（基础数学专业论文）关于半环的结构和同余.pdf

独创声明 矿 5 9 8 l 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本拦可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：象一j 红星导师签字： 上， 蓼何7 厂 签字日期：20 0 4 年午月z 6 日 签字日期：2 0 0 4 年铲月巧日 关于半环的结构和同余 刘红星 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文给出一般半环上的环同余刻划；并讨论半环族上的同余格的直积的子格与 其强分配格上的同余子格的关系；最后探讨广义分式半环及其上的广义分式半模 具体内容如下： 第一章给出引言和预备知识 第二章，主要给出一般半环上的环同余刻划，并由此推出加法交换半环上的 环同余刻划主要结论如下： 定理2 7r 是半环，t 是r 的理想，且是稠密的和自反的，则p r 是r 上的环 同余，而且t k e r p t ； 反之，若p 是r 上环同余，则k e r p 是r 的理想，且是满的稠密的自反的酉的， 而且有p = p h ， 第三章利用一族半环上的同余刻划其强分配格上的同余，并给出这族半环的同 余格的直积的子格与其强分配格上的同余格的子格的同构关系最后，得出半环的 强分配格上的商半环为其相对应的半环的商半环的强分配格的充要条件主要结论 如下： 引理3 2 设s = ，p 。是& 上的半环同余，且 川a d ) 满足条件 v a ，b ，( a ，6 ) 儿= = 够n ，芦d ，( 口妒。，芦，6 妒。，口) 雕，( a ) 定义s 上的关系p 如下 ( a ，b ) p ，o ，b s 口 = 争了1 n + 卢，( o 妒a 1 ，6 妒日，1 ) p 1 则p 是s 上的半环同余 定理3 1 ss = ，若妒。口是同构映射，l p ：白 c c ，其中c c = p 岛i p 满足条件四， 加) _ + p ，则妒是格同构 定理3 2 2 设s = ，一为强分配格对应的分配格同余，p 为s 上的 同余，对v 0 d ，令p 。= p 1 s 。，若有以下条件成立，即 ( 6 ) e p ，。，6e 昂号v 7 q + 帅1 ，咖t 1 ) ( c ) l 却o + 卢，( n l p a ，1 ，酞即，1 ) p = 陋，b ) p ， 2 则s p = 雪为s p 。= 的强分配格的充要条侔为p o 第四章得出广义分式半环及其上的广义分式半模的一些性质，给出广义分 式半环的泛性刻划，主要结论如下： 定理4 5 若r ，a 是含幺交换半环，设g ：r a 为半环同态，s ，t 为r 的乘 法闭子集，s t ，且使9 ( s ) 为a 的可逆元子集，9 ( t ) 为a 的可消元子集，则存在 唯一的同态h ：筛1 冗+ a 使h ，= 9 关键词：半环，半环的强分配格，半环的强分配格对应的分配格同余， 相 等化子，同余可消元 分类号：0 1 5 2 7 3 o ns t r u c t u r e so f s e m i r i n g sa n dc o n g r u e n c e so ns e m i r i n g s l i u h o n g x i n g d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w eg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no f r i n gc o n g r u e n c e so n as e m i r i n g ；b e s i d e s ，w ed i s c u s st h er e l a t i o no fa s u b l a t t i c eo ft h ed i r e c tp r o d u c to ft h e l a t t i c e so fc o n g r u e n c e so naf a m i l yo fs e m i r i n g sa n das u b l a t t i c eo ft h el a t t i c eo f c o n g r u e n c e so nt h es t r o n g d i s t r i b u t i v el a t t i c eo ft h o s es e m i r i n g s ；f i n a l l y ，w e d i s c u s sg e n e r a l i z e df r a c t i o n a ls e m i r i n g sa n dg e n e r a l i z e df r a c t i o n a ls e m i m o d u l e so n t h o s e t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w ， i nc h a p t e r1 ，w eg i v et h ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s i nc h a p t e r2 ，w em a i n l yg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no fr i n gc o n g r u e n c e so na s e m i r i n ga n dg e tt h ec h a r a c t e r i z a t i o no fr i n gc o n g r u e n c e so na d d i t i o n a lc o m m u t a - t i v es e m i r i n g s t h e o r e m2 7 l e trb ea s e m i r i n g ，tb ea d e n s er e f l e x i v ei d e ao fr ，t h e n p t i sar i n gc o n g r u e n c eo n ra n d t k e r p t ； c o n v e r s e l y ，i fp i sar i n gc o n g r u e n c eo nr ，t h e nk e r pi saf u l ld e n s er e f l e x i v e u n i t a r yi d e ao fr ，a n dp = p k e r d i nc h a p t e r3 ，w ec h a r a c t e r i z et h ec o n g r u e n c e so nas t r o n gd i s t r i b u t i v e l a t t i c eo fs e m i r i n g sb yt h ec o n g r u e n c e so nt h o s es e m i r i n g sa n dp r o v et h a tas u b - l a t t i c eo ft h ed i r e c tp r o d u c to ft h el a t t i c e so fc o n g r u e n c e so nt h o s es e m i r i n g si s i s o m o r p h i ct oas u b l a t t i c eo ft h el a t t i c eo fc o n g r u e n c e so nt h es t r o n g d i s t r i b u t i v e l a t t i c eo fs e m i r i n g s f i n a l l y , w eg e tan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o raq u o - t i e n ts e m i r i n go fas t r o n gd i s t r i b u t i v el a t t i c eo fs e m i r i n g st ob eas t r o n gd i s t r i b u t i v e l a t t i c eo f q u o t i e n ts e m i r i n g s t h em a i n r e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w l e m m a3 2 l e t s = ，p ab e ac o n g r u e n c eo n 恤d ) ，a n d 风i o d ) s a t i s f y c o n d i t i o n v a ，b & ，( a ，b ) p a v 卢口，卢d ，( o ，口，b c p q ，卢) p 卢，( a ) 4 ar e l a t i o np0 nsi sd e f i n e db y ( a ，b ) p ，a & ，6 函 = = 争j 7 a + 卢，( o 。p 。，6 妒口1 ) p 1 t h e npi sac o n g r u e n c eo ns t h e o r e m3 1 3l e t s = ，a n d e a c h l p n ，口b ea ni s o m o r p h i s m d e f i n e a m a p 妒：c 台c ，w h e r e c = p s l ps a t i s f i e sc o n d i t i o ng ) ， p 。) 卜_ p ， t h e n 妒i sl a t t i c ei s o m o r p h i s m t h e o r e m3 2 2l e ts = ，盯b et h ec o r r e s p o n d i n gd i s t r i b u t i v e l a t t i c ec o n g r u e n c eo ns ，pb eac o n g r u e n c eo l ls ，f o ra l l 口d ，几= p l ，i ft h e f o l l o w i n gc o n d i t i o ni ss a t i s f i e d ，i e ，6 ) p ，。& ，6 昂= 争 n + 成( 叩蚶，6 毗7 ) p 】( g ) 【9 7 血+ 卢，1 ，却口，) p = 拙，b ) p ， t h e ns i p = si sa s t r o n gd i s t r i b u t i v el a t t i c eo fs p n = s ni fa n do n l yi fpc o i nc h a p t e r4 ，w e m a i n l yg e ts o m ep r o p e r t i e so ft h eg e n e r a l i z e df r a c t i o n a l s e m i r i n g sa n dg e n e r a l i z e df r a c t i o n a ls e m i m o d u l e so nt h o s ea n dg i v eac h a r a c t e r i z a - t i o no fu n i v e r s a lp r o p e r t yo fg e n e r a l i z e df r a c t i o n a ls e m i r i n g s t h em a i nr e s u l t sa r e g i v e ni nf o l l o w t h e o r e m4 5l e tra n daa r ec o m m u t a t i v es e m i r i n g sw i t hi d e n t i t i e s ，g ： r _ ai sm o r p h i s m ，sa n dta r em u t i p l a t i v es e t so f 兄，s t ，a n dg ( s ) i sa s u b s e to fi n v e r t i b l ee l e m e n t so fa g ( a ) i sas u b s e to fe a n e e l l a b l ee l e m e n t so fa ， t h e nt h e r ei sau n i q u em o r p h i s mh ：s 1 r - - - - 4a s a t i s f y i n gh f = g k e y w o r d s ：s e m i r i n g ，s t r o n gd i s t r i b u t i v el a t t i c eo fs e m i r i n g s ，d i s t r i b u t i v e c o n g r u e n c ec o r r e s p o n d i n gt oas t r o n gd i s t r i b u t i v el a t t i c eo fs e m i r i n g s ，e q u a t i o n a l ， i z e r ，c o n g r u e n c ee a n c e l l a b l ee l e m e n t 5 第一章引言及预备知识 1 1引言 半环是含有加法和乘法两个代数运算且满足结合律、分配律的代数系半环 存在于我们周围的世界中，我们首先接触的自然数集就是一个半环! 另外，半环广 泛出现在环论、非交换环理论、几何学、拓扑学、图论以及计算机科学、形式语言 理论以及量子物理学中 历史上，半环最早由d e d e k i n d 在1 8 9 4 年提出；后来m a c a u l a y ，k r u l l 等人在研究 环的理想时也使用过半环的概念1 8 9 9 年h i l b e r t 在讨论自然数公理和非负有理数 时，也涉及到半环近年来半环理论有了很大发展研究半环主要有两种方法：环 的方法和半群的方法1 9 9 2 年，g o l a n 出版了， 一书，对半环作了系统的论述 在半环理论中，主要研究半环的结构和同余文献【3 】首次给出了半环的强分 配格定义并证明了强分配格是半环，证明了一些重要的相关性质，具体内容如下： 设s = 为半环族& ，a d 的强分配格，则s 上的关系日： ( a ，b ) 0 ，a s 。，b 品甘n 如，时口= 6 如，n + 口 为s 上的同余，且s 为d 和s 0 的子直积；半环s 是分配格和环的子直积乍 s 是 e 一逆半环并且是加法可消h 一半环的强分配格仁 s 是e 一逆半环并且是h 一半环 的强分配格，其中每个h 一半环含有一个加法幂等元( h 一半环是指含有零元的加法 交换半环) 另外，g o m e s 在文献 6 】中给出了一般半群上的群同余的一种刻划，特别给出 了若s 是酉的稠密e 一半群，则s 上的关系a ：( 。，6 ) a 骨( 3 e ，e ( s ) ) e a = b f 是 s 上的最小群同余 本文主要给出了一般半环上的环同余刻划；讨论了半环族上的同余格的直积的 子格与其强分配格上的同余子格的关系；并讨论了广义分式半环及其上的广义分式 半模的性质，以及广义分式半环的子直积 1 2预备知识 设( s ，+ ) 是半群，如果v a s ，存在唯一的d s ，使a + a + 口= 口，+ 口+ o = b ，则s 称为逆半群( s ，+ ) 是半群，如果v a s , 3 a 。s ，使a + a e ( s ) ，其中e ( s ) 为s 的幂等 6 元集，则s 称为e 逆半群在非空集合s 上定义两种运算+ 和，( s ，+ ) 和( s ，) 均是半 群，且v a ，b ，c s ，满足( a + b ) e = n c + k ，口( 6 + c ) = a b + a c ，则称s 是半环p 为半环s 上的 等价关系，v a ，b ，e s ，若( n ，6 ) 凸有( c + a ，c + 6 ) 岛国+ c ，6 + c ) p , ( e a ，c b ) p , ( a c ，6 c ) 岛 则称p 为s 上的同余；若p 为s 上的同余，s o 为环，则称p 为s 上的环同余另 外，若( s ，+ ) 是逆( e 一逆，正则) 半群，则称s 是逆( e 一逆，正则) 半环 如果是x 上的关系，且满足自反性，反对称性和传递性，则称( x ，) 是个 偏序集；z v ”表示z ，口的最小上界，：2 1 a y 表示z ，的最大下界；如果偏序集( x ，) 中任意两个元素在x 中有最小上界和最大下界，则称( x ，s ) 是格；( x ，茎) 是格，如 果x 中任意元素z ，y ，z 满足z ( y v z ) = ( x a y ) v 0 z ) ，则称( x ，蔓) 是分配格若( x ，) 是格，则代数系统( 盖，v ， ) 满足v a ，b ，c x ，有( 1 ) 交换律犯v b = b v a ，a a b = b a n ) i ( 2 ) 结合律( o v ( b vc ) = ( a v v c ，o a c ) = ( a ab ) c ) ；( 3 ) 幂等律( n v o = n ，n a n = n ) ； ( 4 ) 吸收律( n v 0 a 妨= 8 ，n a ( 口v 妨= 口) ，反之，若( x ，v ， ) 是代数系统，v 和a 满 足交换律，结合律，幂等律，吸收律，则在x 上存在偏序关系：n b 幸 a ab = n 使( x ，s ) 是一个格【1 7 】则( x ，) 是分配格 昔代数系统( x ，v ， ) 上的二元运算v 和 满足交换律，结合律，幂等律。吸收律，分配律 t 为r 的子集，如果v x ，t ，z + ，x y t ，则称t 为r 的子半环；若t 为 r 的子半环且v r r ，et ，r t ，打t ，则称r 为r 的理想；若s 是半群，如果 v a s ，j z ，y s ，使得n 十z ，+ a t ，则t 称为稠密的；如果e ( s ) t ，其中e ( s ) 为 s 的加法幂等元集，则称t 是满的；如果o + b t 茸b + 。t ，则称t 为自反的； 如果v a s ，v te t ，。+ t t v t + o t 爿a t ，则称t 为酉的；若t 为r 的子半 环，且( t ，+ ) 关于( 且，+ ) 是稠密的( 满的，自反的，酉的) ，则称于半环r 是稠密的 ( 满的，自反的，酉的) r 是交换半环，m 是交换幺半群，在r m 上定义一个函 数，：r m + m ，( r ，m ) 卜_ _ + r m ，则v r ，r r ，m ，m 。m ，满足 ( 1 ) ( r r ) m = t ( r m ) ； ( 2 ) r ( m + m ) = r m + r m 7 ； ( 3 ) ( r + r ) m = r m + r 7 m ， 则m 称为r 一半模若r ，t 是半环，函数，：r t 满足v 札r ：r ，f ( r - + r 2 ) = i ( r 。) + f ( r 2 ) ，( r 2 ) = i ( r - ) f ( r 2 ) ，则称，为r 一半环同态；若m ，n 是r 一半模，函数 ，：m _ 满足v m l ，m 2 m ，r r ，f ( m l + m 2 ) = ，( m 1 ) + i ( m 2 ) ，f ( r m 1 ) = r i ( m 1 ) ，则 称，为r 一半模同态；p 是投射r 一半模，如果m ，是任意r 一半模，p ：m 为任意满同态，n ：p ，为任意r 一半模同态，则存在r 一半模同态声：p m ， 满足筇= a 设r 是半环，m 是左r 一半模，p 为m 上的等价关系，v m ，n m ，若 m 胛，n o n = ( m + n ) o ( m + ) ，且v r r ，r m m ，则称p 是m 上的r 一同余；如果 m 是r 一半模，m o ，m 上的r 一同余只有恒等同余和泛同余，则称m 为单半模 7 第二章半环上的环同余 环同余是半环上最重要的同余之一，本章探讨一般半环上的环同余的统一刻 划，并对交换半环得出环同余的若干推论设r 为半环，若p 为r 上的同余，本章 记k e r p = n r l a p = ( a + o ) p ) 2 1一般半环上的环同余 引理2 1 n 设 + ) 是半群，7 1 是s 的自反子集，则v a ，b s , t 有 a + b t 哥n + t + b t 引理2 2 设r 为半环，t 是r 的理想，且是稠密的和自反的，在r 上定以关 系o - t 如下 m ，b ) o r t 甘3 h ，l t ，h + o = b + f 则凹是r 上的半环同余。且( 剐即，+ ) 是群，并有t k e r a t 证明v aer ，由于t 是稠密的和自反的，所以j z r ，使口+ z ，z + a t ，而 ( n + x ) + o = o + 0 + n ) ，所以扣，o ) o t 若( o ，6 ) 盯t ，( 6 ，c ) 盯t ，贝03 h 1 ，z 1 ，h 2 , z 2et ，使 h l + 口= b + l x ，h 2 + b = c + ? 2 ， 因而 2 + l + 口= h 2 + b + 1 1 ，h 2 + b + l l = 1 2 + 1 2 + 2 1 ， 所以h 2 + h l + a = c + f 2 + 1 1 而h 2 + h i , f 2 + 1 1 t ，因此，c ) 盯丁 若( n ，6 ) 一t ，则3 h ，f t ，使h + o = b + z ，由t 的稠密性和自反性知，却，g er ，使 b + 虮y + b ，口+ z ，z + d t ， 而由引理2 1 知z + h + 8 ，b + l + f 由t 为子半环可知 z + h + a + 私+ b ，n + z + b + j + t ， 而由h + o = b + 2 可知( 0 + z + b + l + ) + b = 口+ 0 + h + o + 材+ b ) ，所以( 6 ，n ) o t 所以 a r 是等价关系 若( o ，b ) o t ，则3 h ，f t ，使h + 。= b + l ，由于t 是稠密的和自反的，因而瑚r ，使 b + 鼽分+ b t ，对v c r ，3 。r ，使c + 2 ，z + c 有引理2 2 知 b + ( c + z ) + 可t ，z + 0 + b ) + ( c + z ) 十0 + b ) + l + c t ， 8 则有( b + c + z + 掣) + ( b + c + + y ) + h t ，而 ( b + c + 茹+ y ) + ( b + c + z + ”) + h + ( o + c ) = ( b + c + 嚣+ 掣) + ( b + c + 嚣+ y ) + b + f + c = ( b 十c ) + 扛+ p + b + c + + 掣+ b + l + c ) ， 因而向+ c ，b + c ) e 口t 同理可证( c + n ，c 舶) 卵 v c r ，由于t 是理想，所以c h ，c f t ，而c h + = c 6 + c f ，所以汹，曲) 卵同理可证 ( n c ，b c ) 叼所以口t 是同余 下面证明( r 口t ，+ ) 是群设h ，z t ，显然有( ，z ) f i t 特别( f ，l + f ) 卯，所以t 包 含在即的一个幂等元类中，记为【i o 】，1 0 t 则【f o 】为冗叼的加法单位元 事实上，v a er ，j z r ，使o + 蜀z + 由引理2 1 知石+ f 0 + 8 ，8 + t o + 。e 因而 ( o + 茹+ t o + n + z ) + l o + o = o + q + l o + n + z 十j o + 口) ， ( n 十l o + 茹+ o + l o + z ) + a = o + f o + 忙+ + 1 0 + z + 口) 所以有( n ，z o + n ) f i t 和( o ，o + l o ) f i t + x ) o r f 0 一t 缸+ o ) ，所以吲是的逆元 立d 因此| f o 是r o t 的加法单位元另外， 因而( r 一r ，+ ) 是群而? k e r c r t 显然成 我们知道，设g 是群，由集合 a b a - 1 b - 1 h b g ) 生成的g 的子群叫做g 的换 位子群，并表示成g ，并且g7 是g 的正规子群，a c 是a b e l 群 引理2 3 设( r ，+ ，) 是半环，且( r ，+ ) 是群( 不必交换) ，r 是( r ，+ ) 的换位子群， 则r 是r 的理想 证明设d 是( r ，+ ) 的换位子群，则r 由 o + b d “i 。，b r ) 生成v ( o t + i = l b i d i 一6 。) ，( a j + b a j b j ) 矗，v rer ，有 j = 1 nn r ( o f + b i 一啦一6 i ) = ( 啊+ r 6 i 一帆一r 6 i ) 硝 i = 1i = 1 同理可证( ( a i + 6 。一m 一“) ) r ，( o ；舶 一毗一“) ( q + b j a j b ) 矗 而矗关于加法封闭显然所以r 是r 的理想。口 引理2 4 设r 是半环，t 是咒的理想，且是稠密的和自反的，a r 为引理2 2 得到的r 上的同余，( r o r ) 表示( r a r ，+ ) 的换位子群，定义r 上的关系阳如下 ( ，b ) p t 车= 争n 盯t 十( 冗即) = 幻t + ( r 即) 则p t 是r 上的环同余，且t k e r o t ， 证明o r 是r 上的等价关系显然 讹，b ，c r ，若( ，b ) 阳，则口叼+ ( r 口r ) = b o t + ( r 口r ) ，因而 。口t + ( 凡即) + t + ( r 盯r ) = c 盯t + ( r o t ) + b 盯t + ( r 盯t ) 9 所以 ( c + a ) a t + ( 矗，叼) = ( c + 叩+ ( r ，口7 ) ， 因而( c + n ，c + b ) p t 同理可证扣+ c ，b + c ) 阳下证船关于乘法是相容的若 ( n ，6 ) p t ，则a o t + ( r 口r ) = 妇t + ( 1 q 口r ) 。，因而n 口t “口t ( r 口t ) ，因为( r o t ) 是 兄口t 的理想，所以盯t o k r = t r 一t b t = t ( n 仃t b o - t ) ( r 盯r ) 。，因此 湎，c b ) p t 同理可证( 口c ，k ) p t 所以阳是兄上的同余 v 0 r ，( o + l o ) o t = 。口t ，所以 ( o + f o ) 盯丁+ ( r 卵) = o , o - , - + ( 咒口r ) 即叩t + l o p t = 0 p t 则f o p t 为r o r 的单位元由于r f r t 为群，则3 a r ，使 叼= 一嘶即( n + a ) f = r t = 0 0 r 因而a p r + o p t = l o p t 所以r o r 是群另一方面， v 。，b 冗，由于( r 卵) 是r a r 的换位子群，则 。仃r + ( r 盯r ) + 6 玎? + ( r 研) = 矗口于+ ( 冠即) + o , o - t + ( 冗田) ， 即( 0 + 6 ) 盯r + ( r c , t ) 。= ( 6 + n ) 仃t + ( r 口t ) 。，所以+ 6 ，b + o ) p t 因而( r p r ，+ ) 是 a b e l 群，从而( r p t ，+ ，) 是环，即甜为r 上的环同余 若n k e r o t ，则( o ，n + 口) o - t ，显然有( d ，o + n ) 阳所以k e r 口t k e r o t 而t k e r g t ， 所以t k e r p t 口 我们称p t 为由t 生成的r 上的环同余上面的定理已证了t k e r p t ，但反包 含关系却不一定成立 例2 50 8 = 4 - 1 ，士t ，士j ，士自) 的加法。按四元数群的乘法运算定义，乘法。 定义为任意两元素相乘为1 则( 0 8 ，o ，o ) 为半环e = l 是0 s 的稠密的自反 的理想( 仉，o ) 为群，但不是a b e l 群则o e = 1 q 。，( q 8 0 e ，o ) 为a b e l 群，因而有 ( i e j e ( 一t ) o ( 一j ) ) 肛= o s ，。( 其中o s ，p 。表示吖朋的零元) ，即i e j e ( 一i ) e ( - j ) k e r p f ， 但i o j o ( 一 ) o ( 一j ) g e ，所以k e r p e 不包含在e 中口 引理2 6 且是半环，p 是r 上的环同余，则k e r p 是r 的理想，且是满的酉的 稠密的自反的，而且有p = 风， 证明由p 为环同余，则k e r p = n rl a p = o ， ，其中0 p 代表r p 的零元k e r p 是满的稠密的显然 若n + 6 k e r p ，则 ( n + b ) o = 0 p ，( 6 + n + b + a ) p = 即+ ( n + b ) p + a o = b o + 0 p + a p = ( b + a ) p 所以+ a ) o = 0 ，因而k e r o 是自反的 若d + h ek e r p ，h k e r p ，则有0 p = ( b + h ) p = a p + 如= 印+ 0 p = a p 所以d k e r p 若h + o k e r p ，h k e r p ，同理可得o k e r 0 因而k e r p 是酉的 i 0 v c r ，v 口k e r p ，因为( 扣= c p 叩= 加p = 0 p 因而k e r p 同理可证n c k e r p 因此k e r p 是r 的理想 若( o ，b ) m e 令r ，为由k e r p 按引理2 2 生成的同余，则，+ ( r 口，) ： 扛吼e 叩+ ( b 盯k e 即) ，所以j 三( 口- 盯女e r p + 6 靠。，p + 8 ：“唧+ t 吼。，p ) ，曼( 勺盯胁，+ 吗盯k 。，p + c 二口女e r p + d j o k e r p ) ( r o k e r p ) ，其中。即= - - o i g k 。，p = 山i 盯女。巩。叩= 一勺盯t 。m 如m ，= 一由使得 即 n m n r p + ( 啦+ 玩+ 。：+ t ) 盯h ，p = b o 脚p + ( c j + d j + 弓+ ) ，p i = i j = a ”m ( o + ( n ，+ 6 - + o ：+ 6 ：) ) 一i 。，= ( b + ( q + 吗+ c j + ) ) 盯t 。，p i = 1 j = l 所以3 h ，z k e r p ，使得 所以 n m 九十。十( 。t + b i + 。：+ 6 ：) = 6 + ( q + 由+ 弓+ 弓) + l i = l ，= 1 n m h p + 。p + 陋t + b - + o ：+ 反) p = 6 p + ( q + 嘭+ 弓+ ) 卢+ l p 扛：1 j = 1 由于p 为环同余，则( s o ，+ ) 为a b e l 群，另外，n ：a p = 一毗。有( 毗+ n ：) ，= 0 。 因而( 毗+ n ：) p = 0 p 同理可证( 阮+ 6 ：) p = ( c j + 弓) p = ( 吗+ 母) p = 0 p , i = 1 ，川j = 1 ，m 贝4 量( o t + b i + 。：十6 ：) p =，( c j + d j + 弓+ 弓) p = 0 p ，而h p = f p = 0 p ，所以a p = b p 即 ( 如最p 1 反之，若( q6 ) p ，则a p = b p ，五r 使得x p + a p = b p + z p = 0 p 所以6 + $ ，z 扣船”p 而( 6 + z ) + o = b + 0 + n ) ，因此( ，6 ) 口m p ，所以( 口，的p m p 这样就证得p = m 。口 我们由上述引理可得 定理2 7 设r 是半环，t 是r 的理想，且是稠密的和自反的，则胛是r 上的 环同余，而且t k e r p t ； 反之，若p 是置上环同余，则k e r p 是r 的理想，且是满的稠密的自反的酉的， 而且有p = p m 。口 推论2 8 设r 是半环，噩，b 是r 的理想，且是稠密的和自反的，若n 曼孔， 则衄胁 证明若( 口，6 ) p n ，则口口n + ( r 盯n ) = b 口五+ ( r o t l ) 则存在意( m + b + o ：+ ) 啦，量( q + 吗+ + 弓) 划啊，其中( o + n ：) = ( 6 t + 6 ：) 口n = ( q + c ；) 啊= 1 1 ( 由+ 弓) 口t 1 = 0 啊，使得 n c i a t l + ( d + b ；+ n ：+ 6 ：) i = 1 6 仃n + ( 勺+ 由+ 弓+ 弓) 口n j = i 而五马，则有。乃所以 a q t 2 + 乏二( + b i + 0 二+ 瓦) = k 孔+ ( q + 由+ 弓+ 弓) 仃孔 i = 1 j = l 由于v t l n ，有( 啦+ n ：，1 ) 则( 口i + 。：) 盯n = t l o - t 2 = 0 ，码因此 nm ( 啦+ 6 t + 。：+ 6 ：) 口t 2 ，( c s + 由+ 弓+ ) 盯噩( r ) i = l j = l 所以a 0 t 2 + ( r 口死) = 6 + ( r 啊一因此( n ，p b ，所以有船p t ：口 2 2某些加法交换半环上的环同余 下面讨论加法交换半环上的环同余 引理2 9 设r 为加法交换半环，t 是r 的理想，且是稠密的满的，则g t 是r 上的环同余 证明加法交换半环中子集显然是自反的，再由引理2 2 即得口 若r 为交换半环，t 为r 的理想且为的稠密的满的，则我们容易得到f i t = p t 引理2 1 0 设r 是加法交换半环，a 是r 上的环同余，则k e r a 是r 的理想， 且是满的稠密的酉的，同时有一= 一 证明由引理2 6 可得口 引理2 1 1 设r 是半环r 的理想且是满的稠密的，则t = k e r ( r t 号t 是r 的 酉子半环 证明j 设t = k e r a m ，则v a ，z r ，若a + x l 则( a + x ) a t = 0 若o t ，e l l 7 t = 0 则z 盯下= 0 所以g t 仁由引理2 2 知t k e r o t ，若o k e r a r ，则口口丁= o j j o 使得。口t = 0 ，= f o 口t ，所以3 h ，f t 使 + d = z o + l l 而r 是酉子集，所以d t ，因而女e r 口t c t ，即 得t = k e r a t 口 由此可得 定理2 1 2 设r 为由b 法交换半环，t 是r 的理想，且是稠密的满的酉的，则o ， 是r 上的环同余，且t = k e r c t t ； 反之，若，是r 上的环同余，则# ：e r a 是r 的理想，且是满的稠密的酉的，而 且有口5 i - i 推论2 1 3 设r 为加法交换半环，若孔，死是r 的理想，且是满的稠密的酉的， 贝0 矸t 2 甘盯n 盯n 口 若r 为加法交换半环，e + ( 励为r 的加法幂等元集，则e + ( 且) 显然为五的理 想 定义2 1 4 设冠为加法交换半环，若e + ( 剐是酉的稠密的，则称月是酉的稠密 半环 推论2 1 5 设r 是酉的稠密半环，则r 上的关系一定义如下 0 ，b ) 口幡3 e e + ( r ) ，e + a = b + e 则a 是r 上的最小环同余 证明3 f ，9 e + ( 丑) ，使，+ n = 6 + 9 号| ee e + ( r ) ，使e + o = 6 + e ，而e + ( r ) 为r 的理想且是酉的稠密的，则由定理2 , 1 2 和推论2 1 3 知一是r 上的最小环同余口 定义2 1 6 设冗是加法交换逆半环，若e + ( 冗) 是r 的酉子集，则称置是酉逆半 环 显然酉逆半环一定是酉的稠密半环，则由推论2 1 5 可得 推论2 1 7 设r 是酉逆半环，则r 上的最小环同余a 为 ( a ，b ) o - 甘3 e e + ( r ) ，e + a = b + e 口 第三章半环的强分配格上的同余及其相关问题 本章主要讨论半环族( a d ) 上的同余格的直积的子格与其强分配格s 上的 同余格的子格之间的关系，& 上的环同余族与s 上的环同余之间的关系 3 1半环的强分配格上的同余 定义3 1 【3 】设d 是分配格， & i a d ) 是非交半环族，胀d ，a 卢，有映射 妒础：s 。_ 品，其中妒础是单同态，且满足条件： 妒n ，n = l s 。， 妒，口妒声1 = | p ，1 ，n s 声s 7 s o 妒o 。1 s 自l p 卢1c - 觅卢妒。芦，n + 卢7 在s = us 。上定义加法和乘法分别为：对v a s 。，b s 口 口e d n + b = n ，q + 口+ 6 邪口+ 8 ， 曲= c ，c s ， 且满足 。妒a 卢，n + 口= o 妒口，o + 口巩，口口+ 卢 我们称s 是半环族& ( o d ) 的强分配格记为s = 文献【3 】证明了半环的强分配格仍是半环，下面我们用上的同余来刻划s 上的 同余 引理3 2 设s = ，儿是上的半环同余，且 阢l o d ) 满足条件 v n ，b ，( 口，6 ) p 。= 号邯n ，卢d ，( o 妒n ，卢，却n ，口) p a ， ( a ) 定义s 上的关系p 如下 ( o ，6 ) p ，o ，b s 台 ：= 争| 7 q + 卢，( o _ p q ，6 妒芦 】p 则p 是s 上的半环同余 证明p 的自反性和对称性显然成立 下证p 的传递性o s 。，b 部，c 品，若( o ，砩e “( b ，c ) p ，则孔，p d ， 口+ 反 p + ，使( n 妒。，印口，。) ，( 却口。n ，) e 加，由于 p 。陋d ) 满足条件( a ) ，所以我们 有 ( ( d 。) 钆。+ ，( 却卢，。) ，。+ ，) 扣，( ( 和卢r ) l p “u + r ，( 印 ) 妒w ) 押 1 4 即 ( o 妒n ，u + 一，6 妒芦，u + p ) p u + v ，( 6 妒声u + p ，c 妒1 ，u + v ) p u + p 因而有( o 妒+ ，c l p + ，) m 而u + p 陋+ 卢) + 归+ 1 ) 兰a + 7 ，所以a p c ，即传递 性成立进而，p 为等价关系 再证p 是保持乘法相容v a