f（x）=2sin3x17已知函数f（x）=lnx，其中ar（）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（）如果对于任意x（1，+），都有f（x）x+2，求a的取值范围18已知函数（i）当a=1时，求f（x）在x 计算题分析： 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项解答： 解：的展开式中的通项公式为 tr+1=x4r（1）rxr=（1）rx42r，令42r=0，解得 r=2，故展开式中的常数项是 =6，故选a点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题2用数学归纳法证明1+2+3+（3n+1）=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（） a （3k+2） b （3k+4） c （3k+2）+（3k+3） d （3k+2）+（3k+3）+（3k+4）考点： 数学归纳法专题： 证明题；点列、递归数列与数学归纳法分析： 分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案解答： 解：当n=k时，等式左端=1+2+（3k+1），当n=k+1时，等式左端=1+2+（3k+1）+（3k+2）+（3k+3）+（3k+4），即当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（3k+1）+（3k+2）+（3k+3）+（3k+4）故选：d点评： 此题主要考查数学归纳法的问题，属于概念考查题，这类题型比较简单多在选择填空中出现，属于基础题目3设函数f（x）=xex，则（） a x=1为f（x）的极大值点 b x=1为f（x）的极小值点 c x=1为f（x）的极大值点 d x=1为f（x）的极小值点考点： 利用导数研究函数的极值专题： 导数的概念及应用分析： 由题意，可先求出f（x）=（x+1）ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=1为f（x）的极小值点解答： 解：由于f（x）=xex，可得f（x）=（x+1）ex，令f（x）=（x+1）ex=0可得x=1令f（x）=（x+1）ex0可得x1，即函数在（1，+）上是增函数令f（x）=（x+1）ex0可得x1，即函数在（，1）上是减函数所以x=1为f（x）的极小值点故选：d点评： 本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，4用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（nn*）能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开（） a （k+3）3 b （k+2）3 c （k+1）3 d （k+1）3+（k+2）3考点： 数学归纳法专题： 证明题；点列、递归数列与数学归纳法分析： 本题考查的数学归纳法的步骤，根据归纳假设，只需展开 （k+3）3解答： 解：n=k+1时，证明“（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3能被9整除”，根据归纳假设，n=k时，证明“k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除”，所以只需展开 （k+3）3故选：a点评： 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集n相关的性质，其步骤为：设p（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） p（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在p（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出p（k+1）成立，则p（n）对一切自然数n都成立5四张卡片上分别标有数字“2”、“3”、“3”、“9”，其中“9”可以当“6”使用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为（） a 18 b 12 c 24 d 6考点： 计数原理的应用专题： 排列组合分析： 先把“2”、“3”、“3”、“9”全排，再排除重复的，因为9可以当作6，这里有两种可能，根据分步计数原理得到结果解答： 解：先把“2”、“3”、“3”、“9”全排，再排除重复的，有a44种，因为9可以当作6，故有2a44=24个，故选：c点评： 本题考查了排列中的数字问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，属于中档题6设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1）处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处切线的斜率为（） a 2 b 4 c d 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 计算题；导数的概念及应用；直线与圆分析： 欲求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处切线的斜率，即求f（1），先求出f（x），然后根据曲线y=g（x）在点（1，g（1）处的切线方程为y=2x+1求出g（1），从而得到f（x）的解析式，即可求出所求解答： 解：对函数f（x）=g（x）+x2，两边求导，可得f（x）=g（x）+2xy=g（x）在点（1，g（1）处的切线方程为y=2x+1，g（1）=2，f（1）=g（1）+21=2+2=4，y=f（x）在点（1，f（1）处切线斜率为4故选：b点评： 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：曲线在该点处切线的斜率，属于基础题7学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（） a 36种 b 30种 c 24种 d 6种考点： 排列、组合及简单计数问题专题： 排列组合分析： 间接法：先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，可得结论解答： 解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共=36种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共=6种方法，故总的方法种数为：366=30故选：b点评： 本题考查排列组合及简单的计数问题，采用间接法是解决问题的关键，属中档题8若函数f（x）=|ax+x2xlnam|3（a0且a1）有两个零点，则m的取值范围（） a （2，4） b （4，2） c （1，3） d （3，1）考点： 函数零点的判定定理专题： 计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用分析： 令g（x）=ax+x2xlna，先讨论a1，0a1求出单调区间，进而判断函数g（x）的极小值，再由y=|g（x）m|3有两个零点，所以方程g（x）=m3有2个根，而m+3m3，所以m+31且m31，即可得到m的取值范围解答： 解：令g（x）=ax+x2xlna，g（x）=axlna+2xlna=2x+（ax1）lna，当a1，x（0，+）时，lna0，ax10，则g（x）0，即函数g（x）在（0，+）上单调递增，因为x（，0）时，lna0，ax10，所以g（x）0，即函数g（x）在（，0）上单调递减；因为当0a1时，x0，lna0，ax10，所以g（x）0，即函数g（x）在（0，+）上单调递增，因为当x（，0）时，lna0，ax10，所以g（x）0，即函数g（x）在（，0）上单调递减故：当a0且a1时，g（x）在x0时递减；g（x）在x0时递增，则x=0为g（x）的极小值点，且为最小值点，且最小值g（0）=1又函数f（x）=|g（x）m|3有两个零点，所以方程g（x）=m3有二个根，而m+3m3，所以m+31且m31，解得m（2，4）故选a点评： 本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，体现了转化的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题二.填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9计算13+927+39+310=1024考点： 二项式定理的应用专题： 计算题分析： 逆用二项式定理，经观察，第一项1=110，最后一项为310，奇数项为正，偶数项为负，即可得到答案解答： 解：13c101+9c10227c103+39c109+310=（13）10=（2）10=210=1024，故答案为：1024点评： 本题考查二项式定理的应用，着重考查学生观察与逆用公式的能力，属于中档题10函数f（x）=x33x极大值为2考点： 利用导数研究函数的极值专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 先求函数的导函数，再解不等式f（x）0和f（x）0得函数的单调区间，进而由极值的定义求得函数的极值点和极值解答： 解：f（x）=3x23=3（x+1）（x1），函数f（x）=x33x在（，1）是增函数，在（1，1）上是减函数，在（1，+）是增函数，函数f（x）=x33x在x=1时取得极大值2，故答案为：2点评： 利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数等于零的实数x的值，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用11航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为32考点： 排列数公式的推导分析： 先考虑2艘攻击型核潜艇一前一后，有种方法，再考虑2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，有种方法，根据乘法原理，可得结论解答： 解：由题意，2艘攻击型核潜艇一前一后，有种方法，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，有种方法，则根据乘法原理可得舰艇分配方案的方法数为=32种方法故答案为：32点评： 本题考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，正确运用乘法原理是关键12函数f（x）=+lnx的导函数是f（x），则f（1）=考点： 导数的运算专题： 导数的概念及应用分析： 求函数的导数，令x=1，即可得到结论解答： 解：f（x）=+lnx=+lnx，则f（x）的导数f（x）=+，则f（1）=，故答案为：点评： 本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础13设（2x1）5+（x+2）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则|a0|+|a2|+|a4|=110考点： 二项式系数的性质专题： 计算题；转化思想分析： 利用二项展开式的通项公式求出两个二项展开式的通项，分别求出两个二项式的常数项，求出两个常数项的和即为a0；同样的方法求出a2，a4；求出|a0|+|a2|+|a4|解答： 解：（2x1）5展开式通项为tr+1=（1）r25rx5r（x+2）4展开式的通项为tk+1=2kx4k当r=5，k=4时得a0=（1）+24=15当r=3，k=2时得a2=22+22=16当r=1，k=0时得a4=24+1=79|a0|+|a2|+|a4|=110故答案为：110点评： 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查等价转化的能力14函数f（x）=x33x1，若对于区间上的任意x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|t，则实数t的最小值是20考点： 利用导数求闭区间上函数的最值专题： 导数的综合应用分析： 对于区间上的任意x1，x2都有|f（x1）f（x2）|t，等价于对于区间上的任意x，都有f（x）maxf（x）mint，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论解答： 解：对于区间上的任意x1，x2都有|f（x1）f（x2）|t，等价于对于区间上的任意x，都有f（x）maxf（x）mint，f（x）=x33x1，f（x）=3x23=3（x1）（x+1），x，函数在、上单调递增，在上单调递减f（x）max=f（2）=f（1）=1，f（x）min=f（3）=19f（x）maxf（x）min=20，t20实数t的最小值是20，故答案为：20点评： 本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键15设m、n、t为整数，集合a|a=3m+3n+3t，0mnt中的数由小到大组成数列an：13，31，37，39，则a21=733考点： 数列递推式专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 由题意列出部分m，n，t的取值，从而可得t=2时，=1，t=3时，=3，t=4时，=6，t=5时，=10；故a21=30+31+36=733解答： 解：由题意，数由小到大时m，n，t的取值如下，0 1 20 1 30 2 31 2 3 0 1 40 2 40 3 41 2 41 3 42 3 4可知，t=2时，=1，t=3时，=3，t=4时，=6，t=5时，=10；故a21=30+31+36=733；故答案为：733点评： 本题考查了数列思想的应用及归纳推理的应用，属于中档题三解答题（本大题共4题，共48分）16求下列函数的导数：（1）f（x）=xtanx；（2）f（x）=（x1）（x2）（x3）；（3）f（x）=2sin3x考点： 导数的运算专题： 导数的概念及应用分析： 根据函数的导数公式分别进行求导即可解答： 解：（1）函数的f（x）的导数f（x）=xtanx+x（tanx）=tanx+（2）函数的f（x）=x36x2+11x6则f（x）=3x212x+11（3）函数的f（x）的导数f（x）=2cos3x（3x）=22cos3x=6cos3x点评： 本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础17已知函数f（x）=lnx，其中ar（）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（）如果对于任意x（1，+），都有f（x）x+2，求a的取值范围考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 导数的综合应用分析： （）求在某点出的切线方程，关键是求出斜率k，利用导数就可以斜率，再利用点斜式求切线方程（）设g（x）=xlnx+x22x，则g（x）a，只要求出g（x）的最小值就可以解答： 解：（）由，k=f（1）=3，又f（1）=2，函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程为3xy5=0；（）由 f（x）x+2，得，即 axlnx+x22x，设函数g（x）=xlnx+x22x，则 g（x）=lnx+2x1，x（1，+），lnx0，2x10，当x（1，+）时，g（x）=lnx+2x10，函数g（x）在x（1，+）上单调递增，当x（1，+）时，g（x）g（1）=1，对于任意x（1，+），都有f（x）x+2成立，对于任意x（1，